A pri«
limta alia nHiaCaa • f^r loaaR hy^olMim » ft a priaio $i nltenm a i^ ad is. coai uia fUtcima toant eril.
(b) Jlra. poteft iMH per medinm pfopoirtioaale.
tonnmi \d eftt kabnt
MVSfCA
SPECULATIVA. a6f
A primo a4 bltimuiii tonot cnm is' \
Proportlo fesqnidedma»
Proportio fesqtiidecima» feptima cnm f;.
2ttf. 2048.
17. 18 4
272. 289-
2I7tf. 5412.
A primo ad nltimom tonus cam ^.
Proportto resqaidectma- feptima.
Prqiortio fesqaidedma- odava cam ^.
18. 19 Tf'
to6. 324« 2248. 2192.
VIL ^femis & dufiex tomu in ihtcreos Gnt duae fipsqaiodavaB propor^
diateffara vere. tiones cum (una)io]perfeda; n|im fl fa-
In omni proportione fesquitertia duae per 192. fuapars o^avaaddatur, exibit
fesqutodafae proportiones integrae conti- fititf. complete» & tertia pars incomple*
nentur. Sed &^ertia • quae non eft per- ta fiiciens primam proportionem fesqa!*
feda , ot oftendetur modo, diateflaron eft odavam. Cui iterum fi pars odava illiua
in proportione fesquitertias per figucam iungatur • exibit 243. fecunda proportio
circulorum : ergo in ea» feu in diatefla- fesquiodava. .Sed fi fuper 243. eius oda-
ron» funt duae proportiones fesquioda- va pars tertio copularetur, non exibit
vaeperfedae« & tertia non completa : i* 255. fed plus, fcilicet 273. & ona oda-
gitur & duo toni cum uno imperfi^do» va. Quare relinquitur pro iamnoto»quod
qui a muficis femitonium unanimiter w^ inter 243* &25tf. non fuit proportio in«
pellatur, non eftafemis, quod eft di* tegra fesquiodava. Qpare concludo ex
oiidium, feda femis, quod eft imperfis his, in dtateflaron duos tonos integros
dum. Quod autem io proportione fes- & unum imperfedum , fciiicet femito-
quitertia, qnam fibi vendicat diateflaroot nium, continert. Ifti praedidi «umeri
fint duas fesquiodavae proportiones com- fuot primi numeri , in quibus haec pof-
pletae, & tertia incompleta^ ficoftendo. fint oftendi Et eftars invenieodi talis:
Siotto proportiooe fesquitertia ifti duo Qpot tooos cootinoos aut quot propoi-
sumeri ut extrema 192.255. dico, quod tiooes cootiouas fesquiodavas vis babere»
SCEIPTOAIS V8T. DB MuSlCA. P. IIL L I '^'
lOANNIS M IVttJRTS
tot o^^ms diftantes^ a primo odaplo,
qai efl: 8. (ab eo) loco fpatii, quo diflant
ab unitate contidaas proportione^ fesqui-
oSavap. quas reqairis; nt fi duos contt*
nuoii requirist a (ecundp oiSuplo» qui
e(t ^4. fi tres, a tertio incipias. Sint igl-
tur duo toni continui, primus 64, g.
72. 9. Si ergo faper ^. (ha tertla pam
addator» exibit diateflaron; fed tertiaoi
non babet: ergo fi mulripUcetur per 3.
proveninnt 192. tertiam partem habem;
poft quod iunt fimiliter duotoni conti-
nui tales ficut prius. Hasc patent in figa«
ra fequenti.
. Diateflaron. .
Tonus cnm iemiconio 1
Ditonus
Tonus.
Tonus.
ISemitonium.
