Boethius — De institutione musica (Friedlein ed., Teubner 1867, Latin)

om. m. 7 autem om, m. || pedes <m. m. 9 1 pedes e.

15 que om. n. 19 etiam om. m. 20 diiudicatur om, m;
dividicatur n ; dividitur e. 21 considerantur m. 25 Ex-
plicit prologus. Incipit liber III. m. 26 etiam om, m. 28
speculator e.

Ars Geometr. 403

Frontinum geometricae artis inspectorem providissimum, quod sit mensura , definire.

Mensura quippe est complurium et inler se aequaiium intervailorum longitudo finita. Geometricae autem artis mensuralis specuiatio trinae dimensionis id est iongitudi- ^ nis, latitudinis, crassiludinis consideratione coiiigitur, et ut enucleatius resolvatur, recto plano solidoque dino- scitur.

Rectum est> quod iongitudine soium mensurando cen-
setur, ut iineae, porticus, stadia, miiiaria, fluminum lati- ^o
tudines et alia quam plura ionga protensione directa, ut
iineae infra depictae descriptio notat.

Pianum est, quod a Graecis dicitur epipedon, a nobis autem constrati pedes, quod per longitudinem, latitudi- 15 nem consideratur , ut agrorum planities et aedificiorum areae absque tectoriis operibus, et laquearibus ac tabuia- tis et his similibus, iit subiecta formula docet.

Soiidum etiam est, quod Graeci stereon vocant, nos 20
autem quadratos pedes, quod iongitudinem et latitudinem
crassitudinemque habere comprobatur, ut aedificiorum,
pilarum pyramidumque nec non etiam maceriae lapidum
aliaque muita, ut subiectae notant formulae.

5 mensnralis om. m. 6 vel crassitudinis altitudinis m. 18 subiecta om. m. || formula] descriptio m. 20 etiam om. m. 21 et 0771. m. 22 que om, m. |] probatur m. 24 ut propria notat descriptio m.

Sed iam tempus est podismalium noticiam quaestio- num, ut promisimus, narrando attingere et de investi- ganda pedaturae speculatione protinus dicere. Et de tri- 5 gonis vero , qui , sicut ternarius naturaliter procedit qua- ternarium , ita sunt praeponendi tetragonis et pentagonis caeterisque, inprimis dicendum esse censeo.

De trigonis.

Sunt autem trigonorum genera principalia VI, iso-
10 pleurus, isosceies. scalenon, orthogonium, ambiygonium,
oxygonium, quorum omnium in sequentibus formas et
pedaturas explanabimus.

De isopleuro,

Trigonus igitur isopleurus, qui in praecedentis libri
15 paene principio aequiiaterus trianguius dictus est, paria
latera habere comprobatur. Ponatur ergo isopleurus in
singulis habens lateribus pedes XXX. Huius embadum,
id est area, tali modo est investiganda. Summa etenim
unius lateris per se tnultiplicata DCCCC numerum com-

/- — \ 1 e addii figuras l ^

Sed aUera quoque fi- V ■'

gurarum supra descripiarum videiur omiiienda,

5 vero] quidem m. || qui] quia m. 7 esse

om, m. 9 hysopleurum m. 10 hisoceles e,

m. II scalemon e, m. 11 ozig^onium e. || for-
mam m. 13 hisopleuro e. 14 hisopleurus e,
m. 18 modo] ratione m. [| est om. m. || etenim om, m.

plet. Ciii si quingenta et X subtrahantur, relinquuntur CCC XC. Tot pedes huius trigoni isopleuri embadum col- ligit. Nam cathetum pedibus XXVI constat protendi. Qui si per unius lateris medium id est per XV multiplicati ex- creverint, embadum complent. Aut si unius iateris pars 5 tertia per ternarium et denarium augebitur, CCC nascen- tur. Si vero summa lateris unius per eundem ternarium multiplicabitur, nonaginta reddet, qui superioribus CCC^^^ iuncti CCO^^ XC facient. Sit autem praedictorum infra facta depictio. lo

Ne autem lector in huiusmodi investigationibus aliquo erroris et inscitiae nubilo praepediatur, eiusdem iterum trigoni isopieuri id est paribus iateribus soiidi manifestis- simae demonstrationis exemplar subiiciemus. Esto age is isopleurus, cuiusIaterasinguIaXXVIIl pedes colligant, quo- rum si unum per se augmentatum excreverit, DCC.**^'^""^ LXXXIIII* summa consurget, cui si unius lateris nume- rum aggregaveris DCCC^ XII nascentur. Horum sumpta medielate aream supradicti isopleuri pernotabis, ut sub- ^ iectae descriptionis formula docet.

xxviu

9 — 10 Sit .... depictio] id est aream supradicti tri-

goni m. 18 unius de lateribus m. 20 ut est cta descri* ptio m.

