armonica est. DisponaDtur euira Vl. VIIL XII. Hic ergo quemadmodura est maior terminus ad parvissimiim , ita differentia maioris et medii ad medii ac parvissimi compa- ratur. HPerpensi namque XII- ad VI. dupii sunt, diffe- ' rentia vero duodenarii el octonarii quaternarius est, octo- 5 narii vero et senarii duo. Dupla autem ratione distabunt duobus qualtuor comparati^ Rursus octonarius, qui me- dietas est, aiia sua parte rainorem praecedit et alia sua parte a maiore praeceditur. Eadem autem parte minoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. lo Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario muitiplicentur, duplus erit ab eo numero, quem solae extremitates multiplicatae perfecerint.
Omnes autem in bac dispositione symphonias musicas invenimus. Diatessaron quidem est VIII- ad -VI-, quo- 15 niam proporlio sesquitertia est, at diapertte -XII- ad -VIII., quoniam, quae sesqualtera comparatio dicitur, in ea dia- pente consonantia repperitur. Diapason vero quae ex dupiici nascitur, ex •XII- ad -VI- compositione producitur. Diapason vero et diapente, quae Iriplicis obtinent rationem, 20 fit ab extremitatum differenlia ad differentiam minorem. Namque duodenarii et senarii VI- differentia est, minor vero est differentia octonarii el senarii, id est .II-; qui senarius ad binarium triplus est, et diapason simul et dia- pente consonantiam sonant. Illa vero maior consonantia, 25 quae cst bis diapason, quae ex quadruplo iit, in medii
2 est om. c. 3 etj om. 1; ad c, d, r; ad et supra ver-
i sum al; et b; ad differentiam s. |{ ad medii om. a, b, c, d, 1,
I r, 8. 4 3ex d. 5 •XII- c, d, f, r, s; duodeuarii vel duo-
, decim a. 6 •II- c. 7 IIIL c; •IIIP'^ f. |l medius 1; medius
et supra versum al medietas b. 8 sui f, s. |1 sui f. 10 maio-
ris] minoris c. 12 octonarii 1; inliturah. 13 perfecerunt
' s. 15 A7ite Diatessaron interserit a capitis quadragesimi
septimi inscriptionem et numerum, [| sex d. 16 est sesqui-
ter^ia a, c, r. || duodecim d. 17 ea, quae a, b, c, d, f, 1, r.
r 18 reperietur c. 18—20 quae ex duplici . . . diapente, quae
in margine F., 19 et -XII- d. || comparatione c, 1. 20 ob-
tinet r. || rationem] locum c. 22 Nam F. || sex d. 23 est
ante differentia om. c. 25 consonantia maior a, c. 26 bis
om, F.
160 INST. ARITHM. II, 50.
termini, id est octonarii, et eius dilTerentiae comparatione perspicilur , cfuae inter octonarium senariumque repperi- lur. Quare proprie atque convenienter huiusmodi pro- portionaiitas armonica medietas appeilatur.
5 Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus ierminis arith-
metica^ geometrica et armonica inter eos medietas alter-
netur; in quo de eorum generationibus,
L. Nos autem praestare debemus quatenus, quemad- modum dato caiamo extremis foraminibus manentibus
10 musicis mos est, ut medium foramen permutantes atque alios aperientes alios digitis occludentes diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis cliordis me- dii nervi sonum musicus vel adstringendo tenuat vel remit-
^iendo gravat: ita quoque datis duobus numeris nunc qui-
15 dem arithmeticam nunc vero geometricam nunc autem armonicam medietatem experiamur inserere» ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus ex- tremitatibus huc atque illuc ferri permutarique videatur. Poterimus autem hanc in duobus altrinsecus positis termi-
20 nis vel paribus vel inparibus permutare ita, ut, cum
arithmeticam ponimus medietatem, differentiarum tantum
ratio aequalitasque servetur, cum vero geomelricam, rata
se proportionum iunctura custodiat, sin autem armonica
fial, differentiarum comparatio ab terminorum proportione
25 uon discrepet. Et sint quidem primo pares positae quae-
dam extremitates , inter quas has omnes medietates opor-
teat internectere, -X- et XL- Prius igitur arithmetica
medietas aptetur. Inter hos ergo si -XXV- posuero, erit
5 Tiiulus omissus est in c, in margine legitur in d, evanuii maximam pariem in 8 ; in & inscriptio capiiis duodequinquagesimi inveniiur, 6 eas f. || alternentur F. 8 XLVIII. a; XLVIIII. 1.
i\ quatinas b, 1, F. 10 forum c, d, r; forum et supra versum forameu b. 11 alios anie aperientes om, d. || vel alios occludentes d. 13 adstringendo vel adfligendo. a. 14 qui-
dem supra versum F, 19 positis om, c, d, f, F, r, s. 22
aequabilitasque F. 24 ab terminorum] aliter minorum c.
