10 exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus primo ac secundo, id est •II., tertius primo secundo ac tertio, id est •III- eritque dispositio haec :
I. I. I.
15 I. II. III.
Rursus sint •III* binarii in aequaiitate constiluti II. II. II. Ponalur primus primo aequus, id est -11-, secundus primo ct secundo, id est •IIIL, tertius primo secundo et tertio, id est -VI- ; et erit dispositio haec :
20 II. II. II.
II. IIII. VI.
Rursus ideui de ternario:
25 Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in diffe- rentiis numerorum, ipsi vero nunieri iuter se nuHum inter- mitlunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus
80 iniermittilur. Sin vero ternarius, idem diflerentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittun- tur, ac deinceps ad hunc modum. Est etiam alia propor-
1 ab] cum f. 7 proportionalitas haeo i. 12 ac corr. add. i. 16 binarii trcB k. || aequitate i. 25 hi»] hic in Hiura i. 29 semper] super, mutatum in semper, f. 32 etiam] enim g, h, k.
Inst. Mus. Ii. 15. 245
tionalitatem arilhmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo acduobus secundis, ter- tius primo, duobus secundiset tertio. Ut si sint tres uni- tates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est •II-, 5 secundus vero primo ac duobus secundis, id est •III*, ter- tius autem primo, duobus secundis et tertio, id est •UII-
I. I. 1.
II. III. IIU.
Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter lo binarium enim et unitatem atque inter ternarium ac bina- rium unitas interest. Nullus vero haturalis numerus inler- mittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter conslitutus. Idem rursus in binario fiat» sintque tres binarii et sit primus primo ac i5 secundo aequus, id est quaternarius, secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est octonarius.
II. II. II.
IIII. VI. Vlll. 20
Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter •IUL ac •VL quinarius naturaliter, inter -VI- atque VIII- septenarius coHocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia uno minus semper numeris inter- 25 missis. Atque idem et in quaternario quinarioque per- spicitur. Et quae nos propter brevitatem tacemus, isdem regulis ex semet ipso diligens lector inveniet.
1 arithmeticam proportionalitatem h. 2 constituatur- que g, h, k, o. 10 Hic] Sic k. || teneat k; tenet, a ra- 8ura deleio, h. 10 — 14 Quae hic dicuntur apia sunt propor- tionalUaii I. II. III. cum praecedat II. III. IIII. Boeiium in hunc errorem inddisse vix credideris. 11 inter] in f. || ac] et g, h, k. 14 constitutus est o. |1 Idem] Id est g. 15 ut sit f. • 21 Hic] Sic. k. 22 ac] et f. 23 uaturaliter in- mittitur f. 26 quaternario in k. || perficitur o ; conspicitur g, h, k. 27 hisdem f, g, h, k, o.
246 INST. MUQ. ir, 15.
Georoetrica vero proportionaUtas tunc quemadmodum
inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando, quem-
admodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluat» mon-
strabamus. Nisi tamen fastidium est , nunc quoque bre-
5 viter repetendum est. Constitutis eniro tiibus aequis ter-
minis ponatur primus primo aequus, secundus primo ac
secundo, tertius primo, duobus secundis et tertio. Idem-
que iiat continue. Atque ita ex aequalitate geometrica
proportionalitas principium sumat. Sed de harum pro-
10 portionum proprielatibus perquam diligentissime in arith-
meticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector
accedet, nullo dubitationis errore turbabitur.
'Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur
15 enim , si quidem duplices curamus ef&ngere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequalis, secundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates:
20 l l I.
Constituatur igitur primusprimoacduobussecundisaequa- lis» id est ternarius, secundus vero duobus primis et duo* bus secundis, id est •lilL, tertius vero primo,duobussecun- dis et tribus tertiis, id est -¥1- £t si in binariis aequaii- 25 tas constituatur vei in ternariis eadem ratio medietatis apparet, dupio a se terminis diiferentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent.
I. I. I. Ji. II. II. III. III. m.
III. IIII. VI. VI. VIII. XII. VIIII. XII. XVIII.
30 Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio tri-
bus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus
jBSi ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duo-
2 invenire f. 9 sumet f. 10 perquam] quam g, h, k. 11 instructns illis k. 13 laoins g, k. 15 si curamns qni- dem duplices effringere o. || dnplices proportiones h; pro- portiones supra versum k. 18 et om. f. || ter om. i, o. 20 Z/nitates om, f. 29 VIIII. XII. XVIII.] VI. VIIU. XVIU. o.
