enim etiam istae smit constitutae. Est auiem quarta me- dietas, quae opposita videtur armonicae. In qua tribus teriDinis positis , quefnadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad differentiam maximorum, ut sunt III. V. VI. i^ex ad ternarium duplus 5 est, et sunt minores ten»ini -V- et '111% maximi vero huius dispositionis •Vi- et -V- Differentia vero minorum, qui- narii scilicet et ternarii, -li* sunt, maiorum, quinarii et i senarii, -I* Qui •II* ad -I* comparati duplum faciunt. Ergo quemadmodum est maximus terminus ad parvissi- lo mum, sic minorum terminorum differentia est ad diiferen- tiam maximorumT^ Liquet autem oppositam et quodam- modo contrariam esse hanc medietatem armonicae im^ dietati idcirco, quod in illa quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic terminorum maiorum diffe- 15 rentia ad differentiam minorum, hic autem e contrario. £st autem proprium huius medietatis, quoniam quod con- tinetur sub maxiino termino et medio duplum est eo, quod contiaetur sub medio atque parvissimo. Sexies enim quin- qtie «XXX. sunt, quiaquies vero tres -XV- ?o
Duae vero aliae medietates, quinta scilicet et sexta geometricae medietati contrariae sunt et eidem videntur oppositae. Est autem qxiinta medietas, quotiens in tribus terminis quemadmodim) est medtus terminus ad minorem terminum, ila eorum differentia ad differentiam medii at- 25 que maioris. Nam in hac dispositione II. IIII. V. qua- ternarius ad blnarium duplus est. Sed inter quaterna-
2 vide«tur a, b. 3 terminns maximiis d. 4 diffe- rentiae c. 5 -VI- r. 6 est om, c, r. 7 V- et -VI- a. 11 Differentiae c. 9 ad •L supra versum s; ad unum c, d, f. 11 est om, c. 12 licet c; licet, c corr in qu, a; licet et supra versum al quet b. 15 maionim terminorum c, d, f, r. 18
daplam duplumj r addit in margine descriptionem XV. XXX. 19 V- c.
20 •III- c. 21 VL d. 28 autem] eniml. 1| quoties d. 25 terminorum a, b, c, I. [] adque r. 26 maiorisj minoris c; miiioris puncUs s^hnotatum et supraversumsec.manumB.io-
dupla
ris s. II r addit in margine descriptionem ^' u/^^'" j, ^*
dupla.
166 INST. ARITHM. II, 51.
rlum et binarium 'II* sunt, inter quaternarium vero et
maiorem terminum, id est quinque, -I- £t -IL ad -I-
dupli sunt. Contrarium autem geometricae medielati in
hac proportione est, quod in iJIa quemadmodum maior
5 terminus ad minorem est, sic maiorum diiferentia ad dif-
ferentiam minorum; hic vero contrarie, quemadmodum
minores ad se termini sunt, sic minbrum differentia
terminorum ad maiorum differentiam comparatur. £st
autem proprium in hac quoque dispositione, quod illud,
10 quod continetur sub maiore termino et medietate dupium est eo , quod sub utrisque extremitatibus continetur. Nam quinquies •IIII- sunt XX-, quinquies vero 11- sunt -X- Et •XX* denarii duplus est.
Sexta vero medietas est, quando tribus terminis con-
15 stitutis quemadmodum est maior terminus ad medium, sic minorum terminorum differentia ad differentiam maximo- rum. In dispositione enim, quae est I. IIII. VI., maximus terminus ad medium sesqualter est, diiferentia vero mi- norum , id est unius et Illl- ternarius est , maiorum vero,
20 id est quaternarii et senarii, binarius. Ternarius autem binario comparatus sesquaiteram habitudinem proportio- nis efficiet. Eodem autem modo haec quoque medietas geometricae contraria est, quemadmodum et quinta^ pro- pter proportionenr dififerentiarum a minoribus ad matores
25 terminos conversam.
2 terminorum a. || -V- c, d, s. (| unus est c, d; -L est 1. |] unum a, b, d, f, 1, r. 5 esset b, c, 1; esset nmtatum in est a. 6 vero] ergo r. || contrariae f, r. 8 maiorem c, d.
duplum
9 dispositione] r addii in margine }!' ^^"- X: || quod illud]
sabduplum.
quod supra versum a. 12 quattuor d, f. || -XX- sunt a, c, s.
14 quando] quoniam corr, in quando a. 15 est terminus
maior a; maior terminus est r. 17 r addit in margine
sesqualter
'lll, *i[^ 20 id est in margine sec. manu a. I| binarius
sesqualler. est c. 22 autem] vero a, r. 23 propter supra versum a. 24 A maioribus ad minores a; a minoribus ad maiores in litura r.
Inst. Arithm. Ii, 52. 167
De quattuor medietatibus ^ quas posteri ad implendum '^denarium limiiem adiecerunt.
