rectum m.
Ars Geometr. 395
Bini rigores sunt, quando singuiis spatiis intervenien* tibus tendunt, ut itinera plerumque peragunt
Nosse autem huius artis dispicientem, quid sint digiti,
quid articuli, quid compositi, quid incompositi numeri,
quid multiplicatores quidve divtsores ad huius formae 5
speculationem, quam sumus tradituri, oportet. Digitos
vero, quoscunque infra primum limitem, id est omnes,
quos ab unitate usque ad denariara summam numeramus,
veteres appellare consueverunt.
Articuli autem omnes a deceno in ordine positi et in lo infinitum progressi nuncupantur.
Compositi quippe numeri sunt omnes a primo limite
id est a decem usque ad secundum limitem id est viginti
ceterique sese in ordine sequentes exceptis Hmitibus.
Incompositi autem sunt digiti omnes annumeratis etiam i5 omnibus limitibus.
Multiplicatores igitur numeri mutua in semet replica-
tione volvuntur, id est interdum maior minoris inter-
dum autem minor maioris multiplicator existit, interdum
vero numerus in se excrescens multiplicationis augmenta 20
suscipit. ,
Divisores autem maiorum semper minores constituun- tur nufneri.
De raiione ahaci.
Priscae igitur prudentiae viri Pytbagoreum dogma 25
secuti, Platonicaeque auctoritatis invesiigatores specula-
toresque curiosi totum philosophiae culmen in numero-
rum vi constituerunt. Quis enim musicarum modulamina
symphoniarum numerorum expers censendo pernoscat?
2 in itinera m. 3 Scisse m. || despicientem p^. || Post dispicientem in m dlia manus addidit oportet. 6 Digiti appel- lantur qaincunqne n. 9 veteres appellare om, n. || consae- ▼erunt , et supra verunt runt e. 18 volventur m. |1 id est owi. m.
24 Jnscript, om. m, Dj, p^. || abici e. 26 Pythagoricum ^3) Pi) Pt. 26 que om, %. 28 musicomm volumina prima fianu n. 29 expertia e; ex periciam; expercia n^, n^; ex- peritia n,; sine experientia p^. || censendo om. m. || Ante pernoscat addii p^ scientiae.
Ars Geometr
Quis ipsius firmameDti siderea corpora stellis compacta
naturae riumerorum ignarusdeprehendat, ortusque signo-
rum et occasus colligat. De arithmetica vero et geome-
triea quid attinet dicere, cum si vis numerorum pereat,
5 nec in nominando appareant? De quibus quia in arithme-
ticis et in musicis sat dictum est, ad dicenda revertamur.
Pythagorici vero, ne in multiplicationibus et partici-
pationibus et in podismis aliquando fallerentur, ut in
omnibus erant ingeniosissimi et sublilissimi, descripserunt
10 sibi quandam formulam, quam ob bonorem sui praece-
ptoris mensam Pythagoream nominabant, quia hoc, quod
depinxerant» magistro praemonstrante cognoverant; a
posterioribus appellabatur abacus, ut quod alta mente
conceperant, melius si quasi videndo ostenderent, in no-
15 titiam omnium transfundere possent, eamque subterius habita sat mira descriptione formabant.
Xmm Mm
Xm 1
1 Sydera m, n, p^; siderea om. p,. 2 naturae om. n. 3 et de geometrica nj. 4 pareat m. 6 est om, n^. 7 et in n^. 11 particionibus n^, n^, p|, p^. 10 praeceptoris sai nj. 11 quod om, m. 13 ut quod . . . conceperant om. m^ , n^. 14 sic n. II quod in n. 15 subterius] ut subtus patet n^. 16 sat mira habita n^, n^. 17 Descriptionem ahaci om. pi, P2* Huiits abaci svnplicissimajn tantum formam in contextum re- cepi; quas codices praebeant formas cum cognovisse ad mathe- seos historiam aliquantum intersit, in tabula eas ex codicum fide addidi.