26 has om. b, 1 ; has tres s.
Inst. Arithm. Ii, 60. 161
mihi arithmetica proporlio differenliariim quantitate in- mutabiliter custodita, in huiusmodi sciiicet dispositione : X. XXV. XL* Vides enim , ut quindena sese summulae quantitate transcendant ; omnesque proprietaftes, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire , ab hac 5 huiusmodi dispositione non repperies aiienas. Namque quemadmodum unusquisque eorum termifius ad se ipsum est^ quomam sibi aequalis est, ita sunt ad se invicem dif- ferentiae, quoniam sibi sunt aequales; et quanto maior terminus medium transit, tanto medius vincit minorem ; lo et extremitatum adgregatio duplex estmedietate; etmino- rum terminorum proportio maior est ilJa comparatione, quae inter maiores terminos continetur; et tanto minor est numerus, qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo, qui fit ex muitiplicata medietate, quantum eorum diffe- 15 rentiae multiplicatae restituunt; iliud quoque quod medie- tas eadeni sui parte et a maiore vincitur et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit vel maioris a maiore relinquitur. Quae omnes sci- licet proprietates non alterius nisi arithm^icae medietatis so sunt, quod, si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelieget. ;;^
Rursus si inter eosdem -X* et XL. XX. constituam,
statim geometrica medietas cum suis proprietatibus cun-
ctis exoritur , arithmetica medietate pereunte. In hac 25
enim dispositione X. XX. XL. quemadmodum est maior
ad medium, sic medins ad extremum; et quod continetur
ab extremitatibus, aequum est ei, quod a multiplici me-
dietate conpletur. Differentiae quoque eorum in eadem
sunt proportione qua termini. Crementum vero et inmi- 30
nntio proportionum secundum terminos nulla est, sed
1 arethmetica r. || difTerentiarum . . . custodita] quae diffe- rentiaram quantitatem inmutabiliter custodiat b, c, 1. 5 hac linea subnotaium b, om. 1. 6 Nam d; Namque numerus r.
8 aeqnalis est sibi a. 11 extremitatuum a. [| duplus c. 12 est maior f, s, F. 15 differentiae eorum a, c, f, s. 18 auteml cum c. 20 proprietates scilicet f, F. 22 intellegit b, f. F; intelligit 1. 31 si corr. in sed a.
Boetius. 11
162 INST. ARITHM. II, 50.
maiorum termiDorum proportlo a minorum terminorum proportione non discrepat.
Si vero armonicam medietatem coniungere velim,
•XVI- milii numerus inler extremitates utrasque ponendus
5 est, ut sit boc modo: X. XVi. XL. Nunc igitur licet in
huiusmodi dispositione omnes armonicas proprietates
agnoscere. Qua enim maximus ad parvissimum terminus
proportione coniungitur, eadem proportione differentiae
ad se invicem comparautur. Et quibus partibus maioris
10 a maiore medius vincitur, eisdem partibus minoris prae-
lerit minorem ; suis vero non eisdem vel a maiore vinci-
tur vel transit minorem ; et in maioribus terminis maior
est proportio, in minoribus minor; et si in unum extre-
mitates redigaotur et medietatis quantitate concrescant,
15 dupius inde coniicitur numerus ab eo, qui ex solis multi- plicatis extremitatibus procreatur.
Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est.
At vero si inpares proponantur, ut sunt -V- et -XLV- apta-
tus medius «XXV- arithmeticara proportionem medieta-
20 temque constituet. Nam si sint V. XXV. XLV. eadem sese numerorum quantitate termini transgredientur. Et om- nis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si -XV* numerum medium po-
- nam , ut sint V. XV. XLV. , in geometricam medietatem
25 termini relabuntur aequaiibus terminorum ad se inviceoi proportionibus custoditis. 'Vlin- vero si inter utrosque ler- minos ponam, ut sint V. VIIIL XLV., fit armonica me- dietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem maior differentia minorem differentiam
30 vincat.
Qua vero disciplina huiusmodi medietates repperire
3 Sin vero a. [| velim coniungere a. 8 differentiae ea- dem proportione s; differentiae proportione eademrc; propor- tione differentiae eadem f, F. 14 medietates et supra ver- sum al tis b; mdietatis mutaium in medietates a; medietates, tes correcio in tis, f. 19 — 20 arithmeticam . . . . XXV. om, c. 20 constituit a, c, d, f, r, s. [] sunt s. 21 trans- grediuutur a. 23 numerum ponam medium a, c, d, me- dium ponam numerum f. 26 Novem c. || inter] in a.