LII. £t hae quidem sunt sex medietates, quarum tres usque a Pythagora ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero, qui insecuti sunt, bas tres aHas, de quibus 5 supra disseruimus, suis commentariis addiderunt. Sequens autem aetas» quemadmodum diximus, ad inplendam de- iiariam quantitatem alias quattuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum iibris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim lo quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo coniungitur, cum in tribus terminis quemadmodum est maximus terminus ad ultimum , sic maximi et parvis- simi termini diiTerentia ad minorum difTerentiam termi- norum, ut in hac dispositione : VI. VIII. Vllll. Novena- 15 rius igitur ad senarium sesqualter est, quorum est diffe- rentia ternarius, minorum vero terminorum, id est octo- narii et senarii binarius differentia est^ qui ad superiorem tetnarium comparatus facit sesqualteram proportionem. Secunda vero inter quattuor, sed octava in ordine propor- 20 tioualitas est, quotiens in tribus terminis quemadmodum sunt extremitates ad se invicem comparatae, sic eorum differentia ad maiorum terminorum differentiam, ut sunt VI. VII. VIIII. Novem igitur ad VL sesqualter est. Et
1 Inscript. om, c. 2 denarii f. 3 LI. 1. || -VL c. || tres primae s. 4 usque ad Pythagoram et Platonem b, c, 1; in b supra versum: in al a pytha^ora ad; usque ad Pytha- goram ad Platonem corr. in a Pythagora usque ad Platonem a. 6 III- c. 7 denarium c. 8 •IIII- s. || opposuit d. 9 libris veterum c, s. || inveniet a, c, s. 11 in ordinem a, b, c^d, 1, r. 13 et] ac f. 14 differentia termini s. [| ad minorem ter- minoram differentiam d. 15 dispoaitionej r addit in margine sesqualter
ir"^?//.*' 16 differentia est c, s. 20 .IIII. c. || in ordi-
VI. vin. viiif.
nem a, b, c, d, 1, r. 21 quoties b, 1. 23 differentiae a, b, c, d, 1, r, 8. II maiorem c, r. || ut sunt] insunt s. 24 r ad-
sesqualter
dit in margine ^«f <l«f/«^ || .VIIIL s. || sex f.
VI. VII. VllII.
168 INST. ARITHM. II, 58.
eorum diiTerentia ternarius esi, qui comparatus conlra
maiorum difierentiam, id est septenarii et novenarii, qui
binarius est, reddit sesqualteram proportionem. Tertia
vero inter has sequentes quattuor, nona autem in ordine
5 proportio est, quando tribus terminis positis quam pro- portionem medius terminus ad parvissimum custodit, eam retinet extremorum differentia ad minorum differentiam compardta, ut Ilil. VI. YII. Etenim W- ad •IIII* ses- quaiter est, quorum est differentia l)inarius. Septenarii
lovero et quaternarii ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesqualtera propor- tione coniungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis,. cum tali proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quaii extre-
15 morum differentia contra maiorum terminorum differen-
tiam proportione coniungitur, ut sunt III. V. YIIl. Qui-
narius enim medius terminus ad ternarium snperbipartiens
est ; extremorum vero differentia , octonarii sciiicet et ter-
narii, quinarius est, qui comparatus contra maiorum ter-
20 minorum differentiam, sciiicet quinarii et octonarii, qui est ternarius, et ipse quoque superbipartiens invenitur.
Dispositio decem medietaium,
LIII. Disponamus igitur cunctas medietates in ordi- nem, ut, cuiusmodi omnes sint, faciliime possit intellegi.
25 Arithmetica prima I. II. III.
Geometrica secunda I. II. IIII.
2 maioreiQ b, 1; maiorem, e in VLtnutcUo^ a. 4 *IIII- c.
5 quo2iam corr. in quando a. 8 ut sunt f. ]| r addit in
sesqualter
margine n in 0 ^^^ ^* ^ Septinarii c, r. 14
sesquaHer. • 1iV*^^'P*^Vni*
parvissimam c. 16 r addit in margine \ 'm^ 18 et om.
superbiparliens.
f, r. 19 est om, a, c, d, f, r, s. 20 differentiam termino-
rum 1. 21 superbipartiens est inve&itur d. 22 Inscript.
om. c, d. II decem om. f; -X- r; decim a, 8. 23 UII. om. f.
24 possint c, f, r, s. |1 intelligi a, 1.
tertia
quarla
quinta
UII.
sexta
Ull.
seplima
VUI.
VIUI.
octava
VH.
