1 Sed] sub i. 3 Inscript. om, g. || De sumendis toni ceL h, k. 8 descripsimus f. || accipiuntur i. || sese] esse f. 10 Sit om, o. 11 'B'] /n i lineolae Ktteris sunt superposi- [ae, aliquot locis etiam in f. 16 Descripiionem om. g; B D C inverso ordine o. 17 graviorem f, i, 0. ^8 ab om. i. 19 Animadvertit g-, o; A. enim advertet i. 21 ad gravem in inferiore figura o.
J^ tonus ]^
diatessaron
diapente
Sit propositum minorem toni partem per consonan-
tiara sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero
toni pars est spatium , quo duos tonos diatessaron conso-
5 nantia transcendit. Sit enim sonus «A- Intendo ab -A-
diatessaron ad -B- Rursus intendo a -B- diatessaron ad -C-
£t ab •€• remitto diapente ad -D* Tonus est igitur •BD-
Rursus a •D- intendo diatessaron ad *E* Remitto iterum
ab -E- diapente ad •F- Tonus est igitur •DF. Duo igitur
10 sunt toni •BD* -DF* Et erat -BA* integrum diatessaron ;
erit igitur «FA- minor toni pars, quod semitonium nun-
cupatur.
diftteisaron
diapente
1 Descriptionem om, g, 5 Sit] Si i. 7 Et ab «C-
corr. add, f. ^ 8 a] ab f, i. U intendo om. i. || ad .£•]
adeet i. 9 ab -E] abest i; a. b. o. 13 Descriptionem om,
g. A F D B E C inverso ordine o.
Ad graviorem vero partem hoc modo. Sit sonus 'A*
Intendo duos tonos per consonantiam ad 'G-rdiatessaron
vero ab «G* remitto ad *K* Erit igitur «KA- minor semito-
nii pars, quod oportebat efOcere.
K a
tonas
tonus
dialessaron
Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome iit reli-
qua. Sint enim tres toni AB. BC. CD. Ab his auferatur
•AE- diatessaron. Erit igitur -EC- semitonium minus, apo-
tome igitur est -ED-
tonus
tonus
dialcssaron
lonus
S. Apol,
Hauc igitur apolomen , si sit commodum , sic sumemus.
Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab A-
eos, qui sunt «AB* et ab eo, quod est -B* ad -C* diatessa-
ron consonantiam remitto et hi -CA* apotome reliqua.
2 tonos om, g. 6 Si igitur g;, h, k, or || tribus] duo-
bus i. II auferam f, g, h, k. 12 ab -A] a-B- a, f. 13
et ab eo] ab eo autem g, h, k.
INST. MUS. m, 9.
tres toni
diatessaron
apot.
Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere,
fit hoc modo : Sit sonus «A* Intendo semitonium minus,
id quod est -AD*, remitlo ab «D* tonum eum, qui est 'DE-
5 Erit igitur -AE- ea, quam requirimus, apotome.
Apot.
E a
tonus
Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit
sonus «A* Intendo apotomen AB-, remitto semitoniuro
minus «BC* Et quoniam semitonium minus apotome minus
10 est commate, comma eril -CA'
Apot.
B Ca
s. c.
1 Ordinem sonorum invertunt g, o. 3 tonus h, et f, sed
muiatum in sonus. 5 qnam superins reqairimus h, k. 6 Or-
dinem sonorum invertit g. 8 tonus f, g, h, i, k. 9 minor f, g, i.
10 •CA'] •C'C- o. 11 Ordinem sonorum invertunt g, o.
iNST. Mus. m, 10. 283
Rursus ad- gravem partem hoc modo. Intendo ab A-
sono semitonium minus, id quod est -AD-, ab .D- vero
remitto apotomen, id quod est -DE. Erit igitur comma EA-
'cr'^"s! EA D
Apot.
Regula semitonii sumendi,
X. Oportet vero has omnes consonantlas rite esse ani- mo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colligunlur, nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in mu- lo sica est, sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo dif- ficilius, sciiicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri, Sit diatessaron .AB. Oporlet igitur circa-AB-consonantiam i5 minus semitonium ad graviorem partem acutioremque de- ducere. Intendo igitur -BC. diatessaron. Remittorursusdia- pente «CD. Erit igitur tonus .BD. Diatessaron enim conso- nantia a diapente consonantia tono superatur, et .CB- spatium •DC- spatio BD. spatiotranscenditur. Rursusintendodiates- 20 saron -DE. , remitto autem diapente «EF. Tonus est igi- tur .DF. Sed et .BD- tonus erat. Semitonium igitur minus est .AF. , quod subtraclis duobus tonis -FD. .BD- ab «AB. diatessaron spatio relinquitur. Rursus remitto diatessa-
3 igitur om, f. || -EA-] -b-a- o. 4 Ordinem sonorum in-
vertit g. 5 Inscript, owi. g, i, k. 6 -X- om. g, i. 12
exemplar f. 15 Sit] Sed i. 16 gravem g. Q diducere i.
