Si triangulus aequalia latera habeat, qui sub eius basi trianguli sunt, aequales alter alteri sunt, et aequalibus
15 lineis et basibus et angulis aequalibus utrique erunt. Si
trianguli duo anguli aequi sibimet invicem sint, et quae
sub aequalibus angulis subtenduntur latera sibi invicem
sunt aequalia.
Et super eandem aequalem rectam lineam duabus eis-
2odem rectis lineis aliae duae rectae lineae, altera alteri, nullo modo constituentur ad aliud atque aliud punctum ad easdem partes eosdem fines aequalis rectae lineae pos- sidentes.
Si duo trianguli duo latera duobus lateribus aequa
25 possideant, allerum alteri, et basim basi habeant aequam, et angulo angulum habebunt aequalem, qui sub aequalibus
1 Incipit liber I theorematum Geom. m; Inciplt de tri-
angnli ratione et linearum q. 2—3 Snpra datam . . . con-
stitnere om. q. 5 inaeqnalibns rectis lineis q. || minore q;
minorem e, m. 6 abscindere m. 7 triangula q. 8 ha-
beant m. || habente cnm eis q. 9 continentnr q. 10 basis
basim q. 13 — 15 Si triangnlns . . . ntriqne emnt om^ q.
14 alter bis m. 15 utrimqne m. 16 aeqnae q. 18 snnt]
erunt q. 19 Et om, q. || eisdem aequalibus rectis lineis
ceciderint aliae m. 20 linea m. 21 ad] . Ad q. 22
aequali e; aequales m; aeqnalibns q. || rectis lineis q.
24 Si om, q. 25 possident q. || aequa q. 26 angnlum
angulo habebunt aequale q.
Ars Geometr. 381
rectis lineis continetur. In triangulo datam rectam iineam terminatam in duas aequales dividere partes. Datam rectam lineam secundum eam» quae superstat, dividere.
Et datae rectae lineae ab eo, quod in ea est, puncto
rectam lineam secundum rectos angulos elevare non dis- 5
convenit.
Super datam vero lineam rectam infinitam ab dato puncto, quod ei non inest, perpendicularem rectam lineam ducere oportet. Quaecunque super rectam lineam recta linea consistens angulos fecerit, aut duos rectos faciet, aut lo duobus rectis reddet aequaies. Si ad aliquam rectam li- neam atque ad eius punctum duae rectae lineae non in eandem partem ducantur et circum se angulos duobus rectis fecerint aequos in directum sibi eas lineas iacere necesse est. Si duae rectae lineae sese dividant, ad ver- 15 ticem angulos sibi invicem facient aequos.
Omnium triangulorum exterior angulus utrisque inte- rioribus et ex adverso angulis constitutis maior existit.
Omnium triangulorum duo anguli duobus rectis angu- iis sunt minores omnifariam sumpti. 20
Omnium triangulorum maius latus sub angulo maiore subtenditur.
Omnium triangulorum maior anguius sub latere maiore protenditur.
Omnium trianguiorum duo iatera ceteris maiora sunt 25 in omnem partem suscepta. Si in uno quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae iineae interius con- stituantur angulum facientes , quae constituuntur reliquis quidem trianguli duobus lateribus sunt minores, maiorem vero angulum continebunt. so
2 in om. q. 2 — 3 Datam . . . dlvidere om. q. 4 in
eo e, q. 6 non disconvenit om. q. 7 £t super q. || vero
om, m, q. || rectam lineam q. 8 inest] inem q. 9 oportet
om. q. II Qaocunque q. j] super] per q. 10 linea om, e, <}.
11 reddit m. || aliquam] aequam e; eam m. 14 feceritm.||
aeqnis q. 16 invicem om, m. 18 constitutis angulus maior
m. 23—26 Omnium triangulorum . . . suscepta om. q. 26
suscepta] sumpta m. 28 constituentur m. 29 duobus
om, q. II maiores e.
382 ARS GEOMETR.
Datis tribus recUs lineis, quae sunt aequales, tres in eo qui datus est trian^o rectas lineas oportet constituere. Quarum duo iatera ceteris maiora oportet esse omnifariam sumpta propter hoc, quod omnium trianguiorom duo la- 6 tera ceteris fortiora sunt in omnem partem suscepta. Ad datam rectam lineam et datum in ea punctum dato recti- lineo angulo aequales rectilineos angulos coUocare ne- cesse est.
Si duo trianguia duo latera duobus lateribus aequaiia
10 habuerint, alterum alteri, quod angulum angulo maiorem
habebit eum, qui sub aequali recta linea continetur^ et
basim basi maiorem habebit.
Si duo triangvla duo latera duobus laleribus aequalia
habuertnt, alterum alteri, quod basim basi maiorem faabe-
i5bit, et angulum angulo maiorem faabebit eum, qui sub
aequalibus rectis lineis continetur.
Si duo trianguli duos angulos doobus anguiis habue- rint aequos alterum alteri unumque latus uni lateri sit aequale, sive id, quod aequis adiacet angulis, seu quod sub 20 uno aequalium tenditur angulornm , et reliqua latera reli- quis lateribus habebunt aequa aitera alteris et reliquum angulum aequalem reliquo angulo possidebunt.
