Ezcerptos ex his de abaco et de minutiifl locoa eins- dem principis Boncompag^i liberalitati debeo.
pj==cod. Par. 7377. C. antiqnae fandationis.
P2=cod. Par. 7186. ant. fund.
Contuli ez his, quae Woepcke edidit in quaestione de 5
Indorum arithmetica in Occidentem translata. (Sur Pin-
troduction de Tarithm. Indienne en Occident Rome 1859).
qsscod. Monacensis 560 saec. XI — XII. qui continet geo- metriam in quattuor libros distributam ita tamen, ut secundus et tertius partem tantum priorem libri , qui in lo codice e est prior, praebeant. Quae ibi leguntur de fignris geometricis et sequentia in q omissa sunt. Liber primus et quartus maxime alieni snnt a Boetii geometria. Sed et ea, quae Boetii esse credideris, adeo a codice e recedunt, ut aut duorum eiusdem operis 15 graece conscripti interpretationem latinam aut correctio- nem interpretationis non admodum idoneae videre te putes.
Incipii geometria Euclidis a Boetio in latinum lucidius
translata, 20
Quia vero, mi Patrici, geometrum exercitissime Eucli-
dis de artis geometricae figuris obscure prolata te adhor-
tanie exponenda et lucidiore aditu expolienda suscepi,
inprimis quid sit mensura diffiniendum opinor.
De mensura, 25
Mensura vero est quidquid pondere capacitate longi- tudine latitudine altitudine animoque flnitur. Principium
19 Anitii Mallii Severini Boetii prologus in geometriam incipit m; incipit liber secundus artis geometriae de figuris q. 25 Ezplicit prologus, incipit liber I de elementis m. 26 vero 001. m. 27 animo terminatur m. || Ante Principium in q inscripiio: De figuris.
374 ARS GBOMETR,
autem mensurae punctum vocatur. Punctum est, cuius
pars nulla est. Linea vero siiie latttudiDe loogittido est.
' Lineae vero fines puncta sunt.
De generibus linearum,
5 Recta linea est, quae aequaliter in suis protenditur punctis. Superficies vero est, quod longitudine iatitudine- que censetur. Superficiei autem fines lineae sunt. Plana superflcies dicitur, quae aequaliter in rectis suis lineis continetur. 10 Planus angulus est duarum linearum in plano invicem sese tangentium et non in directo iacentium ad alterufram conclusio. Quando autem quae angulum continent lineae rectae sunt, tunc rectilineus angalus nominatur.
Cum vero recta linea super rectam iineam stans cir-
15 cum se aequos sibi invicem fecerit angulos, rectus est
uterque aequalium angulorum et linea super rectam li-
neam stans, perpendicularis dicitur.
Obtusus angulus maior recto est.
Acutus autem angulus recto minor est.
20 J^e modis figurarum.
Figura est, quae sub aliquo vel aliquibus terminis con- tinetur, terminus vero , quod cuiusque est finis.
1 antem om, q. || pnnctus vocatnr cnm medinm tenet figurae q. || vocatur] est m. || Puuctus q. 2 Line&e q. || praeter latitudinem q. || est om, q. 4 Inscript, om» m, q. 5 aequaliter] ex aequo q. || protenditur punctisj pnnctis iacet q. 6 vero est om. m. [] quod] qnae m. 6 — 7 longi- tudine . . . censetnr] latitndinem solam habet q. 7 antem] vero q. || finis q. 8 dicitnr] est q. 8 — 9 aequaliter . . . continetnr] ez aequo in snis rectis lineis iacet q. 11 in directo] directe m; directo q. 12 collusio q. 13 tnnc
om. m. 14 Cum vero] Quando antem q. 15 angnlos
aequos sibi invicem fecerint q. 16 et quae superstat linea super eam^ quam insistit, stans snperpendicnlaris vocatnr q. 16—17 super . . . stans] snperstans m. 18 Optnsns q. || est maior recto q. 19 autem om, q. || est minor recto q. 20 Imcript, om. m, q. 21 Locus figura est qnod q. || continetnr extraclusus sine fundo q. 22 vero] est m, vero est q. || est om, q.
