Si intervaUum binario multipiicatum multiplex effecerit intervallum, ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum •BC- et fiat ut C- ad .B* ita B- ad D* et D- sit ad C- multiplex. Dico, quia «B* eius quod est -C* multiplex est. Quoniam enim 'D* eius qued est -C* multiplex est, metitur 5 •C* id, quod est -D* Ostensum vero est, quoniam, si sint proportionaliter numeri et prior naturaliter fuerit uUimo comparatus, si primum uitimus fuerit mensus, metietur et medium. -C* igitur metietur id, quod est *B* Multiplex est igitur -B* eius, quo^ est *C* Id rursus ex numeris. lo Sit -C* unitas *D- vero ex duplicata proportione 'BC* sit quaternarius et est multiplex eius, quod est *C* Est enim quadruplus. Quoniam igitur hic quadruplus ex duplicata •BC* proportione generatur, -BC* proportio dimidium eius erit. Igitur -BC* proportio dupla est. Sed duplum multi- 15 plex est. Erit igitur -BC* proportio multiplex.
IIII. 11. I.
Superparticularis intervalU medius numerus neque unus neque plures proportionaUter intervenient. Sit enim BC- 20 proportio superparticularis et in eadem proportione mi- nimi sint *DF* et -G* Quoniam DF* et G* minimi sunt in eadera proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quo- circa sola eos unitas metietur. Auferatur igitur -G* ab *DF. et relinquatur «D* Hic est igitur utrorumque mensura 25 communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter •FD* atque *G* incidet numerus, qui sit ab FD* quidem minor, maior vero ab *G* Sola enim interest unitas.
1 f Mc ei infra capitis paragraphos numeris ruhro colore scriptis notat, 5 metietur g. 7 naturaliter om. i. || fuerit nltimo naturaliter f. 8 comparatur g. 10 est om. 0. || igi- tur om. k. |1 eius om, f. 11 sit] Sit h, i, k. 14 propor- tione i. 15 Sed quoniam duplum o. || multiplex] duplex f. 16 igitur om, o. 17 — 18 DisposUionem om. g; f, h, i, k arcus addunt, 20 intervenit i. 21 minime i. 22 •DF* et -G^] D. F. G. bis g. || Quoniam -DF- et G^ om, f ; Et quo- niam ad .P- et -G- 0. || minime i. 24 eas g, h, k. 27 priits •FD-] DF^ h, k.
304 INST. MUS. IIII, 2.
Quanti vero in superparticularibus proportionibus propor- tionaliter inter eiusdemproportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros eiusdem proportionis intercident. Sed nuilus inter «FD- atque •6- minimos eiusdem propor- 5 tionis intervenire potest; nullus igitur inter •B» atque -C- proportionaliter cadet. Et in numeris. Sit quaelibet superparticularis proporlio, ut sesquaitera. Hi vero sint •X- et -XV- In eadem vero proportione minimi -11- et •III- Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas, eademque io utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ter- nariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero teruario. Alioquin unitas dividetur, qaoA est inconveniens. Quare ne inter -X- quidem atque -XV- quisquam invenietur numerus, qui talem ad -X* obtineat proportionem, qualem 15 ad eum tenent -XV-
D. I. B. C. F. (j.
XV. X. III. II.
20 Si intervallura non muUiplex binario multiplicetur , nec raultiplex est, nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex -BC- et fiat, ut -C- ad -B- sic -B- ad D- Dico, quoniam -D- eius, quod est -C- neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primura
25 .D- eius, quod est -C- mulliplex. Et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum sit et multiplex intervallum creatum, id quod mulliplicatum est bis inter-
1 vero] enim h, k. 2 incident f, i, o. 3 incident f, g, i, o. 4 inter F- h, k; D corr, additum est in g. 5 nul- lis g. 6 in om. f, g, i. 7 Hii o , hic f , i. H sunt g. 9 eadem quae i ; quae eadem f. 12 dividitur i. 13 nec h, k, o. II quidem om, h, k. || ac h, k. 14 ohtinet g. 16—19 Dispositionem om, g. f, i arcus, h, k arcus et inscriptiones addunt, 24 neque superparticulare h, k. [| h spatium reli- quit dispositioni inscribendae aptum: in k addita est dispositio
D B C
VIIII VI iin
arcubus ornata et inscriptionibus a sequentis dispositionis inscri-
ptionibus diversis.
INST. MUS. iin, 2. 305
vallum efise mulUplex, erit igitur «BC* multiplex. Sed non esl posiium, non igitur erit -D* eius, quod est -Cs multi* plex. Nec Tero soperparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus inter- venit. Inter •D« vero et «C* est proportionaliter terminus 5 constitutus, id est •B- Nam ut esi -C* ad «B* ita «B* ad «D* Inpossibile igitur erit, «D- eius quod est «C* vel multiplicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris. Sit non multiplex intervallum •¥!• ad •IIIl* fiatque ut sunt •IIII* ad •¥!• ita *\h ad alium quemlibet lo numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii ne- que multiplex neque superparticularis est.
