?el 8. II si om. r. 11. III. c, f. || II- et IIII. d. 12 •Vni- et .IIII- r. II quattuor f. || ita] sic a, c. || -1111. ad •U. c, d, r, s. 14 .11- ad IIII. c, d; duo ad IIII. r, s. [|
•IIII- ad .VIII. c, d, s. 16 Descripiionem om, c , s. 17 si supra versum a. || in om, f. || .IIII. d, s. || terminis] ter- mini sint f; terminis idem feceris s. 18 duo d, f. 19 erit secundus] sunt 11. d. || .IIII.o»^ f. 22 disiunctae a, b, d, f, r, 8. 23 «11. c, d. II IIII.o^ f. 26 I. r. [] quattuor ad duo f.
Boetius. 10
146 INST. ARITHM. II, 44.
dupla dapla
.11. mi. viii. XVI.
i£uaai'uplii quadrupla.
HaLet aulem proprium huiusmodi medielas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalilatem termino- rum diiferentiae in eadem proportione contra se sunt, qua 5 fuerint ipsi termini, quorum isunt ipsae differentiae/ Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam dif- ferentiae, sive tripli, triplae, sive secundum quamlibei muitiplicitatem , eadem in dilferentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subiecta 10 descriptio monet.
Differentiae duplae.
I. II. IIII. VIII. XVf. XXXII. LXIIII. CXXVIII.
1. II. iiii. VIII. XVI. xxxii. Lxnii. cxxvin. cclvl Termini dupli.
15 NuUi igitur dubium esse potest, quod, cum omnes ter- mini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differen- tiis omnes paene dispositos subler terminos, quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit? Est etiam aliud
20 proprium, quod omnis ad minorem maior terminus compa- ratusipsumminoremretinetdifferentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt,etquaternarius binario ipso binario et octonarius quaternario ipso quaternario et dein- ceps maiores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt,
25 quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit; sinverosinttriplicesproportionesmaior
1 Descriptionem sec, manus addidit in d. 2 huinsmodi
proprium f, s. 5 fuerant c, fuerunt s, fuerunt, et supra allerum u i, r, 1| ipsae] supra versum r; ipse d, f. || ipsae sunt c, f, s. 5 — 7 Sive .... diflferentiae in margine d.
6 enim om. c. || sunt r. || sint termini contra se d. |) termini om. 1. II etiam sitpra versum a. 8 multiplicationem c,
f, 1, s; multiplicitatem et supra versum ationem b. 10
monet] docet d. 11 Differentiae duplae om. c. 12 CXXVIII.
om. s. 13 CCLVI. om, d, s. 16 sunt c, 1, r. 21 diffe-
rentia f. 22 defert r. 23 octonario quaternarius d. ||
qnaternario ipso quaternario in margine r.
Inst. Arithm. Ii, 44. 147
termiQus a minore termino duplicato minore termino dif- fert, ut, stsint I. III. YIIII., tres ab uno binario difTerunt, io quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat; et •VlIII- a tribus senario differunt, quem ternarius dupii- catus educit. £t in aliis cunctis eiusmodi ratio repperietur. s ■Sin vero quadruplices sint, tripticato minore termino maior terminus a minore distabit, et, si quincupla, qua- druplicato, et, si sescupla quincuplicato , et una minus muhiplicatione, quam est ipsa minorum ad maiores com- paratio termiuorum, minorem numerus maior exsuperat. ^o
Differentiae ipsi minores.
I. U. IIII. Vlll. XVr. XXXII. hXIIN. CXXVIIT. I. II. (III. Vlll. XVI. XXXII. LXIin. CXXVIII. cclvi.
Termini dupli.
Differentiae dupli minores. is
II. Vr. XVIIl. Lllll. CLXII. CCCCLXXXVJ. TCCCCLVllI. I. III. Vllir. XXVII. LXXXL CCXLlir. DCCXXVIIIL II CLXXXVll.
Termini tripli. Differentiae tripli minores.
III. XII. XLVUI. CXCII. DCCLXVIII. iriLXXLI. xnCCLXXXVllJ. 20 I. 1111. XVL LXIIII. CCLVL 1 XXIIll. IIIIXCVI. XVlCCCLXXXlIir.
Termini quadrupli. 1
Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus vel superparticularibus vel superpartientibus invenitur huius- modi proprietate in omnibus conservata, ut in continua 25 proportione, quod fit sub extremitatibus, si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint II. IIII. VIII., quod fit ex bis •VIll-, idem fit ex quater •IIII- ; vel si sit in quattuor terminis disiuncta proportio,
7 quadriplicato b, I. 8 quinquiplicato a, d; quinquu-
I plicato r, s. 9 minor iuxta lituram f. || ad supraversum a.
10 minorem] minor est d. || numerus om. s; numerum c ||
exuperat d. 11 ipsi] ipsae f; dupli b, 1; duplae s. [] mi-
nores om, s. _ 15 dupli] tripli b, c, 1; triplae f, s. [] minores
om, 8. 16 TCCCCLVIII] DCCCCLVH c. 19 Differntia
tripla d. |1 quadrupli b, c, 1; quadruplae f, s. || minores
om. dy 8. 28 idem fit ex quater] reddatur ex est a. 29
quattuor f, |1 •IIII- c.
