in margine f. 24^ ei 25« adscriptae: f. 91*»: Si vis scire, quae sit sextadecima pars in XVII- cet, ei /. 92*: Octava pars bis et aliqaid plus maior est quam septimadecima, cet. 1 parte] pars i. 2 XVin. et octava o. 3 XVII' ac XVIIl- g, i e/ f prima manu. 4 proportiones sesquiseptimaedeci-
mae k. 5 totum i. 6 sesqui 07n. g, h, k. 8 conti-
nent o. 9 coequatur f, g, h, k. || o addit numeros XVI.
XVII. XVIII. et XVII. XVIII. XVIIII. arcubus et inscHptiO'
nibus ornaios. 10 Inscript, om, g. H non corr. add. f.
13 retractatio i.
Inst. Mus. Iii, 3. 273
sesquiseptimamdecimain proportionem locari, ab hac com- paratione etiam haec proporUo metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex •CCXLIII* octavamdeci- mam partem. Ea fit «XIIIS* Hanc si eisdem apposuero, fiunt «CCLVIS- Apparet igitur minorem esse proportio- 5 nem •CCLVI- ad •CCXLllI* sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus minor quidem est sesquisextade- cima, maior vero se^quiseptimadecima proportione, ses- quioctavadecima vero minor est sesquiseptimadecima ha- bitudine, ducentorum vero «LVI- ad -CCXLIIL compara- lo tio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retra- ctis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium, quin haec duorum numerorum proportio semitonio lon- gissime deminutior sit.
Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron con- is sonantiam ex duohus ionis et semitonio non constare inte-
gro nec diapason tonis sex.
III. Quodsi, ut ait Aristoxenus dialessaron consonantia
^ GX duobus tonis semitonioque coniungitur, duae diatessa-
ron consonantiae necessario -V- tonos efficient et diapente 20
ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita
I sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam
pauio ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat
numerus CCLXU-CXLIIII. , ad hunc vero ultimus in sexto
y collocabatur tono numerus -DXXXl • CCCCXLI- , quintum 25
t 2 haec] dehac i. 3 prodiamur i, 3—5 octavam-
decimam . . . igitur mino om. o. 4 •XIIIS'] •XIII- et sii-
pra versum rec. manu: et semis g. || opposuero i. 6 S om. g, i. 7 minor] maior g, i, o; et f, sed supra versujn miuor. in sesquisextadecima f , o. 8 maior] minor g, i, o ei f, sed supra versum maior. 9 in sesquiseptimadecima f, o. 12 i tonis retractis i. 15 Inscript, om, g. [] Adversus h, k.
J demonstratio h. 16 integro om. i; corr, add. f. 17 sex tonis [ h, k. 18 ait om. h, o; rec. manu add, g, k. 20 V- ne- , cessario f. || tonus i. [| efficiunt k. 21 iuncte i, 0; iuncto [ Si k. 11 coniungunt g, h, k. 25 tono collocabatur g; toUo ' coUocabitur h.
Boetius. 18
274 INST. MUS. III, 3.
vero retinebant tonum CCCCLXXII. et CCCXCII. : dispo- oantur hoc modo :
CCLXII. CXLIIII. toni dex DXXXI CCCCXLI. CCLXH. CXLmi^ toni V CCCCLXXII.CCCXCII.
5 Nunc igilur de minoribus numeris, id est quinque tonis
loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio,
bis vero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex
•CCLXII. CXLlllI. diatessaron intenderem cumque de
'CCCCLXXlbCCCXCII. aliud diatessaron remitterem, idem
10 inter utramque intentionem remissionemve numerus in-
veniretur. Id autem fit hoc modo. A numero, qui est
.CCLXII-CXLIIII'diatessaron inlendo, id est sesquitertium,
qui fit in CCCXLVIIII. DXXVSS. Rursus de CCCCLXXII CCCXCII. numeris remitto sesquitertiam proportionem,
15 quae fit in CCCLIUT. CCXCIIII. Has igilur proportiones
disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus .A-
secundus vero .fi. tertius .C* quartus «D.
A, B.
CCLXII. CXLIIII. CCCXLVIllI. DXXVSS.
20 C. D.
CCCLllII. CCXCIUI. CCCCLXXIL CCCXCII.
Quoniam igitur .A. terminus ad D. terminum «V. remotus
est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac se-
mitonio iungitur, ut Arisloxenus arbitratur, unumque dia-
25 tessaron inter A. atque .6«, aiiud vero inter -C. atque .D-
1 retinebat i. 3 — 4 Disposiiionem om. g; arcubus et in- scriptionibus ornant k, k, o, 5 minoribus] moribus L || ter- mini» g, h, k, o. 6 loquemur i. 7 consistere i. 13 "SS om, g, h, f ; in g rec. manus addidit: et triente , in f tri- gens, in k triens mutatum est in et triente. 16 fit i. 18 — 21 g, h, i, k, f dispositionem arcubus et inscriptionibus ornant; o numeros omittit, 19 SS] triens f , h, k; -IL i. 23 quoniam quae i.