VIIII. VI. IIII.
Si intervallum binario multiplicetur atque id , quod ex ea i5 multiplicatione creabitur, multiplex non sit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim tntervallum •BC^ fiatque, ut •C« ad •B- ita «B^ ad «D» et non sit •D« eius quod est •C- multiplex. Dico, quoniam nec •B» eius, quod est •C-, erit multiplex. Si enim est, et «D^ eius quod est •C- muUipIex 20 est. Al non est. Non erit igitur •B- eius, quod est -C^, multiplex.
Duplex intervallum ex duobus maximis superparticu- laribus coniungilur, sesqualtero et sesquitertio. Sit enim •A- quidem eius, qnod est •B^, sesquaher, •B- vero eius, 25 quod est •C^, sesquitertius. Dico, quoniam -A^ eius, quod est •€• , duplex est. Quoniam igitur sesqualter est •A- eius, quod est «B^, igitur «A- habct in se totum •B^ eiusque di- midium. Duo igitur •A* aequi sunt tribus •B^ Rursus
5 vero om, h, k. 6 ut -C' est f, g, 7 erit igitur f,
0. H vel] id est f, 9 intervallum non multiplex g. 10
alium quidem quemlibet i. 13 — 14 Dispositionem om. g; f,
i orcitf, h, k arcus et inscriptiones addunt. 16 multiplicatur
h, k. 19 mttltiplex est f. || eius] eo i, 0. || -C.] -oc^ i. 20
•C- est 0. 21 est post multiplex om, g, o. H Ad i. 22 i
addit A B C arcubus iuncta, f D B C; g spaiium vacuum
reliquit, 23 Snplex o. 27 igitur] Aut omittendum aut in
enim videtjir mutandum, || -A- sesqualter est h, k.
Boetius. 20
306 INST. MUS. mi, 2.
quoniam -B- eius, quod est •€• sesquitertius est, -B* igitur habet -C* et eius terliam partem. Tres igitur «B- aequi sunt ad quatluor •€• Tres autem 'B- aequi erant duobus •A- Duo igitur 'A- aequi suat ad quattuor •€• Unus igitur 5 -A- aequus est duobus •€• Duplex erit igitur -A* eius, quod est •€• Et in numeris. Sit enim sesqualter •XII- ad '¥111-, sesquitertius vero •VIII- ad -VI- ; ergo -XII- ad «VI* du- plices sunt.
doplus
10 A. B. C.
XII. VIII. VI.
sesqualter sesqttilertius
Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex nascitur intervalium. Sit enim -A- eius, quod est -B-, duplex, -B*
15 autem eius, quodest-C*, sesqualter. Dico quoniam -A- eius, [quodest •€*, triplex esL Nam quoniam -A^ eius, quod est B* , duplex est, -A* igitur aequus est duobus -B* Rursus quoniam -B* eius, quod est tC^, sesqualter est, -B-" igitur habet in se totum •C- et eius dimidiam partem. Duo
20 igitur •B- aequi sunt tribus -C- Sed duo -B^ aequi erant uni -A- Et unus igitur -A^ aequus est tribus C^ Igitur -A- uno C^ triplex est. Et in numeris. Sit duplex quidem senarius ternario, sesqualter vero ternarius binario, sena- rius igitur triplex est binario.
scsciualler.
Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit in- 30 tervallum , erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim
5 quod] qui g, h, k. 6 .XII- ac •VIIL g; •III- ad 11- fv i. 7 -VIII- ad VL] IIII. ad .nL f, i. || ad VI. om. g; IIIL ad -IL i; IIIL ad duo f. 8 erunt o. 9 — 12 Dis- positionem om. g; f, i litteras A. B. C infra numeros -IIII • III • II- arcuhus iungunt, 25—28 Dispositionem om. g. || triplus om, f, i. 28 duplus , sesqualter om. f^ i.
INST. MUS. mi, 2. 307
•A* quidem eius, quod est 'B* » sesqualter, at vero •€• eius, quod est «B*, sesquitertius. Dico quoniam «A* eius, quod est -C*, sesquioctavus est. Quoniam enim -A* eius, quod est -B*, sesqualter est, «A' igitur babet in se -B* et eius di- midiam partem. Octo igitur 'A' aequi sunt ad duodecim 5 •B* Rursus quoniam •& eius, quod est 'B-, sesquitertius est, «C* igitur habet in se -B- et tertiam eius partem. Novem igitur -C* aequi sunt ad duodecim -B* Duodecim autem 'B- aequi erant ad octo -A* Et octo igitur «A* aequi sunt ad novem -C* Igitur 'A* aequus est ei, quod est -C*, lo et octavae eius parti. -A* igitur eius, quod est 'C*, sesqui- ocfavus est* Et in numeris. Sesqualterum quidem inter- valium sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesqui- octava proportio est. is
