1 vocantar s. || -II' . . . III- .... -Iin- c. 2 cetera a. 1| longiores vero s. || quod bis s. 3 tenduntur c. 5 In- icript. om. d. || alterius naturae b, l; alterius, omisso na- tnra, c, r, s. || constant f. 6 videri primum 1. 7 XXXI. 1. U quae comprehensibilis c. || conprehensibiles a. 13 Post sunt etddii s: quae habent aequaUa latera. || aequalitati- bus a. II ut] velut a, c, f, r, s. 16 discesserant c, s.
17 omnis numerus a. 18 sint a, d, r, s. 19 illic] illuc c, hic a, d, f, r, s. 20 hic] huic r. || inmutabilis a, in- motabilis r. || inmobilis est s. 21 iliic] hic a, d, f, r, s. 22 cnm sint scilicet f.
126 INST. ARITHM. II, 33.
natura ratiocinabaulur, hanc primum totius mundi sub-
stantiae divisiohem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo
eiusdem naturae et alterius nominat, quicquid in mundo
est, at^ue aliud in sua natura permanere putat indivi-
5 duum inconiunctumque et rerum omnium primum, alte- rum divisibiie et nunquam in proprii statu ordinis perma- nens. Philolaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita esse vel finita , demonstrare scilicet volens, omnia, quaecunque sunt, ex his duobus consistere, aut
10 ex finita scilicet esse aut ex infinita , ad numeri sine dubia similitudinem. Hic enim ex uno et duobus et inpari at- que pari coniungitur, quae manifesta sunt aequalitatis atque inaequaiitatis , eiusdem atque alterius , definitae at* que indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine
15 causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent,
armonia quadam coniungi atque componi. Est enim ar-
monia plurimorum adunatio et dissidentium consensio.
Ex eiusdem atque alterius numeri naiura qui sunt qua-
dratus ei parie aliera longior^ omnes proportionum
20 hahiiudines constare,
XXXIIl. Disponantur ergo in ordinem non iam pares atque inpares, ex quibus quadrati vel parte altera lon- giores fiunt, sed hi ipsi, qui iilis coacervatis in unumque redactis et quadrati et parte altera longiores prodeunt. 25 Ita enim videbimus istorum quendam consensum et ad ceteras numeri partes procreandas amicitiam , ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetrago-
1 hanc] huic corr, irt hanc d; hoc corr. in hanc r. || pri- mam c. 2 fecerant r. 10 finita] supra versum: natara
b, r, B. VerisimiHus est excidisse vocabulum substantia || esse om. s. [| infinita] finita, in eoc corr, add. r. 12 aequitatis
d, 1, r. 17 dissentientium c, f, 1, s. 18 Inscripi. om, c, d. II Ez eiusdem .... longior omnes om. s. || qui sunt om. a, qui est b, 1. || et] ex a, f. 20 Post constare addit a:
ex eiusdem ei alia, quae evanueruni. 21 XXXIII. om, 1.
23 hi rasura deletum c. 28 praesumpsisse s.
INST. ARITHM. n, 33. 127
norum ab unitate omnium et a binario numero parte altera longiorum.
i. lui. vmi. XVI. XXV. XXXVI. xlvhii.
U. VI. XII. XX. XXX. XLII. LVI.
Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas 5 invenitur, quae est prima muitiplicitatis species, si vero secundum secundo hemioliae quantitatis habitudo pro- ducitur , si tertium tertio sesquitertia proportio procrea- tur, si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta , ethinc superparticularium normam in quam- lo vis longissimum spatium progrediens integram inofTen- samque repperies, ita ut in prima dupli proportione uni- latis solius sit differentia, duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesqualtera vero duorum est dif- ferentia, in sesqultertia trium, in sesquiquarta quattuor i5 et deinceps secundum superparticuiares formas numero- rum, quod ad differentias adtinet, uno tantum crescit ad- iectio numerum explicans naturaiem.