Vlil Sed diafente fonos tref & femff
aio tenere.
lam notum eft p?r prxcedentemt dia-
teflkron ex dnobus tonis & femis pari*
ter iqtegrari, Sed diapente eam conti^
net atque tonum per quintam. (a) Er*-
go diapente confonantia ex tribus tonis
& femitonio gompieta efl;» quod efl: pro-
pofitump
IK. Bina femitonia cum quinque tonis
diapafon,
Diateflaron conftat ex duobus tonis
ft femitonio, per feptimam; diapente
vero ex tribus tonis cum uno fimiliter
femitonio, per pjrscedentem, Sed diapa-
fon ex diapente & diatefl^ron componitur,
per quartam ; igitur diapafon ex quinque
tonis & duobus femitoniis jntegratun
Nec ex hoc infertur : ergo ex fex tonis
per aequipollentiam ; in quo tamen plu-
res antiqui & moderni felluntur, quoniam
tonus non poteft diyidi 10 duo femitonia
sequalia, ut vifpm eft per fextam.
%. Qmrf toni tales funt partes par
in aquales.
. Tonum efle aliqnem inperfedum,
fciiicet femitonium, vifum eft per fep.
timam: ergo femitonium eft aliqua pars
toni. Aut ergo eft vera pars media, aut
non vera pars per contradidionem ? Sed
non eft vera pars media per fextam;
ergo non eft media» Aut ergo maior
pars toni aut minor, & tunc una (bla
pars aitera tonqm integralem totum non
conftituat integraliter. firgo in tono funt
duae partes, quarum altera maior, altera
jnioor taecefllario cpncluditur: ergo tonua
cum divditur in duo femitonia, fecundum
maius femitonium & minus, divifum eft;
quod eft propofitum^ XI.
(i) Id tft, pcr %atiitw t)iroreiii«»
MUSICA SPfCVLATIVA. ^6j
XL Etio fmhottium mhtus iu numbi^ tem eft minnt minore; eft minos ohu
ris reptrirt^ (^ iore; com igitnr 13. ad 243. con^»-
A diateflaron demtit tonis duObn^ catus fit minor pars eius, quam 16. 6l
iqnod remane(, femitonium notataf, per ipfa i^a. non &cit tonnm medinm, fed
feptifflam. Sed quod iUod -fit minor ounus; ergo multo minos 13. ad 243;
pan tooi. probatnr.ut viitiro fuit io comparatus &cit minus medietate toni;
feptima. Primi numeri. inter quot ap> quare femitonium minus ioTeotum eft.^ paret femitooium |a diateffiiron (quare
ootum erit» ipfiimminorem efle parte XII. Inde femitoniiati maius dnmoHfiro:
yera media toni) funt 24}. aftf. quo- venire,
rum differeotia eft I}. Si ergo. 13. &- Oftenfom eft per immediatam & pet
oiens femitonium dupticetur, (b) non feptimam, quod primi numeri Tnnt 243.
attiogit tonum qoam mioorem vera & ss^. inter quos (emitonium per in-
medjla parte 0ni. Sed fic eft , .quod tegrum fit notum , quare ouroquam io
eius duplum. fdlicet 13. eft »6. qui ad^ i^ufica mioutix receptae funt Stcut enim
ditus fuper 243- &cit 2^9- qoi ad 243. in geometrica linea quantitatibus uti coni^
comparatos tonnm. non iroplet Q&a^ tiogit, fic in mufica numeris quantisii-
do pars addita o3ava parte 243. fibi bet licet uti. Modp fi fuper 243. fui
ipfi exiftit nuoierus 273. & tre; o^vae, odava pars adiungatur, numerns tonom
qui maior eft prtmo, feciens piene to> reddens ezibit cuius diflTerentia ad 2f^^
qom- qqare. ex his minor pars femitonii pars^ feroitonii maior erit, cum. iam fit
reperta eft. AmpHus & per fcxtam vi- oftcnfum a a^tf. io 243. femitomi par-
fum eft.quod femitooium eft inter 4c- teoa ifofe minorem. Sed quooiam 243.
