De orthogonio circulo inscripio,

Unum etiam, quod Architae iudicio in hoc eodem orthogonio approbatum est, et Euciidis diligentissima perscrutatione prius est rationabiliter adinventum , operae precium duximus non esse praetermittendum. Est etiam saepe, ut disputator in geometrica , circulus si huic ortho- 25 gonio inscribatur, quot pedes diametrus colligat, requirat.

3 enim] antem m. || spatium] septum e. 5 redundant
m. 6 embada om, m. 22 rationabiliter] diligenter m. 23
etiam] enim m. 24 disputatur in geometria m. [| qui si

m. 25 requiritnr m.

ARS OEOMETR.

Quod ne victus ignorantia refutet aliquis edicere, breviter insinuanius rem huiusmodi. Inscribatur itaque circulus orthogonio omnes lineas eius tangens. Hoc uimirum facto catbetus et basis aggregentur in unum. Ex cuius summae copulatione si bypotenusae exceperis quantitatem , diame- 5 trum efficies; iuncti enim XII et VIII, id est cathetus et basis, XX reddunt. £x quibus si bypotenusam abstuiero, hoc est XV, diametrum V pedes obtinere constituam, quod subtus facta designat figura.

Be amblygonio.

Quintus in ordine triaugulorum amblygonius ab Eu- ciide insertus obtusum angulum habens dictus est. Quem nos succincte aperteque expiicando aggredimur. Nam si diUgens lector superioris nostri documenti praeceplis et i5 formulis instructus accesserit, minime in hoc lababit. Constituatur modo amblygonius, cuius basis XVIII numero, hypotenusa aulem maior X, minor vero VIIII inscriban- tur. Cathetus autem IIII summa insigniatur. Ducatur ergo basis per calheti dimidium, hoc est XVIII per bina- 20 rium et XXXVI prodeunt, quae summa embadalis spalii planitudinem adimplet. Sed Architas, in cunctis utens ratione, alio modo huius amblygonii aream reperiri con- stituit, non hanc, quae supra scripta est, sunimam in hac areae planitudine sed minorem posse contineri existi- 25

6 iunge m. [J id est . .. . basis om, m. 7 reddunt] ef-
dcies m. 12 trigonoram m. 18 autem] aut e. 21 pro-
fieunt] exibunt m. 22 arcliita m. 23 aream] summam m.

414 ARS GEOMETR.

mans. Astruxit enim cathetum per se et per binarium^
vei per se et octonarium dupio se superantes muitiplicari
oportere, et quantitatem, quae liac ex multiplicatione
proveniret, aream constituere, non ut XXXVl sed XXXII

^ in se colligeret areaiis iila contemplatio. Quisquis autem
huius iam dicti trigoni formas in piano designare dispo-
nat, a basis quantitate huius modi rem ingrediatur tali
ratione, ut terminus minoris ac maioris hypotenusae
copulatus parvo vincat terminum basis, hoc est, si basis

10 XX mensuretur pedibus, maior hypotenusa XI, minor au-
tem X insigniatur. Sed melius hoc, quod numeris dixi-
mus, osteiidemus, si aiicuius exempli formam subiicie-
mus, sitque haec descriptionis demonstratio.

15 Be oxygonio.

Restat ut dicamus de oxygonii specuiatione, qui sex-
lus in trigonorum descriptione ab Cuclide, non segni geo-
metre, ponitur, acutiangulum determinatus. Esto igitur
oxygonius, cuius minoris lateris terminus, id est minor

20 hypotenusa XIII pedibus lerminetur , maior autem XV et basis XIIII mensuretur. Cuius catheti et embadi summa si ignoratur, tali ratione colligetur. Ducatur ergo lateris minoris quantitas per se, CLXVIIII redundant. Basis item terminus si per se excreverit, CXCVI nascentur,

25 quas videiicet summas si iunxeris, CCCLXV efficies. Quo facto muitipUcetur etiam terminus hypotenusaiis per se et exurget CCXXV numerus, quem si de superius copulata summa semovero, fiunt residui CXL. Horum medielas

7 ingrediatur] ordiatur m. 18 acuto angulo m. 22 colligitur m. 23 et iu CLXVIIII m.

