diximus, brevius et paene puris numeris de diapason.ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri, quos superior descriptio con- prehendit: CXCIL CCXVI. CCXLIII. CCLVL In hac igi- 5 tur dispositione primus terminus ad secundum etsecundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur 'CCLVL octava eisdem, quorum octava est, appona- tur, fient •CCLXXXVIIL qui -CXCII- comparati sesqualte- lo rum spatium proportionis efflciunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Seniitonium vero minus terlii ad quarlum terminum comparatio tenet. Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii mi- 15 noris, diapente vero trium tonorum ac semilonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason vi- dentur efficere : erunt -V- toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut2o Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispo- situm evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem dis- ponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo pro- creantur. Disponantur igitur sex octupli lioc modo: 25
I. VIU. LXUn. DXII. iin.xcvi. xxxu.dcclxviii. cclxu.cxliiii.
Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava pro- portione constituti locentur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio 30 talis :
1 pene f, g, h, k, 0; bene i. 7 retinet k. 10 qni
•CXCII- .... efficiant om, g. || qui] qnibus o. 11 toni
qnidem ^, h, k. 16 tonorum est ac f. 21 appositum g,
h, k. 24 proportionis i. || a] ad i. 25 igitur om. g, h,
k. II sex] sexto i. 26 Banc dispositionem om. o. 27 Ab]
Ob h.
266 INST. MUS. II, 31.
Octupli.
I. VIII. LXIUI. DXII. IIir.XCVI. XXXIl.DCCLXVn!. CCLXll. CXLIIII.
Sesquioclavae. Parles ocLavae.
CCLXir. CXLim. XXXll. DCCLXVm.
CCXCilll. DCCCCXII. X XXVi. DCCC. LXIIII.
CCCXXXl.DCCLXXVI. XLI. CCCCLXXIL CCCLXXIII.CCXLVIII. XLVI.DCLVL
CCCCXVIilLDCCCCim. LH.CCCCLXXXVm.
CCCCLXXIl. CCCXCII. LVim. XLVIIIL
10 DXXXI.CCCCXLl.
Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicilur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae siinl eorum 15 numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, apponantur, posteriores numeros creant.
Ut in primo qui est GCLXII. CXLIIII. , huius octava
XXXII. DCCLXVIII. Ili sibimet si coniungantur, poste-
riorem efficiunt numerum , qui est CCXCIIII. DCCCCXII. 20 Idemque in ceteris invenitur. Si igitur uitimus numerus,
qui cst DXXXI. CCCCXLI. duplus esset prioris numeri,
qui est CCLXII. CXLIIIL , recte diapason sex tonis con-
stare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est
prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero,
25 qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII. CXLIIII. numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonan-
Uam tenet, DXXIIIL CCLXXXVfll. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum , eo scilicet , qui est
DXXXI. CCCCXLI. Minor est igilur diapason consonantia
1 e/ 3 Inscripiiones om, o. 3 Sesqnioctavi i, f. || Par- tis i; g omissis partibus ociams omnium ociuplorum sesquiociavos
^sponit, 9—10 h inisrponii DXXIIII. CCLXXXVIII. 12
limi» i. 13 proportionis i. || dictijitar g, 16 opponantur
g; 0 in a mutaio h. |1 nnmeros om. g, h, k. 20 nume-
rus ultimus f. 23 videtur i. U autem] vero i. 25 su-
premus] praesumus i.
Inst. Mus. Iii, Capitula. 267
sex tonis. Atque id, quod sex toni diapason consonantiani supervadunt, voco comma, quod constat in minimis nu-
meris DXXllll. CCLXXXVIII. et DXXXI. CCCCXLF. Sed
de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne
iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem 5
fastidii vitator adstringam.
JEicplicit de musica id est armonica institutione liher secundus,
Incipiunt capitula libri tertii.
I. Adversum Aristoxeuum demonstratio superparticu-
larem proportionem dividi iu aequa non posse atque 10
ideo nec tonum.
II. £x sesquitertia proportione sublatis duobus touis toui dimidium non relinqui.
III. Adversum Aristoxenum demonstrationes dialessaron
consonantiam ex duobus tonis et semitonio non con- 15
stare integro nec diapason tonis sex.
IIII. Diapason consonantiam a sex touis commate excedi et qui sit mlnimus commatis numerus.
V. Quemadmodum Philolaos tonum dividat.
VI. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare. 20 VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis commate
distare. VIII. De minoribus semitonio intervallis. VIIII. De toni partibus per consonantias sumendis.
X. Regula semitonii sumendi. 25
XI. Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse eiusque reprehensio.
4 quique g, h; que corr, add, f. [1 per omne g. k. 6 «stringam e, k; asstringam h. 7 InscripU om. g, h. |] Ex- pllcitos k. Il armonica] arithmetica f. 8 Incipinnt .... tertii] Hane inscriptionem et capitum indicem omittunt omnes quos coniuH codices; quae cum maxime versimile sit casu tanium ali' quo exndisse in eo libro manu scripio, ex quo omnes videntur manasse codices, secundum reliquorum librorum et singulorum capitum inscriptiones ipse addidi.
268 INST. MUS. III, 1.
XII. lu qua numerorum proportione sit comma et quo-
niam in ea, qaae maior sit quam -LXXV- ad •LXXIIII-
minor quam •LXXIIII* ad -LXXIII- .
XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam •XX-
5 ad •XVIIIL, minus vero quam •XVIIII S- ad .XVIII S-
XUII. Semitonium minus maius quidem esse tribus comma-
tibus, minus'vero quattuor.
XV. Apotomen maiorem esse quam quatluor commata, minorem quam quinque, tonum maiorem quam octo,
10 minorem quam novem.
XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio.
ExpHciunt capitula. Incipit liher terttus,
Adversum Aristoxenum demonsiratio superparticularem
proportionem dividi in aegua non posse atque ideo nec
15 tonum,
L Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio, diapente vero ex tribus ac semitonio copulari, sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si singillatim conside-
2orata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quoniam Aristoxenus musicus, iu- dicio anrium cuncta permiltens, haec semitonia non arbi- tratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed, sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tono-
25 rum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demon-
strandumque prius nullam superparlicularem habitudinem
noto numero posse dividi integra medietate. Inter duos
12 Expliciunt capitula om. codices omnes. Incipit liber tertius onz. g, h, k. f in fine addit: id est. 13 Inscript.
om^ g. II Adversus h, k. 14 in aequa om, i, f. IS co- pulari] culpari i. 22 arbitretur, a supra e scripio, k.
23 esse] sese g. 24 dimidietates] medietates h, k; fortasse scHhendumx dimidias partes. S6 hisdem i, f, o. || di»pn- tandum] considerandum k. 26 que om. i. 27 in integra medietate o; integra medietato mutatum in in integram me- dietatem k.
Inst. Mus. Iii, 1. 269
enim nuiiieros superparticularem proportionem continen*
tes/sive illi sint principales, quorum est unitas differentia,
sive posteriores , nullus ita palerit roedius numerus collo-
€ari, ut, quam minimuR proportionem tenet ad medium,
eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica ^
proportione. Sed aui differentias aequas Tacere potesi,
ut sii aequalitas secundum arithmeticam medielatem , aut
armonicam inter eosdem terminos medius numerus coU
locatus faciet medietatem aut quamlibet aliam, quarum in
arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstra* lo
bitur, ne illud quidem constare poterit, sesquioctavam
proportionem , quae tonus est, in dimidia posse discerni,
quandoquidem sesquioclava omnis in superparticulari in-
aequalilatis genere consistit. Id vero melius inductione
monstrabitur. Nam si per singulas proportiones conside- 15
ratione deducta, scilicet superparticulares, nuUa prorsus
occurrit, quae interposito medio termino aequis propor-
tionibus dividatur, non est dubium, quod superparticularis
comparatio non possit in aequa partiri. Quodsi videtur
auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci dnos so
tonos ac semitonium integrum distans vocula comparetur,
id non esse consonum natura monsiratur; sed quoniam
sensus omnis, quae minima sunt, conprehendere nequeat,
idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit,
sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut de- 26
prehendatur, si frequeniissime taiis particula per eosdem
crescai errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur
composiium coniunciumque , cum iam magnum esse coe-
perit, pervidetur. A qua igitur proportione est ordien-
dum? An coropendium dabimus quaestioni, si ab eo, de 30
quo quaeritur, ordiamur? Id vero est, tonus in duo possit
aequa partiri necne. Nunc igitur de iono est pertractan-
dum et quemadroodum non possii in duo aequa dividi de-
3 medins nnmenis poterit h. 10 monstrabitur g, h, k. 20 duo toni i, f ; daobus tonis h, k, o. 21 semitonio integro h,k,o. 26 deprehendantur g ; deprehendat f, k; comprehen- daturo. 28 ceperit g; caeperit f, k, o. 30 queationi g, h, o. 33 demonstratum f.
270 INST. MUS. III, 1.
monstrandom est. Quam demonstralionem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, simi- liter demonstrabitur superparticularem in aequa noto at- que integro numero separari non posse. Primi igitur s tonum continenles numeri sunt •YIII* atque •VIIII* Sed quoniam se isti ita naturaiiter consequuntur^ ut medius inter eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur •XVI- atque •XVIII- Inter hos vero naturalis numerus cadit, qui est •XVII*
10 Igitur XVUI. ad XVI- tonus est, sed XVIII. ad XVU-
comparatus, habet eum totum et eius septimam decimam
partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima
naturaliter, maior est igitur proportio, quaesub •XVI« ac
•XVII' numeris continetur, quam ea, quae sub -XVII. ac
15 -XVIir Qui disponantur hoc modo, et sit
•XVL A XVU^ C. XVIH. B.