Inst. Mus. Ii, 16. 247
bus secundis, terlius aiitem ex priino, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio:
I. I. I. II. II. II. III. III. III.
II. III. VI. iiii. VI. XII. VI. vim. xviii.
De armonica medietate et de ea uberior speculatio^ 5
XVI. Sed ingressi armonicani disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Conlocetur igitur armonica proportionalitas in- que ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentiae disponantur. ^ lo
differentiae l. II.
III. niL VI.
termini. Videsne igitur, ut -1111« ad -IIL diatessaron consonantiam i5 prodant, -VL ad -1111. diapente concordent, •VI- vero ad •III- diapason misceant symphoniam ipsaeque earum diffe- rentiae rursus eandem statuant consonantiam ? Binarius enim ad unitatem duplus est^ in diapason consonantia con-* stituttts. Quodsi se extremitates muUiplicent itemque 20 medius sui multiplicitate succrescat, comparati Dumeri toni bafailudiaem concordiamque servabunt. Ter enim •VI* efficiunt XVIII., quater •lUI- fiunt XVI- Sed -XVIII- numeros •XVI- minoris parte ootava traoscendit. Rursus minimus terminus, si se ipse miriitipltcet, efficiet VIIII* 25 Quod si maior.terminus sui muitiplicatione concrescat» efficiet •XXXVL, qui sibimet comparati qoadruplam, id est bis diapason concioentiam servant. Quod si haec diligen* tius inspiciamus, haec erit omnis vei differentiarum vel
5 Inscript. om. g, h, k. 6 XVI. om. g, h, k. 8 in quae ea i. 9 superiori h. 11 differentia h. 16 pro- ducant f. II concordant i, k. 17 misceat i, f, o. || ipseque i, f, o. 18 consonantiam.] Descriptionem harum consonantia- Tum addunt h cl k. 20 se om. g, k. 21 concreseat o. 23 fient i. 24 -XVI- numerum f. || oetava minoris parte f. || octava om. i, 26 numerus h. 28 continentiam g, i.
248 INST. MUS. U, 17.
termiiiorum in se invicem multiplicatio. Minimus enioi terminus raedio multiplicetur, iient igitur Xll- Item mioi^ mus terminus maximo multiplicetur , fient •XVIII- Medius vero lerminus maximi numerositate augeatur,fient •XXIIII- 5 Rursus minimus terminus se ipso concrescat, fient •VIIII- ; eodemque modo medius, fient XVL Senarius vero , qui est maximus, si se ipse mulliplicet, XXXVI- reddet. Haec igitur in ordinem disponantur:
XXXVI. xxiiu. xvin. xvi. xii. viiii.
10 Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes XXIIII'
ad XVIir et Xir ad Vnil.. diapente vero .XVIII. ad XII^
et XXIIII. ad XVL et XXXVI. ad XXIIII., tripla autem,
quae est diapason et diapente .XXXVI- ad XII., quadrupla
vero, quae est bis diapason XXXVI. ad •VIIII., epogdou&
15 vero, qui tonus est, XVIII. ad .XVI- comparatione servatur.
Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates^
vicissim locentur,
XVII. Soient autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem aritlimeticara , liunc vero geometri-
20 cam , nunc armonicara medietatem ponamus. De quibu&
in arithmeticis quoque diximus. Id tamen ipsum nunc
etiam breviter expUcemus. Si arithmetica medietas quae-
ritur, dalorum terminorum videnda est differentia eaque
dividenda ac minori termino adicienda. Sint enim X- et
25 -XL^ altrinsecus termini constituti horumque medietas
secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur.
Differentiam prius utrorumque respicio. quae est XXX-
Hanc divido, fiunt .XV- Hanc minori t^rmino, id est de-
nario, appono, fiunt XXV- Si igitur hic inter XL- ac
^ .X- medius conlocetur, fit arithmetica proportionalitas hoc
2 8i medio multiplicetur f, g, h, k. || fiunt f, h, i, k. || igitur om. g, h, k, o. || Item minimus terminus] et si g, h, k, o. 3 fiunt h, k. 5 fiunt f. 6 quae i. 7 si om, i, f, o. 8 disponentur g, h, k. 16 Inscripl. om, g. 18 -XVI. h. II Volent o. 21 Id tamen] Adtamen g; Attamen h, k. 24 Sunt i. 25 termino i. [| medietates i. 29 appone f.
