s. [| IIII- ad -VIIL c, d, f, s. 16 permotatim r. 1| IIII. c, d, f, 8. II -I. c, d, s. 17 -VIIL c, d, f, s. || •IL s. 19 quantum d, f. 20 tantum d. 21 tantum d. 24 Jnscripe. om, c, d. 25 addiderunt f. 26 XL. 1. || Confuse, in mar-

Inst. Arithm. Ii, 42. 139

quaeque ad Pythagorae Tel Platonis vel Aristotelis scieD- tiam pervenerunt, iiae tres medietates sunt: arithmetica, geometrica, arnionica. Post quas proportionum habitu- dines tres aliae sunt, quae sine nomine feruntur quidem, Yocantur autem quarta, quinta, sexta, quae superius dictis 5 oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem , quod erat Pythagorae conplacitus, medie- tates alias quattuor addiderunt, ut in his proportionalita- tihus denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines compara- lo tionesque descriptae sunt, ubi quinque maioril)us propor- tionibus, quos vocavimus duces, minores aptavimus aiios terminos, quos comites diximus. Inde etiam in Aristote- lica atque Archytae prius decem praedicamentorum de- scriptione Pythagoricum denarium manifestum est inve- 15 niri; quando quidemet Plato, studiosissimus Pythagorae, secundum eandem disputationem dividit, et Archytas Py- thagoricus anteAristotelem, licetquibusdam sitambiguum, . decem haec praedicamenta constitpit. Inde etiam decem membrorum particulae , inde alia permulta , quae omnia ^ persequi non est necesse.

Quod primum de ea , quae vocatur arithmetica proportio-

nalitas, dicendum sit,

XLD. Nunc vero de proportionalitatibus deque medie-
tatibus dicendum est, et primum quidem de ea medie- ^^
tate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem
neglecta proportionis pariiitate constitutorum terminorum
habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas
ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a se

gine autem confesse r. 2 •III- c. 4 quidem fernntar c, d, f,'r, 8. 5 vel sexta c, d, r, s; vel linea subnotaium b. 8 IIII- c, d. 9 denarii f. 10 V. d, f, r, s. 11 V. d. 12 vocabimns b, 1, s; vocamtis f. 14 'X- c, d, f. [| scri- ptione d. 17 eandem] eam d, f. || dispositionem s, 19 -X* <:, f. II -X- c, d, f. 22 Inscript, om, c, d; tn s inscripHo evamdt. 23 estb, f, 1, r. 24 -XLI' 1. Q vero om. s.

140 INST. ARITHM. II, 43.

ipsis termini differunt. Quid autem essel differentia ter-
minorum superius definitum est. Hanc autem esse arith-
meticam medietatem numerorum, ipsa ratio declarabit,
quoniam eius proportio in numeri quantitate consistit.

5 Quae igitur causa est, huiusmodi terminorum liabitudi-
nem , id est arithmeticam , cunctis aliis proportionaiitati-
bus anteponere? Primum, quod hanc nobis in principio
ipsa numerorum natura et vis naturalis quantitatis ubpo-
nit. Huiusmodi enim proportiones quaeque ad termiQo-

10 rum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus.

Deinde, quod in superiore libro disputantibus nobis
apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse
antiquiorem et quod inlata non has simul inferret, sublata

15 yero perimeret. Quare ordine disputatio progredietur , si
ab ea primo inchoandum sit medietate, quae in numeri
differentia non in proportionis speculatione versatur.

De arithmetica medietate eiusque proprietatihus,

XLin. Arithmeticam medietatem vocamus, quotiens 20 vel tribus vel quotlibet terminis positis aequalis atque eadem differeutia inter omnes dispositos terminos inveni- tur. In qua neglecta proportionis aequalitate terminorum tantum differentiarumque specuiatio custoditur, ut: I. II. ni. IIII. V. VI. VH. Vni. VIIII. X. In hac enim naturalis 25 numeri dispositione, si quis continuatim differentias ter- minorum curet aspicere, secundum arithmeticam medie- tatem aequa terminorum inter se discrepantia est; aequa- les enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio

2 defenitnm r. 12 in om, d, r. 14 non om, c, r.

15 in ordine 1; in ^o; corr. additum b, r. 16 ab bis s. ,

primum 1; prins d; primns ei supra us o r. [| incoandam r. 18 Tiiulus deest in c, evanuit tn s. || De aritlimetica medie- tate conjextui addit r. |J eiusque proprietatibus om. d^ r. |{ proportionibus f. 19 XLII. 1. || quoties s. ^ 24 enim] ergo c, f, s. 29 consideratio sit . . . tribus terminis om, c.