406 ARS GEOMETR.

Huius autem saepe iam dicti trigoni ut iateris unius-
cuiusque mensuram inquisitus quis investigare valeat et
dicere, apertissimum dabimus rationis experimentum.

Proponatur itaque, si aream CCCC'^*' VI pedibus pro-

5 tendi constiterit, quot pedum planitudines iatus unum-

quodque coUigere pernoscatur. Ducatur ergo suprascripta

area octies et in III.™"™ CCXLVIII numerum consurgit.

Huic si unum addatur, fiunt Ili • CCXLVIIII. Huius sum-
mae latus si sumpsero, erit LVII, cui si unitas subducta
10 fuerit, LVI relinquuntur, quorum si medium adinvesti-
gavero, XXVllI fiunt. Tot namque latus quodque huius
isopleuri pedibus protenditur.

De isosceli.

Isosceles autem, qui ab Euclide geometricae peritis-

15 sitno duo tantum latera habens aequalia est determinatus, secunOus in ordine trigonorum constituitur. Cuius si la- tera bina inparibus numeris, id est XXV, protendantur pedibus, XIIII pedalia spacia basis habere pernotatur. Restat igitur, ut, quot pedes area vel cathetus colligat,

20 requiramus. Si vero basis medietatem, hoc est VH, per
se multiplices, XLVIIII nascentur. Mensuram autem unius
lateris si per se , id est XXV, multiplicaveris, DCXXV red-
des, ex quibus si XLVIIII seposueris, DLXXVI reiinquun-
tur, quorum si latus acceperis, XXIIII erunt. Tot pedi-

25 bus cathetum huius trigoni constat protendi. Area autem, quot pedes habeat, ut inveniantur, sic est faciendum. Medietas rursum basis sumenda est, id est VII, quos si per cathetum, id est per XXIUI, multiplices, CLXVHI effi- cies. Tot pedum est supradicti trigoni embadum, ut

30 supter in pictura notatur.

2 quis] qui e. 6 ergo suprascripta] itaque supradicta
m. 7 consurget m. 11 quotque m. 13 hisoceli e. 14
Hisoceles e, m. [| geometricae] huius artis m. 26 inve-
nianturj iuvestigare queas m. 27 rursum om. m. 28 mul-
tiplicaveris m. || CLXVIIU e.

Xuii

Scalenon igitur ab Euclide tria habens latera inaequa- lia determinatus est. Sed nos numero et figurae pictura aperta dabimus exemplaria. Proponatur itaque scalenon trigonus, qui a Latinis cuneus appellatur, cuius minoris 5 lateris declive XV pedes obtineat, maioris protensio late- ris XX pedes colligat, basis autem XXV pedalia pernote- tur habere liniamenta. Quot vero pedibus huius trigoni cathetus et embadum protendatur, restat, ut quaeratur. Ducalur ergo minoris lateris summa multiplicando in se, lo fiunt CCXXV. Item basis, si per se multiplicetur, DCXXV excrescent, quibus in unum compactis DCCCL nascentur. Hac igitur semovendo seclusa maioris lateris snmmam in se multiplicari conducit, quae multiplicatio CCCC nume- rum adducit. Quem videlicet CCCC numerum si de prius i5 seposita summa, id est de DCCCL, abstuleris, CCCCL relinquuntur. Horum si medium sumpseris, CCXXV ex- plicabis, quibus si summa basis, id est vicesima quinta pars, auferatur, novenarius erit. Tot pedibus huius tri- goni continelur praecisura, vel eiectura minor. Restat, ut 20 cathetus quot habeat pedes requiratur. Multiplicetur ergo minus latus per se, sicut supra, et CCXXV prodeunt. Hursus augmentata minoris praecisurae per se summula LXXXl producit. Hos si auferes ex in se ducto latere, CXLIlfl supersunt, quorum duodenarius esse dinoscitur 25 latus. Tot pedes huius trigoni cathetus colligere perhibe-

2 Scalemon e. 3 determinatar m. || pictarae figara
m. 10 maltiplicando om, m. 15 addacit .... CCCC nu-
meram om, e. 16 posita m. 22 et om. e. 23 Rarsas
et e. 24 LXXI e. || aafers m.

tur. Areae vero podismus tali modo reperietur. Metiatur
ergo cathetusbasim, id est XII- XXV, et CCC consurgent,
quorum medietatem saepe dicti trigoni scalenos embadum
podismatur, ut in subiecta figura notatur.

