figura om, q. Figuram ipsam om. m. || qui q. 19 amplius 0771. q. II obtunsos q. 20 amplius potest q. || Ante quae addunt e, m: quam ea. || qui obtunsum q. || continet e, m. 21 continetar m. [| bis om» e, m. || et ea om. e, m, q. || ob- tunsum q. 22 anguli e. [] a perpendiculari extra depre- henditur om. e, m. 23 necesse est om. q.
Ars Qeometb. 387
Si in circulo per centrum linea quaedam recta dirigatur
ad aequandam lineam rectam in centro posilam , in duas
aequas partes rectus eam anguius secat, el si rectus eam
angulus secet, in duas eum agrum dividet partes, quem
comportionales sibi defendunt. 5
Si intra circuium punctum sumatur interius, quod est centrum, et ab eo puncto ad circuium duae iineae vel plu- res dirigantur, per eas lineas dantur circuli portiones, sed ab una parte una portio, quae est circuli conclusa figura, sub recta linea et circuli circumferentia concluditur et 10 cuius oportet consignari describatur in portione. Nam- que est figura, quae hic angulos facit et sub duabus con« iunclis lineis continetur. Quando autem adiunguntur lineae, aliquas circumferentiae comprehendunt particulas, ut in eis angulis consistere perhibeatur. 15
Similes circulorum portiones dicuntur, quae sibi in- vicem sunt aequales, sive quadratae sive trigonae sint.
Si circulum iinea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circulum secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt a 20 lateribus perpendiculi ab alterna divisione circuli, pares sunt; quas unumquemque suas intus in forma oportet accipere porliones. Nam est eminens forma recta locorum
1 Hunc versum praecedunt in q inscriptiones : Explicit liber geometrice artis secundus. Incipit liber •III- Anicii Manilii Severini Boetii geometricorum ab Euclide translatorum. pro centro e. 2 ad om. q. || centrum q. 3 aequales q.
partes rectns] dividet prorectus q. || rectus eam angulus] proporrectos angulos q. 4 secat m. || agrum om, m. || di- vidit m. II quae comportiones m. 6 summittatur q. 8
portionem q. 9 qui q. 11 describitur. In portione nam- que m. || Nam qui q. 12 quae hic] qui hos q. || fecit m. || duobus q. 14 lineas q. || aliquae m. 15 in eas angu- los q. II perhibeantur q. 17 seu q. || quadrati m. || tri-
goni e» m. || Post sint addit q : sicnt infra monstravi et datos possessores infra unum agrum quos conportionales fieri opor- tet, sic et ceteri. 18 Si intra circulum linea recta duca- tur q. 18-- 20 a contactu . . . ducatur om. q. 20 duo
angula q. 21 perpendiculum q. |1 pares sunt] partes facit q. 22 unusquisque intus forma q.
388 ARS GEOMETR.
divisio spectationum terrae mensura et ideo non ab homi- nibus sed ab aeterno creatore formata.
£x adverso sibiniet anguli constituti duobus rectis
angulis sunt aequales.
6 In aequis circulis, qui in circumferentiis aequalibus
anguli consistunt, sibimet invicem sunt aequaies seu a
centro seu a circumferentia progrediantur.
Datam circumferentiam semicirculi in duo aequa divi- dere potis est. 10 In circulo idem angulus, qui in semicirculo est, rectus existit. Qui vero in maiore portione est, angnlus niaior est recto. Qui autem in minore portione est angulus, mi- nor est recto. Et maioris quidem portionis angulus recto maior existit, minoris vero portionis angulus recto minor 15 existit.
Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circuium secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt in alternis circuli portionibus, sunt aequales. Ex lioc igitur 20 manifestum est, quoniam, si a puncto circuli duae iineae rectae sese contingant et sibi invicem sint aequales, super datas rectas lineas circuli describere partes convenit.
Intra datum circulum datae rectae lineae, quae dia-
melro minime maior existat, aequam rectam lineam co-
25 aptare oportet.
