2 Post tertia addit g numeros sequentis descriptionis, h, k, o numeros et litteras. 3 — 7 Hanc dispositionem et sequentes om, o, /ti h e/ k D inter B cf C , E e/ F supra "D et C sunt collocati omnesque arcuhiis et inscriptionibus omati; g formam tantum praehet^ numeri et inscriptiones desunt, 10 numero- rum corr. add, f. 15 sed inter] Si in o. || inter -VI. et •IIII-] -1111. et supra versum sec, nianu inter -VI- et •IIII' f. 22 maiorum g. 25 numerus om, g, h, k. 26 eo owi. i. || -E- om, i.
INST. MUS. m, 12, 289
ter, multipliceturque. Fiet igitur numerus -F- DXXVIIII. CCCXXIL, qui -F' eo, qui est -B', maior est eodem -li-
numero, qui est •V-XXXIIII- Ergo •D» numerus eum, qui est «A*, transcendit •£• numero, 'B- autem numerus ab eo, qui est -F', vincilur eodem •£• numero. Si iofitur 5 •E- numerum •A^ niimero apponamus, fiet •D'-, si vero -B- numero eundem -E- apponamus, fiet ^F- Sed -D' nume- rus septuagies quinquies auctus est, per •€• scilicet multi- plicatum, •?• autem septuagies quater mulliplicato -C- crevit. Obtinent igitur inler se proportionem •D- atque •F., lo quam habent -LXXV^ ad •LXXIIII- Sed •D- atque -F- sunt •A- atque «B^ uno eis addito 'E» Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter •A^ atque •B- quam inter •D^ atque -F* Namque •A^ atque •B^ numeri$ uno •£• ad- dito effecti sunt •D^ atque «F* Minor igitur proportio est i5 inter •D^ atque •F^ quam inter •A- atque -B^ Sed inter -D* atque •F- eadem proportio est, quae inter -LXXV^ et •LXXIIIL Inter •A^ igitur atque -B^ maior proportio est quam inter •LXXV^ et •LXXIIII- At -A^ atque •B^ comma continent; maior igitur proportio est commatis quam 20 •LXXV. ad LXXIIII-
DXXXi. DXXIIil. VII
CCCCXLI. CCLXXXVIII- CLIII.
D. E. F. 25
i DXXXVL V. DXXVIIII
' Cccclxxv- Xxxiiii. Cccxxii
4 -E- om. i. II -B] Fit i. 5 qui] quod i, f. H -F.] -B-
i. [] •£•] est i. 6 •£• numerum -A' numero] •A- numero
eandem •£• g, h. k. 7 numerus -D^ h. 8 est om. f. 12
•E-] est i. 14 •E-] est i. 14—16 addito Sed inter D 07n.
g. 15 igitur] vero h, k. 18—19 Inter •A- et •LXXIIIL
om, f . 18 est om. g. 19 At] Atque i. 21 Post •LXXIIII- addit g numeros sequeniis dispositionis , 0 numeros et litteras, 22 — 27 In h et k dispositio arcuhus et inscriptionibus est or» nata.