**' **3» Pi, Pz* u consueveruui m, ii|. dine p,. || karacteris n.i.
±o IthUl <
iriam aUquantum intersit, in tahula eas ex codieum fiie
Ars Geometr. 397
Superius vero digestae descriptionis formula hoc modo
utebantur. Habebanl enim diverse formatos apices vel
caracleres. Quidam enim huiuscemodi apicum notas sibi
conscripserant, ut haec notula responderet unitati 1, ista
aulem binario ' A , tertia vero tribus ^S , quarta vero 5
quaternario r\ t^ , haec autem quinque asscriberetur ista autem senario \[^ , septima autem septenario
conveniret ^\ , haec vero octo W , isla autem nove-
scriptione literas alfabeti sibi assumebant hoc pacto, ^o ut littera quae esset prima unilati, secunda binario, tertia ternario, ceteraeque in ordine naturali nu- inero responderent naturali. Alii autem in huiusmodi opus apices naturali numero insignitos et inscriptos tantummodo sortiti sunt. Hos enim apices ita varie ceu 15 pulverem dispergere in multiplicando et in dividendo consuerunt, ut si sub unitate naturalis numeri ordi- nem, iam dictos caracteres adiungendo, locarent, non alii quam digiti nascerentur. Primum autem numerura id est binarium , unitas enim , ut in arithmeticis est dictum, 20
1 Supra hunc versum addit n^ inscriptionem: De caracte- ribns numeros in abico significantibus. [] vero om. n^. 3
karacteres nj. ^ ^l "^5 °i> -^ ^^2» ^3 vPl Pii II ^l^fl-^^t* autera m, , nj, n^, n^, pi, pg. 6 a-/? ] ^ i^i Q-£ ^2 ^^ »3 <\p pi II ascriberetur n^, ng, p,, p^. ^ W H °i ^ Pi I! la ] la »1 P »2» »3- II septima vero n,. ^ A] 21. »1 A^ »2 r^ ns 1» pi. II s ] 3" "1 ^ °3. 9 0] (^ n, II depictione mj, n^, p,, Pg» depinctione n„ Ug.
12 Y ordini n^, || naturali responderent n,. 14 naturali
numero] supra versum I. II. III. et cet. n,, 15 etenim n„ ^^2» ^3> Pi> P2* 1*^ consueverunt m, n,. 18 iam dictos or- dine p,. || karacteris q,.
398 ARS OEOMETR.
numerus non est, sed fonsetorigo numerorum, sub linea
X inscripta ponentes XX et ternarium XXX et quaterna-
rium XL ceterosque in ordine sese sequentes proprias
secundura denominationes assignare constituerunt.
5 Sub linea vero centeno insignita numero eosdem api-
ces ponentes binarium CC, ternarium CCC, quaternarium
CCCC ceterosque certis denominationibus respondere de-
creverunt. In sequentibus vero paginularum lineis idem
facientes nullo erroris nubiio obtenebrabantur.
10 Scire autem oportet et diligenti examinatione discu- tere in multiplicando et partiendo, cui paginulae digiti et cui articuli sint adiungendi. Nam singularis multiplicator deceni digitos in decenis, articulos in centenis, idem vero singularis muitiplicator centeni digitos in centenis, arti-
15 culos in milleuis et multiplicator milleni digitos in mil- lenis et articulos in decenis millenis et multiplicator cen- teni railleni digitos in centenis millenis, articulos autem in millenis milibus habebit.
Decenus autem suimet ipsius multiplicator digitos in 20 pagina C inscripta, articulos in miilenis, et multiplicator
centeni digitos in millenis et articulos in X, et muitipli-
cator milleni digitos in X, et articulos in CM. et multipli- cator centeni milleni digitos in iniilenis milibus et articu-
los in XMI habebit.
