1 Inscript. om, g, || Demonstratio diapente cet. h. 2 tonum esse h. 3 -XXV- om, h. [| propriae i, f, o; propria g. 6 ses- qualtera scilicet et sesquitertia f,g,h,i. 7 quoniam quae i,o. 8 apparet minor i. || maiori minorem vero om, f, g, i; vera om. h. 9 minorem vero minori om, o. 12 consonantiam g. 16 Quae o || sit i. H ratione g, h, k. 17 Inscript. om. g, [] esse om. k. 18 bis diapason in quadrupla h, k» 19 XXII. h. 23 tripli i. 24 habitudine i. [] quadruplum g, h, k, o. 25 symphoniam i. 26 fit om. i.
Jnst. Mus. Ii, 27. . 259
Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythayoricos
consonantias*
XXVII. Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam con- sonantias effecerunt. Nam diapente ac diatessaron iunctae ^ diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est dia- pason, rursus si diapente symphonia iungatur, fil con- sonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason sciiicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid ^o igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pylhagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel super- particularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur nu- 1» meri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ter- 20 narium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multipiex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimum- que locavimus. Sint igitur termini hi III, VI. VIII. Illud 25 quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonan- tiam prodatj neque triplum , ut diapason ac diapente effi- ciat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox Iriplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac so
1 Jnscript. om, g. \\ Diapason ac diatessaron h, k. || non om. i, f. non esse om. h, k. || non «sse consonantias h; consonantias non esse k. 3 XXIII- h. 6 hunc i. 8 nun- cupantur i. || diapente scilicet ac diapason k. 11 si om. i. 12 efficiant i; efficiunt o. 13 Minimae i. 17 sit om. k. |1 proportione consistens f. 19 — 20 esse .... ad senarium diatessaron om. i. 21 eum] enim i. 27 — 28 consonan- tiam prodat . . . . ut diapason om. i. 28 prodat] reddat o.
260 INST. MUS. II, 28.
diapente sibimet iunclae efficiunt triplum, diatessaron vero
et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason con-
sonantiae addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam
inter duplicem ac triplicem nuUa potest naturaliter pro-
5 portio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonumt
iiet diapason diatessaron et tonus, quod nibil distabit,
utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim e,
tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem
III. et VI., diatessaron Yh et VIII. tonus VIII. et .VIIII.
10 diapente -VI. et VIIII. diapason ac diapenle .111- ad .VIIII. Erit igitur sic tripla proportio : III. VI. VIII. VIIII. Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua po- tuimus brevitate partim ea ipsa, quae Pythagorici aflQrmant, prbmentcs, partim ex isdem quaedam consequentia argu-
15 mentantes probavimus, si diatessaron consonantiae dia-
pason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse.
Quid vero de his sentiat Ploiomaeus, posterius apponam.
Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis consideran-
dum est.
20 De semitonio, in quihus minimis numeris consiet,
XXVIII. Videntur enim semitonia nuncupata, non quod
vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri
toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nun-
cupamus, apud ahtiquiores autem limma vel diesis Yoca-
25 batur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia pro- portione, quae diatessaron est, duae sesquioctavae hal^itu- dines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut
30 dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duas- que sesquioctavas proportiones continuas adhibere non
1 iuncte i. 2—3 consonantia g, h, 1. 6 fiat g, h, k. 8 Sint i; Sunt f ; Sin o. 14 hisdera g, h, i, k. 17 Quod i. 20 Jnscript, om. g. || semitoniis h, k. l| constet numeris f. |1 consistant h, k. 21 •XXIIII. h. 24 limna g, h; limina i, o. 26 duas sesquioctavas i.
INST. MUS. Il, 28. 261
possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiusque oclonarius octuplus primus. Ab hoc igilur unum sesquioctavum potero deri- vare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo •LXIIII* explicentur. Erit igitur hic secundus 5 octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas propor- tiones educere. Namque octo, quae est octava pars •LXnil- unitatum, eisdem additi totam summam •LXXII* perficiunt. His vero si sua octava simiiiter apponatur, qui est novena- rius, -LXXXI- reddunL Eruntque duo hi toni continui lo principali dispositione conscripti : LXIIII. LXXII. LXXXI. Nunc igitur *LXIIIL unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam •LXIIII* probantur partem tertiam non ha- bere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars terlia contingit et omnes in eadem proportione dura- 15 bunt, qua fuerunl, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII- , id est -CXCIl- Horum tertia •LXmi- eisdem addita CCLVI. reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad 20 •CXGII* , duobus se numeris continentes, rato ordine coUo- cemus. Fiant igitur ter LXXII., id est CCXVL; rursus ter -LXXXI- , qui sunt .CCXLIII. Qui inter duos supra- scriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. In hac igitur dispositione proportionum 25 primus numerus ad postremum diatessaron constituit con- sonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertiura geminos continuant tonos. Consiat igitur spatium, quod relinquitur, ex .CCXLIII. ad •CCLVf-, in quibus minifflis semitonii forma consistit. ^^
1 hae duae g, h, k; duae corr. add. f. || dirlvari g, k. 2 octoplus f. 4 fient g, h, i, k, o. 5 hic om, o; hinc i; hiric f. 8 summae unitatum g. || unitatem i. 13 tertiam partem k. 16 multiplicatus i. 17 Fient g, h, k. 23 intr* k. 25 igitur om. g, h, k. 28 ad tertium] adiateft- saron et supra versum ad tertium f. |] constituunt g, h, k» o ; constituant i; continuant et supra versum 1 constituant f. 30 minimi f, g.
262 INST. MUS. ir, 29.
Demonstrationes non esse 'CCXLIIL ad -CCL VL toni
medietatem.