Boetius. 19
290 INST. MUS. III, 12.
Quoniain igitur ostendlmus commatis proportionem
maiorem esse quam eam, quam 'LXXV* continent ad
•LXXIIII* comparati, nunc ostendendum est, quem-
admodum minorem inter se proportionem contineanl
5 numerl spatlum commatis continentes quam • LXXIIII -
ad • LXXm • comparati. Id vero • monstrabitur hoc
modo. Reminiscendum prius est, quid secundo volu-
mine dixerimus, cum de mensura dlfferentiae loqueba-
mur. Si enim ex qualibet proportlone difTerentiam eorum
10 numerorum, qui eam continent, auferamus, hi, qui relin- quuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numerls, qui erant ante differentiae deminutionem. Sint enim *yill- et -VI- Ab his proprlam aufero differentiam, id est 'II-, fiunt -VI. et .IIII' Sed in superioribus sesquitertia , in hac
15 sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqual- tera proportio sesqultertia proportione. Sint igitur eidem •A- atque -B. , qui sunt superius descripti, quorumque dif- ferentia «C- Multiplico differentiam •C- numeri septuagies
quater, fit mihi numerus .F- scilicet .DXXVIIIICCCXXII-, 20 qui .A* numero comparatus vincitur numero .G*, scilicet
•II.CXVIIIL Rursus-idem -C- multiplicetur septuagi«s ter;
efficient numerum .R. Id est .DXXIICLXVIIII-, qui com-
paratus -B. numero vincitur eodem .G- eisdem •IICXVUIL Sublato igitur •G^ de numeris •A^ alque -B* effecli sunt
25 • F • atque • R • Minorem igitur proportionem retinebunt
•A^ atque B^ quam .F» atque .R^ Sed •F. atque
•R" eam retinent proportionem , quam •LXXIIII» ad
•LXXIIL His enim multiplicato •C^ efTecti sunt. Minor
est igitur proportio •A- atque •B^ numerorum comma con-
30 tinentium , quam LXXIIir ad LXXIIL Sed paulo ante
1 commatis om. i. 7 quid] qui i. 8 loquebatur i.
9 differentia i. 11 obtinent k. 16 idem f, h, k, o; id est et siepra versum idem g. 17 differentiam i, 19 michi
g. 20 qui A] quam i. 22 efficiunt g, o. || DXXII-
CXLV i. 23 numerum i. 27 retinent proportionem om, h.
28 His] Hi f, g, h, k, o.ll-C] .0- i. || Minor] Maior i. 29
igitur est o.
INST. MUS. m, 13. 291
monstratum est, eandem commatis proportionem maio-
rem esse quam -LXXV* ad .LXXIIIl. Monstrati sunt igitur
numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se
habere proportionem quam -LXXV' ad •LXXIIIL, mino-
rem vero quam •LXXIIIL ad LXXIIL, quod oportebats
ostendere.
DXXXL DXXIIIL VII.
Ccccxli Cclxxxviii. Cliii
F. K. G.
DXXVmi. DXXII. II.
CCCXXII. CLXVIIU CXVIIII.
Quod semitonium miniis maius quidem sit quam 'XX- ad 'X VlllL minus vero quam X VIIIl 8« ad -X VIII S-
Xill. Quod si ad semitonium minus talis speculatio i5 convertatur, eius quoque proportionem faciiiime repperie- mus, quae constat inter -CCLVI. et .CCXLIII- Sit igitur CCL VI. A. , . CCXLIII . B. Horum differentia .XIll. C. Dico, quoniam .A- ad -B. minorem retinet proportionem, quam .XVIIIIS. ad XVIII S- Metiatur enim C' id, quod 20 est .A*, decies novies semis, id est multiplicetur C de- cies novies semis, fiunt .CCLIII S., quod sit .D-, qui sci- licet comparatus ad -A. eodem .A* duobus semisque transcenditur ; sitque haec differentia -F. scilicet 11 S.
1 maiorem] minorem i; minorem et supra versum maio- rem f. 6 Post ostendere addit g numeros sequentis disposi- tionis, 0 numeros et litteras, 7 — 12 h et^k ordinem F. A. C. B. K et (j( supra C positum arcubus et inscriptionibus ornant. 15 Inscript, om, g, k. 14 .XVIIII- omisso S f, h, i. || XVIII.
f; decem et octo i. 16 XIIL om, h. -XII. i. 16 rep-
perimus g, h, k. 19 retinent f. 21 decies novies semis
id quod est -A- g, h, k. || id est ^ . . . semis om. f, g, h, k.
22 quod] qui o. 23 eundem f, g, i. 24 transcendit g, i.