25 Centenus vero aeque suimet ipsius multiplicator digi-
tos in X et articulos in C et millenum multiplicans digitos
1 sub linearum X inscriptione m. 3 in ordinem -^3. sesej se m. 6 CC, ternarium om. Uj. IJ CC tis 0,^3. 8 insequentibus p^; insequentes p^. || veroj it' m. 9 errore e. I) obtenebrantur e; obtenebantur pj. 11 partiendoj di- videndo nj. 13 deceni] decem n. 15 et om, m, rii. |1 multipli- cator deceni milleni digitos in decenis millenis articulos iu centenis millenis et multiplicator centeni n^. 17 autem
om, n|. 21 priiis et om, m. || X] decenis millenis m. 22 mil-
leni] centeni m. [] X] -C-M Ug. [] et om. n^, |1 centum -M- e ;
centenis I m. et om. D|. 24 decies mille milibus m; decies millenis milibus pj. 25 suimet] sui Uj.
Ars Geometr. 399
in C et articulos in XC, el centenum miilenum multipli-
cans digitos in Xes MI et articulos in CMI, et decenum
miilenum multipiicans digitos in MI et articulos in Xes MI
subtendet.
Millenus itidem se ipsum multipiicans digitos in Xes C 5
et articulos in Ces C, et centeni milieni multipiicator di-
gitos in CMI et articuios in MMI, et decenum miiienum
excrescere faciens digitos in Xes MI et articulos in Ces
Mf habere dinoscetur.
Decenus auteni miilenus multiplicator centeni milleni lo
digitos in MMI et articulos in Xes MM I seque ipsum ad-
augens digitos in CMI et articulos in MMlliabere depre- henditur.
Centenus autem miiienus se ipsummultiplicatis digitos X M r et ar ticulos C M F subponet. is
De divisionibus.
Divisiones igitur quantalibet iam ex parte lectoris ani-
nius introductus facile valet dinoscere. Breviter etenim
de his et summotenus dicturi, si qua obscura interve-
1 C] CM pi II et om. n,. XCJ decies C milibas m; M-I- p|. || et
ceutenum . . . C M I ante subtendet ponit p^. 2 decies mille mili-
bus m; MI n. II et om. n,. || centies I millibus m; X^MI n. || et
decenum . . . . X" 'M-I om, m, n, 2 — 3 mille millenum u^.
3 m"I] CMM- n,J X«» MI] M^MM n^, 5 se] semet nj. ||
X«s centum e; MM n^. 6^ et om, n.. || X"MM ni. 7_C
mille milibus m. || milies MI n, p^. || et decenum . . . C**MI
om, p^. II millenum his e. 8 AUerum in om, n. 9 milies
centies •M«I- n. |{ dinoscitnr n. 10 milleni om. nj. 11 mi-
lies milia M n; millies MI p^. j| X*^ MI e; XM I Ug. p^.
j seque_. . . MMI om. Uj. 15 in XMM articulosin CMM n^.
j_X" MI e; X«« M nj; decies MI pi. || C" MI Ug centies
MI Pj. 16 Inscript, om, m, p,, p^. 18 facile . . . dino-
scere om. n^. || enim m , pi , p^.
400 ARS GEOMETR.
nerint, diligenti lectorum exercitio adinvestlganda com- mittimus.
Si decenus per se vel centenus per se vel ulteriores
per semet ipsos dividendi proponantur . minores a malo-
5 ribus quoadusque dividantur, sunt subtrahendi.
Singularem autem divisorem deceni aut centeni aut
milleni aut uUeriorum vel decenum divisorem sequentium
sumpta differentia eos dividere oportet.
Compositus autem decenus cum singulari per secun-
10 das vel tertias et deinceps secundum denominationem par-
tium decenum vel simplicem vel composilum divisurus est.
Centenum vero vel millenum vel uUeriores per dece- num compositum, si diligens investigator accesserit, difTe- rentia et primis articulis dividendo vel secundatis apposi-
i5tis, auctis autem dividendo subpositis dividi posse per- noscet.
Centenus autem cum singulari compositus centenum
vel millenum hoc pacto dividere cognoscitur. Sumpto igi-
tur uno dividendorum , quod residuum fuerit, divisori esl
20 coaequandum et quod superabundaverU sepositis reser- vandum.
Singularis aulem vel, ut alU volunt, minutum per ae- quationem maiorum est multiplicandum et digitis quideni perfecta differentia subponenda, articuUs autem inper- 25 fecla est praeponenda. Et hae differentiae et si forle aii- quis seclusus sit, signiGcant, quod residuum sit ex divi- dendis.
