Boethius, De institutione arithmetica libri duo · De institutione musica libri quinque, ed. Gottfried Friedlein (Leipzig: Teubner, 1867) — read from page images, with the critical apparatus separated from the text

INST. ARITHM, II, 54. 171 Utraque enim comparatio sesqualtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus, idem est ei, quod fit ex mediis. Nam quod fit ex duodecies sex, aequum est ei, quod fit ex octies -VIIII- Geometrica ergo proportio est huiusmodi. Arithmetica autem est, si duodenarius ad 5 novenarium et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est et iunctae extremi- tates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris senarium et -XIL, facies -XVIIL, qui est novenario, medio termino, duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque me- 10 . dietatem perspeximus. Hic quoque armonica medietas invenitur, si -XII. ad .VIII- et rursus -VIII- ad senarium comparemus. Qua enim parte senarii octonarius sena- rium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte octonarius superatur. Quattuor enim, quibus octonarius 15. a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si exiremitates iungas .VI- scilicet et -XII- easque per octo- narium medium multiplices, -CXLIIII- sunt. Quod si se extremitates multiplicent, .VI- scilicet et -XII-, facient .OOCLXXIE, quo numero :CXLITI- duplus est. Inveniemus 20 bic quoque omnes musicas consonantias. Namque -.VIII. ad -Vl. et .VIIHI- ad -Xll- comparati sesquitertiam propor- tionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam; .VI. vero ad .VIIII- vel -VIII- ad -XII- comparati reddunt pro- portionem sesqualteram, sed diapente efficiunt sympho- 25 niam; -XII- vero ad senarium considerati duplicem qui- dem proportionem, sed diapason symphoniam canunt; .VIII- vero et .VIIIT- ipsi contra se medii considerati