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1Des deux sortes de Lignes. 3 6<) ligne circulaire est l'image, je puis encore en donner des raisons d'autant plus convaincantes, qu'elles seront prises dans les principes intellectuels, les seuls que l'on doive admettre comme réels, & faisant Loi dans la recherche de la nature des choses ; les seuls , dis-je , qui soient inébranlables comme les axiomes. J'avertirai néanmoins que ces vérités ne seront pas claires pour le commun des hommes, & bien moins encore pour ceux qui n'auront marché jusqu'à ce jour, que d'après les faux principes que je combats ; le premier pas qu'il y auroit donc à faire pour me comprendre, ce seroit d'étudier les choses dans leur source même , & non dans les notions que l'imagination & les jugements précipités en ont données. Mais je sais combien peu d'hommes sont capables d'en avoir le courage ; & quand je le supposerois pour un grand nombre , je devrois supposer aussi,que peu d'entr'eux parviendroient à un plein succès, tant les premières sources de la Science ont été infectées d'erreur & de poison. Si j'ai fait pressentir que tout avoit son nombre dans la Nature, si c'est par-là que tous les Etres quelconques sont aisés à distinguer les uns des autres , puisque toutes leurs propriétés ne sauroient être que des résultats conformes aux Loix renfermées dans leur nombre ; il est constant que la ligne droite 5c la ligne courbe étant A a de
2370 Des deux sortes de Lignes. de nature différente, ainsi que je l'ai déjà indiqué, doivent avoir chacune leur nombre particulier , qui désigne leur différente nature , & nous empêche de les égaler dans notre pensée, en les prenant indifféremment Tune pour l'autre. Quand on ne réfiéchiroit qu'un instant sur les fonctions & les propriétés de ces deux sortes de lignes , cela suffiroit pour qu'on dût se convaincre de la réalité de ce que je viens de dire. Quel çst l'objet de la ligne droite , n'est-ce pas de perpétuer à l'infini les productions du point dont elle émane? N'est-ce pas comme perpendiculaire, de régler la base & l'assiette de tous les Etres , <Sc de leur tracer a chacun leurs Loix ? Au contraire, la ligne circulaire ne bornet-elle pas à tous ses points, les productions delà ligne droite ? par conséquent, ne tend-elle pas continuellement à la détruire, & ne peut-elle pas être regardée en quelque sorte comme son ennemie? Alors, comment seroit-il donc possible que deux choses si opposées dans leur marche, & qui ont des propriétés si différentes, ne fussent pas distinguées dans leur nombre , comme elles le sont dans leur action ? Si l'on eût fait plutôt cette importante observation , on eût épargné des peines & des travaux infinis , à tous ceux qui s'occupent de la Science Mathématique, en ce qu'on les eût empêché de chercher, comme ils le font, une mesure
3Nombre de chaque sorte de Lignes. 371; sure commune à deux sortes de lignes qui n'au-» ront jamais rien de commun entre elles. C'est donc après avoir reconnu cette différence essentielle, qui les distingue dans leur figure, dans leur emploi & dans leurs propriétés, que je ne dois pas craindre d'affirmer que leur nombre, est également différent. Si Ton me pressoit de m'expliquer plus clairement, & d'indiquer quel est le nombre que j'attribue à chacune de ces lignes en particulier; j'avouerois , sans peine , que la ligne droite porte le nombre quatre, & la ligne circulaire, le nombre neuf : 5c j'oserois assurer qu'il n'y ai pas d'autre moyen de parvenir à les connoître ; car l'étendue plus ou moins grande de ces lignes, ne changera rien au nombre que je leur attribue en particulier , & elles conserveront toujours le même nombre chacune dans leur classe , à quelque étendue qu'on les prolonge. Je sais, je le répète, que ceci pourra bien n'être pas entendu , tant la Matière a fait de progrès dans l'intelligence de mes semblables. Il en est donc , qui malgré la clarté de ma proposition , pourroient en inférer faussement qu'une grande & une petite ligne ayant, selon moi , le même nombre , doivent par conséquent être égales. Mais, pour prévenir ce paradoxe, j'ajouterai qu'une grande, comme une petite ligne, ne sont A a 2 chacune
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1Of the Two Sorts of Lines. 3 6<) circular line is the image, I can still give further reasons for it, all the more convincing since they will be taken from intellectual principles, the only ones that must be admitted as real, and as forming Law within the search for the nature of things; the only ones, I say, that are as unshakeable as axioms. I shall warn, nevertheless, that these truths will not be clear to the common run of men, and still less to those who shall have proceeded, until this day, only according to the false principles I combat; the first step, then, that there would be to take, to understand me, would be to study things within their very source, and not within the notions imagination and hasty judgments have given of them. But I know how few men are capable of having the courage for it; and, were I to suppose it for a great number, I should have to suppose, too, that few among them would arrive at full success, so infected with error and with poison have been the first sources of Science. If I have let it be foreseen that everything has its number within Nature, if it is by this that all Beings whatsoever are easily distinguished one from another, since all their properties can be nothing but results conformable to the Laws enclosed within their number; it is certain that the straight line 5c and the curved line, being A a of
2370 Of the Two Sorts of Lines. of a different nature, as I have already indicated, must each have their particular number, which designates their different nature, and prevents us from equating them within our thought, in taking them indifferently one for the other. Were one to reflect but a single instant upon the functions and the properties of these two sorts of lines, this would suffice to convince oneself of the reality of what I have just said. What is the object of the straight line, is it not to perpetuate infinitely the productions of the point from which it emanates? Is it not, as perpendicular, to regulate the base and the foundation of every Being, <Sc and to trace for each its own Laws? On the contrary, does not the circular line bound, at every one of its points, the productions of the straight line? Does it not, consequently, tend continually to destroy it, and can it not be regarded, in some sort, as its enemy? How, then, would it be possible that two things so opposed within their course, and which have such different properties, should not be distinguished within their number, as they are within their action? Had this important observation been made sooner, infinite pains and labors would have been spared to all those who occupy themselves with Mathematical Science, in that they would have been prevented from seeking, as they do, a measure
3Number of Each Sort of Line. 371; -sure common to two sorts of lines that will never have anything in common between them. It is, then, having recognized this essential difference, which distinguishes them within their figure, within their use, and within their properties, that I must not fear to affirm that their number is likewise different. Were I pressed to explain myself more clearly, and to indicate what number I attribute to each of these lines in particular, I should admit, without difficulty, that the straight line bears the number four, and the circular line, the number nine: 5c and I should dare to assert that there is no other means of coming to know them; for the more or less great extent of these lines will change nothing to the number I attribute to each in particular, and they will always preserve the same number, each within its class, to whatever extent they are prolonged. I know, I repeat, that this may well not be understood, so far has Matter made progress within the intelligence of my fellow men. There are, then, some who, despite the clarity of my proposition, might falsely infer from it that a large line and a small line, having, according to me, the same number, must, consequently, be equal. But, to forestall this paradox, I shall add that a large line, like a small line, are A a 2 each
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