292 INST. MUS. III, 13.
Rursus eadem *C* difTerentia •B* numerum metiatur octies decies semis id est multiplicetur octies decies semis, fient •CCXLS- , quod sit «E- Igitur •£• comparatus ad 'B- eodem •F- transcenditur, id est duobus semis. -D* igitur ab eo,
5 quod est «A. , et rursus -E- ab eo, quod est -B- , eadem -F- differentia sunt minores. Subtracto igitur *¥• ab eo, quod est -A* atque •B., facti sunt «D* atque «E*; maiorem igi- tur tenent proportionem inter se •])• atque -E* quam -A- atque -B* Sed -D- atque «E* eandem proportionem inter
10 se retinent, quam •XVIIUS- ad XVIIIS. -A- igitur ad B-
minorem retinet proporlionem quam •XVIIIIS- ad •XVIII S.
quod oportebat ostendere.
CCLVI. CCXLIII. XIII. CCLIIIS. CCXLS. IIS. A. B. C. D. E. F.
15 Videtur tamen eadem proportio -CCLVI- ad CCXLIII- maior esse ab ea, quam continent -XX^ et XVIIIL Sint enim A. B. C. idem, qui superius descripti sunt. Metiatiir igitur -C^ differentia •A- terminum vicies, fient •CCLX-. qui sint -D- Qui comparati ad id, quod est -A-, eundeni
20 quaternario transcendunt. Hic sit •F- Rursus idem C-
metiatur -B- decies novies, fient -CCXLVII- Hic sit •£•
Qui comparati ad -B- eodem -F^ transcendunt. -D^ igitur
numerus «A^ numerum et •E« numerus numerum •B^ eo-
dem -F- transcendunt. Adiecto igitur -F- his, qui sunt A-
25 atque B-, facti sunt •D- atque E- Maior igitur est pro- portio eorum, qui sunt -A- atque -B* quam eorum, qui sunt -D- atque •£• Sed •D- atque -E- vicies ac decies no- vies multiplicatus C- numerus efficit. Maior igitur est
2 id est . . . . semis om. g, h, k. || fiunt g, h, k. 5 F- om. h, k. 6 differentiae i. 7 maiorem] minorem corr. in maiorem f, o. 9 •£•] -F' i. 10 retinet om, h; retinent f, g, i, k. 13—14 Hanc disposiiionem om. g; h et k A. C. B supra D. F. E ponunt et arcubus et inscriptionibus ornant. 17 idem] id est i. 24 qui] quae i. 25 Et igitur maior h, k; Est iffitur minor o. 26 prius qui] quae i, f, o. 27 vi- gies o. II atque f. 28 est igitur h, k.
Inst. Mus. Iii, 14. 293
proportio eorum, qui sunt «A- atque -B* , qui scilicet semi- tonium continent, quam ea, quae est «XX* ad •XVIIII-
CCLVl. CCXLin. XIII. CCLX. CCXLVII. iin. A. B. C. D. E. F.
Demonslratum igitur est semitonium minus maiorem qui- 5
dem habere proportionem quam -XX- ad •XVIIIL minorem
vero quam •XVIIIIS- ad •XVIII S. Nunc idem minus semi-
toniura commati comparemus, quod est ultimum auditui
subiacens iiltimaque proportio.
Semiionium minus maius quidem esse iribus commaiibus 10
minus vero quaituor,
XIIIl. Igitur demonstrandum proponimus semilonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod kinc facillime possis agnoscere : Sint tres iiumeri ita dispositi , ut inter se proportionem contineant 15 diapason el eam, quae dicitur sex tonorura. Sit enim -A- CCLXII. CXLIIII. Intendantur igitur ad -B- quidem quinqiie toni continui et sit B. CCCCLXXII. CCCXCII. ; ad >C>
autem diapason consonantia referalur, et sit -C. DXXIIII. CCLXXXyill. ; ad -D. autem sex toni intendantur, sitque 20 •D- DXXXI. CCCCXLI. His ita positis et constitutis mani- festum est inter -C- atque -D- comma constitui, eorumque differentiam esse VII. CLIIL Id autem sit K- Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est B-, ad id, quod est £•, et sit E. CCCLXXIII. CCXLVIU. Rursus ab eo, quod est •£•, 25 intendo diatessaron, quod est .p. CCCCXCVII. DCLXIIII. Quoniam igitur inter E- atque B. duo sunt toni, inter E. atque .p. diatessaron, inter.B.igitur atque -F. minus semi-