Si in duas rectas lineas recta linea incidens altematim
angulos fecerit aequos, rectas lineas alternas esse ne-
25 cesse est.
Si in duas reclas lineas linea incidens exteriorem an-
gulum interiori et ex adverso angulo constituto reddat
aequalem, rectas lineas aequales sub alternas esse con-
veniet.
1 — 5 DatiB triboB . . . suscepta om, q. 1 tres in eo qui datus est om. m. 5 ceteris om» m. 6 rectolineo q. 7 rectilineo e, m; relilineae q. [] necesse est om. q. 9—16 Si duo . . . continetur om, q. 9 aequa m. 11 ita et e. 17 triangula q. 19 sive id] sibi q. 20 sub uno deqna- lium subtenditur q. 21 aequalia m. [] alteri q. 23 in- cidens quod alternatim sit et hos angulos fecerint aequos q. 26 in om. q. 27 interiorem m; interior q. || eonstitnta m. 28 aequales om. q.
Ars Geometr. 383
Si in dua8 inter se rectas lineas recta linea incidens aliernos angulos aequales inter se fecerit, qui deintus et contra et in eisdem partibus sunt, et quae deintus lineae siittt duabus rectis lineis sunt aequales.
Iteruin ipsae rectae lineae adversus se ipsas erunt 5 altera alteri.
Per datum punclum datae recCae lineae alteram rectam iineam designare necesse est. Omnium triangulorum ex- terior angulus duobns intenus eC ex adverso constitutis angulis est aequalis; interiores vero tres anguli duobus lo rectis angulis sunt aequales. Qnae aequas et alternas rectas lineas ad easdeni partes rectae lineae coniungunt, ipsae quoque et alteroae sunt et aequales. Eonmi spaciorum, ' quae altemis lateribus eontinentur, qaae parallelogramma nominantur, et ex adverso iateraatque anguli constituti sibi is invicem aequales sunt ; ea quoqne diametrus in duo aequa partitur. Omnia paralleJogramma, quae in eisdem basibus et in eisdem alternis lineis fuerint constituta, sibi invicem probantur aequalia. Nam parailelogramma in basibus aequalibus et in eisdem alternis lineis constituta aequalia 20 esse necesse est.
Aequa sibi sunt cuncta triangula , quae in aequis basi* bus et in eisdem altemis lineis fuerint constituta.
Aequa triangula, quae coaequalibus basibus, et in eis* dem alternis lineis sunt constituta. 25
1 — 6 Si in duas . . . altera alteri om. q. 6 alterius m. 7 Per] Super m. 8 lineam om. m. || necesse est om, q. || ct exterior q. 10 interioris q. |] tres anguli] trianguli
tres e; tris angulis q; anguli m. 13 Prius et om, m, q. || Alterum et om, q. 14 alteribus q. || qui q. || parallelo-
grima q; parallelogramata m. 16 sunt aeqnales q. || ea quoquej eamque q. Q aeque patiuntur q. 17 parallelo-
grammata m. 18 fuerint om. e, q. || invicem his m. 19 — ^20 probantur . . • constituta om, m. 23 fuerint lineis q. ||
fuerint] sunt m. 24—25 Aequa . . . constituta om. q. 24 Aeqni e. || triangula sunt m. || coaequalibus basibusj Vide' tur scribendum: in aequalibus basibus sunt constituta. 25 altemis om. m. || Post constituta a^tft^ e: aequalia sibi in- vicem sunt.
384 ARS OEOMETB.
Aequa triangula, quae in eadem basi et in eadem parte
f uerint constituta , in eisdem quoque aiternis lineis esse
pronuntianda sunt.
Aequa trianguia in aequis atque in directum positis
5 basibus constituta et in eisdem partibus et in eisdem quo-
que aiternis lineis esse necesse est.
Si parallelogrammum triangulumque in eadem basi
atque in eisdem alternis lineis fuerint constituta, paraiielo-
grammum triangulo duplex esse conveniet.
10 Omnis paraiielogrammi spacii eorum quae circa ean-
dem diametrum sunt parallelogrammorum supplementa
aequa sibi invicem esse necesse est.
Dato triangulo aequaie paralleiogrammum in dato
rectiiineo angulo constituendum est. luxta datam rectam
15 lineam dato triangulo dato rectilineo angulo parallelo-
grammum aequale protendendum est.
Dato rectiiineo angulo aequale paralleiogrammum in dato rectilineo anguio coUocare id est diametnim oportet.
Quadratum ad datam iineam terminatam praeben* 20 dum est
In his trianguiis, in quibus unus rectus est angulus,
quem rectiangulum nominamus, quadratum, quod a iatere
rectum anguium subtendente describitur, aequum est his
quadratis, quae a continentibus rectum anguium iateribus
25 conscribuntur.
Si ab uno trianguli latere quadratum quod describitur aequum fuerit his quadratis, quae ab reiiquis duobus iate-
1 Aeqai e. || in easdem partes q. 8 pronnntianda
sunt] prouontio q. 4 Aequi e. 6 lineis onu e, q. || esse
om, m, q. 8 lineis om, q. 10 eandem om, q. 11 di-
metmm q. I| sublementa e. 14 constitnendam est] con-
stituere q. || datam om. q. 15 in angalo q. 16 aequa* lem praetendere q. 17 angulo om. q. || aequalem q. 18 id est diametrum] Haec intaeia relinquere quam corrigere ma- lui. \\ oportet om, q. 19 ad data linea terminata q. || prae- bendum estl constitnendum est m; discribere q. 28 sub- tendentem discribitur q. 24 a] ac q. || continentibus]
subtendentibus m. 26 discribitur q.
Ars Geometr. 385
ribus describuntur, rectus est angulus, qui sub duobus reliquis lateribus continetur.
Explicit ratio angulorum.
Si sint duae rectae lineae, quarum una quidem est in- divisa , altera vero quotlibet divisionibus secta , quod sub 5 duabus rectis lineis rectiangulum continetur, aequum erit his, quae sunt sub ea, quae indivisa est, et unaquaque di- visione rectiangula.
Si recta linea secetur, quod sub tota et una portione
rectiangulum continetur, aequum est ei, quod sub utraque lo
portione rectiangulum ciauditur, et ei quadrato, quod ad
praedictam proportionem describitur.
Si recta linea secetnr utiibet, quod describitur a tota
quadratum, aequum est his, quae describuntur ab una-
quaque portione, quadratis et eidem bis rectianguio, quod i5
sub eisdem est portionibus.
Si recla iinea per aequalia ac per inaequalia secetur, quod sub inaequalibus totius sectionibus rectiiineum con- linetur, cum eo quadrato, quod ab ea describitur, quae inter utrasque est sectiones, aequum est ei, quod descri- 20 bitur a dimidia, quadrato.
Si recla linea per aequalia dividatur, alia vero ei in
directum linea recla iungatur, quod sub tola et ea, quae
adiecta est, reclilineum conlinetur, cum eo, quod descri-
2 reliquis] rectis m. 3 Inscripi, om. m. || de ratione
q. [] Inscriptioni addita sunt in q: Ineipit regula rectarura linearum. 4 sunt m. || est om. q. 8 rectiangula con-
tinetur e, m; rectiangulum continetur q. 9 tota] data m.
10 rectianguU e. || ei] eius q. || quodj quae e, m. 11 et om. ra. 12 describit e; discribitur q. 13 toto e, m.
14 unaquoque q. 15 eidem bis] idem ius vel vis e; ius vel vis ei q. 16 est om, m, q. || Post portionibus addit e con- venit, m clauditur. 17 ac per his m; ac pro q. [| inae- qiialia his m. 20 — 21 ei quadrato qui describitur ab ea, quae constat ex adiecta atque dimidia e ; ei quadrato ab ea, qaae constat ex adiecta atque diraidia m. 22 per aequali dividltur q. 23 lineam rectam iungantur q. 24 rectili-
neam q.
Boetius. 25
386 ARS GEOMETB.
bituT* a dimidia, quadralo aequum est ei quadraio, quod describitur ab ea, quae constat ex adiecta atque dimidia.
Si recta liaea per aequalia ac per inaequaiia secetur, quadrata, quae ab inaequalibus totius portionibus descri-
5 buntur, dupla sunt his quadratis, quae fiunt a dimidia et ab ea, quae inter utrasque est sectiones.
Si recla linea per aequaliasecetur eique in directum
quaedam linea recta iungatur, quadratum, quod describi-
tur a tota cum addita, et quadratum, quod describilur ab
10 ea, quae addita est, utraque quadrata pariter accepta, ab eo quadrato, quod describitur a dimidia, et ab eo qua- drato, quod ab ea describitur, quae ex dimidia adiectaque consistit, ulrisque quadratis pariter acceptis, dupla esse necesse est.
15 Datam rectam iineam sic secare convenit, ut, quod sub
tota et una portione rectilineum continetur, aequum sit ei,
quod iit ex reliqua sectione quadratum sive trigonum.
Inhac trianguli figura, quae oblusum habet angulum,
tanto amplius ea, quae obtusos obtendit angulos, lateribus
20 potest, quaeobtusum continent angulum, quantum est
quod tenetur bis sub una earum [et ea] quae ad obtusum
angulum a perpendiculari exlra deprehenditur.
Datorectilineoaequum necesse est collocare quadratum.
1 dimidio e, m. || aeque q. 3 — 6 Si recta . . . sectio-
nes om, q. 4 portionis m. 8 iangantur q. l^ a om, q. >;
cum] eam q. 10 adiecta m. 11 ad dimidia q. 12 ab
ea om, m; ab eo e. || qaae om. m. {| ex om. q; a m. {| que]
quae q. 15 convenit om, q. 16 ei om, q. 17 quodj
quo q. II sive] sibi q. 18 hac] ista q. || triangulis q. |