Inst. Mus. Iii, 4. 275
positum est, -B» et C- terniinos non oportet esse diver-
sos, sed unos atque eosdem, ut integre •¥• toni ex dua-
bus diatessaron consonantiis constare viderentur. Nunc
vero, quoniam est differentia IIII- DCCLXVIIISS; arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio coniungi. 5
Diapason consonantiam a sex tonis commaie excedi et qui sit minimus commatis numerus,
IIII. Sed lianc si quaerimus in integris numeris diffe- rentiam coilocare, quoniam in ea parte, quae est SS, pars tertia si addatur plenam efficitunitatem — quae pars tertia lo eiusdem SS dimidium est — si totius differentiae dimidium
eidem adiecero, quod est IL CCCLXXXllII.V», fit omnis
summa -VIL CLIII. , quae dudum commatis proportionem tenebat. Comma enim est, quo sex toni superant diapa-
son consonantiam , quae in primis -VII- CLIII. unitalibus i5
continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium ad-
iecimus, ut in -VII- CLIII. excresceret, ita etiam cunctis
I A. B. C. D. terminis medietates proprias adiungamus et
I eadem erit in omnibus quae supra proportio. Fietque
I eadem inter 'V» tonos ac bis diatessaron differentia , quae 20
est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia,
sciiicet •VII- CLIU. unitates, unde coiligitur, -V- tonos bis diatessaron et «VI- tonos unum diapason tantum commate
f superare , quod in primis VIL CLIIL unitatibus invenilur. Id autem patefaciet subiecta descriptio. 25
4 SS] et bisse k; et bisse supra versum f, g, h. || et ar- guitur f. 5 ex tonis f. [] 0 addU dispositionem , quam supra sine numeris dedit, hic cum numeris, 6 Inscript. om. g. \\ a om. h, k. II quis k. 8 in om, k. 9 quoniam] quo i. ,1
parti i. || ^S om. f, g, h, i, o; bisse k. 10 addat g. 11 SS om. f, g, h, k; bisse o. 12 "SS] et triens g, h, k, 0; su- pra versum f. 16 Igitur ut f, g, h, k, o. 18 D- om. g, h; supra versum k. 21 diiferentiae i. 25 Quod plurihus
locis differunt descriptiones , quas g, h, k continent, ab itSy quae in f, i, o inveniuntur , satius duxi non has solum in contextum recipere sed etiam illas in tahula adiungere.
276 INST. MUS. III, 5.
A. B. C. D.
Quinque toni. Bis diatessaron.
CCLXII. CXLIIII. CCCXLVIIII. DXXVS^. CCCLIIII. CCXCIIIL CCCCLXXIL CCCXCII.
Superiorum numerorum dimidia. 5 CXXXL LXXIL CLXXIIII. DCCLXIIS^S. CLXXVIL CXLVII. CCXXXVI. CXCVI.
Priores numeri cum dimidiis suis.
CCCXCIII. CCXVL DXXlIlLCCLXXXVm. DXXXLCCCCXLL DCCVIIL DLXXXVHl
Differentia mediorum.
VII. CLIIL 10 Toni sex. Duplum.
Dxxxlccccxli. Cclxil Cxliiil Dxxiiil Cclxxxviil
Differentia extremorum.
VIL CLiir.
Quemadmodum Philoluus tofium dividat,
15 V. Philolaus vero Pylhagoricus alio modo tonum divi-
dere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo
numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime
apud Pylhagoricos honorabile fuit, efBcerel. Nam cum
ternarius numerus primus sit inpar, tres terlio atque id
20 ler si duxeris •XXVII- necessario exsurgent, qui ad •XXIIII-
numerum tono distat, eandem ternarii diflerentiam ser-
vans. Ternarius enim •XXIIII- summae octava pars est,
quae eisdem addita primum a ternario cybum -XX' ac 'VII-
1 Liileras om. f, 3 "SS]. 11. i; 1 <?^ supra versum trien^ f. 4 dimidietates f. 5 S"^]. II. i; S. 2. . et supra versum sextans f.; ^ o.
6 dimidiis] medietatibus f. 7 DXXXI.j DXXX. i. 10 Toni sex sunt inter hos dnos f. 11 CCLXXXVIII.] CLXXXVIII. i. 1 — 13 In o descriptio in duas est divisa. Prior continet Tmmeros versus septimi et noni ^ altera numeros versus qui?itiy
flCCCLXXXIIII "^S in medio collocatis, Vtraque arcuhus et inscripiionibus est ornata. 14 Inscripi. om. g". 17 cibum f, i, o; cubum h, k. 19 primus om. i. 21 tono om. o; tonos i. II distant i; distans est f. [J eadem i. 0 eandem ad eum f. 23 ac om. g, h, k.
