15 terminum , si<3 differentia maximi et medii ad difTerentianri medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est III. IIII. VI., maior terminus, id est senarius, ad par- vissimum terminum, id est ternarium, duplus est et diffe- rentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo
20 scilicet, ad difTerentiam medii et ultimi, id est quaternarii
atque ternarii, quae est unitas, dupia perspicitur. Sed
hoc quoque subiecta descriptione monstratur.
DifiTerentiae dupiae. DifTerentiae triplae. I. II. I. III.
25 Iii. 11». Vi. Ii. Iil Vl
Termini dupli. Termini tripli.
Habet autem proprietjitem, quemadmodum dictum est^
contrariam aritbmeticae medietati. In illa eoim in mino-
ribus terminis maior erat proportio, in maioribus minor.
30 In hac vero in maioribus quidem terminis maior est pro-
portio, in minoribus vero minor. ^Namque in hac dispo-
1 InscripL om. c, d. || armonia r. 2 XLUII. a; XLVI. 1. 4 illa ex corr, add, d. || in ex corr, add, r. || qaemammodam d. 10 •!• f, 8. II medietate snperat f. 11 •lU^ c, f. 17 •VL s. I id est om. d, f, r, s. 21 atqae temarii ex corr add, d. 22 monstratar descriptione f. || demonstratar b, 1. 2H dupU b. II tripli b; daplae d. 24 I. IIL om, d. 26 dapli. Ter- mini om, d. || triplae d; terne s. 28 in om, d. 29 erit d, s.
Inst. Arithm. Ii, 47. 153
sitione III. lUI. VI. tres ad quattuor comparati sesquiter- tiam babitudinem , sex vero ad quattuor, sesqualteram -^ reddunt. Sed maior est proportio sesqualtera a sesqui- tertia tantum, quantum pars tertia medietate transcendi- tur.^ luste igitur medietas quaedam geometrica proprie^s que esse proportionalitas iudicatur, sciiicet inter eam, ubi in maioribus terminis minor est proportio et in minoribus maior , et inter eam , ubi in maiorihus roaior est, in mino- -^ ribus minor. Illa est enim vere proportionaiitas, quae medietatis quodammodo locum obtinens et in maioribus et ^o in minoribus aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque signum est duarum extremitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionenu Namque in arithmetica proportione medius terminus ea- dem sua parte et minorem praecedit et a maiore praece- 15 ^itur^ sed alia parte minoris, alia vero parte maioris. Sit enim arithmetica dispositio II. III. IIII. Ternarius igi- tur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris mino- 20 rem vincit vel maioris a maiore superatur. Namque mi- norem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medie- tate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est, me- dium terminum in huiusmodi medietate eadem sui parte 25 et minorem vincere et a maiore superari, sed non eisdem partibus vel minoris minorem transgredi vel maioris a maiore transcendi? Contrarie armonica medietas propor- tiones habet. Namque non eadem parte sua medius ter- minus in hac proportione vel minorem vincit vel a maiore so
1 atque quattuor d; ad IIII- c. 2 VL c, f. || IIIL c. 5 instae f , r. || propriaeque f, r. || proprie, omisso que et esse, 1. .9 eniin est vere b, c; enim vere est 1. 16 parte maioris] parte minoris c; maioris omtsso parte f. 21 a maiori c. 22. superat uno c. 23 quae] qui d; quae uni- tas s. 24 est quarta pars quatemarii a; pars ^st quater-
narii quarta f, r, s; est pars quaternarii quarta c. 25 eius- modl a, 8. 28 Contrariae c, f, r.
154 INST. ARITHM. II, 47.
siiperatur, sed eadem parte noinoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. Hin hac enim dis- positione armonica, quae est II. III. VI. ternarius bina- rium tertia sui parte vincit, idem temarius a senario tota
5 sui quanlitate superatur, id est tribus, idemqne ipse ter-
narius medielate minoris vincit minorem, id est uno, et
medietate maioris a maiore termino vincitur, id est tri-
-- bus. Senarii enim medielas ternarius est? In geometrica vero medietate neque eisdem suis partibus medius vel vin- y 10 cit minorem vel a maiore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superatvel maioris a maiore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, ea- (lem parte sua maior terminus medium vincit, quod est ut niedietas atque extremitas aequalibus medietatem et
15 extremitatem reliquam suis partibus supervadant. Hln hac enim dispositione , quae est IIII. VI. VIIII. tertia sui parte medius senarius quaternarium superat , id est duobus, et tertia sui parterursus novenarius senarium vincit, id est tribus? Habet autem aliam proprietatem armonica me-
20 dietas, ut cum duas extremitates in unum redactas medie-
tas multiplicaverit, dupla quantitas coUigatur, quam si
se multiplicent duae extremitates. ^Sint enim hi termini :
III. IIIl. VI. Si igitur ternarium et senarium iungas, nove-
^__ narium facies , qui per quaternarium ductus -XXXVI- effi-
25 cit. Quod si se ipsae extremitates multiplicent et fiant
tres sexies, •XVIII- conficiunt, quod est prioris summae
dimidium.