Intra datum circulum dato triangulo aequorum angu- iorum triangulum collocare convenit.
Circa datum circulum dato triangulo aequalium angu- lorum triangulum designandum est.
1 mensurata q. 4 anguli q. 7 seu] sibi q. 9
potis es m; possit q. 10 isdem q; id est e, 11 maior] minor q. 12 minorj maior q. 15 existat q. 16 in
circum omisso ferentia q. 18 in alterna ante circuli q.
21 inyicem om. m. |{ sunt q. 22 datas] dectas q. || con- venit om, q, in quo addita sunt haec: quae dato rectilineo angulo unus quis suas intus circulo oportet accipere portio- nes q. 25 oportet om. q. 27 convenit om, q. 28 da- tae triangulo q. 29 designandum est] designare q.
ARS GEOMEm 389
Intra datum circulum triaogulum interdum designare necesse est.
Intra datum circulum quadratum aliquando describere utile est.
Intra propositum quadratum circulum designare et s
intra circulum per rectas lineas triangulos fieri aliquando
praecipiendum est.
Girca datum circulum quinquangulum aequilaterum et aequiangulum designare geometres praecipiunt.
Intra datum circulum quinquangulum, quod est aequi- lo laterum atque aequiangulum designare non disconvenit. Nam omnia, quaecunque sunt, numerorum ratione sua constant et proportionabiliter alii ex aliis constituuntur circumferentiae aequalitate multiplicationibus suis quidem excedentes atque alternatim porlionibus suis terminum i5 facientes.
De figuris geometricis,
Supra positarum igitur speculationibus figurarum ab Euclide succincte obscureque prolatis et a nobis verbum videlicet de verbo exprimentibus strictim translatis, quae- 20 dam iteranda repetendaque, ut animus lectoris non ob- scuritate deterreatur, sed a nobis potius alicuius exempli luce infusa delectetur, videntur.
1 interdum om, q. 2 necesse est om. q. 3 aliquando 0772. q; aliquid e. 4 utile est om, q. 5 infra e, m. 6 circulo prorectas q. [] aliquando praeciplendum est om, q. 9 aequiangulum] qui angulum q. || geometres praecipiunt om, q. 10 circulum post aequiangulum ponit, q. 11 non dis- convenit om. q. 12 quaecunque] quae m. 13 proportio- iialiter m. 14 quidam q. 15 propositionibus m. 17 De I th.* m ; Explicit liber III. Anicii Manilii Severini et Boetii Geometricorum ab Euclide translatorum , qui continet nume- o rum causas et divisiones circulorum et omnium figurarum rationes extremitatium et summitatium genera, angulorum et mensurarum expositiones. Incipit altercatio duorum geo- metricornm de figuris, lineis et mensuris. q. Longe igitur alia in q sequuntur, quam in e et m leguntur; neque tamen haec neque illa Boetio videntur tribuenda.
390 ABS QEOMETB.
Sunt enim a nobis quaedam buic operi inserenda,
huic arti valde necessaria et supradictis respondentia et
subsequentibus convenientia, ad quae inteliigenda quicun-
que in nostrorum arithmeticorum theorematibus instructus
5 accesserit , expeditiori intellegentia ducitur.
Supra dictum igitur est, super datam rectam iineam
terminatam triangulum aequilaterum constituere opor-
tere, sed nimis involute. Qua de re huius exempli notam
subiecimus.