VUll

De orihogonio.

Quarto nimirum ioco trigonus ortbogonius ,ab Euclide
inseritur et undique rectum babens angulum designatur,
inaequalia continens latera. Quem nos ipso aditu diffici-

10 liorem ceteris obscurioremque esse arbilramur et ideo
prolixiorem in eius explanatione moram faciemus. Esto
mudo trigonus orthogonius, cuius cathetus pari numero
insignitus, id est VIII pedibus mensuratus, protendatur.
Cuius si Jatera ignorantur , hoc modo adinvestigari ab Ar-

15 chita praecipiuntur. Sumatur ergo supradicli catbeti me- dietas, id est IIII, et per se multiplicetur, et XVI excre- scent. Quibus si unitas subtrahatur, XV apparent. Tot pedum buius trigoni basis esse cognoscitur. Praedictae per medietatem cathetos summae adauctae si unum ad-

20 datur , erunt pedes hypotenusae XVII. Per eandem item
summam, id est per XVI, embadum est inveniendum.
Ducatur ergo huius summae medium per catbetum et
LXIIII consurgent, qui areae complent supputationem,
quod patenter in subiecta formula declaratur.

3 scalenon m. 4 nt . . . notatnr om. m. 13 proten-
ditnr m. 14 investigari m. 15 ergo] itaque m, 18 no-
scetnr m. || Praedictae item m. 20 ypotenusae e, m. 24
quod patenter . . . declaratur om. m.

Ars Geometr. 409

De orihogonio»

Conemur itaque huius orthogonii apertam et ralam et per paris et per imparis numeri quantitatem inslituere de- scriptionem. Asscribatur ergo inprimis par numerus ca- theto, id est VI. Cuius medietate in se augmentata VIIII 5 proveniunt. Cui si secundum nostri praecepti normuiam superius designatam unum auferatur, octonarius erit ba- sis buius trigoni, cuius medietas, scilicet quaternarius, per c^thetum multipiicata secundum quod supra dictum est, aream complet. Ut autem per cathetum et basis et lo liypotenusae pedaturam sine ullius impedimenti reclama- tione inquisitus possit edicere, facillimum et apertissi- mum nostrae auctoritatis exemplum dabimus. Multiplice- tur etenim per suam quantitatem medietas huius trigoni catheti, et summae, quae ex hac multiplicatione pro- 15 venerit, unitas aggregetur, erit hypotenusae pedatura. Eidem autem si auferatur unum, erit basis. Sitque huius rei haec facta descriplio.

Instituamus ergo huius trigoni orthogonii per iniparem 20 numerum probabilem explanationem. Annotetur etiam cathetus impari numero, id est III. Quem si in se duxeris, VIIII explicabis, quibus unilate subducta VIII supersunt. Quorum medium si sumatur, basis orthogonii huius peda- tura fore comprobiTtur. Huic vero basi vel medietati, id 25 est IIII, si unum aggregaveris, hypotenusam huius trigoni comprobabis. Embadum autem, ut supra dictum est, reperiatur, id est cathetus per medietatem basis excrescat, ut infra cernitur in pictura.

8 cui e. TA dabimus nostrae auct. ex. m. 14 enim m. 17 Sit hnius liaec. ra. 29 infra cernitur] patet m.