18 sonus i. 22 -DB- i; .db- o. 23 ab] -AB. f, i.
INST. MUS. m, 10.
ron -AGs intendo diapente GH* Erit igitur -AH- tonus.
Sed erat 'AF* seniitonium, erit igitur 'FH* apotome. Rur-
sus remitto diatessaron -HK* , intendo diapente -KL- To*
nus igitur est -HL* Erat autem tonus 'HA. , semitoniuni
digitur minus est -LB* Sed erat tonus -DB*, erit igitur
•LD* apotome. Rursus intendo diatessaron -FM*, semito-
uium igitur est -BM* Remitto diatessaron *LN* , semito-
nium igitur est «NA* Per consonantiam igitur sumpta
sunt circa -AB. diatessaron duo semitonia, -BM* quidein
10 ad acutum, «NA- vero ad gravem partem, totumque 'MN-
minus est quam diapente; constat enim ex •¥. semitoniis
et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus
semitoniis minoribus. Et quoniam duo semitonia unum
tonum inplere nequeunt, sed relinquitur comma, totum
15 'MN* spatium minus est spatio diapente consonantiae uno comTnate, quod facillime diligens lector intelleget.
diatcssaroD
N a F H D L B M
s. s.
di»pentc.
20 Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est defugiendum et in quali proportione idem ipsuni
4 autem] igitur h, k. 8 igitur ante sumpta om, h, k, o. 10 .NA] Nam i. 12 duobus] tribus i. 16 inteliigit f , i. ,; lector intelligat corr. add. o. 17 In codicihus ptures arcus ducti et diatessaron et diapente unicuique arcuum adscripta sunt; i omittit litteras; in o inter M et !£, J additum est.
Inst. Mus. Iii, 11. 285
€omma contineatur ostendere — est enini comma, quod
ultimum conprehendere possit auditus — dicendumque
est semitonium minus ac semitonium maius quantis sin-
giliatim commatibus constare videantur, ipse quoque
tonus quantis rursus commatibus coniungatur. Ac pri- 5
mum hinc conveniens sumatur initium.
Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi
non posse^ eiusque reprehensio,
XJ. Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id vero lo posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demon- strationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmodi. Sit, inquit, superparticularis proportio •A 'B', sumo in eadem proportione minimos 'C^DE' Quo- niam igitur sunt minimi in eadem proportione •C-DE- et i5 sunt superparticulares, -DE- numerus -C- numerum parte una sua eiusque transcendit. Sit haec -D* Dico, quoniam D- non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus -D- et pars est eius, qui est -DE* meti- tur «D- numerus -DE» numerum; quocirca et E- nu- 20 merum metietur, quo fit, ut •C» quoque meliatur. Utrum- que igitur -C- et -DE- numeros metietur -D- numerus, quod esl inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem pro- portione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt , et solam difl^erentiam retinent unitatem. Unitas igi- 25 tur est -D- Igitur -DE- numerus -C- numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus, qui
5 coniungetur f, i. 7 Inscript. om. g. || divini k. 8
einsque reprehensio om. k. 9 -X- i. || medio] me i. 12
vero] cum o. 13 huinsmodi est g; est vero huiusmodi h,
k. II Sit om. i. 14 .C-DE] -C-E- g, o; C-D-E. i\\\Po8t
•DE- addit f: et sunt superparticulares 'DE' 15 igitur om.
o. II sunt 0771. i. IIC.DE.] CE. g, o; CD-E. f. 16 DE]
•E« g, o. 17 una om. f. || Sit antem g, h, k, 0; autem
corr, add. f. 19 .DE] -D.E. g; «b' o. || metitur] mit-
titur i. 20 .DE.J D.E- g; -d. o. 21 metitur f. 22 .DE]
D-E' g; E- o. II numeros] numerus i. || D] DE- i. 26
Igitur] hic igitur i. || -DE.] -E. g, 0. || -C.] est i.
286 INST. MUS. III, 12.
eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit, ut nec in-
ter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius
possit numerus coliocari, qui eandem proportionem aequa-
liter scindat.
5 C." ~D. •
£t secundum Archytae quidem rationem idcirco in super-
particulari nullus medius terminus cadit, qui aequaiiter
dividat proportionem , quoniam minimi in eadem propor-
10 tione sola differunt unitate, quasi vero non etiam in mul-
tiplici proportione minimi eandem unitatis difiTerentiam
sortiantur, cum plures videamus esse multiplices praeter
eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius
terminus scindens aequaHter eandem proportionem possit
15 aptari. Sed haec, qui arithmeticos numeros diligenter in- spexerit, facilius intellegit. Addendum vero est, id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari pro- portione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur.