IIL IIII. vi.
80 VIIII.
1 sed eadem .... superat om, c versu vacuo relicto, 3 ternarius] termiiias medius a, f, s'; temarius et supra versum terminus medius id est b ; terminus medius id est in margine r. 4 sua a, 1. || idem] id est a; id est uno c. || a om. b, l. 6 rainorem vincit c. 7 vincit c. 16 supervadunt f. 17 se- parat f. 20 medietas redactas f. 21 coUigitur b, c, f» 1, s; collegitur r; coUigitur corr. in colligatur a, d. 84 facias d. 26 conficient c, r;-conficiunt, u in e mutato, a. || quod est] id est c; id est quod est, a. 27 XVIIL om. f.
Inst. Arithm. Ii, 48. 155
Quare dicia sit armonica medietas ea, quae digesta est.
XLVIII. ConsideraDdum forsitan videalur, cur hanc ^^ ^^ armonicam medietatem vocemus. Cuius haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per diife- rentias dividit quantitates, geometrica vero termiuos aequa 5 proportione coniungit, at vero armonica ad aliquid quo- dammodo relata consideratione neque solum in terminis speculationem proportionis habet neque solum in di^e- rentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim, ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic maioris ad lo medium differentia contra diflerentiam medietatis ad ulti- , , mum. Ad aliquid autem considerationem armonicae pro- prie esse^ in primi libri rerum omnium divisione monstra- vimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac paene sola me- 15 dietate frequenter invenies. Namque symplionia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi, — Gonstituitur scilicet inepitrita proportione,ut est quater- narius ad ternarium — in eiusmodi armonicis medietatibus invenitur. Sint enim eiusmodi armonicae medietatis ter- 20 mini, quorum extremi dupli sint, et rursus aiia huiusmodi dispositio, quorum extremi tripli.
III. IIII. VI. II. III. VI.
Seharius igitur ad ternarium duplus est, idem autem se- narius in alia dispositione ad binarium triplus. Horum 25 igitur si ditferentias coliigamus et ad se invicem compare- mus, epitrita proportio colligetur, unde diatessaron sym-
1 Inscript, om. a, b, c, d, f, 1, s. 2 XLVIII. om, b, f, 1. XLV. a, c, 8. 3 medietatem om. a. 7 in om. c. 9 ut ex corr. add. a. 10 ad medium] supra versum sit b. 11 deferentiam r. 15 pene c, 8. 16 invenias d, r. 17 est princeps c. 20 invenietar, e post i deleio, c. || huiusmodi c, s; eiusmodi, hui supra ei, d; eiusdem vel huiusmodi a. 21 extimi d. I| sint om. c; sunt s. 22 extimi d. [] tripli sunt a, c, f, s. 25 in alia dispositione senarius d, f, 1, r, s. II tripluB est s. 26 differentias si colligimus c. 27 ^colli- gitur c, f, 1, s; collegitur r. *
156 INST. ARITHM. H, 48.
phonia resonabit. Inler -lU- enim et -VI- lernarius est et
inter binarium et senarium quaternarius, qui sibimet
Gomparati sesquitertiam efficient proportionem.
llj. IIIL VL
5 differentiae
ni
diatessaron sesquitertia
IL ilL vT.
10 In eadem quoque medietate et diapente symphonia com- ponitur, quam sesqualtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus liis, quae subiectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesqualter est et in tripiici ter- narius ad binarium. £x quibus utrisque diapente sym-
15 phonia coniungitur
sesqualtera, diapente.
IIL lilL VI. IL ni. VL
sesqiiaitera, diapente.
20 Post hanc autem diapason consonantia, qiiae (it ex duplici, ut est subiecta formula.
III. IIII. VI.
duplex, diapason.
In tripiici quoque dispositione simul diapente et diapason
25 symphonia componitur servans sesqualteram et duplicem
rationem , quod subiecta descriptio docet.
1 Inter] in s. || tres d, f. || enim onu s. || sez d, f. 3 efficiunt s. 4 •IIII] •III- s. 5 differentiae om, d; diffe- rentia r, s. 8 Supra hunc verstan difiPerentiae c, 1; difFe- rentia f. r, s. 9 •III^] •IIII- s. II constitait s. 12 sunt subiectae c. 13 est om. 1. || et om. d. 16 sesqualtera diapente om, s. || sesqualter f, 1, r. 19 sesqualtera diapente om. s. II sesqualter f, 1, r. 20 liunc a, b, c, d, f, 1, r, 23 duplex, diapason om* c; duplex om, s.