AR8 GSOMETR.
[Lapides fidaies
Circulus vero est flgura quaedam plana et circumducta et sub una iinea contenta» ad quam a puncto, quod infra figuram positum est, omnes quae incidnnt rectae iineae sunt invicem sibi aequaies. Hoc rero puncturo centrum circuli nominatur. Diametrus autem circuli est quaedam recta linea per centrum ducta et ab utraque parte in cir- cumferentia circuli terminata, quae in duas partes aequas circulum dividit.
Semicirculus vero est figura piana, quae sub diametro
etea, quam diametrus apprehendit, circumferentia con-
tinetur.
Rectilineae figurae sunt , quae sub rectis iineis con-
tinentur. Trilatera quidem figura est , quae sub tribus i5
rectis lineis continetur, quadrilatera autem quae sub
quattuor.
(^Finitima vero linea mensuralis est, quae aut pro ali- qua observationum aut aliquo terminorum observatur.]
Multilatera itaque figura est, quae sub pluribus quam so quattuor lateribus continetur.
1 Lapides finales om. e, m. 2 Lapidum formas om, m; q loco primae hahet [j , loco quarlae [^rcaj. 3 yero om, m,
q. II qoaedam om. q. || et] qaae vocatnr q. 4 continetnr q. a] ab uno q. || qaod] eoram qaae q. 5 posita sont q. || quael qae q.' 6 aeqaae aibi invicem sant q. 7 aatem om. q. ' recta qaaedam q. 8 in om. q. 9 aequas partes q;
partes aeqaales m. 11 vero om, m. 12 adprenendit q; comprehendit m. 14 Rectae lineae e, q. 15 quidem
om, m. II est om. q. |] tribas] daabns q. 16 autem om. m;
vero q. 18 Finitima vero om, m; Finitima autem q. || pro
om. q. 19 observatione m, q. || servatur q. 20 Multi-
latera ... est] Multilatere vero q.
376 ARS OEOMETE.
De triangulis,
Aequilaterum igitur triangulum est, quod tribus aequis lateribus conlinetur; isosceles vero, quod duo tantummodo iatera habet aequalia ; scalenon vero, quod tria latera con- 5 tinet inaequalia.
Amplius trilaterarum figurarum orthogonium id est
rectiangulum quidem triangulum est, quod habet angulum
unum rectum.
Amblygonium vero, quod latine obtusiangulum dicitur, 10 est quod obtusum habet angulum.
Oxygonium vero, id est acutiangulum, est, in quo tres sunl anguli acuti.
De quadrilateris,
Quadrilaterarum vero figurarum quadratum vocatur, 15 quod est aequilaterum atque rectiangulum. Parte altera longius vero est, quod rectiangului^ quidem est, sed aequi- laterum non est. Rombos vero est, quod aequilaterum quidem est, sed rectiangulum non est. Romboides autem est, quod in contrarium coUocatas lineas atque angulos 20 habet aequales, non autem^rectis angulis, nec aequis late- ribus continetur. Praeter haec autem omnes quadrilaterae figurae trapeziae id est mensulae nominantur.
Parallelae id est alternae rectae lineae nuncupantur,
1 Inscript. om. m, q. 2 Aequilaterem q. 3 conti-
netur] clanditur q. || hisocelea e, q; hissoceles m. |1 vero] etiam est e^ m. 4 vero om, m. || continet inaequalia] in- aequalia pbssidebit q. 6 id om, m. 7 quidem trianga- lum est onu m.' 8 unnm] undique e, q. 9 vero] enim e, est m. II latine obtusiangnlum] habet obtusnm angulum q. 9 — 10 dicitur . . . angulum] in quo obtusus angulus fUerit q. 10 est quod] et m. 11 vero om, m. [| AUerum est om. q.