Ars Geometr. 415 ^^

LXX esse pernotalur. Ouod per basim dispersum , quin-
quies ipsam in se retinet. Denominationis vero huius
summam minor obtinet praecisura, quae per se adaucta
XXV constituit. Hos si de minoris lateris summa per se
multiplicata abstuleris, CXLIIII supersunt. Quorum vero 5
tetragonale iatus, quod XII est, calhetos summam exple-
bit. Areae autem conclusionem hoc modo investigare
curato. Basis medium ducito per cathetum, id est VII
per XII et provenient LXXXIIII. Hanc summam complere
areaie huius trigoni pavimenlum non ignora. Describa- lo
tur ergo huiusmodi de hac re figura.

Xiiit

Sed quia de trigonorum podismali consideratione in superioribus sat diligentium lectorum indagini explanavi- mus, superest ut ad letragonorum speculationem transi- 15 tum faciamus, succinctum de his habituri tractatum. Qua- dratorum enim ceteris faciiior est collectio. Et prius quidem de normali tetragono tali modo ordiamur.

Omnis igilur tetragonus normaliter constitutus latitu-
dine longitudinem multiplicante arealem constituit plani- 20
tudinem et podismum sine dubio absolvit. Ponatur modo
tetragonus pari numero consignatus, id est VIII. Quos
per se, hoc est latitudinem per longitudinem , multipli-
cans LXIHI efficiam , embadum videlicet subtus descripti
tetragoni. - s^5

4 restitnit m. 5 Quoram vero] huius m. 6 expli-

cabit m. 13 consideratione] ratione m. 23 hoc longitu- dinem per latitudinem m.

Viu

Idem vero per impareni numerum si feceris, nuUo itn-

pediente obstacuio eadem ratio constabit. Qui videiicet

normalis tetragonus ab Euciide aequilaterus alque recli-

5 angulus nominatur, a Nicomaclio autem in aritlimeticis

similiter appeiiatur.

De parte altera longiore,

Tetragonus autem parte altera longior ab Euclide qui- dem rectiangulum sed non aequiiaterum definitur, a Nico-

10 maclio autem eteQoiirixrfg dicitiir. Cuius quidein longi- tudo iatitudinem multiplicans erabadaiis summae pedatu- ram, sive sint pares seu impares termini, demonstrant. Sit modo parte aitera iongior tetragonus, cuius longitudo pedes VIII, latitudo autem IIII, vel longitudo VIIII, lati-

15 ludo autem VI vel V vel III coliigat. Multiplicet ergo lati- tudo longitudinem id est IIII. VIII, XXXIl nascentur, lioc est area parte altei a longioris letragoni provenientque liae figurarum deformationes pari numero atque impari con- signatae.

vni

20 mf

His vero iain dictis paraiieiogrammis adiciendos riiom-

5 autem ot?i. m. 9 rectiangulus m. |{ aequilaterus m. 10 etromechis e, m. 11 embadis m. 12 seu] sive ni.

14 autem om. m. 15 autem om. m. 16 longitudo latitu- dinem m. 18 deformationis m.

Ar8 Geometr. 417

bos et rbombon telragonos arbitramur. Quamvis enim aul angulariter aut lateraliler a supradictis parallelogram- mis dissideant, tamen his sunt annumerandi. £sto age rhombos quadrilaterus, singulis lateribus decena peda- turae summa consignatus. Diagoni auf em , hoc est angu- 5 laris lineae, direclio bissena numeretur quantitate. Cuius medietas, hoc est VI, si per se augmentabitur, XXXVI exsurgent. Quos si ex basis termino per se multiplicato subtraxeris, LXlIIi remanent. Horum tetragonale latus, id est Vni, huius rhombi cathetum constituit. Diagonus lo autem per catbetum ductus embadalis summae spatium ostendit. Hic autem ab Euclide aequa habens latera , sed non angulos aequos nec rectos definitur. Sit vero de hoc huius formae processio.

De rhombo,

Euclides vero nec angulos aequos nec latera aequa habentem rhombon determinando proposuit. Quem nos quoque patentiori aditu formando numerosque ascribendo reserabimus. Esto agerhombon, cuius unum latus VIII 20 pedes, secundum autem IIII, tertium vero VI, quartum vero II. Harum vero summarum maximos terminos lon- gitudinem obtinentes, siconiungas, Xilli efficies, quorum medietatem septenarius constituit. Minores autem sum- mulae in unum redactae senariam quantitatem perficiunt, 25 cuius medium ternarius adimplet. Quae videlicet medie- tales, VII et III, si per se multiplicabuntur, XXI consur- gent, id esthuius tetragoni pedesareales, ut subter apparet.

1 enim] autem m. 5 hoc est] huius m. 8 exurgent e. 10 rumbi m. 13 diffinitur m.

Boetius. 27

AES GEOMETR.

Hi8 enim adicienduiu fore trapezium ortliogonium non
incongruum ducimus, dupla et sesquiallera numerorum
proportione lateraliter consignatum. Ascribatur modo

5 vertici summa quindenaria, catheto autem tricenaria,
duplo eam transcendens, basi vero ad hanc sesqualteram
servans habitudinem terminus contra datur. Per has ergo
summas area huius trapezii tali ratione constituenda est.
Adiungatur vertex basi, id est XV. XLV et LX terminus

10 exuberat, cuius pars dimidia, si per cathetum mulliplica- bitur, areae pandit protensionem , ut in subterius scripta patet figura.

De diagono adinveniendo,

15 Saepe autem evenire solet, ut in huius artis specula-
tione, quot angularis lineae protensio horum scilicet tetra-
gonorum pedes obtineat, requiratur. Quod ne ignore-
tur, facillimum apertissimumque buiusce rationis dabimus
exemplar. Ponatur iam parallelogrammus orthogonius in

2 trapezetum e; trapizetam m. 5 antem om, m. 9
vero vertex e. || id est om, m. || -X^- ad -XLV- m. 10 si
per] super m. 11 et iam areae innutae protensionem ut in
propria haius theorematis patet figura m. 15 in om. e.

19 iam] etiam e.

ARS GEOMETE.

longiludine LXXX et in latitudine habens pedes LX. Lon-

gitudo vero per se augmentata VI CCCC explicat, latitudo

autem per se multiplicata 111 DC efficit. Quae videlicei

VI CCCC et 111 DC in unam summae cumulum redactae

X restituunt. Horum, scilicet X, tetragonale latus si5
sumpsero, C pernotabo. Hoc est diagonum huius paral-
lelogrammi orthogonii, ut infra scripta perspici potest in
forma.

De multiangulis figuris.

Sed quia sufficienter breviterque de tetragonorum di- ximus rationibus, restat, ut de pentagonis et exagonis ceterisque disseramus. Omnis itaque pentagonus, aequis habitujs lateribus, lateris unius summa in se excrescente ac ter ducta rursusque eadem subducta medietateque hu- 15 ius summae sumpta embadalis spatii pandit superficiem. Esto modo pentagonus singulis habens lateribus pedes senos. Quos, videlicet VI, si per se duxero, XXXVI re- sliluam. Hos ter ductos in CVIII numerum perstringam. Cui adiecero lateris unius summam , id est senarium, 20 CXIIII explicabo , id est area infra descripli pentagoni.

3 efficit om. m. || Qui m. || yidelicet . . . III-DCo»i.
m. 4 redacti m. 6 p^irallelogrammi om. m. 7 ut in
infra scripta forma videre potes m. 14 habitus] constitutas
m. II crescente m.

De exagono,

Exagonus autem ordine in subsequenti dicendus inse- ratur. Describatur etenim exagonus octonario lateraliter

5jnsignitus. Quem, yidelicet octonarium, per se multipli-
cans LXIIII efficiam. Haec summa, scilicet LXIIII, qua-
ter ducta in CCLVI redundat. His, videlicet CCLVI, si
lateris unius quantitas id est VIII bis ducta adiciatur,
CCLXXII apparent. Quorum medium si sumpseris, aream

10 liuius exagoni explicabis.

De eptagono.

^P^Post haec ut expediamus de eptagoni subsequentis ratione oportet. Qui, videlicet eptagonus^ tertio hic in- 15 seritur loco, septenarius quemadmodum in imparium nu- merorum tertius naturaliter ordine apparet. Coliocetur etenim eptagonus senaria quanlitate circumscriptus. Cuius si iateris unius summam per se multiplicaveris , XXXVI pernotabis. Quae scilicet quantitas , hoc est XXXVI, quin-

3 antem om, m. [j in om. m. {| dicendas om. m, 5 vi-
delicet om. m. 16 in om. m. 17 enim m. 19 Quae . . .
XXXVI om. m.

ARS GEOMETB.,

quies ducta CLXXX adesse conducit. Quibus si senariae
quantitatis summam ter ductam subduxeris, CLXII relin-
qauntur. Horum medietas sumta LXXXI pedes emba-
dum huius eptagoni babere conducit.