Inst. Mus. Ii, 18. 249
modo : X. XXV. XL. Ilem inier eosdem terminos medie*
tatem geomeiricam conlocemus. Extremos propria nume-
rositate muitiplico, ut -X* in -XL*, fiunt •CCCC* Horum
tetragonale latus adsumo, fiunt -XX* Vicies enim *XX*
efficiunt -CCCC- Hos igitur -XX* medios inter «X* ac -XL* 5
si conlocem, fit geometrica medietas subiecta descri-
ptione formata: X. XX. XL.
Si Tero armonicam medietatem quaeramus, sibimet ipsis copulamus extremos, ut -X- et -XL*; fiunt -L* Eo- rum differentiam , quae est -XXX* in minorem terminum lo multiplicamus, sciiicet in denarium, ut fiant decies -XXX* qui sunt «CCC- Hos secundum L* partimur; fiunt 'Vi- Quos cum minori termino addiderimus, redduntur -XVl* Hunc igitur numerum si inter X- ac -XL- medium con- locemus armonica proportionalitas expeditur: X. XVLXL. i5
De consonantiarum meriio vel modo secundum
Nicomachum,
XVIII. Sed de his hactenus. Nunc illud videtur ad- dendum, quemadmodum Pytliagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri. In qua re ^ scilicet eis Ptolomaeus non videtur adseusus* de quo paulo posterius dicemus. Haec euim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cuius proprietatem sensus apertior conprehendit. Quale est enim unumquodque per semet ipsum, taie etiam deprehenditur sensu. Si igi- 2$ tur cunctis notior est ea consonantia, quae in dupllcitale consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem dederint multiplicita- 3o
9 fient i, f, o. l^ Supra hos si rec, manu h. [| fiunt om. g. 14 si inter om, h. 15 et armonica i. 16 In- seript. om, g, 18 XVII. h. |] acientis o. || Tunc f. || ad- dendum videtur g, h, k, o; videtur addendum videtur i. 19 probant g, h, k. 20 supradictis k. 21 videntur i, o. 22 maxima f; maximae o. 23 primam esse o. 29 relique i. 30 dederunt g, h, k.
250 INST. MUS. II, 19.
tis augmenta et superparticularis liabitadiDis detriaienta. Monstratum quippe est, quod nmltiplex inaequalitas super- particulares |U*oportiones meriti anliqaitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab URftate usque ad quater- 5 narium disponatur: L 11. III. IIII. Igitur uni- binarhis comparatus proportionem duplicera facit et reddit diapason consonanliam eam, quae est maxima et simplieitate notis* sima. Si vero unitati ternarius comparetur,> diapason ac diapente coneordiam personabit* Quateroarius vero uni-
10 tati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason eHQciens symphoniam. Quod si ternarius binario compa-» retur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam suppIeU Isque est horum ordo eunctis ad se invicem comparatis. Namque comparatio restat. Si qua-
15 ternarium binario comparemus, cadet in doplicem pro-
portionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus.
llaque maxime distant soni in bis diapasou» cum a se
quadrupla intervalli demensione discedunt. Minimum
vero inler se esse consonantes videntur soni , cum acutior
20 graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat dein- ceps concinentiarum modus, qul neque uitra quadruplam possit exlendi, neque intra partem tertiam coarlari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason ct dlapente,
25 tertia bis dlapason, quarta diapenle, quinta diatessaron.
Be ordine consonantiarum sententia Euhulidis et Hippasi.
XVIIII. Sed Eubulides atque Hippasus alium conso-
nantiarum ordinem ponunt. Alunt enim multiplicitatis
augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine
30 respondere. Itaque non posse esse duplum praeler dimi-
dium, nectriplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur
7 ea i. 10 quadraplam f. || tenet om. h, k. Ij Boilicet
bis f. 11 effioiet i. || symphoniam cfficiens k. 13 con-
sonantiam g, h, k^ o. 14 Nam quae f, h, k, o. 18 Maxi-
mum g. 24 ordo e«* k. 26 Inscript, om. g. 27
•XVUI. h.
INST. MUS. n, 20. 251
sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam divisionem ses* qualteram, id est diapente, efQci proportlonem. Quibus mixtis , SGilicet diapason ac diapente , tripHcem procreari, quae utramque contineat sympboniam. Sed nirsus tri- 6 piici partem tertiam contraria diTisione parliri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efBcere. Unde fit, nt ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia lo coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason ttomen accepit. Secundom hos quoque hic ordo est: dia* pason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapasott.