5 Trianguli om. d. 6 LXXVIII.] LXXIIII. c, LXXXVIII f. 8 Inscript. om. c, d. 10 XXXIIII. 1. || verol enim f. 12 quarto f. || vel duos c. 13 perficiat a, r. || duo a, b, c, f, I, r, s. II At] ut s. 14 figura c. || contineat c, s. ||
longiorum corr. in longiorem d. 17 continenti f. 18 in minora] in om. r. || minore b, I. 19 Inscrtpt, om. c, d. |'
substantiae sit r. 20 secundo vero .... sit substantiae in margine sec. manu r. 21 et 22 secundo vero . . . longiores om, b, I, r, s. 22 loco om. f. 23 XXXV. I. 24 proprie c.
Inst. Arithm. U, 37. 133
propter unitatis cognationem eiusdem atque inmutabilis substantiae esse parlicipes, pares vero ob binarii numeri consortium alteritatibus esse permixtos; tetragonos quo- que ad eundem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum cpmpositio et coniunctio ex inparibus fit, in- 5 mutabili eos naturae pronuntiabo coniunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium procreantur, nuiiquam ab alteritatis varietate separantur.
AUemaUm positis quadratis et parte altera longioribus qui sit eorum consensus in differentiis et in proportionihus, lo
XXXVII. Ulud igitur perspiciendum est, quod, si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur , ita ut al- ternatim sibi permixti sint, tanta in his est coniunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discre- pent autem differentiis, alias vero^differentiis pares sint, 15 proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem idem illi superiores tetragoni et parte altera longiores ab uno : I. II. im. VI. VUII. XII. XVI. XX. XXV. XXX. Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter -I-, qui est tetragonus, et -II- dupla proportio est; 20 inter II- et JIII- dupla. Hic ergo tetragonus cum parte altera longiore atque hic cum sequente tetragono eadem proportione iunguutur, differentiis vero non isdem. Nam- que duorum atque unius sola unitas differentia est, sed idem duo a quaternario solo binario reiinquuntur. Rur- 25 sus si •II- ad •Ilil- speculeris, dupla est proportio, si •IIII- ad -VI- , habitudinem sesqualteram recognosces. Hic ergo
2 a consortio a. || ob in litura r. 5 positio b,
c, 1. 9 Inscript. om. c, d. 10 in proportionibus] in om.
r, s. 11 XXXVI. 1. II igitur om. c; quoque s. 13 his] eis d. 14 eisdem] isdem a. || propositionibus d. jj discre- pant f. 15 differentias c ; differentiis in litura r. 20 unum a, c, d, i, 1, r, s. || duo a, b, c, 1, r, s. J| duplex 1. || est proportio a. 21 duos et quattuor f. || ergoj enim s. 22 cum sequente] consequente d, r. 23 hisdem a, d, r; eisdem f. 25 -II- d. II relinquitur, n supra i scripto, r. 26 duo a, c, f, 1, r, s. [] quattuor ad sex f. 27 Hic] Hi c, f, r, s;
Hic mutatum in Hi a, d.
134 INST. ARITHM. II, 37.
in proportionibus discrepant, in diiTerentiis pares sunt. Naroque et •IIII- a duobus et -VI- a «1111* eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo, sicut in pri- mis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est, diffe-
5 rentiis non eisdem. Nam •IIII* ad .VI* et -VL ad •VIIII-
sesqualtera proportione iunguntur, -VI- autem quaterna-
rium duobus, •VIIII* vero senarium tribus praetereunt.
In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur et semper
alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae dif-
10 ferentiae sunt, nunc autem ordine permutato eisdem dif- ferentiis aliae proportiones , semperque, in quibus diffe- runt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod ge- minatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod
15 mirum videri non debet. Nos enim ipsas summas tetra-
gonorum et parte altera longiorum geminavimus ad pri-
mas secundasque proportiones.
Proportiones
dnnlft. dnnla '^^4'^*^' sosqual- sesqiii- sesqui- sesqui- sesqui* sesqui- sesqui- "P "P • tera ^era terUa lertia quarta quarla quinta quinta.
I. II. im. VI. vnii. XII. XVI. xx. xxv. xxx. xxx\i. I. II. u. m. III. mi. iin. v. v. vl
Diiferentiae.
Eaedem quoque differentiae mirabilem in modum a
25 toto per sequentes partes et per easdem unitates, quibus
superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unuhi
et duo tantum unitas intercedit, quae unitatis, cui aequa-
lis est , totum est ; binarii vero medietas. Eodemque modo
2 quattuor f. || sex a quattuor a, f, 1, r, s. 3 modo ex corr. add. r. || sicut in primis cet. Haec et quae legun- twr usque ad capitis quadragesimi tertii verha: illic vero utri- que sint desunt in a sea; vel septem foliis deperditis. || slcut
sex f. 6 sex au- defferentiae bis r.
etiam c, f. r, s. 6 quattuor ad sex f. tem c. 9 eisdem proportionibus f.