Haec vero brevi introductione praeUbantes, si qua
obscure sunt dicta vel, ne taedio forent, praetermissa,
80 dUigentis exercitio lectoris committimus, terminum huius
1 commlttemud^ 1X3. 3 se om, n. 4 diveudi n.^. 5 quo- usque m. 14 vel] vel si n. Aut omittendum videtur vel aut scri- bendum appositis vel secundatis. |j oppositis p^. 15 acutis e, n. 17 positus m, n^. 19 divisiori n^; divisorem n. est om. n. 20 superhabundaverit ^3. 22 velut Uj, n^. aequatione e; coequationem ng, pj, p^. 25 Et hae differen- tiae om. m. 28 His vero . . . praelibatis m. 30 diligenti p^.
libri facieiUes et quasi ad uliliora sequeatium nos conver- tenles.
Inctpit liber 11 geometriae.
Superiore vero tractalu voluininis oninia geonietricae artis theoremata quamvis succincte tamen sunt dicta , sed 5 podismorum notitiam hic iiber quasi quaestionarius et omnium podismalium quaestionum scrupulositates incun* ctanter absolvet enodando. Veteres etenim agrimensores omnem meusurae quadraturam dimidio longiorem iatio- remve facere consueruntT et quod in longitudine lon- lo gius fuerit, striga appeilare voluerunt, ut subiecta docet formula.
scanmum
co
De me
nsuris.
Prisci igitur sophismatis cautissimi dispectores duo- i5
decim mensurarum genera constituerunt, quibus cum
vellent formarum agrorumque emetirentur areas, quorum
haec sunt nomina: miliarium, stadium, aclus, decem-
peda, quae eadem et pertica, passus, gradus, cubitus,
pes, semipes, paJmus, uncia, digitus. 20
1 ulteriora p^. \\ convertens n^. 3 Incipit prologus III. libri m. 4 Superioris m. [[ vero om. m. 7 scrupulosi-
tatesj noticiam m. 8 enim m. 13 Focabula scamnum,
striga om, m. 14 Inscript, kanc et seqq. om. m. 15 di- spectiores -XII- n. 17 metirentur n. 20 digitus om. e.
Boetius. 26
402 ARS GEOMETR.
Miliarium vero quinque milia pedum protensiones ha-
' bere sanccilum est; sladium autem DCXXV pedes habere
constat. Actus trifariam dividitur, in minutum, in qua-
dratum, in duplicatum. Actus minimus llll tantum pedi-
5 bus in latitudine et GXX pedibus in iongitudine proten-
ditur. Actus vero quadratus ex omni latere CXX pedibus
concluditur. Actus autem duplicalus CCXL pedes explicat.
Decempeda pedes X colligit, passus V, gradus II, cu- bitus I pedem habere dinoscitur.
10 Pes autem palmos habebil Illl, semipes 11; palmus vero IIII digitorum protensione completur.
De unciali vero et digitali mensura melius, cum de
uncialibus et notis et nominibus in sequentibus disputa-
verimus, dicemus, enodatiusque , cum ,de punctorum
15 minutorumque sublilitatibus praemiserimus, eloquemur;
nunc ad sequentis tractatus enarrationem redire nos con-
venit, si prius quid pes porrectus, quid constratus quid-
que sit quadratus demonstraverimus.
Pes etiam porrectus dicitur, ubi tantum pedalis men-
20 sura in longo pernoscitur. Constratus autem pes ille diiu-
dicatur, in quo longitudo lalitudoque consideratur. Qua-
dratus vero pes habetur , ubi trinae dimensionis conside-
ratio in aequalitate censetur.
Sed iam tempus est ad id, quod instituimus, accedere.
25 De mensura et tribus dimensionibus.
Quamvis etiam in superioris iibri principio, quid sit
mensura, generaliter designaremus, iibet tamen specia-
liter huius artis speculatori satis faciendo secundum lulium
1 vero om. m. 2 pedibus constat m. 6 pedibns