20 In qua numerorum proportione sii comma et quoniatn in ea^ quae maior sit quam 'LXXV- ad 'LXXIIIL minor
quam LXXIIIL ad LXXIIL
Xll. Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qui
comma continent, maiorem inler se retinent proportio-
25nem, quam LXXV- ad LXXIIII- minorem quam
4 scindant h, et k prima mamu 5 — 6 g disponii: A B h: k: A B.
II. I. Iir. mi. I. III. XV X
ini. I. III
Cd. E Edc Edc
o: A C D E B cum arcubus et
IIII. II. I. HI. inscripHonibus,
9 minime i. 10 in o»i. g, h, k. 11 unitas^i. 15 in
arithmeticos f. 16 addandum i. 17 ut] in i. 20 In-
script, om, g. [] proportione numerorum f. 20 — 22 et quo-
niam . . . LXXIIII. ad. LXXIII. om. k. 22 quam anie LXXV. om. h. 23 XL i.
Inst. Mus. Iii, 12. 287
•LXXIIII* ad •LXXIU- Id vero ita demonstrabitor. Ac
primo quidem illud reminiscendum est, quod •¥!• toni
diapason commate transcendunt. Sit igitur -A* qui-
dem •CCLXIL CXLIIII- -B* autem diapason ad eum continens consonantiam, in duplici scilicet constitutam» $
.DXXIIII. CCLXXXVIII. .C. vero sex tonis ab A. numero
discedat, et sit -DXXXI CCCCXLI*, quae omnia ex secundi
voiuminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter 'B'
igitur atque «C. commatis proportio continetur. Aufero
igitur .B. numerum de numero •C., reiinquitur .D* in lo
.yil.CLIII. unitatibus collocatus, qui -D. numerus minor
quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars «B* nu-»
meri, maior vero quam ut eiusdem septuagesima qudrta
sit. Nam si eundem .D- numerum, qui est - Vtl . CLIII'
septuagies ter multiplicem, fit milii E- numerus in DXXIl- i5 •CLXVIUI. unitatibus constitutus; si eum septuagies qua-
ter multiplicem, fit -F. numerus DXXVIill.CCCXXII. quo-
rum quidem .£., qui per .LXXIII. auctus est, minor
est -B. numero, -F- autem, qui per LXXIIII., maior est
•B. numero. Recte igitur dictum est, D. eius, quod est 20
•B' minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam
partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam.
Quocirca et C. numerus B- numerum minore quidem
parte eius, quod est B. eundem B. superat quam seplua-
gesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. 25
I Eius igitur, quod est .C», proportio ad id, quod est .B-, maior quidem est quam -LXXV' ad LXXIIII. minor vero
1 quam .liXXIIIL ad .LXXIII. Nam in priore unitas septua-
8 Inter . . . atque C] Est igitar B- inter atque «C- i;
Inter -B- atque C- o. 10 et relinquitur g, h, k, o. 11
minor] maior i. 12 ut om, g, h, k, o. 13 maior] minor i.
ut onu g, h, k, o. 14 in VIICLIIL h, k, o. 15 -E] est i.
.DXXIICLXVnilJ DXXICLXXXVIIII. i. 16 si enim
eum f, k; in h enim rasura est deletum. [\ eum corr, add, f.
18 E] est i. 19 LXXIL i. 20 D- om, i. 23 mino-
rem quidem partem i. 25 maiore vero quam LXX.« III.*
Maiora vero quam LXX.« II1I.« i. 28LXXIIi; septuagesima
tertia f, || Nam .... tertia in margine superiore f.
288 iNST. Mus. m, 12.
gesima quarta est minoris , in posteriore vero eadem uni- tas septuagesima tertia.
CCLXII. DXXIIU. DXXXI.
CXLini. CCLXXXVIII. ccccxu.
D. E. F.
VII. DXXII CLXVIIII. DXXVIUICCCXXII.
CLni.
Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod, 10 si cui proportioni propria numerorum differentia aequa- liter augeatur , minor inter eos , qui post additionem tiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante addi- tionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, ap- isponatur, fient •VIII- et -VL, sed inter -VI- et •IIII- ses- qualtera , inter •VIIL et •VI- sesquitertia proportio conti- netur; minor vero est proportio sesquitertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur supe- riores numeri, qui proportionem commatis continebant,
20 id est DXXX^CCCCXL^ et sit -A- Sit etiamjB^ DXXIIII
•CCLXXXVIII. Horum differentia sit C. VII • CLHL C^
igitur numerus maiorem numerum, qui est «A- septuagies
quinquies metiatur. Si ergo C- numerum septuagies quin-
quies multiplicem, fiet mihi .D* numerus, qui est •DXXXVL 25 CCCCLXXV. Igitur -D^ numerus eum, qui est -A-, nu-
mero eo, qui est -E., antecedit, id est .V.XXXIHL Rur- sus C- numerus eum, qui est .B., metiatur septuagies qua-