Sit data recta Unea terminata AB. Oportet igitur super
eam , quae est AB , triangulum aequilaterum constituere
et centro quidem A spatio vero B circulus scribatur BGED
et rursus centro B spatio autem A circulus scribatur AFCD
15 et ab 60 puncto, quod est C, quo se circuli dividunt, ad ea puncta , quae sunt A, B, adiungantur rectae lineae CA, CB. Quoniam igitur A punctum centrum est BCED cir- cuh, aequa est AB ei, quae est AC. Bursus quoniam B punctum est centrum ACFD circuli, aequa est AB ei, quae
20 est BC. Sed et AB ei, quae est CA, aequa esse monstrata est. Et AC igitur ei, quae est BC, erit aequaUs. Tres igi- tur, quae sunt CA, AB, BC, aequae sibi invicem sunt. Aequilaterum igitur est CAB triangulum et constitutum est supra datam rectam lineam terminatam eam, quae est
25 AB ; quod oportebat facere.
3 sequentibus m. [| ad quae] atque m. 9 subiicimus
m. 10 Figura deesi in m. 11 rectilinea e. 25 Posi
hunc versum addit m inscriptionem: De secundo th.*
Ar8 Geometr. 391
In superioribus vero dictum est, ad datum punctuni datae rectae lineae aequalem reclam lineam collocare oportere, sed huius artis expertibus obscure difficulter- que. Sed nos animum lectoris quasiintroducendo obie- ctantes huius subsequentis figurae explanationem positis 5 literarum linearumque notulis patefacimus.
Sit quidera datum punctum A, data vero recta liuea BC. Oportet igitur ad punctum A rectae lineae BC ae- quam rectam lineam collocare. Adiungatur enim ab A lo puncto ad B punctum recta linea, quae est AB , et con- stituatur super AB rectam lineam triangulum aequilat^e- rum, quod est DAB et eiciantur in rectum DA, DB rectae Ilneae ad AG et BM et centro quidem B, spatio autem BC cir^ulus scribatur CFE. Et rursus centro D, spalio autem i5 FD circulus describatur FKL. Quoniam igitur B punctum centrum est CFE circuli, aequa est CB ei, quae est BF. Rursus quoniam D punctum centrum est FLK circuli, ae- qua est DL ei, quae est DF. Quarum quidem AD ei, quae est DB, aequa est. Aequilaterum enim triangulum est, id 20 quod est DAB. Reliqua igitur AL reliquae BF existit ae- qualis. Sed et BF ei, quae est BC, aequa esse monstrata
7 Figura deest in m. 14 ad] AD e , m. 21 reliquiia e; reliquis m.
estetBCei, quaeestAL, erit aequalis. Ad datum igi-
tur punctum, id quod esl A, datae rectae lineae ei, quae
est BC aequa locata est ea, quae est AL; quod oportebat
facere , ut subiecta descriptio monet.
5 Tertio igitur loco superius ab Euclide prolaium est, duabus rectis lineis inaequalibus propositis a maiore mi- norem aequam lineam abscidere convenire, sed nimis strictim et ob id confuse involuteque. Nos vero ut animus lectoris ad enodatioris intelligentiae accessum quasi qui-
10 busdam gradibus perducatur, buius descriplionem formu- lae subiecimus.
Sint datae duae rectae lineae inaequales AB, CD et sit maior AB. Oportet igitur a maiore AB CD minorem lineam
16 abscidere. Collocetur enim ad A punctum ei, quae est
CD, aequa ea, quae est AE, et cenlro A, spatio vero AE
circulus descriljatur EGF. Quoniam igitur A punctum cen-
trum est EGF circuli et AE ei, quae est CD, erat aequa-
lis, et CD ei , quae est AG , erit aequalis. Duabus igilur
20 datis rectis lineis inaequalibus eis, quae sunt AB, CD, a
maiore, quae est AB , minori, quae est CD, aequalis ab-
scisa est ea , quae est AG ; quod oporlebat facere.
4 subiecta] facta superius m. 6 Ante hunc versum ad-
dit m inscriptionem: De III- th.' 7 convenit m. 14 ma-
iori m. || AB minori CD minorem e. Videtur scribendum:
minori CD aequam. 15 abscindere m. || eij ea m. 16 ae-
qua] a <jua e, m. || et om. m. 21 minor m. || quae est CD,
AG e.