148 INST. ARITHM. II, 44.
quod fit sub utrisque extremitatibus , id duarum medieta- lum multipiicatione concrescat, ut, si sint IF. IIII. VIII. XVI., quod fit ex bis -XVl-, id ex quater •VIII- reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud,
5 ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. liiic enim in omnibus vel multiplicibus vel super- partientibus vel superparticularibus vei in ceteris con- iunctis geometrica proportionalitas custoditur bas omnes proprietates, quas supra diximus, continens. Quarta
10 vero est proprietas huiusce medietatis, quod vei in maiori-
bus vel in minoribus terminis aequales semper proportio-
nes sunt. Namque si ponantur II. IIII. Vlll. XVI. XXXII.
LXIIII. , inter hos omnes dupla proportio est. Apparet
etiam haec proportionaiitas in binis proportionibus ab
15 unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticularis habitudines proportionesque discurrens; quod subiecta descriptione signatum est.
Tetragonus I.
Parte altera
longior
dupla
Tetragonus
dupla
Parte altera
longior
sesqualtera
Tetragonus
sesqualtera
Parte altera
longior
sesquitertia
Tetragonus
sesquitertia
Parte allera
longior
XX.
sesquiquarta
Tetragonus
sesquiquarta
1 sub] ex f. 2 concrescit f. 3 sedecim f. 4 sit] fit d, f, 1. 6 ex] ab a. 6 profundi a. 7 coniunctis cunctis a.
10 proprietas est d. || huiuscemodi a; huiusce ei supra ver- sum al huiuscemodi b. 12 d addii '1- 14 etiam] autem f, s. 17 superparticulares c. 20 longior om, a, b, r, hic et infra; 1, f, s. II dupla rasura deleium c; sed hoc et sequentia propor- tionum vocdbula uno versu promoia sunt in a, c, r, s aique in c m /ine addita est sesquisexta ad implendum ultimum versum, qui in a, r, s proporiionis nomine vacat, 22 longior] i, f, s. |! sesqualter genusque masculinum eiiam in reliquis vocabulis f. 23 VI III. rasura deletum c. 24 longior oni, f. hic et infra.
11 XII. rasura deletum c. 26 XVI] X in litura c. 27 XXV] XX in liiura c.
Inst. Arithm. Ii, 45. 46. 149
Parte altera loDgior XXX. sesquiquinta
Tetragonus XXXVI. sesquiquinta
Parte altera longior. XLII. sesquisexta
Tetragonus. XLVIIII. sesquisexta
Quae medietates quihus rerum publicarum statibus com' 5
parentur,
XLV. Atque ideo arithmetica quidem rei publicae com- paratur, quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. Musicam vero medie- tatem optimatium dicunt esse rempublicam ideo, quod in lo maioribus terminis maior proportionalitas invenitur. Geo- metrica medietas popularis quodammodo et exaequatae civilatis est. Namque vel in maioribus vel in minoribus aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum ius in propor- ^^ tionibus conservantis.
Quod superficies una tanium in proportionalitatibus medie- taie iungantur^ solidi vero numeri duabus medietatibus in
medio collocatis.
XLVI. Post baec igitur tempus est, ut expediamus ^^
nunc quiddam nimis utiie in Platonica quadam disputa-
tione , quae in Timaei cosmopoeia haud faciii cuiquam vel
penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae Ogurae,
quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate
2 XXX VI] X in liiura c. 3 XLII] XL in litura c. || sesquiquinta c. 4 XLVJIII] L in litura c ; XLIX in litura r 5 Jnscript, am. a, c, d, f. 7 XLIIII. 1. || quidem arithme- tica c, r, s. || ei reipublicae f. 9 sit] fit f ; est a. 10 opti- matnm c, f; optimatium in optiniatum mutatum d. 15 in proportionibus] pro portionibus f. 16 sibi conservantis r; eonservatis, n supra a, a; conservans, ti supra n, d. 17 Inscript, om, d. In a legitur inscriptio capitis quadragesimi tertii, || una tantum] unitatum f. 18 iungunturc; iungatur f. 19 collocantur c, r. 20 XLIII. a; XLV. 1. 21 quod- dam a. 22 timerica a. || cosmopoetica a, c; cosmopoetico r. 23 enim om, a. || plane d.
150 INST. ARITHM. II, 46.
geometrica continuantur; aiia, quae iungat, non polest
inveniri; unde duo tanlum in liis intervaila sunt consti-
tuta> a primo sciiicet ad medium et a medio ad tertium.
