XX. . Sed ISicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam posilionem, sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat deminutionisque principium, ita eliam diapa- son sympboniam reliquarum esse priocipium, iilas vero sibi in cotttraria divisione posse constitui. Id vero faciiius 20 erit cognitu, si prius pervideatur in numeris. Constitua* tur igitur unitas, duaeque ab ea parles iluant, una multi- plicis alia divisionis, sitque haec formula:
Dimidium /\ 11. Duplum. 25
Pars tertia / \ III. Triplum. Pars quarta / \ llll. Quadruplum.
Pars quinta / \ V. Quinquuplum.
1 dnplum sit i. 2 contrarium i. 5 quae] que f, g. ,
utramque] veramque o. || triplicis f, g, h, k; triplicem o
9 ac] et g, h, k. 10 consonantia f. 13 ac] ke h. 15
Inscript. om, g. 16 XVIIII' h. 18 erat om, h, k. 21
cognitus i. 22 partes ab ea h, k. |) unam i. 23 sic-
que g. 25 Buplum et seguentia vocabula om, h. 28 In g ad-
dita sunt: Pars sexta. VI. Sexcup{um. Pars septima. VII.
Septuplum.
252 INST. MUS. II, 20.
Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim uuitatis duplus est; contraria vero eius pars eiusdem dimidium unitatis ostendit; tres triplus et contraria pars tertia ; quattuor quadruplus parsque contraria quarta ; at-
5 que ita crescendi et decrescendi in simpHci est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias converta- mus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in con- traria divisione hoc modo: sesqualter quidem triplo, ses-
10 quitertius vero quadrupio; quod tali argumentatione pro- habitur. Idero enim primus est sesqualter, qui primus triplus , scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqual- ter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius eius
15 differentiae, quam ad binarium facit, cuius natura-
liter positus probatur esse sesqualter, triplus est. Gum
igitur iure sesqualter triplici opponatur, diapente con-
sonantia diapente ac diapason consonantiae rationabili-
ter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii con-
20 trariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadru- plus idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si uni- tati, primus sesquitertius, si ternario comparelur. Rursus eius difierentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse
25 fit quadruplus. Undefit, ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis dia- pason , in contrarium dividalur. Dupla vero quoniam nul- lam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa ses- qualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui
30 primus est duplus , superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque id-
2 duplex g, h, k. 7 quidem om. h. 8 supraemi i. 10 quadruplos i. 12 triplus est h. || principalis scilicet f.
13 est triphis k. 17 consonantiam f, h, o. 19 putat h, o; putat, ur corr. addito, i, f. 21 idera] id est g. |I hoc
modo] k addii, ^' jj "-^' j ""'
Inst. Mus. Ii, 21. 263
circo secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium (eneat boc modo:
Diapason Diapente diapason ?\ Diapente
Bis diapason / \ Diatessaron 5
Sed quamvis ita sese habeat, inquil, melius tamen omnes multipHces proportiones consodantiarum praecedere, su- perparticularitales sequi, sicut pauio ante descripsimus. Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus una intentione pro- 10 ductus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet in pulsu, pulsus vero omnis ex motu sit cumque motuum alii sint aequales, alii vero inaequa- les, inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus , alii vero mediocriter inaequales : ex aequalitate 15 quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inae- quales sunt, manifestae primaeque ac simpliciores eve- ^ niunt proportiones , quae sunt scilicet multipUcis ac su- perparticularis, dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri at- 20 que sesquiterlii consonantiae. Ex bis vero quae in reli- quis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel ionge omnino a se distantibus inaequalitates iiunt , disso- nantiae existunt, nulla autem sonorum concordia pro- creatur. 25
Quid oporieat praemitti ut diapason in multiplici genere , demonstretur,
XXI. Hoc igitur ita distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici in- aequalitatis genere et in duplicitatis habitudine repperiri. 30
3 o addit numeros consonantias continentes. 6 omnis i. 8 paulo om, i. 9 consonantia sit g, h, k. 13 fit g. || ali- qui sint ff, k. II aliqui vero k. 14 sunt i. 17 ea] hae ' 0. II qua] quae g, h, i, o. 18 manifeste i. 19 multipli- ces ac superparticulares h, i, o. 20 atque] ac k. 23 inae- ^uales h. 26 Inscnpt, om. g. || Quod i, k. 28 -XX. h.
254 INST. MUS. U, 22.
Ac primufD quidem iilud demonstrftndum, quemadmodum
in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agno-
sci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddaro, quo
prius cognito facilior demonstratio fiat. Ab omni super-
5 particnlari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem , quae est scilicet minor , id quod relinqui- tur minus est eius medietate, quae detracta est, propor- tionis. Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam ses- qualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detraha-
lomus; relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem , sed ea distantia minor est, quae in semitonio repperitur. Quodsi duplicata sesquioctava coinparatio non est integra sesqui- tertia , simpiex sesquioctava non est sesquitertiae propor-
15 tionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio
auferas» id, quod relinquitur, medietatem sesquiquarti
non efficit. Idemque in ceteris.
Demonstratio per inpossibile diapason in muUipiici genere
esse.
