5 decima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui sciUcet est pars decima numeri -L* Hic igitur metielur quidem -L- numerum decies •LV- vero un- decies. Secundum -X* igilur atque 'XI* numeros •LV* et •L- propria differentia, id est quinarius permetietur, et
10 sunt •XI* ad *X* sesquidecima comparatione compositi. In
eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria dif-
ferentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum
quos eos propria differentia permensa est. Quod si qua
differentia numerorum ita eos numeros, quorum est diffe-
i5rentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum plu-
ralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit
deminutior differentiae mensura, quam est pluralitas
numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se in-
vicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensio-
20 nem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos pro- pria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo *LIII- et •LVIII. Hos igitur quinarius , qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur •LIII* numerum quinarius decies usque ad L- relinquit vero ternariura. Rursus -LVIII*
25 mimerum metitur idem undecies usque ad 'LV- atque in
eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex
utrisque ternarius, fiunt -L* et -LV-, qui disponantur hoc
modo:
Lin. Lvni.
30 L. LV.
In hoc igirur manifestum esl, maioris esse proportionis inter se -L* et -LV- quam *Llli* ad LVIII* In minoribus
2 etiam] et g, h, k. 5 eonim differentia est g, h, k.
7 metitur f. 9 permetitnr f, g, h, k; metitur o. 11 pro-
portione 'Sunt h, k. 12 integre corr, add. f; integra i.
12 — 13 in qua sunt .... permensa est in margine rec, manu additum in f, 14 differentia e§t g, h, k. 25 idem] id est g. 32 ad] et g, h, k.
Inst. Mus. Ii, 9. 239
enim numeris maior semper proporlio repperitur; quod panlo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multiludincm supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt pro- porlione numeri superius mensi cum additione eius sum- 5 mae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria dilferentia metiebatur. Sint enim numeri •XLVIII* et •LIII* Horum quinarius differentia est. Metia- tur igitur •XLVIII- numerum quinarius decies, fiunt L* Supervadit igitur ^L* numerus XLVlir numerum binario. lo Idem •Llll- undecies mefiatur, fiunt vLV- qni eisdem rur- sus duobus •LIIL numerum supervadit. Addalur utrisque binarius et disponantur hoc modo:
XLVIIL Lin.
L. Lv. 15
Minore igitur sunt proportione -L- ad -LV- comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens super- vadit, quam •XLVIIL et •LIII- numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est. Maiores vero et minores propor- tiones hoc modo inlelleguntur. Dimidia pars maior est ^o quam tertia , tertia pars maior est quam quarta , quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde nt, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus maior semper videa- 25 tur proportio superparticularium numerorum. Quod ap- paret in numero naturali. Disponatur enim numerus natu- ralis I. II. III. IIII. V. Binarius igitur ad unitatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius
2 demonstramus i. 4 minores f, g, h, i, k, o. |1 pro- portiones i, o; proportiones, s puncio subnoiato, f. 6 qua] quam i. 10 igitur om, i. 11 Idem] Id est g. || Idem quinarius g, h, k; quinarius supra versum i. {] isdem i. 16 Minores g, h, k, o. 1| sunt igitur o. || proportiones g, h, k. 17 qua et supra versum 1 quo binario i. 19 differentia qui- narii g, h, k, o. 22 quam anle quinta om, f , g, h, k. 25 maioribus minor i. 27 naturalis numerus h. 28 V* om. g, h, k. II duplex g.
■St. Mus. Ii _ „
Lv. Hi igit"; ™«'"'°. ■=" ■linv-.eub ;
mparanl,,?. " °'^ ,»« ■nvicem su, :!
-•ie,;,?„rc„rp";,:'- PermLuH,' "Portione nume.f "" '^°'"1"" ■■
" "• <=os'^"J"^"'"' Ml- t.„„... ..-u.
eandem meJT "'■ 1"»''™ .~™ Kt-
1"" in u",?s ","'■''"' "'""«■■or«^u.«
'e •nensu;^''"'' '" '^^S'-™*' »' "'">-
V.nhtinebun,',,,''"''"' <--«t - am: ilm<
''"«■n rue,„„t ''"'"'!"'■ P»—- i"'»r-
?ulnariu,'",„"in"""",ue,l
'!"■ ■Liii. •„ "*' •«"■"„.
"'t vero ter' .'■""' ''"'"8-
f™, "ndecie"' '"'"■ "'"
l^T^r' ""'-•■!
" ' ■'-* .|"i .lis',-'
duplicem creant.
liiis ad binarium
illl- adJI- duplus.