Medietas igitur integra toni inter •€• ac -B* nullo modo
cadet. Minor est enim •€&• proportio •CA^ proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata poncnda est. Sit
20 vero medietas •D» Quoniam igitur •DB^ quidem proportio, quod est dimidium toni, maior est -CB^ proportione, quae est minor pars toni, -AC' autem proportio, quae est maior pars toni, •AD* proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem •AC« proportio sesquisextadecima , •CB'
25 autem sesquiseptimadecima : non est dubium, quin in-
tegra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquisepti-
mamdecimam cadat. Sed hoc integro numero nuUo modo
poterit inveniri.
3 in aequa oto. g, h, k. 6 isli se f. || ita om, g, k.
8 multiplicabo k. 11 tonum f, g, i. 16 A] ac i. 1] In \i et \l addita est dispositio A. D.C. B. arcubus iuncta. 21 quod est] integrum s. || dimidium om, g; in dimidium f. || maior est om, i. 22 minor pars] dimidinm o. || autem om. g. 26 ac] et f, g, h, k. 27 Post cadat adduni g, h, k: ut et minor sit sesquisextadecima et maior sesquiseptimadecima. !| in integro f, g. h, k.
Inst. Mus. Iii, 1. 271
SupersesquiXVIma SupersesquiXVIlm*
X VI I XiVii i xvm
tonus
Quoniam vero ad XVI» numerum •XVII- numerus com- paralus supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem •XVII* numeri sextamdecimam requiramus^ erit unitas atque unitatis pars sextadecima. Hanc si eidem 5 •XVn- numero coniungarous, fient XVIII- et pars XVI™* Si igitur •XVIII- et pars XVI™* •XVI- numero comparetur, recte toni mensuram videatur excedere, cum ad eum solus •XVIII- numerus sesquioctavam custodiat proporlionem. Unde fit, ut, quoniam supersesquisextadecima proportio lo tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimi- dium. Quicquid enim bis ductum Iranscendit aliquid, id ultra dimidium iilius esse videbitur, quod transcendit. Quocirca supersesquisextadecima non erit toni dimidium. Ac per hoc nec ulla aiia maior sesquisextadecima propor- is tione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisexta- decima integro toni dimidio sit maior. S^ed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus, an ea tonum bis multi- plicata non inpleat. -XVII- igitur numeri sesquiseptimam- 20 decimam partem tenet terminus •XVIII- In eadem igitur proportione si ad -XVIU- numerum alium comparemus, erit -XVIIII- et XVII™* pars. Quod si ad -XVII- termi- num in sesquioctava proportione positum numerum com- paremus, fient XVIIII- et pars octava. Maior vero est25
1 Disposilionem om. g, h, k. 3 sesquisextam decimam k; snper rasura deleto h. 6 Hunc i, f. 6 fiant g, h, k, o. 8 videtur g, h, k; videatur f. [| Post excedere addit gi abs- que -XVI- parte unitatis; k; •XVI- parte unitatis. 10 super om. k; rasura deletum h. 13 esse om. g; esse illius o.
14 super rasura deleium h. || supersesquidecima i. 16 Ac] Hac i. II per] super f. 17 fit i. 19 sesquiseptima de- cima sequitur k; requiritur i. 23 ad om. g, i. 26 Post octava in cod. g in contextum receptae sunt glossae, in eod. h
272 INST. MITS. III, 2.
pars oclava parte seplimadecima , maior igitur est pro- portio numerorum XVII- ac •XVIIII- et oclava quam ea, quae in XVII- ac •XVIIII- et parte septimadecima contine- tur , quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae propor- 5 tiones. Duae igitur sesquiseptimae decimae unum tonum non videntur inplere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non inplent in- tegrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidiura duplicatum ei , cuius est dimidlum, coaequatur.
10 Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni di-
midium non relinqui.
II. lam vero si eos numeros disponamus , qui de ses-
quitertia proportione duobus tonis retractis rellnquuntur,
in his considerare possumus, utrum ea proportio, quae
15 post duos tonos relinquitur , integri loco semilonii censea- tur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est conpro- batum, diatessaron consonantiam duobus tonis atque in- tegro semitonio copulari. Erat igilur superius primus ter- minus •CXCII- ; ad hunc sesquitertiam proportionem tene-
20 bant .CCLVI- Sed ad primum terminum -CCXVI. faciunt
tonum, ad -CCXVI. rursus CCXLIII. toni obtinent locum.
Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron proportione
ea scilicet habitudo, quae in .CCXLIIL et CCLVI. unita-
tibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse
25dimidium, dubitari non potest, diatessaron ex duobus
tonis semitonioque consislere. Quoniam igitur demonstra-
tum est, toni dimidium inter sesquisextamdecimam et