sesqaioctaTns
A. C. B.
VIIII. VIIL VI.
sesquitertius
sesqualter 20
Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus -A*, huius autem sit sesquioctavus -B*, huius autem sesquioctavus -C*, huius autem sesquioctavus -D* et huius sesquioctavus -F* eiusque sesquioctavus «G* atque huius sesquioctavus -K* Id autem 25 fiat secundum descriptum in arithmetica modum. Et sint
numeri A. B. C. D. F. G. K. Et sit A. CCLXII - CXLIIII»,
huius autem sesquioctavus, qui est -B-, •CCXCIIII- •DCCCCXII', huius autem sesquioctavus, qui est -C*,
1 eius qnidem h, k. || ad i. 2 eias om, i. 3 alter, est om, g. 7 eins tertiam h^ k, o. 8 duodecima antem i. 14 igitur] vero h, k. 16 est proportio h, k. 16—20 Dispo- sitionem om, g. 16 sesquioctavus om, f, i. 17 k. disponit litteras hoc modo: A. B. C. 18 VIIII. VI. VIII. k. 19 ses- quitertius om, f, i. 20 sesqualter om. f, i. 22 quidem k. 24 eiusque] eius quoque o. 26 Et sint numeri om. g. 27 Inter D e/ F E ponit g.
308 INST. MU8. nii, 3.
CCCXXXI ' DCCLXXVI' , huius autem sesquioctavus , qui
est -D-, CCCLXXIII^CCXLVIII-, huius autem sesquioctavus,
qui est P., .CCCCXVIIlIDCCCCmL, huius autem ses-
quioclavus, qui est *G*, •CCCCLXXII* CCCXCU-, huius au-
5 tem sesquioctavus, quiest-K*, •DXXXI*CCCCXLI- Et sunt
•DXXXI * CCCCXLI* , quod est -K*, plus quam duplices a
ducentis LX duobus miiibus •CXLIIII* , quod est -A* Sex
igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno du-
plici intervallo.
10 A. B. C.
CCLXII. CXLIUI. CCXCnU. DCCqCXLL CCCXXXL DCCLXXVl.
D. F.
CCCLXXIII CCXLVllL CCCCXVIIIL DCCCCUII.
G. K.
15 CCCCLXXII. CCCXCIl. DXXXI. CCCCXLl.
Mustcarum notarum per graecas ac latinas litteras nun-
cupatio.
lU. Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniam- 20 que necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibe- bit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cura divisam lineam isdem notulis signaverimus; quod unicui- que nomen sit, facillime possit agnosci. Veteres enim
3 qui est om, g. 4 qui om, i. 6 qui e&t oiw. g, i, o. |i
Et sunt DXXXI. CCCCXLI in margine f ; Et sunt DLCXCI i.
6 a] ad i. 8 suut om, g. 10 — 16 Disporitionem om» g;
h, k litteras in uno eodemque versu disponunt, inter Qt et Yi
Dxxuii. vn.
CCLXXXVIII. CLIII. addunt, dispositionem totam arcubus et inscriptionibus ornant; f , i soalae in modum litteras numerosque disponunt, 18 nunc om. o; ut f, g, i. 19 qaoniam quae g, i. 20 tribus so- mis i. 22 hisdem g, h, i, k, o.
In8t. Mus. Iiii, 3. 309
musici propter conpendium scriptionis, ne integra sem- per nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam, quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captanles, ut, si quando melos aliquod musicus voluisset 5 adscribere super versum rythraica metri r.ompositione distentum^ bas sonorum notulas adscriberet, ita miro modo repperientes, ut non tantum carminum verba, quae litte- ris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his no- tulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. lo Sed ex his omnibus modis unum interim lydium eiusque notulas per tria genera djsponamus, in reliquis modis ideni facere in tempus aliud diiTerentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupa- tione descripsero, lector nuUa novitate turbetur. Graecis i5 enim litteris in quamlibet partem nunc inminutis, nunc etiam inflexis tota haec notarum descriptio constituta est. iVos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate trans- vertere. Erunt igitur priores ac superiores nolulae dictio- nis, id est verborum, secundae vero alque inferiores per- 20 cussionis.
Proslambanomenos, qui adquisitus dici potest, zeta
non integrum et tau iacens h- hypate hypaton, quae est principalis principalium , garama conversum et gamma
rectum .r-, parhypate hypaton, idest subprincipalis prin- 25
cipalium, bela non integrum et gamma supinum .l-, hy- paton enarmonios, quae est principalium enarmonios,
2 nomiiia semper h, k. || appone i. || excogitare i. 4 per 02». f. 5 aliquos i. 6 exscribere f, i; asscribere g, h, k. II rithmitica i. 7 asscriberet g, h, k; adscriberent f, i; ascriberent o. 8 qnae] qnod f; qnot i. 9 quot i.
13 Sanae i. 14 Graecarnm litterarnm notamm g, h, k.