Inst. Arithm. Ii. 48. 157
IL jIL JI.
triplus, diapente et diapason.
Et quoniam triplus duas continet consonantias, diapente
scilicet et diapason, in huiiis triplicis dispositione in diffe-
rentiis eundem rursus triplum repperiemus, secundum 5
subter descriptum modum.
triplus. diiferentiae. I. III. IL IIL VI. 10
diapente diapason.
In dupla vero dispositione maior terminus ad medii ter-
inini contra se diflerentiam triplus est et rursus minor ter-
minus ad medii contra minorem terminum comparati dif- y^
ferentiam triplus est. 15
diiferentiae. tripius / — I. W"^ triplus.
III. UIL VI.
lila autem maxima symphonia , quae vocatur bis diapason velut bis daplum, quoniam diapason symphonia ex duphci 20
1 Supra II. m. Sesqualter c, d; Diapente s; ^^a^gntl^^ ^' ^» "*•
Supra III. VI. Diapente c; Diapason d, s; pj^pason ^' ^' ^*
2 triplos am. a, b, d; triplum s; triplices c, f, 1, r. [| diapente et diapason om. c, s; et om. a, b; Duplus diapason d. 4 dispositionel dis eo) corr. add. d, r; positione a, b, c, f, s. |{ in differentiis om. 1. 5 eandem b , c , 1. || triplam b , c , 1. 7 Supra triplus: triplices diapente r; iuxia triplus: diapente diapason d, f, 1. 11 diapente diapason] om. f, r; termini c, d, 1; triplum s. 12 vero] enim s. 14 comparatus d; comparaturi , ri corr. in us , a ; comparati in iitura r. || defe- rentiam r. 15 Post triplus est addii r: ratio •III- ad -I- ter- mini defferentiam. 16 differentia f. 17 triplum s; sub triplus: Diapente Diapason d, f, I, r. 18 Suh hoc versu: Ter- mini ad differentiam d , f. Ad latera descripiionis : Termini ad differentiam d, f, ad rasura deleto, 1; Comparatio •III- ad -I- Termini ad differentiam r.
158 INST. ARITHM. II, 49.
proportione colligitur, huic se iunclurae armonicae me- (lietatis interserit. Nam in dupiici proportione medius ter- minas ad minoris suique diiferentiam quadrupius invenitur.
minor differentia 5 I""^ quadrupliis, bis diapason.
III. IIII. VI.
In triplicibusquoque extremitatibus maior differentia admi- norem differentiam quadrupla est et bis diapason sympho- niam emiltit. Namque in dispositione II. III. VI. exlremo- 10 rum differentia est, id est senarii et binarii, 1111*; minor vero differentia, id est ternarii et binarii, unus. •IIII- au- tem uno quadrupla maior est relatione, quae comparatio bis diapason consonantiam tenet.
15 De geometrica armonia,
XLVIIII. Vocant aulem quidam armonicam buiusmodi
medietatem idcirco, quod semper baec proportionalitas
geometricae armoniae cognata est. Armoniam autem
geometricam cybum dicunt. ^lta enim ex longitudine
20 in latitudinem distentus est et in altitudinis cumulum cre- vit, ut ex aequalibus proficiscens ad aequalia perveniens aequaliter totus sibi conveniens creverit. Haec autem medietas in omnibus cybis, quae est geometrica armonia, perspicitur. Omnis enim cybus habet latera XII- angu-
25 los •VIH- superficies -VI- Hic autem ordo et dispositio
4 miuor differentia om. d,"!*; rainor om. s. 5 quadru- plus, bis diapason om» c, s; bis om. 1; quadrupli bis diapa- son f, r. 7 maior om. a ; supra versum s. 10 prius est om. d, r^. ;! -IIIP^ f; supra versum sant a. || minorum s. 11 Quatuor c, f. 15 Inscript. om. c. In & legiiur inscriplio capUis qua- dragesimi sexli; in b, f , 1 inscriptio capitis duodequinquagesimi ;- in d eadem inscriptio cum additamento in margine; in s inscriptio evanuil. 16 XLVI. a; XLVII. 1; XLVIII b, f. 18 cognit?, est c. 19 cubum f. 22 Haec autem cet.^ Iniiium capitis cum inscripiione : De geometrica armonia b, 1; titulus omissus est in c, f, evanuit in s; in margine legiiur in d. Capitis nu- merus in b esi XLIIII, in f XLVIIII, in I XLVIII. 24 per- ficitur a, r.