10 hisdem c, d, f, r, s. 12 naturales b, r; naturales, es in is mutatOj r. 16 geminamus d, f, r; geminavimus et su- pra Yi: al bi b. 18 Proportiones om. c, d. 22 •VI- bis
c, f, r. 1 in fine sequentem proportionem addit. 24 eodem et supra versum sc. ordine l modo 8. 26 L et 'II' d. 27 uni- tati f; unitas s; unita c.
Inst. Arithm. Ii, 38. 135
inter •!!• ei •IIII- tanlum -II- sunt, qui binarli totum sunt, quaternarii medietas. Inler quaternarium vero et sena- rium idem •II- sunt, ad quaternarium medietas, ad sena- rium pars tertia .IIL vero, qui sequuntur, qui inter •VI- et •VIIII- constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimi- 5 dium , pars vero tertia novenarii. Et rursus ternarius, qui novenarii pars tertia est, duodenarii quarta est; et ad eundem modum usque in finem descriptionis gemina- tis huiusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones lo aspicies.
Prohatio quadratos eiusdem esse naturae.
XXXVIII. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos inparibus esse cognatos, quod in omni disposi- tione ab uno vel in duplicibus vel in triplicibus talis natu- 15 rae ordo conseritur, ut nunquam, nisisecundum inparem locum tetragonu& inveniatur. Disponamus enim in ordi- nem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.
I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. _CXXVIII. ^CLVI.
I. lU. VmLXXVn.LXXXLCCXLIU. DCCXXVini. IICLXXXVII. VIDLXL 20
Si igitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in inpari loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum respexeris, •illl* et •Vllil- notabis, quorum hic a duobus proficiscilur , illum ternarius creat; qui sunt loco in- ^5 pari constituti. Quintum deinde si videas locum -XVI* et •LXXXI^ respicies, sed unusa quaternario nascitur, alte- rum novenarius creat. Et si nonum locum rursus adspi-
1 duo et qnattuor f. || duo c, d, f. [] binario d; binari r. 2 quatemari r. 3 duo c, d, f. 4 Tres c. || sequit r. 5 dimidium] medietas d. 6 •VIIII- et supra versum noyenarii b. 7 est pars tertia d; tertia pars est f, r, s. 12 Inscripi. om. c, d. 11 naturae esse r, s. 13 XXXVII 1. || autem] quo- qne d. 15 vel in duplicibus om. f; sed supra versum in
duplicibus ex corr. es^ additum, 16 ni s. 19 c addit
DXII. 21 mex corr. additum r. 22 inpare b, 1, r. 25 pro- ficitttr r. [] illum tertium c, f.
136 INST. ARITHM. II, 39.
cias, tetragonos pernotabis •CCLVI* et •VIDLXI*; quorum
superior fit a -XVL, inferior vero ab -LXXXI- Idem si in
infinitum facere iibeat, indiscrepanter incurrit.
Cyhos eiusdem participare substaniiae , quod ah inparibus^ ^ nascantur.
XXXVIIII. Ipsi vero cybi, qui quamquam tribus inter-
vallis sublati sint, tamen propter aequalem multiplicatio-
nem participant inmutabilis substantiae eiusdemque na-
turae suntsocii, non aliorum quam inparium coacerva-
10 tione producuntur, nunquam vero parium. Nam si omnes
ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas ex-
plicabunt.
I. ffl. V. VII. VIIII. XI. Xffl. XV. XVII. XVIIII. XXJ. In his igitur qui primus est, potestate et Virtute primum
15 cybum faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et quinarius, secundum efficiuut cybum, qui est octonarius. luncti autem tres, qui sequuntur, septenarius novenariusque et -XI- cybum facient, qui •XXVII- numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quattuor quar-
2otum, et qui sequuntur quinque quintum, et ad eundem
modum quotus quisque cybus efficitur, tot coniunctione
inpares apponuntur. Hoc autem diligentius subiecta de-
scriptio docet.
Xffl. XV. XVIL XVIUL
IIl. V. I VIL VIIII. XI.
viii. I xxvn.
XXI. XXIII. XXV. XXVIL xxviin
cxxv.
1 et om. f, r, 8. 3 currit c, 1, s; currit et supra ver-
sum l incurrit b; occurrit f. 4 Inscripi, om. c, d. 6 XXXVIII.