Inst. Arithm. Ii, 43. 141

ni, continua proportionalitas dicitur; sin vero hic alius <iux et alius coines, iliic vero utrique sint alii, vocabitur (lisiuDcta medietas. Si igitur in tribus tautum terminis secundum continuam medielatem respexeris vel in quat- tuor vel in quotlibet aiiis secundum disiunctam easdem 5 semper differeutias terminorum videbis, tantum solis pro- portionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas I. II. III. Hic unus a duobus et duo a tribus solis tantum singuiis distant, et sunt eaedem dilTerentiae, proportiones vero lo aliae. Namque duo ad unum dupius est, •lil* ad -II* ses- qualter. Et in ceteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas et in his aliquam speculatio- nem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales ter- minos intermittas et uno sese in priore dispositione prae- 15 tereant, si singulos intermittas, soiius binarii notabitur differentia, sin vero duos praetereas, lernarii, si tres, quaternarii, si quattuor, quinarii. ^t ad eundem modum uno plus, quam intermiseris, eritilla, quam quaerimus, _^ differentia terminorum) Namque si in tribus terminis sin- 20 guli relinquantur, binarius semper intererit.

Differenliae.

II. II.

L II. Ijl^ IIII. V.

Videsne ut , cum superius in naturalis numeri dispositione 25 se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et

2 suBt r. 3 desiuncta r. || terminis tantum a, c, f,

I, s. 4 IIIL c. 5 disiunctam medietatem a, c, f, s;

medietatem in margine r, linea suhnotatum et supra versum glossa b. 6 tamen a. 7 Et si et supra versum id a. 8 non latebit ratio a. 9 •II* c, d. 11 •II- c. || tres ad dno d, f. II ad duos a, 1, s. 16 binari r. 17 duo d, r,-8; -IL b, c, 1; duo corr. in duos a. || ternari r. || si tres quater- narii om, d. || •IIL b. 18 si -IIIL quinarii in margine r. || ■IIII- s. 19 plus, quod a, plus, quem c. 20 in tribus ter- minis si f ; si ex corr. add. a, r, s. 21 semper binarius c, f, s. 22 Differentiae om. s. 26 solis duobus d. || 'II* s.

142 INST. ARITHM. H, 43.

•IIII' unus ad -UI* et •III* ad quinarium comparati bina-
rium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in
disiuncta eadem versabitur observatio.

Differentiae. II. II.

I. 11. III. IIII. V. VI. VII.

Talibus igitur vestigiis insistentem nuUus ab eadem simi- litudine error abducet. Namque si duos intermittas, ter- narius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si

loquattuor, quinarius aeque in continuis proportionibus at- que disiunctis. Quaiitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis pro-

15 portionalitas , non arithmetica nominatur.

Est autem proprium huius medietatis, quod, si in tri> bus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus illa summa, quae inter extremitates est» non loco tantum verum etiam sit quantitate medietas. Ut si ponantur 1. IL

20 m., unus et •IIL quattuor reddunt, duo vero, qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. fiis enim II. lUI. creant. Sin vero disiuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medie-

25 tatibus redditur. Si enim sint I. II. III. IIII., unus et quat- tuor quinarium creant, •II* et *III* medii in eundem rur- sus quinarium surgunt.

1 quattuor f. || •!• s. || tres c. || et tres c, f; et -111. supra versum d. || V* s. 2 etiam om. s. 3 eadem om. c. || operatio d, 4 Differentiae om, s. 5 b, c, f, 1 perverse :

III. m.

I^ II. Uf, mL V. VI. VII.

10 IIII- c. 14 talis om. c. 19 fit d, f,r^ s. || ponatur
a, c, s. 20 tres c, d. || IIII^ c. || II- d. 21 est su-
pra versum a. 22 extremitatibus addendum videtur compo-
sitis. 23 duo c, d, f. || desiuncta r. [[ quae 1; qnae ei
supra versum quod b. 24 duobus f. 25 sunt r. 26 duo
et tres d, f.

Inst. Arithm. H, 43. 143

Continua.

I. U. III. I IIII. I

Disiuncta. I. II. III. IIII.

Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnes termini huiusmodi dispositio- nis ad se ipsos, ita sunt difTerentiae ad differentias con- lo stitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequaiis est et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque sub- tilius, quod multi huius disciplinae periti nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt , quod in omni dispositione vel continua vel disiuncta, quod continetur sub duabus 15 extremitatibus minus est eo numero, qui ex medietate conficitur, tantum, quantum possunt duae sub se differen- tiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi III. V. VII. Si igi- tur tres septies au^eantur, in -XXI* numerum cadunt. 20 Quod si medium terminum, id est •¥*, in semet ipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt -XXV' Et hic numerus ab eo, quem extremitales coUigunt, quaternario maior est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter •III* enim et •¥• et •VII* bini intersunt, quos si in sese multi- 25 plices, •IIII- reddunt. Bis eniro duo •IIII* fiunt. Recte igitur dictum est, in hac huiusmodi dispositione, quod continetur sub extremitatibus, minus esse ilio numero,

3 IIII] bis IL 1; bis II- et IIII- c, d, f. 8 quoque hoc a, f, 8. 14 antea supra versum a; ante 1; ante ea r.

16 eo nuinero est a. || est om. 1. 20 •III- c; ter d. 22 quinqnies enim a, 1; enim supra versum b. || •¥• c, f. 24 est supra versum a. || tres d, f. 25 quos] quod r. || in se d; in se corr. ex inter hac a. 26 quattuor f. || quattuor f. " fiunt •IIII- d. II sunt a.

144 INST. ARITHM. n, 44.

qui fit ex medietate , taDtum , quantum differentiae in se multiplicatae restituunt.

mi.

II. u.

5 III. V. VII.

L XXV. ^i

Quartum vero proprium huiusmodi dispositionis nolatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in

10 hac proportionalitate vel medietate in minoribus terminis maiores proportiones, in m^ioribus minores comparatio- nes necesse est inveniri. Namque in dispositione hac I. II. III. minores termini sunt I- et •II-, maiores IL et •III- Et JI- ad unum duplus est, tres vero ad •II- sesqualter.

15 Sed maior est proportio dupli quam sesqualtera. In ar- monica autem medietate e contrario evenire contingit ; in minoribus enim terminis minores proportiones, in maio- ribus maior proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque armonicae, geome-

20 trica proportionalitas media esse notata est, quae vel in maioribus vei in minoribus terminis aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter maius vero et minus aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arith- metica quidem medietate satis dictum est.

25 JDe geometrica medietate eiusque proprietatibus.

XLIIII. Nunc vero, quae hanc sequitur, geometrica
medietas expediatur , quae sola vel maxime proportionali-
tas appellari potest propterea quod in eisdem proportio-

10 in medietate c. 13 sunt termini c, d, 1, r, s. 14 Et] Nara et b, c, 1; Nam a. || duo c, f. || •!• s. || •III. d, s. II duo b, c, f.; duos a. 16 contig^it f. 17 proportio- nis c. 20 nota r. 25 Inscript. om, c, d. || medietate] auctoritate f. || eiusque proprietatibns supra versum a, gui codex inscriptionem capitis quadragesimi secundi addii. 26 XLII. a; XLIII. 1. || consequitur a, f, s; con ex corr. add. d. 28 in ea eisdem f, s. [| eandem et supra an is r.

Inst. Arithm, Ii, 44. 145

nibus terminorum vel in maioribus vel in minoribus spe- culatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custo- ditur, numeri quantitas muUitudoque neglegitur, contrarie quam in aritbmetica medietate, ut sunt I. II. IIU. VIII. XVI. XXXII. LXIIIL vel in tripla proportione I. III. VIIIL 5 XXVIL LXXXI. vel si quadrupla vel si quincupla vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta dlsten- sio. In bis enim, quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medi^tatem, quemadmodum enim prior ad sequentem est, ita sequens ad alium, et rursus, si per- lo mixte facias , idem erit. Si enim ponantur tres termini II. IIII. et VIIL, quemadmodum sunt *VIII* ad -011* ita quat- tuor ad duo. Atque boc si convertas, quemadmodum sunt duo ad quattuor, ita erunt quattuor ad VIII*

dupla dupla 15

IL IIII. VIII.

Vel si in quattuor terminis, ut sunt II. IIII. VIII. XVL, quemadmodum est primus ad tertium, id est •11* ad 'VIIIs sic erit secundus ad quartum , id est •IIII- ad 'XVL Utra- que enim proportio quadrupla est. Et conversim quem- 20 admodum quartus est ad secundum , ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disiuncte licet. Nam quemad- modum est primus ad secundum, id est duo ad IIII*, sic tertius ad quartum, id est •VIII- ad -XVI- £t conversim quemadmodum secundus ad primum, id est •IIIL ad 'U-, 25 ita quartus ad tertium, id est •XVI- ad -VIII- Idque in omnibus rata consideratione perspicies.

6 quinqunpla, qu in c mutato^ a; quincupla, c in quu
mutatOj b, c. 7 sit constituta numerorum d. {| distantia,
a, r. 8 enim] vel r. 9 medietatem g-eometricam c, s. ||
quemammodum d, et infra. 10 alium] alterum a. || et]