VIIU.
nona
decima
INST. AjRlTHM. II, 54. 169
Armonica
Gontraria armonicae
Gontraria geometricae
Gontraria geometricae
Inter ini- prima
Inter •IIII- secunda
Inter •Illl- tertia
Inter •Illi- qu^rta
De maxima et perfecta symphomu , quae irihus disien-
ditur intervalUs, lo
LIUL Restat ergo de maxima perfectaque armonia disserere, quae tribus intervallis constituta magnam vim obtinet in nHisici modulaminis temperamentis et in spe- culatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius buiusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus in- j5 tervallis producta perfectisslmi corporis naturam substan- tiamque sortita esl. floc euim modo cybum quoque trina demensjone crassatum plenam armoniam esse demonstra- vimus. Haec autem huiuamodi invenietur , si duobus ter- minis constitutis, qui ipsi tribus creverint intervallis, ion- 20 gitudine latitudine et profunditate, duo huismodi termini medii fuerint constituti ^ ipsi tribus intervaliis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sint producti vei ab inaequalibus ad inaequalia inaequaliter, vel ab in-
3 geometricae contraria r. 4 Contraria arithmeticoe s. Ij I. IIII. V. a. 5—8 quatuor d, f; Illl.or c. 9 ImcripL om. c, d. 11 armonica c, s, F; armonica corr, in armonia a, r; armonica et supra versum I nia b. 13 musicis 1; mu- sici, 8 rasura deleto, s. 15 huiusmodi perfectlus d. 17 sorlitus c. II modo enim a. 18 armonicam c, 1, F; armo- nicam corr, in armoniam a, r; armonicam et supra versuni i niam b. || monstravimus a, d, f, r. 23 sunt 1, s; sunt et supra versum al sint b. 24 ab aequalibus a. || aequaliter f, F. II vel ab inaequalibus ad aequalia aequaliter in fnar- gine F, r; vel ab iuaequalibus ad inaequalia aequaliter a; vel ab aequalibus ad aequalia aequaliter f ; vel ab aequali- bu8 ad aequftlia inaequaliter s; aequalia om, c; ad aequalia ex corr. additum b.
170 INST. ARITHM. II, 54.
aequalibus ad aequaiia aequaliter, vel quolibet aiio modo7
atque ita, cum armonicam proportionem custodianl alio
tamen modo comparati faciant arithmeticam medietatem
hisque geometrica medietas, quae inter ulrasque ver-
5 satur, deesse rion possit. In quattuor enim terminis
si fuerit quemadmodum primus ad tertium sic secun-
dus ad quartum, proportionum ratione sciiicet custo-
dita, geometrica medietas explicatur, et quod continelur
sub extremitatibus, aequum erit ei, quod sub utraque
10 medietate ad se invicem multipiicata conficitur. Rursus si maximus •llll. terminorum numerus ad eum» qui sibi propinquus erit, talem habeat differentiam , quaiem idem ipse raaximo propinquus ad parvissimum, huiusmodi pro- portio in arithmetica consideratione proponitur, et extre-
15 morum coniunctio duplex erit propria medietate. Si vero
inter IIII- qui est tertius terminus aequa parte quarti
quartum terminum superet et aequa primi a primo supe-
retur, armonica buiusmodi proportio medietasque perspi-
citur, et quod continetur sub extremorum adgregatione et
20 mqitiplicatione medietatis duplex est eo, quod sub utra- que extremitate conQcitur. Sit autem quoddam huius dispositionis exempiar hoc modo VI. VIII. VIIII. XII. Has igitur omnes soiidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, •XII- autem ex bis
25 duo ter, horum autem medietates octonarius fitsOmel duo quater, novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur ter- mini cognati sibi et tribus intervailorum demensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas in- venitur, si XII- ad .VIII- vel -VIIII- ad VI. comparemus.
1 quolibet alio] alio qaodam s. 2 custodient d, f, F. 3 tantum cott, in tamen a. || facient d. 4 — 8 quae inter .... geometrica medietas in margine r. -5 terminis enim r. 6 fuerint a, b. 9 ei om. a. 11 quattuor c, d, f. 12 eritl est d, f, F. II habet F. 16 inter] in c, 1; in et supra in: 1 inter b. || quattuor c, f. || terminus] numerus 1. 17 ter- raiuum om. s; numerum 1; numerum ei supra versum k ter- minum b. 18 medietas quae c. 19 alterum et om. c. 21 Fit a. 24 VI. c, f, F. II nascentur r. 25 duo] IL c. || medietas F; medietate, s rasura deleto, s. || duo] •II- c. 26 tres] III- c. 29 novem d. || senarium c, d, f, F.
Inst. Arithm. Ii, 54. 171
Utraque enim comparatio sesqualtera proportio est, et
quod contineiur sub extremitatibus, idem est ei» quod iit
ex mediis. Nam quod iit ex duodecies sex, aequum est
ei , quod fit ex octies •Vllll* Geometrica ergo proportio
est liuiusmodi. Arithmetica autem est, si duodenarius ad 5
noyenarium et novenarius ad senarium comparetur. In
utrisque enim ternarius differentia est et iunctae extremi-
tates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris senarium
et -XII-, facies •XVIII., qui est novenario, medio termino,
duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque nie- lo
dietatem perspeximus. Hic quoque armonica medietas
invenitur, si -ill. ad 'Vlir et rursus •VIII* ad senarium
comparemus. Qua enim parte senarii octonarius sena-
rium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte
octonarius superatur. Quattuor enim , quibus octonarius i5
a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si
extremitates iungas •VI* scilicet et 'XII- easque per octo-
narium medium multiplices, •CXLIIII- sunt. Quod si se
extremitates mulUpiicent, -VI- scilicet et -XU*, facient