dmam fextam & decimam feptimam odavam noo habet, igitur per regulaa
partem; fic quod eft miaor ^s- deci- aritlimeticae per odo extendatur, ^ no-
ma fextaj maior decima feptima pars. roerus exibit partem habcns odavam,
Sed 13. comparatus ad 243. roinor & erit i944> Aogeatura^^.per odo, &
pars eius eft quam 16. & quam 17, «048. producitur, interquos,fcrI. 1944.
quoniam 13. dudum in fe fexties deci- & 2048. erit femitooium roinus ficutpri-
es aut fepties decicff, noo reddit 243., »»• Tuoc ergo fuper 1944. fui oaava
imo iiumerus etiam dudus jn fe odies pars iungatur. veniet ai87- fiiciens.ve-
decies. minus eft 343. (^idquid aa« rum toooro. cuius diSerentia ad i^^^*
Ll 3 eft
(a) FinM. hoe Tbnrma ita fjrpri«il/; .Scmildio.
nlam mipiis in niimcris reperirc. A dltteflrarofi dem-
tit tonia dnobiity id qnod renaaet« feniitoBiDm iro»
mtnr. Primo nnmeri « intec qnoi apiiaret femitonium
In diateflkron, feilicet 943. ft t%i. quotum diftrcfi-
tbL cft 13* qni oAiee Md fnnt 104. ift medictatem
#43. fwi eft i9if. 9on implentca. Non eft igi*
t«r famlioidn» , fcd nnni{i a (naitonio. Cnr enlm .inf^
taiipm hM ftmimjym, fi ^tBcrcatis
qoft cft fecundum odies dnAam medictatcm numcro*'
rum 143. potuiflet aequare? Eft igitor femitonium mU
aut. Praeterca pcr fcxtam^ tijTnm cft, qnod femito»
ttinm aft intcr i4« & iTam partem» qnod ninor cft
i(. ft maior .17. 8cd 13. corapanitttt ad 943. cftmi-i
noif part ciut quam 16.. $ 17. qni^quid aulem cil
niino|c , cft niaior^ .mini^t }. ecgo &e.
(b) jB^». fit dnpHeatna^ ft toaum pctleftura n»ft ip aota» aft ig6m cflc tfiaorca ftcir
lOlNNIS DB MUklS
cft Y 39. i|oaB maior femitoitU psn eft :
oam dia pari eft differeotia iotcr 2048«
& 1944. Ergo maios femitooiQm ampU-
08 000 eft igootom. QjiaB aotem ouoc
dida fuot prsfeos figora dedarat
TONUS.
SeoiiumiQm mioui. 1 SeniteBiom oiiiut.
Diiferendo IP4-
DiSerentia
Differentisnim diffec€iida« 3i-
Oaava. a4}«
XIIL Sfx oftemb touos diapafin nou dare plenos. (a)
Soflt fex tooi cootiooe proportiooabi-
liter Joyeoti fecoodom regolam datam io
feptioia» iocipieodo a fexto oftoplo» fi-
xot iofobfcripU figara videbitor : foper
qoam fl odava pars fui addator , exibit
fecDodos oAopk». Cot Itensm fua pan
odtava ioogator , & producetur tertius 0«
dupltts; & ita de aitis ufque ad fextum»
8c eruot (ex toiii cootioui fucceffif e. Mo«
do fi fuper prlmum addatur fui medietas^
exibit oumeros fadeos diapafoo. per figu-
ram circulorum» & eft ifte» fcilicet f %^%%%.
qui mioor eft eo oumero, qui fextum fi^
ciebat tooumt fdlicet f3i44i. quorum
differeotia eft ifta 71^ 3. io quo fex tooi
maiores fuot diapafoo ; quod quaerebatur.