1 qui] quae f, i. |) qui] quae f, i. 3 — 4 7w h c^ k
D. A. C, B. E e# F supra C arcuhus et inscriptionibus sunt or- nati. 5 est igitur f. 8 aditui i. 10 Jnscript. om, g.
12 •XIIIL om. i. ][ demonstrandum est i. 16 ea i. U Sint f. 21 manifestatum est i. 23 esse differentiam f, o; esse om. i, 24 igitur om. i. 25 alt, E] -EB- i. 27 — 28 -E- autem atque f.
294 INST. MUS. III, 14.
tonium repperitur. Sublatis enim de diatessaron conso-
nantia duobus tonis lit reliquum semitonium minus, quod
in primis numeris constare praedixi •CCLVI- et •CCXLUl.
Quos eosdem numeros, si millies nongenties quadragies
5quaterque multiplices, •B- atque •F* numeros explicabis.
Quos necesse est eandem proporlionem superius dictis
numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est
M. DCCCCXLIIII. pariter multiplicali creverunt. Item ab eo, quod esl F-, intendo diatessaron, scilicet ad G- et sit
10 Q. DCLXIII. DLII. Rursus ab eodem G- reraitlo ad .P-
duos tonos et sit P. DXXIIIL CCLXXXVIIL Quod ?• ne-
cesse est ut eundem sonum quem C^ numerus exbibeat ;
ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est.
Etenim ea, quae est *AC- diapason consonanUa, quae con-
15 stat tonis ac duobus semitouiis minoribus, ab -VL tonis commate superatur. Ab eodem igitur A^ termino nume- rus •?• .V^ tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est -A-, usque ad id, quod est 'B-, -V. nimirum colliguntur toni. Ab eo aulem, quod est «B-, usque ad id,
20 quod est «F., minus esse semitonium pernotatur. •F^ vero atque •?• idem rursus semitonium minus includunt. •A- igitur usque ad •?• •V- tonos ac duo semitonia minora pro- duxit. lure igitur -P. atque •C- eisdem numeris conscri- buntur. Sed quoniam inter .F- atque -C^ semitonium mi-
25nus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. £st autem eorum differentia
XXVI. DCXXIUL et sit hoc -M. Igitur -K. commalis dif- ferenlia est, -M. autem semitonii minoris. Si igitur -K-
numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXL CCCCLVIIIL 80 et sit hoc .L. Si vero quater eundem numerum .R^ multi-
1 de 07n. g, i, o. . 4 eodem i. 5 quaterque] terque i. numero i. [| explicabilis k. 11 alL P-] per i. 12 -C- Of?i. i. exhibebat h. 14 Etenim . . . constat om. i. || -AC- supra versum g, 18 nimirum] numerum i. 19 quod est B- au- tem f, i. 21 includuntur i, o. 1| AbA- f, o. 22 perduxit f . 24 minor i. 25 haec, quae g, h, i, k, o; quae, omisso
haec, f.
INST. MUS. III , 15.
plicare vokeris, fient XXVm.DCXU, et sit hic N. Igitur
•M* maior quidem est ab *L- , idem autem «M* minor est
ab -N* Sed -N* quater aucto commate succrevit, -L' autem
iertio, «M- vero semitonii minoris obtinet diJBferentiam.
lure igitur dictum est, miuus semitonium minus quidem 5
esse, quam JIII* commata, maius vero quam tria.
CCCCXLI.
CCCLXXIII. CCCCXCVIL DXXIIII. DCLXIII. CCXLVIII. DCLXIIII. CCLXXXVIII. DLIL
CCCCLXXII.
DXXIIIl. CCLXXXVIII.
CLIII.
aiatessaron
aiai
essaron
ccccLviin.
XXVI.
DCXXIllI.
N. DCXII.
Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem 20 quam quinquey ionum maiorem quam 'VIII- minorem
quam • VIIIL