■ us superparticulari
■ • ..im numeri If. IIII. 5
A «ist, primus scilicet
,ui est primussuper-
-. undus est multiplex.
.uadruplus efficietur,
plus, atque in hunc lo
i... iplicium ac superpar-
i>rocreantur.
urmonica medietaie.
I tionibus quae erant ia-
iunc de medietatibus esti5
- duorum terminorum ad
ninos autem voco numero-
. .is est aequarum proportio-
*as vero in tribus terminis
primus ad secundum termi- 20
rtionem, quam secundus ad
^ ortionalitas, estque inter •III-
ndus. Has igilur proportiones
tis trina partitio est. Aut enim
.^ ' loris termini ad medium et medii 25
lequa proportio, ut ia his numeris
!ppe ac -11. et inter •!!• ac •III- tan-
n tenet ; noa est autem aequa pro-
hi h corr, add, 5 creant f. 7 est
g, h, k. 9 efficitur g, h, k. 10
'.S JnscripU om. g. De raedletate ar. geom.
/7 supra descriptiones has:
Geometrica Armonica
I. II. ilii. III. iiii. yi.
II ad se terminorum f. 23 His et supra
f4 coniungentis proportiones medii termini f. II ac III.] et .IIL i; et tres o.
ltu.<
tt^
240 INST. MTJS. II, 10. 11.
vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero suut numeri ternarius et quaternarius , minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in minoribus maior proportio continetur. Hinc apparet, quodsi aliqui- 5 bus numeris proportionero continentibus superparticuia- rem aequa pluralitas addatur, maiorem esse' proportionem ante aequae pluralitatis augmenlum, quam postea quam eis pturalitas aequa sit addita.
Qui ex muUiplicibus et superpariicularibus muliiplicatis ^<^ fiant,
X. Illud etiam praemittendum videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fue- rit multiplicalum, id etiam, quod ex illa multiplicatione nascetur, mulliplex esse; quodsi id, quod ex tali multi-
15 plicatione procreatum sit, non fuerit muUipIex, tunc iilud non esse multiplex» quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit, neque superparticulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque
20 multiplex est neque superparliculare» tunc iliud, quod binario muitiplicatum est, vel superparticularis vei alterius generis, non vero multiplicis.
Qui superpariiculares quos muUiplices efficiant.
XL His illud addendum est , duos primos superparti- 25 culares primam efficere roultiplicem proporlionem. Ut si
3 et anie unitas om. i, \\ igitur om. f. 4 Hic f. 7 aeque f, g, o. || quam fiat f. 9 Inscript. om. g. || Qui] Quae k; an i, f. 11 exl e li, k. D superticularibus h, k. . multiplicites g; multiplicitates i, f. 14 esse constat o.
15 eit om. o. 16 esse non f. || esse] fuerit i. 18 prius neque videtur esse omiliendum. 20 est om, f. || superparticulare est neque multiplex i; superparticulare est f, o. 21 super- particularis] particularis i, f; fortasse scribendum superpar- tientis. || superparticularis est h, k. 22 generis est o. j
non vero multiplicis om. h; addendum videtur neqne superpar- ticnlaris esse. 23 Inscripi. om. g. 24 duo primi i, f.
Inst. Mus. Ii, 12. 241
sesqualter et sesquiterlius coniungantur, duplicem creant. Sint enim numeri II. III. illl. Ternarius ad binarium sesqualter, •IIIL ad -IIL sesquitertius, •IIII* ad*II- duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri 11. IIII. 5 VI. Quattuor namque ad •II* duplex est, primus scilicet muUiplex, sex ad •IIII* sesqualter est, qui est primussuper- parlicularis, •¥!• ad -11- triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus eflQcietur, si quadruplum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc lo modum iunctis proportionibus multiplicium ac superpar- ticularium in infinitum multiplices procreantur.
De arithmeiica geometrica armonica medietaie.
XII. Quoniam vero de proportionibus quae erant ia- terim traclanda praediximus, nunc de medietatibus esti5 dicendum. Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem ?oco numero- rum summas. Proportionalitas est aequarum proportio- num collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Cum enim primus ad secundum termi- 20 num eandem retinet proportionem, quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter -IIL terminos medius, qui secundus. Has igilur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii 25 ad maxiinum, sed non aiequa proportio, ut in bis numeris I. U. IIL later «I* quippe ac •II- et iuter •II* ae •III* tan- tum unitas differentiam tenet; non est autem aequa pro*
4 primns om, k; in h corr, add, 5 creant f. 7 est
posi sesqualter om, f, g, h, k. 9 efficitur g, h, k. 10
quinquuplus i, f. 13 Inseript, om, g. De medietate ar. geom.
et arm. h, k. o addii supra descripiiones kas:
Arithmetica Geometrica Armonica
I. II. ra. I. II. iiii. III. nii. yi.
16 enim om, k. || ad se terminorum f. 23 His et supra
versum l as f. 24 coniungentis proportiones medii termini f.