Et ex hoc ioferturt quod cum diapafoa
cooftet ez qoioque toois & duobus fimii-
tooiis per oooam» iila duo femitooia fi>
re mioora; quooiam fi efleot oiaiora»
traofireot diapafoo fex tooos; fi ooum
oiious, alterum maius, fex complete red-
deret tooos» cuius cootrarium ouoc vi«
fum ; ergo fuot oiioora. Ac ulterius cum
diapafoo diapeote & diateflbroo ampleda-
tur, quod flla femitooiat qme fuot io hb
duobust de miooribus efle probaotor.
D i a p a f D . |
DiSereotis»
Dtuefentia* }tf8«4.
DiSefeotis. 466^6.
DimBrentts. SS488.
unterentia* S9049-
i/inereocn.
Tonos.
TenM.
Tonot.
Tonof.
Tonos.
TonnSp
XIV. Ifon ex quinque tonis (b^kff
diateffaron effe^
Per feptimam probatum eft, quod dia»
te(£iroo iododit doos tooos com fismi-
tooio; quodqoe Ulud fit mions femitoiii.
um» & ficooo reddat veruot tooum» fi
duplicetur» quod eft propofitum» fic pro-
bo. Diapafoo ex oooa cootioet io fe diap
peo-
(e) H fhnkktmtifi ^bwnm hte U% 9 x pr imU wr :
9nc mos fjnas diap^fim m» Hudtrt. Qpioaiam moii»
ftratnm eft, dliptibir cs dinpente ft 4i8tclbroQ eoiK
filkere per ^osrtaai , ?cmm iltetffferoa prohita eft ex
toois ft liMiitQnio coqftarr per lepdeiam 1
f ero CK trltas tonii ft ftmilMiio per oae*
vam I l»c qoidem fimol ioaae ^pqoc toaoc eflk
cioBtt atqoeliac dno fcmltooia non eront intcgni m4»
dietatii, eomai coaioaftlo totaUc noneft» led medle*
tM quideai rupcratar, ot iQtegritat relinqaatnr. Bft
Itaqne dkpafoa ez qeiaqoe loiiiic» ft dnobna iemito»
aiii» ot fitct intgQifr
penfee ft dhtefl&roo: fed diapeote noa
contioet aliod reraitoniom , quam diated
ftroo 9 qiiantam non^ difiert ab eo niG
tonot per qoiotam ; modo diapafon am-
pk^tor qoioqae tonos & duo femitonia,
per nonam, qoae funt minorat quoniam
dlapafon non complet fex tonos, per
immediatam (fcilicet praecedentem:) ergo
flla duo femitooia» quas funt in diateflaron
& diapente, funt minora; & illud quod
eft tn diapente, eft illud quod eft in dia-
teflaroQ, ut didum eft in quinta: ergo
illnd femitonium, quod eft in diateflaron,
minus eft (emitoniom, & minor pars to-
ni merito nnncopatur: ergo femitoninm
duplicatQm tonum non reddit integrum.
Sed aliter non poteft poni bis, id eft,
duo diateflaron, quinque tonos habere;
ergo oon habet quinque tonos, fed qua-
tuor tooos com duobns femltoniis mino-
ribus. Per numeros, qdi neminem 61-
lunt, hoc idem dedarafcur. Siot quinque
toni continui, ficutdicitnr in praecedenti,
tonc fuper numerum, qui eft fiindamen«
tum relationis, fui tertia pars addatur,
exibit lemel diateflaron, per figuram dr«
culorum; fuper quem iterum produdnm
fui tertia pars addatur ad eum , fimiliter
alia diateflaron producetur: quare de pri*
fflo ad ultimum erit bis diateflaron.
Comparetur ergo ifte ultimus numerus
(a) fadens primum ah'um quintum bis dfa-
teflaron ad ultimum nnmerum fiidentem
fextum tonum , & erit minor nnmemst
qui bis diateflaron complet, quam nume-
rus faciens quintum tonum. Ergo bis dia-
teflaroQ non contiuet quinque tonos:
propter hoc fequentem vide figuram.
