quartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecla descriptio.
sesqual- sesqui- sesqui-
ter quarlus sexlus
6 11. m. IjIL V. VL VII.
sesqui- sesqui-
tertius quinlus.
SuperparlieDtes autem tali modo repperies. Disponas na- turalein numerum a ternario scilicet inchoantem. Si 10 unum igilur intermiseris, superbipartientem effici perno- tabis; quod si duo, supertripartientem ; quod si tres, su- perquadripartientem, idemque ih ceteris.
superbipartiens superquadripartiens
IIL im. ^ VI. VII. VIIL VlTlL
^^ superlripartiens
Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multi- plici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his ta- raen omnibus in arilhmeticis expeditius dictum est.
^ Cur multiplicitas ceteris antecellai.
V. Sed in his iliud est considerandum» quod multi- plex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplici- bus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis 25 vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro forma-
3 sesquisextus om. o. 5 VII. om. o; VIII addunt g, h. 3 reperias i. || Disponas autem f. 10 igitur om, h, k. ||
superpartientem h, k. 13 — 15 om, o. 20 Inscript. om. g. 21 considerandum est illud h, k. 28 hunc] eundem h, k.
Inst. Mus. Ii, 6. 231
lio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed inler- inissis , nec seniper aequali intermissione , sed nunc qui- <]em una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc <|uattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius: muiti- plicitas ab unitate incipit , superparticularitas a binario, 5 superpartiens proportio a lernario initium capit. Sed de liis hactenus. Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiusque rei demonstralione tractabimus. lo
Quid sini quadrati numeri, deque his speculatio,
VI. Quadratus numerus est, qui gemina demen-
sione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, qua-
ter quattuor, quinquies -V-, sexiens -VI-, quorum est ista
descriptio: 15
II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. Villl. X.
im. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. xlviiii. lxiiii. lxxxi. c.
Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus qua- dratorum inferius descriptorum. Continui enim natura- liter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequun- 20 lur, ut IIIL VIIII. XVI. et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustu- iero, quod reiinquitur, tantum erit, qnantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungttur. Ut si quattuor auferam novenario, -V- sunt reliqui, qui ex duo- 25 bus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum iatera, coniunguntur. Item novenarium aufero de eo, qui sede- cim numeris adscriplus est, septem sunt reliqui, qui sciii-
3 vero om, f, h, k. 6 portio h, k. 7 actenns i, f, o. || qaae] om, h. que g, k, o. || quasi demonstrationes axiomata g; qaasi demonstrationes auae axiomata h, k. 11 Inscript. om, g. 13 concrevit f. [] ter tria f. 14 sexies f , g, h, k, o. [I descriptio ista g, h, k. 16 VIIII. X. om, g, 0. 17 LXXXI. C. om. g, o. 18 latus est f, g, h, k. o. 20 con- secuntur g, h, k. 21 •VIIII- et -XVI- g. 22 quadrato om. g» h, k, o.
232 INST. MUS. II, 7.
cel ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui prae- dictorum quadratorum lalera sunt ; idemque est in ceteris. Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas id, 5 quod ex utriusque lateribus efBcitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam •XII* relinquuntur. Quorum •XII- medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateri- bus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et qual- tuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris
10 idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque lalera con- iungunt. Ut si quattuor de *XXV- auferam intermissis duobus quadratis, reliqui *XXI- sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque, qui eflGciunt septem, qui sunt pars
15 tertia numeri •XXI- Atque liaec est regula, ut, si tres in- termissi sint, pars quarta sitid, quod ex utrorumque late- ribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiorc re- iinquitur; sin quattuor transmittantur , quinta, atquc uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio
20 numerorum.
Omnem inaequalitaiem ex aequalitate procedere eiusqiie
demonstratio.