Si vero fuerint cybi, duas tantum iiabebunt medielates,
5 ubi tertia inveniri non poterit secundum geometricam scilicet proportionem ; unde formae solidae tria iutervalla dicuntur habere. Est enim unum intervaiium a primo ad secundum et a secundo ad tertium et a tertio ad quartum, quae est sciiicet postrema distantia. Recte igitur et pia-
10 nae figurae duobus intervaliis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni •Illl- scilicet et •VIIII- Horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad •IIII* sesqualter est et •VIIIl- ad senarium eodem modo sesqualter. Hoc autem
15 idcirco evenit, quod singula iatera singulorum tetragono- rum efficiunt senariam medietatem. ^Nam quaternarii te- tragoni latus binarius est, novenarii ternarius. Hi ergo multiplicati senarium perfecerunt; bis enim III- senarius est. £t quotienscunque datis duobus tetragonis eorum
20 medietatem volumus invenire, latera eorum muitiplicauda sunt, et qui ex his procreabitur , medietas est.^ Si autem cybi sunt, ut VIII- et XXVII-, duae tantum inter lios ea- dem proportione medietates constitui queunt, XII- sci- iicet et XVm- Namque Xll- ad Vni. et XVHI. ad XII.
25 et XXVII- ad .XVIII- sesqualtera tantum proportione iun- guntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Nam- que ex uno cybo, qui propinquior est, una medietas duo latera colligit, ex alterjiatim vero posito unum. ^ln alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cybi et
30 in medio eorum duae medietates, quas superius diximus: VIIL XII. XVIII. XXVII. Octonarii igitur latus est bi-
2 intervalla in his c; in his supra versum a. 9 soilicet est a, c; est om. s. 12 in eandem proportionem c, r, 8. 14 autem] igitur f. 15 iccirco 1. || covenit d. 16 seaa- rium a. 18 perfecerunt senarium c, s. || tres c, d, f. 19 datis om. c. || tetragonis additis c. 20 inveniri c. 21 autem] enim a. 22 cubi f. || sint c, d, f, 1, r. || hos] eo0 a. 27 medietates d. 28 collegit a, r. 30 quas] qua d.
Inst. Arithm. U, 46. 151
narius; bis enim bini bis octonarium referunl: ternarius
vero XXVII- cybi latus est; ter enim tres ler XXVII-
restituunt. Medietas igitur, quae iuxta octonarium est,
id est XII-, rautuatur duo latera ex propinquo sibi .
octonario et aliud unum latus ex altrinsecus posito 5
• XXVII • cybo. Bis enim bini ter • XII • pandunt. Et
•XVIII- eadem ratione duo latera a propinquo sibi
•XXVII- cybo coiligit et unum ab altrinsecus posito
octonario. Tres enim ter bis -XVIir concludunt? Hoc
autem universaliler speculandum est. Si tetragonus lo
tetragonum mulliplicet, sine dubio tetragonus provenit;
sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet vel
tetragonus parte altera longiorem nunquam tetrago-
nus, semper parte altera longior crescit. Rursus si
cybus cybum multipUcaverit, cybi forma conficitur, si i^
vero parte altera longior cybum vel cybus parte altera
longiorem, nunquam cybus procreabitur. Hoc scilicet
secujidum simititudinem paris atque inparis. Par enim
parem si muUiplicet, semper par nascitur et inpar in-
parem si multiplicet^ inpar continuo procreabitur. Si 20
vero inpar parem vel si par inparem multiplicet, par
semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex
lectione Platonis in libris de republica eo loco, qui nu-
ptialis dicitur, quem ex persona musarum philosopbus
introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeun- 25
dum est.
l bini hkda f; bini bi» enim 4. 0 referunt] ferunt b, c, 1; f ecexunt d , f , r , s ; . ferunt, re ex corr. addito , a. 2 tres terni b, 1. 3 restituent s. 8 uno b, c, f, 1; uno corr.in unum r. || ab om. d, s. 13 tetragonus est, sed f. 14 sem- per] per in liiura b , c; neque 1, s. j] semper parte aitera lon- gior crescit] d in margine: neque parte altera longior ad- erit. Sin autem parte altera loBglor parte altera longiorem maltiplieavevit; r in margine: Si autem parte altesa loxigior multiplicet parte altera longiorein semper parte «Itera longior crecit {sid), \\ Posi longior adduni b, c, 1, s: aderit. Sin autem parte altera longior parte altera longiorem multipli- oaverit semper parte altera longior^ || orescet 1. 19 si parem b. 20 procreatur d, f, 1, r.
152 INST. ARITHM. II, 47.
De armonica medieiaie eiusque proprieiatibus,
XLVII. Armonica auteni medietas esl, quae neque eisdem difTerentiis nec aequis proportionibus constituitui% sed illa , in qua quemadmodum maximus terminus ad par- 5 vissimum terminum ponitur, sic differentia maximi et medii contra difTerentiam medii atque parvissimi compa- ratur ; ut si sint III. IIIl. VI. vei si II. III. VI. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus, quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenir^
10 id est uno, et senarius ternarium sua medietate, id est
tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est
unitate transcendit. Quare in bis neque eadem proportio
terminorum est, neque sunt eaedem diiferentiae , est au-
tem quemadmodum maximus terminus ad parvissimunri