Difiereotia. 409S.
Difierentia. 4^08.
Differentia. 5184.
Differentia. 5832.
Differentia. 6^6t.
Differentia.
Tonw.
Tonus.
Tonns.
Tonns.
Tonus.
Tonus.
Difierentia 10922I.
Differentia 145^31.
Differentia 8o<^.
Differentia. 8ii
A primo ad altimum bis DiatelElron.
Ll j
Ampli-
(a) FhMoniif/Ss iu: hdm ad primnin bit dia*
tcffiiroa ad ultiiiiiim nimenm ftcieiitem ftxtnra t»-
anmp ft nmcn», «ui liit diiHflkroa
dc primc fiiriffff aniotnm
id uhimnm, qnarc maiar erit
Amplios hoc poteft aliter declarari in*
tendeado diacefliaroD & remittendo. Sum-
tis enim quinque tonis continuis fuper
primum numetum iungatur fui tertia pars,
diateflParon eft intenfa: & fl ab ultimo
numerorum quintum tonum perficieote
fui quarta pars refcindatur» diatefllaron
ioAnnis de muris
exibit remiflOu Si ergo duplex diateflBiron
Ot asqualis quinque tonis, ex hisquinqiic
tonis diateflarbn iotenfa 8c remifla coa-
current in eodem numero & sequali, nul-
la diflferentia mediante. Sed noh erit ita»
imo manifefta patebit diflTerentia » nt. vi«
deri poteft io hac figura.
Tonus.
Tonus.
Tonus.
Tonus.
Tonus.
Oiateflaron intenfa.
DifFerentia 59«i
4428tf|.
DiateflTaron remiflfa.
XV. igH ex pramiffis comma reperire
necejje.
Comma a muficis dicitur iilud • qqo
tonus fuperat duo femitonia foi. Illud
autem tah'ter invenitur; a fex tonis con-
tinuis fecunddm modom decimse tertis
diapafon fobtrahatur, reliquum eft com*
ma. Nam tanta eft difFerentia inter tonos
quinqoe & dup femitohia minora, qus
funt in diapafon, per immediatas, &
inter fex tonos: quod provenit ex eo»
quod ifta duo femitonia tonum perfice-
re nequierant ubique: ut hi doo nu-
meri 2^2144. & 53i44'- ^^^ tonos
continuos ampleduntur ; fed hi duo
2^2144. & 524288. reddunt diapafon,'
quod patet, fl primus numerus dupUce-
tur. Modp diflferentia inter numerum
fex tonorum» & numerum diapafon ad*'
implentem eft diflferentia 7153. & haec
differentia eft duorum mtnorum femito-
niorom ad tonum. Nam fi fiiiflfent in«
tegra femitonia« diflTerentia nuUa fuiflfet ;
& hasc differentia inter doo femitonia
minora & tonom perfedom comma fii- cit evidencen
£x praemiflis demonftrationibos infer-
ri poffunt coroUaria » qoaet feqoontor»
qoaeqoe maoifefta^ font ; ex . affertis , ne de
his fit necefllariom nova theoremata for*
mare. Primom eft : duo minora femito»
nia tonum integrom non complere: doo
maiora femftonia iunda tonum ihtegrum
fuperare: maios femitoniom foper minos
commate abondare: maius femitoniom
& minus ionda tonum perficere: dno
femitonia minora cum commate hinda
tonom pbrficere: verom femitbniom in
noUa proportione manere: veroih femi-
tooram in natura non confiftere: com-
ma in numero nuUo effe, fed maios
7?. minus vero 74. Hoc poteft inve-
niri per dida immediate &^ in decima
tertia. Semitonium minos eft maios
quam 20. ad 19. minos quam 19I. ad
i8i femitonium minus matus eft tri-
bos commatibut ^ mious vero qoatoor.
Semitooiom maios qjdatoor commatiboiif