27 1] primos i. || ac -III-] et •III- i; et tres o.
Boetius. 16
242 Q^ST. MUS. II, 12.
portio ; «ll* quippe ad •!• dupli sunt, •III- ad -11* sesqualter. Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus difTerentiis constituta, ut in Ins numeris I. IL IIII. Nam *n* ad -I* ita sunt dupli, queroadmodum quaternarius ad
5 binarium. Sed inter quaternarium binariumque bina-
rius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam
facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque
eisdem proportionibus neque eisdera differentiis con*
stat, sed quemadmodum se habet maximus terminus
10 ad minimum, ita sese habet maiorum terminorum diffe-
rentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his
numeris III. IIII. VI. Nam -VI- ad IH* duplus est,
inter -VI- vero et •IIII- biuarius interest, inter quaterna-
rium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus
15 ad unitatem rursus dupbis est. Ergo ut est maiimus ter- minus ad minimum, ita maiornm differenUa ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas» in qua aequaesunt differentiae» arithmetfca, iiia vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illaautem, quam
20 tertiaro descripsimus, armonica. Quarum haec subiciamus exempla:
Arithmetica. Geometrica. Armonica.
I. U. III. 1. 11. IIII. UI. IIII. VI.
Non vero ignorarous esse alias quoque proportionum me- 25dietates, quas.quidem in arithmeticis diximus« 6ed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionaltlas quidem proprie et maximegeometrica nuncupatur idcirco, qiloniam aequis proportionibtts tota cMilexitur. Sed tamen eodem ute- 30 mur promiscue vocabuio proportionalitates etiam ceteras nuncupantes.
1 snnt dupli f. || sesqualtera i: eesqualteri f. 12 est om, k. 14 vero ac] autem et k. 16 ad minorum diffe- rentiam om, f; sed in nutrgine est additum: ad minorum ter- min^rum differentiam. 17 igitur om, k. 20 describimua g, h, k. 22 Jnscripiiones om, f. 24 quoque aliaB i, || quo- que om. k. 26 haec f. 27 propriae i, f. 30 propor- tionalitatis i.
In8t. Mus. Ii, 13 — 15. 243
De caniinuis medieiatibus et disiunctis,
XIII. Sed in his alia continua est proporlionalilas alia disiuncta. Continua quidem ut superius dlsposuimus; unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponilur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero 5 duo sunt medii» tunc disiuncla proportionalitas nuncupa- tur, ut in geometrica hoc modo: I. IL 111. VI. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et vocatur haec disiuncta proportionalitas. Unde intellegi potest, continuam quidem proportionalitatem in tribus lo minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor, Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse pro- porlionalitas, si quidem hoc modo sit: I. II. IIII. VIII. XVI. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semper- que una niinus, quam sunt termini constituti. i5
Cur iia appellaiae sini digesiae superius medietaies.
XIIII. Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem 20 vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in diflerentiis ac ter- minis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arilhmeticis disputatum est, nunc vero, ut commemoremus tantum» ista percurrimus.
Quemadmodum ab aequalitate supradiciae processerint ^»
medietates.
XV. Sed paulisper quemadmodum istae proportionali-
1 Inscript, otn. g. || et [ac h] disinnctis medietatibuB h, k. 4 enim] quidem k. || medius numerus h. [| qui- dem] enim k. 11 et minimam f, g, h, i, k, 0; minimis correciiotie rec. manus i. 16 Inscripi, om, g. || sint om, k. j| superius flig<estae h. 24 commemorem, em mutato in emus, f. 25 Inscript. om. g, \\ supradiotae . . . medietates] medieta- tes istae procreentur h; mediQtates istae processcrint k.
244 INST. MUS. n, 15.
tates ab aequaJitate procreentur diceudum est Praedi-
ctum est enim, quod in numeroTalet unitas, idem in pro-
portionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est
unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium.
5 Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate
nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi
sunt, quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur
enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo,
tertius primo secundo ac tertio. Quod hoc monstratur