VII. Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tri-
25 bus enim praeceptis, ut in aritbmetica dictum est, multi- plices proportiones ex aequalitate producimus, ex conver- sis vero multiplicibus superparticulares babitudines pro- creamus. Item ex conversis superparticularibus super- partientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres
30 unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti sciiicet
2 est om, h, k. 5 utrisque h, k. 8 autem om. h, k. 14 sunt latera g. 21 Inscripi. om. g. 26 proportiones
om, k. 80 quitlibet o; quotlibet f; quodlibet g, i; quo-
rumlibet h; quorumlibet ei supra versitm sA quot k. |) aequi
numeri vel termini o. 31 terminis i.
Inst. Mus. Ii, 7. 233
ordine constilutus, secundus vero primp ac secundo, ter-
tius primo, duobus secundis ac terlio. I(a enim numero
progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut
descriptio monet:
I. I. I. 5
I. II. IIII.
Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitatt primae ac duabus unitatibus secundis lo atque unitati tertiae, et est I. II. IIII. dupla proporlio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabi- tur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus is- dem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno pro- 15 bemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus IIII. II. I. Ponatur igitur primus primo aequus, id est •IIII-, secundus primo scilicet et secundo, id est -VL, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est •VIIII-, quibus dispositis sesqualtera notatur 20 esse proportio.
IIII. II. I.
IIII. VI. VIIII.
Atque id si de triplis iiat, sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis 25 proportionalilas ex multiplicitate na^cetur. £x superpar- ticuiaritate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesqualtera comparatio VIIII. VI. IIII. Ponatur igitur primus primo aequus, id est •VIIII-,
8 superiori g, h, k, o. 9 iinitati primae g, h, k, o. || nnitati post secnndae om, g, h, k. 10 aeqnns est om, g,
h, k. 12 comparabitur g, k; comparabitnr et supra ver- sum al. procreabitur h. 13 de triplo i, f, 0. || de qua- druplo o. II quinquupla i, f. 14 hisdem f, k, o; idem g, h. 15 finnt g, h, k. 18 primus scilicet i. [| et] ac g, h, k. 24 Adqne i. 25 consimilibusve h, k. 26 nascitur h, k.
27 dicitur g.
234 INST. MUS. II, 8.
secundus primo ac secundo, id est -XV-, lerlius primo,
duobus secundis^ et tertio, id est XXV. Ac disponantur
in ordinem hoc modo:
VIIII. VI. IIII.
5 VIIII. XV. XXV.
Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem dili- gens scrutator accedat, ex sesquiterliis conversis super- triparlientem producit ceterisque similibus vocabulis ad-
10 aequatis cunctas ex superparticularitate superparlientes species procreari mirabitur. Ex non conversis aulem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse esl multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus ila, ut ex
15 superparlicularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hacte- nus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac compa- ratione est disputatum.
Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares ^ ' inveniendi.
VIII. Saepe autem accidil, ut tres vel quattuor vel
quollibet aequas superparticularium proportiones de mu-
sica dispulator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia
facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula
25 quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus.
Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus tot
superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in
contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate
discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat,
30 triplex sesquitertias , quadruplex sesquiquartas, ac dein-
1—2 tertiu» . . . .XXV. om, f. 9 vocabulis om, f. g. 19 Inscript om. g. \\ quodlibet g, k; quolibet f, o. 22 pro- portiones euperparticularium f. 23 inscientia g; inscien- cia o. 29 decesserit i, f.
Inst. Mus. Ii, 8. 235
ceps in hunc modura. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio.
I. 11. iiiL vm. XVI.
111. Vi. Xii. Xxiul
VIIIl. XVIII. XXXVl. 5
xxvii. Lim.
Iti superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium babet, qui possit facere sesqual- teram proportionem. Ternarius vero non babet, qui ei lo possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in babitudine sesqualtera compa- ratur. Et in ceteris idem est. Tripii vero eodem modo as sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo descriptio :
XXVII.
LXXXI.
xu.
XXXVI.
CVIII.
XLVIII.
LXIIII.