12 anguli sunt q. 13 Inscript, om, m, q. 15 Parte vero
altera longius q. 16 vero om, m. || est om, q. 17 vero
om, m. II est om, q. 18 Rombon id est q. 20 non autem]
id autem nec q. 21 Praeter omnes autem hae m. 22
figurae om, e, m. || trapizea q. || nominentur q. 23 nun-
cupantur] nominantur m.
Ar8 Geometr. 377
quae in eadem plana superficle coliocatae atque utrimque productae in neutra parte concurrent.
De peiiiienihus , quae sunt in geomeiria.
Petitiones vero, sive postulata, ut veteribus placuit, dicantur, quinque sunt: 5
Prima, ut ab omni puncto in omne punctum recta linea ducatur, postulat.
Secunda , ut definita recta Unea in continuum rectum- que producatur, admonet
Tertia omni centro et omni spatio circulum designare 10 praecipit.
Quarla omnes rectos angulos sibi invicem aequos esse vult.
Quinta autem, si in duas rectas lineas linea incidens interiores et ad easdem partes duos angulos duobus rectis 15 fecerit minores, rectas Hneas in infinitum productas ad eas partes, in quibu^ duo interiores anguli duobus rectis mi- nores sunt, concurrere iubet.
De concepiionibus ^ quae sunt in geomeiria. Communes igitur animi conceptiones sunt, quae a 20
1 atqne utrimque prodnctae om. e, m. 2 in om, m.
concurmnt e, m. 3 InscHpt. om, q; Incipinnt petitiones
geom. m. 4 vero om. m , q. || sive . . . dicantur om, q.
5 dicantur om. m. || sunt quinque q. 6 Prima ut] petatnr q. In e additi iunt nngulis petitiordhus nunieri I. II. III. IIII. V. praeter vocabula prima et seq. || in omnem C} m. || rectam lineam ducere omisso postulat q. 8 — 9 Secunda . . . ad- monet] Item definitam lineam in continuam rectumque pro- ducere q. 9 ammonet e. 10 Tertia] Item q. 11 prae- cipit om, q. 12 Quarta] et q. || sibi] quos ibi q. Q aequos om. q. 13 vult om. q. 14 Quinta autem] Item q. 16 et ad easdem partes om. e, m. 16 — 18 rectas lineas . . . iubet] productas infinitum rectas lineas concurrere ad eas quibus duobus rectis angulis sunt. 19 Inscript. om. q; In> cipiunt conceptiones *geom. m. 20 Minores vero communes q. II igitur om, q; autem m. || quae . . . vocantur om. q.
378 ABS QEOMETB.
Graecis xotvat svvoiai vocantur. Cum spacia et inter- valla eidem sunt aequalia, et sibi invicem sunt aequalia.
£t si ab aequalibus aequalia auferantur, quae relin-
quuntur, aequaUa sunt.
s Et si aequalibus aequalia addantur, tota quoque aequa-
lia sunt.
Et quae sibimet ipsis conveniunt, aequalia sunt.
Omne paralleiogrammum rectiangulum sub Iits duabus
rectis lineis, quae rectum angulum contiDent, dicitur con-
10 tineri.
Omnis vero parallelogrammi spacium unumquodque
gnomo eorum quae circa diametrum eandem sunt paraU
lelogrammorum nuncupatur.
De circulis,
15 Circuli aequales sunt, quorum diametri aequales sunt ; inaequales vero sunt , qui sic se non habent.
Circulus circulum non contingere dicitur, qui, cum
circulum tangat, in utraque eiectus parte non secat cir-
culum. Circuli se invicem contingere dicuntur, qui tan-
gentes sese invicem secant.
1 kenas ethnias e, m. || Cum . . . intervalla] Haec qaae q. 2 idem e. || sunt ante et addunt e, m. 3 anferatur q. 5 addantnr aeqnalia q. 7 convenit animo finitionis, aeqna- lia sunt q. 8 Ante kunc versum addit q: Nemo resistere nUo tempore parti convenienti poterit. 9 rectnm' ambiunt angulum q. || continent om. e, q. 11—13 Quae in q legun- iur, haee sunt: Omnis vero paraUelogrammi spatii eorum quae circa eundem diametrnm snnt parafielogrammomm quotlibet unnm cam supplementis dnobus ginomo nominetur.
Hic de extracluso loco dicit. Hio de trigono dicit. Si sint dnae rectae lineae, quarum una quidem indivisa, altera vero quotlibet divisionibut secta, quod sub duabus rectis lineis rectiangulum continetnr, aeqoum erit his, quae sub ea, qui indivisa est et unaquaeque divisione quod recti- angulo continetur habebere possessores. 12 f^omio e. 14 Inscript» om. «, m. 15 Aeqnales cireuli q. || snnt aequa-
les q.^ 16 snnt om. q. 17 Kecta linea circulnm con-
tingere dicitur. quae q. 18 eiecta* e; eiecta egesta q.
19 se] sese q. || tangentes] tam gentes q.
Ak8 Geometr. 379
Rectae lineae in circulo aequaliter a centro distare
dicuntur, quando a centro in ipsas ductae perpendiculares
inyicem sibi sunt aequales. PIus vero a circulo distare
dicitur linea, in quam perpendicularis longior cadit.
Portio circuli est figura, quae sub recta linea et circuli 5 circumferentia continetur. In portione circuii angulus esse dicitur, quando in circumferentia sumitur aliquod punctum et ab eodem puncto ad lineae terminos duae rectae Uneae subtunguntur. Angulus circulidicitur, qui sub duabus subiunctis lineis continetur, quando lineae, quae adiun- lo guntur, aliquam circumferentiae comprehendunt particu- lam, ut in ea angulus conaistere perbibeatur.
Sector circuli est figura, quae sub duabus a cenlro
ductis iineis et sub circumferentia, quae ab eisdem com-
prehenditur, continetur. 15
Similes circulorum portiones dicuntur» quae aequales
suscipiunt angulos, vel in quibus, qui inscribuntur anguli,
sibi invicem sunt aequales.
Figura intra figuram dicitur inscribi , quando ea, quae
inscribitur, eius, in quam inscribitur, Iatera.uno quoque 20
suo angulo ab interiore parte contingit.
Circuli vero figura figurae drcumscribi perbibetur, quotiens ea, quae circumscribitur, figurae eius, cui cir- cumscribitur, suis omnibus lateribus omnes angulos tangit.
3 sibi invicem q. 4 linea om, q. || perpendiculares q. 5 — 6 est figura . . . angalus om, q. 7 dicatur q. H circum- ferentiam q. 8 et ab eodem] eo vero q. 9 circuli om. q. 10 subiectis m. || lineae] autem q. 12 angulos q. 17 describuntur q. 19 Ante kunc veraum addit q: Hic trigonus. || Fignram q. U eam q. 20 in quam scribitur q. 22 Cir- culus scribi vero figura figurae q. 23 ea quae] aequa q. {| circumscribitur om. q. || figura q. || circum inscribitur q. 24 q addii: Intra datum circulum datae rectae lineae, quae in diametro minime maior excitat, aequam rectam lineam- que aptare. Portio circuli est figura, quae surrecta linea et circuli circumferentia continetur. In portione angulus esse dieatur, quando in circumferentiam sumitur aliquod punctum ab eo vero puncto ad lineae terminos duae rectae lineae subiunguntur.
380 ARS GEOMETR.
Explicii prolegomena, Incipit scema,
Supra dalam rectam lineam terroinatam triangulum
aequilaterum constituere. Ad datum punctnm datae rectae
lineae aequalem rectam lineam coUocare.
5 Duabus rectis lineis inaequalibus datis a maiore rainori aequam rectam lineam abscidere.
Si duo trianguli duo latera duobus lateribus habent
aequa, alterum alteri, et anguium angulo habent aequum
eum , qui sub aequalibus rectis lineis continetur, et basim
10 basi aequam habebunt, et triangulum triangulo aequum
erit, et reliqui anguli reliquis angulis erunt aequales, alter
alteri, sub quibus aequalia latera subtenduntur.