XXVHII. Approbo igitur .CCXLin. ad .CCLVI. disUn- tiam noD esse integram toni medii demensionem. Etenim
5 ducentorum «XL. trium et ducentorum .LVI- differentia
•Xni- tantum unitatibus continetur, qui *Xin. minus qui-
dem quam minoris octavam decimam, plus vero quam
nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies
XIII. ducas, efflcies CCXXXIin., qui CCXLIII. nullo
10 modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent,
cum oporteat omne semitonium , si tamen integrum toni
dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septi-
mam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur,
Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet
15 geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese .CCLVL ad .CCXLIII. habent, tales duas sibi- met continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. .CC. enim et .L. et VI. in semet ipsos
multiplicemus et sit maximus terminus LXV. DXXXVI. 20 Item .CCXLIII. propria numerositate concrescant et sit
minimus terminus LVlfil. XLVIIIL Rursus CCLVL ad CCXLIII. multitudine concrescant. Erit igitur numerus
LXII. CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo :
LXV. DXXXVI. LXil. CCVIIL LVini. XLVim.
25 In eadera igitur sunt proportione CCLVI- et CCXLIII., in
qua LXV^DXXXVi. ad LXiT. CCVIII. Et item LXII.CCVIIL
ad LVIIII. XLVIIII. Sed maximus eorum terminus, qui
est LXV. DXXXVL, ad minimum, qui est LVnil.XLVnn.,
unum integrum non efflciet tonum. Quodsi prirai ad se-
50 cundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium
1 Inscript. om. g. 3 -XXV. h. 6 alterum •XIII] •CCXLIIL
i; .CCXLIII. et supra .XIII. f; scilicet o. 9 qui] quam
-et supra rec. manu qui f. 12 partem om. h, k. 13 quid i.
18 et ante L om, g, h, k. o. || et ante .VI- om, f, o. 28 est
om, i. 29 efficient f, g, h, k. || Quo si i. || prima o.
Inst. Mus. Ii, 30. 263
proportioni, integri esse semitonii probarelur, duo di- midia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spalia proprie tono- rum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque est f> dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse ^imidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superflual ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabun- Xuv autem LXV. DXXXVL non facere sesquioctavam pro- lo portionem, si LVIIIL XLVIIIl. unilatibus comparentur, «1 octava pars LVIIIL XLVIIIL eisdem secundum eas, quae m arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quo- niam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae compu- is tandam.. Liquet igilur eam proportionem, quae in CCLVI. et •CCXLIIL est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.
De maiore parie toni^ in quihus minimis numeris constet. 20
XXX. Reliqua igitur pars, quaemaiorest, apotome nun- «upatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non ^equis partibus dividatur, quanto minor pars dimidiominor €St, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. 25 Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apotome toni integrum superat <Iimidium. Et quoniam docuimus semitonium in -CCLVI-
1 duo om, i. II dimidia] semitonia o. -3 sit] sint f.
11 unitatibus om, g, k. 17 est] sit f. 18 toni om. g, k.
W In quibus numeris maior pars toni sit. h, k. 21 -XXVI-
h. D apotomae g, h; apotoma i, k. 23 quoties g, k. 24
pars om, 0. 25 eademque auctior] eadem quae est auctior
o; eadem auctior est f, i, k; eadem auctior g, h. 26 minus
est integro i. 27 minus om, g. || integram i; integri
et supra versum l um 0. 28 dimidium vincit i; dimidium
€t vincit 0.
264 INST. MUS. II, 31.
et CCXLill' principaliter stare, nunc ea, quae apotome
dicitur, in quibus possit minimis constare numeris ap-
probemus. Si igitur *CCXLIII* partem recipere octavam
possent, cum ad eum sesquioctavus numerus comparare-
5 tur, tunc •CCLVL habitudo ad sesquioctavam summam
minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione
monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse
monstratur, utrique numeri octies iiant. Et ex 'CCXLIII-
quidem octies multiplicatis iit numerus M. DCCCCXLIIIL 10 Quibus si propria conferatur octava, qiii sunt •CCXLIIIv
fient II. CLXXXVII. Rursus • CCLVI • per octonarium
crescant ; fient igitur II. XLVIIL Atque hic suprascripto- rum terminorum in medio collocetur:
M. DCCCCXLIIIL ii. XLVIIL 11. CLXXXVII.
15 Tertius igitur terminus ad primum toni retinet propor-
tionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apo-
tomes vero tertius ad secundum. Aique in eisdem primi&
apotomes videtur constare proporlio, cum semitonii m
•CCLVI- et CCXLIIL minimis numeris spatium continea-
2otur. Idcirco aulem M. DCCCCXLIIIL et iT. XLVIII. in
eadem proportione sunt, qua •CCXLIII- ad -CCLVL, quo-
niam CCLVI- et CCXLIIL bctonario multiplicati sunt.
Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet,.
qui ex ea multiplicatione nascuntur in eadem erunt pro-
25portione, qua fuerint hi numeri, quos prior numeru* multipiicavit.
Quibus proportionibus diapenie ac diapason consteni et quoniam diapason sex tonis non consiei.
XXXL Sed quoniam de diatessaron consonantia latius
4 comparetur i, k. 6 comparatam i, f. 8 octiens i. 9 -M-] CC. i. 14 Numeros iieruni arcubus et inscripHonibus
ornaios h, k. 16 pertinet g. 16 apotome o; cum liima in fine g. 17 isdem i. 21 proportionem i. |] qua] quia i. 24 nascantur k; nascantur, u supra a scripto, h. 27 Inscript^ om, g. II ac om, f ; et i. ]| constat h, constent f. 29 •XXVII- h^