Ars Geometr. 393
His iam compendiosis et tamen huius artis rudibus pernecessariis introductionibus lector initiatus si in aliqui- bus superius propositis vacillandu abhorreat, per se simi- les figurarum descriptiones sine omnis impedimenti re- clamatione adinvenire potest et componere. 5
Sed iam tempus est ad geometricalis mensae traditio-
nem ab Archita, non sordido huius disciplinae auclore,
Latio accommodatam venire, si prius praemisero, quot
sint genera angulorum el linearum et pauca fuftro prae-
locutus de summitatibus et extremitatibus. 10
Le angulis.
Rationabilium igitur angulorum genera sunt tria, hoc
est rectum, hebes, acutum. Haec autem liabent species
VUH: tres rectarum linearum, tres autem rectarum et
circumferentium , tres hebetis et circumferentium. 15
Rectus angulus est ethigrammos, id est rectis iineis comprehensus, latine normaiis appellatus. Quotiens vero recta linea super rectam lineam stans circum se angulos pares fecerit, ut singuli anguli recti sint, extans perpen- dicularis eius lineae super quam insistit, vertex est, cuius 20 sedem si subtendens linea perpendiculari fuerit iuncta, efficiet triangulum rectiangulum.
Hebcs angulus est plus normalis hoc est anguli recti
positionem.excedens, qufa et si triangulus secundum hanc
positionem constitutus fuerit, perpendicularcm extra fini- 25
timas iineas habebit.
Acutus autem angulus est compressior recto. Qui si a
recta linea quae sedis loco fuerit, rectam lineam secun-
dum suam inclinationem emiserit, similique cohibitione
rectam lineam in occursum exceperit, efficiet triangulum, 3o
qui perpendicularem intra tres lineas habebit.
Rectus ergo angulus est normalis, hebes plus norma-
1 iam] etiam e. 5 Post huruc versum addit m: Explicit
liber I. Incipit prologus in secundum librum. 8 quod m.
11 Jncipit liber secundus m. 19 parens e.
394 ARS GEOMETR.
lis, acutus minus normalis. Linearum vero genera sunt tria, rectum, circumferens, flexuosum.
Recta linea itaque est, quae aequaliler in suis signis
posita est, quae aequaliter in planitie posita non con-
5 currit.
Gircumferens vero linea est, cuius signa ex utraque
parte curvata et a se invicem distantia non concurrunt.
Quae signa si convenerint, circulus non circumferens iinea
debet ap(fellari.
10 Flexuosa aulem linea est multiformis velut arborum
aut fluminum ceterorum signorum in quorum similitudi-
nem et arcifiniorum agrorum fmitur extremitas et niul-
torum quae similiter in aequali linea sunt formata natu-
raliter.
15 Summitatum igitur genera sunt duo. Summitas et
plana summitas. Summitas est secundum geometricam
appellationem, quae iongitudine latitudineque protendi-
tur. Summitatis autem fines lineae sunt. Plana vero
summilas, quae aequaliter rectis lineis undique versum
20 fioitur. Omnium summitatum in metiundo observationes sunt duae, enormis et liquis.
Enormis vero est, quae per omne lalus rectis iineis
continelur. Liquis autem est, quae minuendi laboris
causa et salva rectorum angulorum ratione secundum
25 ipsas extremitates subtenditur.
Extremitatum quippe genera sunt duo, unum, quod pro rigore, et alterum, quod observatur pro flexuoso.
Rigor est quidquid inter duo signa veluti in modum
lineae directum prospicitur. Flexuosum vero est, quid-
30 quid secundum naturam locorum curvatur. Nam quod in
agro a mensore operis causa ad finem directum fuerit,
rigor appellatur. Quicquid ad horum imitationem in forma
scribitur, linea appellatur.
1 vero] ergo m. 11 similitudine e. 18 autem om, m.
20 Omnium] autem m. || meciendo m. 21 liquis] reliqaa
m. 23 liquis] iqs m. 30 Nam] a m. 31 directum]