1. II cubi f. 7 sint sublati c. 8 immutabili c, r, s.
9 et non d. || coacervationem b, I. 10 produntur f, r;
producuntur et supra versum l produntur b; prodeunt d. 11 cubicas f. 15 cubum f. ei infra, 16 cybum efficiunt c. 17 'III' f . II septinarius r; VII. s. 18 VIIII. s; novenarius^ omisso que, c, r. || undenarius c. || faciunt f, s. 19 •IIII* c, d. 20 'V- d, s. 21 tota c, s., || ad coniunctionem f. 22 opponuntur d; ponuntur, litura praecedente, 1. || Hoc au- tem . . . docet om. 1. 26 XXVIIII] XXIX. 1. || In c, r, s
Inst. Abithm. Ii, 40. 137
De proportionaliiaiihus,
XL. Et de his quidem sufficienter dictum est ; nuuc res admpnet quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes vel ad astronomicas subtilitates vel ad geomelricae considerationis vim vel 5 etiam ad veterum lectionum intellegentiam prodesse pos- sint, arithmeticam introductionem commodissime termi- nare. Est igitur proportionalitas duarum vel trium vel quotlibet proportionum adsumptio ad unum atque col- lectio. Ut etiam communiter definiamus: proportionalitas 10 est duarum vel plurium proportionum simlhs habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et difTerentiis constitutae sint. Differentia vero est inter numeros quantitas. Pro- portio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia , quorum com- 15 positio quod efficit, proportionale est. Ex iunctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem ter- . minis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in plu- ribus, sed longior; ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem. Sin vero 20 quattuor contra duo compares^ hic quoque dupla propor- tio est. Quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas et est propor- tionalitas unum ad duo et duo ad quattuor. Est enim pro- portionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in 25 unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quattuor illis octo velis adiungere et his •XVI* et his XXXII* et deinceps duplos, qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur
cyhi supra numeros, ex quihus constantf leguntur, 1 Inscripi. om, c, d, 1. II s addii: quartum thema incipit. 2 XXXVIIII. \. 3 proportionibus] Legendum videtur proportionalitatibus. 6 lectionem d. 7 arithmetica introductione b, c, d, 1, r, s. {| terminari c. 10 etiara] autem d, f, r, s. || commoniter r. 11 est om, c, s. 18 etiam] enim d. 21 •IIII- c, d;
•mi.<" f. 11 •II- c. II et hic d, f, r, s. 22 III- c. 24 -I-
ad duo et II- ad .IIII- d. H ad 1111. c. || Est enim] Et
est f. 27 Iin- c, d. II .Vni. c, d, f.
138 INST. ARITHM. II, 41.
quotiens iinus atque idem terminus ita duobus circum se
terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium
comes, haec proportionaiitas continua vocatur, ut unus,
duo, quattuor. Est enim aequalitas in his proportionlbus
5 et quemadmodum sunt .1111- ad •II*, sic sunt •II* ad unum,
et rursus quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quat-
tuor. Et secundum quantitatem quoque numeri eodem
modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum
l)inaritts unitatem, et quanto unus a duobus minor est,
10 tanto binarius a ternario superatur. Sin vero aiius ad unum refertur terminus , alius vero ad alium , necesse est habitudinem disiunctam vocari, ut ad qualitatem quidem proportionis sunt: I. II. IIH. VIII. Sic enim sunt quem- admodum duo ad unum, sic octo ad quattuor, et conver-
15 sim : quemadmodum unus ad duo , sic quattuor ad octo,
et permutatim: quemadmodum quattuor ad unum, sic
octo ad binarium. Secundum quantitalem vero numeri,
. ut sunt: I. 11. III. IIII. Quantum enim unus a duobus vin- citur, tantum ternarius a quaternario superatur, etquanto
80 duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit.
Permixtim etiam: quanto unus tribus minor est, tanto
binarius quaternario, vei quanto ternarius unitatem su-
perat, tanto binarium transgreditur quaternarius.
Quae apud antiquos proportionalitas fuerit; quas poste- 25 riores addiderini.
XLI. Confessae quidem et apud antiquiores notae,
1 quoties c. 3 I. II. IlII. c. 5 I- c. 6 I- ad 11.
sic •II- ad IIIL c; unus ad -II- sic duo ad •IIII- f. || H-
ad •IIII- d. 9 quantum d, f, s. 10 tantum c, d, f, r, s.
12 ad qualitatem, ae ex corr, addito d, r; ad qualita-
tem et supra versum in al ad aequalitatem b; ad aequali-
tatem c, f, s. || quidem om, 1. 13 proportiones d, f;
proportionis et supra versum in ai nes b. 14 •£[• c, s. Ij
•L s. 0 Vm. ad 1111. c, d, f, s. 15 L c, s. || IL c, f,