Inst. Arithm. Ii, 50. 163
posstmus expediendum est. Datis duobus terminis si arithmeticam medietatem conslituere oportebit, utraque est extremitas coniungenda quodque ex ea copulatione coltigttur dividendum, isque numerus, qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates 5 locatus efflciet; Uit .X* et XL. si iunxero, efOciunt -L-, quos si dividam, -XXV- redduntur. Hic eriLjmedius ter- minus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum, quo maior minorem superat, dividas eumque minori superponas quodque inde concrescit medium ponas, lo arithmetica medietas informatur. MNam -XL* denarium tricenario superat, quem si dividas XV* fiunt. Hunc si rainori, id est denario, superposueris -XX- et -V- nascen- lur. Quem si medium constituas, arithmeticae medieta- tis ordo formalur.'^ Geometricam vero si rationem vesti- 15 ges, eius numeri, qui sub utrisque extremitatibus conti- uetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub -XL- et denario numero CCCC- conlinentur. Si enim denarium in 'XL* multipHces, bic numerus cre- scit. Horum igitur quadringentorum require tetragoni- 20 cum latus. Hi sunt -XX- Vicies enim XX. CCCC. effi- ciunt. Repertum ergo latus quadratum medium consti- tues. Vei si eam proportionem , quam inter se dali ter- mini custodiunt, dividas et id quod relinquitur medium terminum ponas. Namque «XL- ad denarium quadruplus 25 est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet -XX* Nam -XX* ad denarium duplus est. Hunc si mediuro constituas , medietatem geometricam perferet. Armonicam vero medietatem tali modo repperies. Diffe- rentian) terminorum in minorem terminum multiplica et so
1 experiendum est, r in d mutato, a. 6 eflicient a, c, r. 7 quos] quod a; quos in litura r. 10 crescit c. 12 triceno et supra versum l nario b. 13 XXV- d; «XX- et quinque f. I nascuntur f, s. 15 formatur] monstratur c, s. |j Ante Geometricam interserit a titulum: De geometrica armo- nia et capitis numerum XLVIIII. 20 tetragonum c. 24 relinqnetnr d. 26 facias a, d. 28 constitues c, d. || per- ferat a, r. 29 Ante Armonicam interserit a titulum et
numerum capitis quinquagesimi. 30 terminorum in minorem ter-
164 INST. ARITHM. U, 51.
post iunge terminos, et iuxta euin, qui inde confectus est, cominttte illuni Dumerum, qui ex differentiis et termino minore produetus est, cuius cum latUudinem ioveneris, addis eam minori termino, et quod exinde coUigitur, me- 5 dium terminum pones. -X* enira et 'XL* faciuni -L- DiiTe- rentia autem inter -X- et XL. XXX. sunt, quem si muki- plices in denarium, id eat in minorem, [decies «XXX. oporlet] •CCC- efiieies. Quos •CCC- kixta eum committe, qui ex iunctis uiris4|<ie coqfectus est, id est iuxla -L- 10 [Facient enim quinquagies senos]. £t inyenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas» facient •XVI- et hic numerus medius constitutus inter X- et -XL- armonicam pi^oportionem medietatemque servabit.
De tribus medietatibus ^ quae armmicae et geometricae 15 contrariae sunt,
LL Hae quidem sunt apud antiquiores invenlae pro-
bataeque medietates, quas idcirco longius enodaiiusque
tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus
inveniuntur, et ad omneni paene vim eognitionis eorum
20 versatur utilitas. Ceteras autem praetereundo transcur-
rimus idcirco, quoniam non multum nobis in leciionibus
ai.' prosunt, sed tantum ad inplendam denarii numeri quan-
titatem. Quae ne lateant neve siiit aliquibus ignorata,
depromimus. Videntur enim bae supra dictis medietati-
25 bus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex bis
minum secunda manu in margine a ; terminorum supra versum s. 4 inde a, d, f, r. || collegitur r. 5 Decem c. 6 multl- plicas a, d. 7 Quae hic ei infra uncis inclusi, etsi omnes quos contuli codices habent, minime iamen a Boetio scripta esse puio. 8 trecentos c. 10 enim om, s. 11 ergo f. jl faciant d. 14 Inscript. om. c. || armonicae] arithmeticae a, b, d, f, 1, r, s. II geometricae] cet. r. 16 L. 1. 18 antiquiorum e. 19 pene c, f, 1, r, s. || collationis vim s [| vim coUationis sive cognitionis f. [J cognationis c ; cognationis et supra a 1 i r; cognitionisque supra versum s. 21 idcirco om. c; supra ver- sum s; iccirco 1. || quod d, f, r; quod et stqtra versian at "^ b. 22 denarii ad implendam c. || implendum s. || denari r.