Itt

Ne aulem huius disciplinae curiosum indagatorcm ali-
qua fallat obscuritas, de hoc eodem orthogonio iterato
disputare non piget. Est enim aha inveniendi cathetuni

5 el basim et hypotenusam ratio. Ponatur ergo cathelus
V pedibus protensus. Quem si multiplices per sui quanti-
tatem, XXV notabis. Basis autem XII habens pedes in-
scribatur, quae si sicut cathetus in se concre\ erit, CXLIIII
nascentur. Hae summae, id est XXV et CXLIIII copula-

10 tae CLXVIIII restituunt. Horum latus XIII esse mani-
festum est, id est hypotenusam supradicti trigoni. Deni-
que si hypotenusam per se augendo duxeris, par supra
copulatae quantitati, id est CLXVIIII, reddes. De quibus
si cathetum in se ductum subduxeris, CXLIIII residui

15 sunt, quorum iatus, id est XII, basim resti^uil. Ex hypo- tenusa vero per se multiplicata , si quis basim in se du- ctam, hoc est ex CLXVIIIl CXLIIII, subtraxerit, non plus quam XXV remanent. Horum latus, id estV, cathetum constituit. Aream autem basis medietas' et cathetus com-

20 multiplicati metiuntur. Item per cathetum basis edicere
pedaturam in hoc trigono couducit. Sit modo supradictus
cathetus V. Hic vero in se ductus XXV constituit. Hinc
si assem abslulero, XXIIII progrediuntur , quorum me-
dium basim efHcit. Rursus autem si basis quantitati ean-

25 dem adiecero unitatem, hypotenusam explicabo. Si au-
tem per cathetum basis multiplicetur, LX progreditur
summa. Horum medietas embadum complet.

7 inscribitur m. 10 latus om. m. [| XVIII. e,m. 17 subdu- xerit m. 19 commultiplicari e ; multiplieandi m. 22 restituit m.

Ars Geometr. 411 '

Itetn de eodem,

Aliam insuper haec vestigia gradienti normam huius trigoDi obiciendo proponere curamus, quatenus haec caute indagantes cautissima ad id, quod desiderant accedere, veritatis iinea absque devio perducat. Ponatur item eius- 5 dera orthogonii descriptio isdem quantitatibus, quibus su- pra , circumsignata , id est cathetus VIII, hypotenusa XVII, basis autem XV pedibus designetur. Nunc vero qua ra- tione per hypotenusae podismum cathetos et basis summa pedalis reperiri valeat, demonstrare studeamus. Muitipli- lo cemus ergo summam hypotenusae per se et CCLXXXVIIII numerus redundat. Cui si quater embadalis quantitas subtrahatur, XLVIIII relinquuotur. Horum tetragonicum latus si inquisieris, VII esse experieris. Quos scilicet VII si copulatis catheto et basi aggreges, XXX^fficies, quo- 15 rum dimidium basis constituit spacium. Quindecim autem si de aggregalis id est XXIII abstuleris, VIII superesse calhetum sine dubio comprobabis.

\Itt

Item de eodem, 20

Designemus iterum iam dicti orthogonii formam et
aliis numerorum quantitatibus, ut cum aiiquis vel per
maiorem vel per minorem numerum huius trigoni aper-
tam tradere disciplinam cogatur; nullo errore iabatur.
Esto age trigonus orthogonius , quem circumstant par 25
unus et duo impares numeri; par basi, id est XX, impar
unus catheto, hoc est XV, alter vero hypotenusae, id esl
XXV, asscribatur. EmbadaUs autem conclusio secundum^

14 inquisiveris m. 17 XXIIII e, m. 21 dicta ortho- gonii forma m. 23 vel minorem omisso per e.

supradicti nostri praecepti regulam inquirenda est, hoc
est per multipHcationem dimidiae basis et totius summae
catheti. Continet enim areae spatium CL constratos pe-
des. Cathetus autem et basis tali sunt indagandi ratione.

5 Ducatur ergo hypotenusalis summa in se et in DCXXV re-
dundat. Cui si illl adiciantur embada, MCCXXV nascen-
tur, quorum tetragonale latus, id est XXXV, si exceperis,
summas utrasque basis et catheti comprobabis. Scire au-
tem oportet et investigare, quo numero a se invicem

10 cathetus et basis distent. Hic vero qui sit, manifestemus. Si igitur bypotenusae in se muitiplicatae IIII, quae adieci superius, embada subtraham, in XXV summam regredi- tur. Horum quinta pars differentiam tenet, id est V. Quam si rursus duabus iunctis summis id est XX et XV

15 adiecero, XL pernotabo. Horum medium complet basim.
Si autem difftrentiam, hoc est V, basi auferam, cathetum
constituam, ut cerni potest in subiecta (igura.