De octogono,

Octogonus vero in naturali parium numerorum ordine
quartus constitutus in hoc dlsserendus loco naturaliter
quartus assumatur. Esto age octogonus VIII per sin-
gula latera pedibus mensuratus. Ilanc nimirum latera- lo
lem quantitatem , id est VIII, in se si duxeris, LXIIII effi-
cies. Quos per VI multiplicans CCCLXXXIIII explicabis.
Ex his si quater lateris unius summam deduxeris, non
ampiius quam CCCLII residui sunt. Quorum medietas si
excipitur, area huius octogoni pernotatur. i^

Be ennagono,

Ennagonus autem singula per latera VI ckcumscriba- tur. Quem, videlicet senarium si secundum*superius di-

13 dempseris m. 18 enneagonus m.

ctain nostrae institutionis regulam per se muUiplicayeris XXXVI ^fficies. Qui sepiies ducti CCLII summam pro dtieent. His si lateris unius quantitatem qiiinqtries sub traxeris, CCXXII reddes. Horum medietas excepta si &fuerit, huius ennagoni embadum CXI pedibus contineri manifestat.

De decagono.

Restat, ut de decagoni embadaii dicamus podismo.

10 Descrfbatur itaque decagonus denario numero lateraliter limitatus. Cuius si lateris unius quantitas secundum iam sdepe dtctam nosfrae praeceptionis institutionem per se «lultiplicando excreverit, C eflficiel. Hi vero octies ducli DCCC adducunt. Quibus si lateralis una tantum summa,

15 id est X, sexies subducatur, DCCXL reiinquuntur. Horum
vero medium si sumpseris, aream huius decagoni CCCLXX
pedibus contineri sine dubio pernotabis.

2 XXXIII m. II CVIIII e; CVIII m, quem gramsimum cutoris ertorem cave scribae inepto impuies. 4 LXXVIII e; LXXXVIIII m. 5 XXXVIII e, m. 7 CXI] XXXVIIIS e y m. 12 institutionis praeceptionem m. 15 sexies om, m.

Ar» Geometr. 423

Idem vero de endecagono ceterisque plurllateris figu- rarum descriptionibus si feceris, nullius erroris obstaculo lababis hoc pacto, ut naturali ordine in multiplicanda unius iateris summa et in hac quantitate, quae ex hac late- rali muHiplicatione nascitur, naturaliter augmentanda ea- 5 demque laterali naturaliter subducenda procedas, emba< dumque taH ratione, ex roedietatibus scilicet, adinvenias.

Sed quia de angularibus figuris studioso lectori suffi- cienter disputavimus, restat, ut breviter de circumductione spherae vel circuli explicemus. Ponatur itaque circulus lo XLIIII pedibus in circumductione designatus. Diametrus autem Xilll pedum protensionibus describatur. Cuius summa si per se excreverit, CXCVI nascentur. Hos per

XI multiplicans IICLVI efficies. Quorum XIIIl. pars, id
est CLIIII, aream huius cycli pandit, ut infra potest 15
cerni.

Xuiii

Est et alia huius cycli inveniendi embadalis spatii ra- tio. Sumatur etenim circumductivae qiiantitatis medie- tas , id est XXil , quae XLIIII est mecUetas, et per medie- 20 talem diametri, id est per VII» muitiplicetur. Et quod ex hac muUiplicalione provenerit, embadum pandit.

De sphera. His vero brevibus datis initiamentis de circularibus

3 nataralem ordinem m. 10 sperae e, m. || vel cir- culi om, m. 11 XLVIII m. 12 Cuius summa ...'nascen-

tur om. m. 14 11 CLXVI e, m. 16 infra] in descriptione m. 19 enim m. 21 mnltiplicentur m.

424 ABS GEOMETR.

iheorematibus, dicendum esse censuimus de einieyclo
protinus dicluri. Gonscribitur age emicycius XXVIfl in
basi et in semidiametro Xllll pedes babens. Cuius si
areae podismus ignoretur, tali ratione adinvestigetur.
5 Multiplicetur ergo summa basis per semidiametri sum-
mam et in CCCXCII pervenitur. Haec summa undecies

aucta Ilil CCC XII producit. Quorum sumta Xlllf. parte,
id est CCCVIII arealis compietur superficies, ut propter
apparet.

Haec de epipedarum podismationibus iigurarum ad
praesens dicta sufficiant. Reslat, ut de montuosa suc-
cinctius aliquid ratione iractemus. Inscribatur etiam
mons in verlicis circuitu CCC pedibus protensus. Pes
i5vero montis eiusdcm in circuitu pedibus millenis con-
signetur. Proponatur modo inquisitum, quot iugera in hoc
monte habeantur. Quod tali est ratione ordiendum. lun-
gantur etenim pedis et cacuminis duo illi circuitus, id est