20 XXII. Age nunc ad diapason consonantiam redeanms. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonanlia. Aufera- tur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinqui-
25 tur diatessaron. Bls igitur diatessaron minus est uno dia- pente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonan- tiae medietatem , quod est inpossibile. Monstrabitur enitn bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quodrca ne diapason quidem in superpar-
30 ticulari inaequalitatis genere poni potest.
5 eis f. 11 sesquitertiam integfam f. 18 Inscript»
om, g. 19 non esse i. 20 -XXI- b. 22 inaeqiialitate i. 25. est om, g, h, k. 30 non potest g-.
INST» MUS. n, 23. 265
Demonstraiia diapente^ diatessaron et tonum in superpar-
liculari esse,
XXIII. Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et lonum in superparticularitate ponenda esse monslremus. Nara etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason 5 in superparticulari genere non esse ponendam monstravi- mus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singil- iatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebilur conlocandas. Nam 10 in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, siiperius ut arbitror 6xplanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multlplici genere. Et quoniam diates- saron consonantia minor est, diapentfe maior, diatessa- ron duplici diapenle vero triplici proportioni multipli- 15 citatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consouan- lia diatessaron consonantiae diapente continua, ila si (liatessaron in duplici statuatur, diapente in continua (luplicis poni. id est triplici. Tonus autem, quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimi- 20 rum in ea proportione ponatur, quae est minor du- plici. Haec autem in multiplicitalis genere non potest inveniri. Restat igitur, ut in superparlicularitatis habitu- dinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni pro- portio. Nam si duplicem auferamus Iriplici, quod relin- 25 quitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex esi, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a dia- pente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesquaitera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quem- sa admodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque coiligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii
3 •XXII- h. Totum caput deest in g, ex quo duo folia
sunt resecta* 6 ponenda i, f. 8 si om. i. 9 quis] qui
i. II quis has . . . Nam in superpartienti bis o. 16 est
enim h, k, o. 18 alterum in om. i. 21 ponetur f. 27 subla- tumque f, h, i, k. || a corr. additum in f ; ac i.
256 INST. MUS. II, 23.
spalio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere non conlocentur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor
5 quam diatessaron , diatessaron vero minus est quam dia- pente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessa- ron in tripla , tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron el tono, quadruplum igitnr secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit.
10 Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus Iriplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrabas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione con-
15 stabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores,
tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supple-
bunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium
minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur
demonstratur diatessaron consonanliam non esse multi-
20 plicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocarl. Nam si in eo statua- lur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in du- plici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia
25 possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore haJbitu- dine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Dia- tessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari
30 non potest — non est enim quicquam minus a duplici — sit igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia ; in continua
1 ut non h, k; non ccyrr, additumin f. 2 inaeqaalitate i. II non om. f, h, i, k. 3 coUocetur i, f, o. 4 perscribat] Videtwr legendum : praescribat. 5 vero om, i. 7 triplo i. 9 acj et k, o. 12 sl om, i. 15 fiunt] sunt i. 16 uno k. II nulia ratione supplebunt om, k. 18 minus om, h, k.
22 qnoniam] quod i. ([ continua] consonantia i. 23 mi-
nimo multiplici f. || in ow. h, k, o. 28 Sit] Si f , h, i. 29 quae] qui i.
Inst. Mus. Ii, 24. 257
cnim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii am-
pliores sunt uno sesqualtero. Duo igilur toni unam dia-
tessaron consonantiam viocent, quod nulia ratione con-
tinget. Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron
in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in 5
superparliculari inaequalitatis genere iure ponentur.
Demonstratio diapente et diatessaron in maximis super-
particularibus esse.
XXIIII. Illud quoque addendum est necessario, quo- niam si diapente ac diatessaron superparticulares propor- lo liones tenent» in maximis superparticularibus proportio- nibus collocantur. Suot autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur boc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est i5 dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones super- particulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, du- 20 plex yero proportio ex sesqualtero sesquitertioque com- ponitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copula- tur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesqui- tertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non ^o poteruttt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus propor- tionibus steterint> sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent. 30
6 genere iDaeqnalitatis h, k, o. 7 Inscript. om, g. || ^iatessaron] diapason h, k. 9 •XXIII- h. || necessario est g, h, i, k. 12 autem] aut i. || maxime i. 22 collocatur g, h, k. 24 statuatur g, h, k, o. 1| et] ac k, o. 29 hanc] duplicem i; duplicem corr. additum in f.
Boetiu8. 17
258 INST. MUS. II, 25, 26.
Diapente in sesqualtera^ diatessaron in sesquitertia esse^
tonum in sesquioctava.
XXV. Dicoautein, quoniam proprie diapente in ses- qualtera, diatessaron in sesquitertia proportione consistit.
5 Quoniam enim inter utrasque proportiones , sesqualteram scilicet et sesquitertiam , sesqualtera maipr est et sesqui- lertia minor, quoniamque in consonantiis diapente maior» diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae aptandum. Erit
10 igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in
proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron
a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium,
quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni
sesqualterae minuamus, relinquitursesquioctavaproportio.
15 Quo iit , ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui.
Diapason ac diapente in tripla proporiione esse, in
quadrupla his diapason,
XXyi. Sed quoniam demonstratum est, diapason qui- 20 dem duplam, diapente vero sesqualteram , iunctas vera duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportione constitui, Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur 25 si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis dia- pason supra esse monstravimus.