Uo pag. 276 addenda.
CCLXIi; CXLIIU
CXXXI.
Lxxn.
CCXVI.
diat
mmatis proportio.
15 CCLXlIj CXL]
comma.
VII. DXXXI. :VIII. CLIII. CCCCXLI.
em om. g. k.
13 diatessaron.
Inst. Mus. Iii, 6. 7. 277
reddil. £x hoc igitur duas Phiiolaus efficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reli- quam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin di- cit; quam posteri semitonium minus appeliavere; harum vero diiferentiam comma. Ac primum diesiu in •XIII* uni- 5 tatibus constare arbitratur eo, quod haec inter •CCLVI- et •CCXLllI- pervisa sit diiTerentia, quodque idem nume- rus, id est •XIII- ex novenario, ternario atque unitale consistat, quae unitas puncti obtineat locum, ternarius vero primae inparis lineae , novenarius primi inparis qua- lo drati. £x his igitur causis cum •XIIL diesin ponat, quod semitouium nuncupatur, reliquam -XXVU- numeri par- tem, quae •XUU* unitatibus conlinetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter •XIU^ et •XIIIL unitas dif- ferentiam facit, unitatem loco commatis censet esse po- 15 nendam. Totum vero tonum in -XXVU^ unitatibus locat eo, quod inter -CCXVI- ab -CCXLIIL, qui inter se distant tono, -XXVII. sit differentia.
Tonum ex duobus semitoniis et commate constare,
VI. £x quibus faciie apparet, tonum duobus semitoniis ^o
minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex
apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apo-
tome differt commate, nihil est aliud apotome nisi semi-
tonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora
de tono quis auferat, comma fit reliquum. 25
Demonstraiio tonum duobus semiioniis commate distare.
VII. Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason -V^ tonis ac duobus minoribus semitoniis con-
2 dimidio] medio k. 5 prius g, k; primu3 h. 8 id
est] idem i. || et ternario g, h, k. 9 consistit o. 16 Tonum vero totum f; Tonum vero tonum o. 18 tono di- stant f. 19 Inscript, om. g. 22 constet h, k. || ac] et g, h, k. II vero om. h, k. 25 sit g. 26 Inscript om. g. fj ex' duobus h. || et commate h, k. [| constare h, k. 28 dia- pason diatessaron i.
278 INST. MUS. III, 8.
tinetur, superantque -VI- toni diapason consonanliam uno
commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque
spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semi-
tonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus
5haec duo semitonia, quae rehnquuntur, vincet commate.
Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur,
aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus
semitoniis minoribus et commate, quod in VII- CLIII. primis unitatibus invenitur aequari.
^^ De minoribus semitonio intervallis»
VIII. Philolausigiturhaec atquehisminoraspatiatalibus
definitionibus includit. Diesis , inquit, est spatium, quo ma
ior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero
est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus
15 diesibus, id estduobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur: quoniam fonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et comma ;
20 quo fit, ut dividatur ih quattuor diaschismata et comma.
Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, con-
stat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semilo-
nium minus, et schismate, quod est dimidium commatis.
Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minori-
25 bus et commate cooiunctus est, si quis id integre dividere
velit, faciet unum semitonium minus commatisque dimi-
dium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo dia-
schismata , dimidium vero commatis unum schisma. Recte
igilur dictum est, integre dimidium tonum in duo dia-
soschismata atque unura schisma posse partiri, quofit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate iljfl^erre videatur. Apolome autem a minore semitonio duo-
5 vincit g, h, k. 10 Inscrtpi. om, g. || semitonii f, h,
k. 14 quo] quod i. f] est om. i. 15 id est] vel h. || Scis-
ma f. 16 diachisma o. 20 quattuor] duo f, i. 26 ve-
lit] voluerit g, h, k.
bus schismatibus differt; difrert enim coromale. Sed duo schismata unum periiciunt comma.
De ioni partibus per consonaniias sumendis.
VllIL Sed de his quidem bactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias 5 musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter iiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per conso- nantiam sumere in acutum scilicet atque gravem. Sit lo sonus -B*; ab boc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est «B*, distet ad eum, qui est •£• Ab hoc remitto diatessaron consonantiam ad id, quod est «D- et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus diffaren- tiam facit -DB* spaUum tonus repertus est. i^
diapente
Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est -B' , diatessaron intendo ad -F» et ab •F- diapente remitto ad -K. Erit igitur .RB- tonus. Animadvertet igi- tur diligens lector ad -DB- quidem ad acutam partem ef- 20 feclum tonum, ad -KB. autem ad gravem.