CXCII. CCLVI.
In superiore igitur descriplione sesquitertias proportiones iia natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos , tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. 25 Quod si quadruplum statoeris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praece- dunt , quoto ioco ipsi ab unitate discesserint. Unam vero tantuffi quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut »0 in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat.
10 non habet rero i. 11 deficit medietate i. 24 tres
tertius i. 27 ain o. || quinquuplus i, f. 27—28 Multiplices
singnli denominatione h. 29 decesseriut i, f.
236 ^NST. MUS. II, 8.
I. Iiii. Xvi. Lxihl Cclvl
V. XX. LXXX. CCCXX.
XXV. C. CCCC.
CXXV. D.
5 DCXXV.
Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur iaventa, ut, quotienscunque quattuor vel V- vei quotlibet sesquai- teros vei sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet aiias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore laba-
lotur; utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multi- piices videatque quantos superparticulares requirit, eum- que multiplicem respiciat, qui eo ioco ab unitate recesse-
15 rit; ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur in- vestigationem — hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit — sed ut ab oclonario medietates temptet apponere. Hic
20 enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesqualte-
ras proportiones efficiet. £t in ceteris eodem modo. Est
etiam alia augendi proportiones via hoc modo. Radices
proportionum dicuntur in eisdem comparationibus mini-
mae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis
26 unitate mulctatus : IL ffl. IIIL V. VI. VIL Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera -III- ad -IL, sesquitertia •011- ad 'Uh, sesquiquarta -V* ad •IUIs et deinceps in infinitum, el quaecunque se proportiones unitate praecesserinL Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones con-
16 quesierit g, o. || iit om. g, h, k. 19 sesqualte-
ras inedietates h, k; sesqualteras corr. add. f. 20 quae-
ret i, f, o. 22 etiam] enim g, h, k. || proportionis i, f. 26 multatus k, o; multatus et supra versum i. privatus f, h; multiplicatus g. 26 ut in sesqualtera g, h, k, o; ut in corr, add. f. fl in sesquitertia . . . in sesquiqnarta g, h, k, o.
28 propositiones h. || se om. o. |) proportiones unitate se g» ^»^^» II praecesserint] supra versum: minimae sunt h, k.
29 igitur om. h. || propositiones g.
Inst. Mus. Ii, 9. 237
tinua comparatione producere. Sumo radicem sesqualte-
ram- eamque dispono: •11* et *1I[- Multiplico igitur bina-
rium per binarium, fiunt •IIII* Item ternarius per bina-
rium crescat; erunt •¥!• Rursus ternarium in semet ipsum
ducemus; fiunt •VIIII- Qui disponantur hoc modo: 5
n. III.
IIIL VI. VIIII.
Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportio- nes YL ad IIII- et Vllir ad Vl- Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in lo exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposue- ram , ipsasque sesquaiteras proportiones. Multiplico bi- narlo quaternarium, fiunt •VIII- , rursus senarium binario, fiunt •Xil-, rursus novenarium binario, fiunt -XVIII., rur- sus novenarium ternario, fiunt XXVII- Disponantur igi- 15 tur hoc modo:
II. m.
IIII. VI. VUII.
VIII. Xil. XVIII. XXVII.
Atque hic modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias pro- 20 porliones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius- ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eadem- que multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendas. 25 Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.
De proportione numerorum , qui ab aliis meiiuntur, VIIII. Si duos numeros eorum differentia integre fue-
2 et om, o; ad f. 8 Invenies f; Inveniuntnr o. 15 novenario ternarium g, o. || igitnr om, o. 21 pones h, k.
25 sesqaiquartas f. || quodlibet f. || extendes g,^ h, k, o.
26 autem om, i. || prosint hae considerationes k. 27 de-
monstrabit o. 28 Inscript, om, g. || metuntur h, k. 29
integra i, f.
238 INST. MUS. II, 9.
rit permensa, in eadem sunt proportione mimeri» quos
sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam
hi numeri, secundum quos eos soa mensa est differentia.
Sint enim numeri L^LV- Hi igitur ad se invicem sesqui-