I. iin. viiii. XVI. XXV. I. n. III. iiii. V. 20
II. VI. XII. XX. XXX.
Sin yero. secundum tetragonum primo parte allera lon-
giori compares et tertium secundo et quartum lertio et
quintum quarto , easdem rursus proportiones efGci perno-
tabis, quas in superiore forma descripsimus, sed hic diffe- 25
rentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in
infinitum per eosdem calculos progrediuntur , eritque
secundus primi|~duph^ terlius secundi sesqualter , quar-
4 LVI. om, 1. 5 prirao conpares a. || compa, omisso
res, 1. II daplicis r. 7 emiholiae a, emioliae c, haemi-
moliae r. 13 — 14 dao namque .... unitate om. d. || ab uno om. c. II semper sola a. 14 In sesqualtera duorum in mar- gine d. || sesqualtero a. || vero om. d. || est dififerentia 07n. d. 16 •IIII' c. 17 tamen corr. in tantam ,a. [| crescet d.
18 numerorum d. 19 d om. -I- et addii -XXXVI- 20 d om. •I- et addii VI- 22 Si vero a, d, 1.
128 INST. ARITHM. n, 33.
tus tertii sesquitertius, secundum eandem coDvenientian], quae superius demonstrata est.
iiii. vnii. XVI. XXV. XXXVI.
II. III. iin. V. VI.
5 II. VI. XII. XX. XXX.
Rursus quadrati invicem inparibus differunt, parte altera longtores paribus.
Diiferentiae inpares.
III. V. VII. viiii. XI. xni.
10 1. uii. viin. XVI. XXV. XXXVI. XLviin.
Quadrati. Differentiae pares.
iiii. VI. VIII. X. xn. xnii.
II. VI. XU. XX. XXX. XLH. LVI.
15 Parte altera longiores.
At vero si inter primum et secundum tetragonum primum
parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una pro-
portione coniungitur. In utrisque enim proportionibus
dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum
20 tertiumque tetragonum secundum parte altera longiorem
ponas, sesqualterae comparationis ad utrosque forma
componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum
tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia
species nascitur. Et idem si in cunctis feceris, cunctas
25 superparticulares species invenire miraberis.
8 Differentiae inpares om, s. 9 s addit XV. 10 s
addit LXIIII. 11 Quadrati om. d, s. 14 Supra kunc
versum dififerentiae a. 16 Parte altera longiores om. a,
ly s. 22 inter] in c. 24 nascetar a.
Inst. Arithm. Ii, 33. 129
Duplus. I. II. IIII.
Sesqualter. IIIL VI. Vffll.
Sesquiterlius. 5
Vlffl. XII. XVI.
Sesquiquartus. XVI. XX. XXV.
£1 ad eundem tnodum in ceteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriplis, id est 10 priffius et secundus et in unum colligantur, et medius eorum parte altera iongior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et •IIII- , si iungantur , -V- faciunt. £0- rum binarius parte altera iongior, si bis ducatur, •IIII- fiunt, qui iuncti 'VIIII* sine uila dubitatione conficient, 15 qui est numerus quadratus. £t ad eundem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat inteliegi. ^Sin vero convertas et inter duos, primum et secundum, parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qur in ordine quidem secundus est, 20 sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longio- x ribus congregatis et bis multiplicato medio telragono rur- sus tetragonus conficitur. Namque inter senarium et binarium numerum, qui sunt prlmus et secundus parte aitera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, 25 ])rimus actu tetragonus, et coniungantur JI* et «VI-, fa- ciunt •VIII- ; tum si bis ducantur medii •1111% faciunt rur- sus •VIII-, qui cum superioribus iuncti -XVL tetragonum pandunt.
1 Duplex c, f, r. s; Dupla d. 3 Sesqualtera a, c, s.
5 Sesquitertia a, c, d. 7 Sesquiquarta a, c, d. 10 ex] et F. 13 -I- d. II quatuor, sibi inngantur quinqne c. 14 si om. c, f, F, r. || quatuor c. 15 faciunt a, d, f, r, s. 18 Si vero a, b, c, f, 1, r, s. 23 sex d, i; VI. r. 26 duo a,
c, d, f, 1, r, s. II sex a, c, d, 1, r, s. 27 octo c. || qua- tuor c, quattuor f. 28 octonarium a, b, c, d, f, 1, r, s. iuncti in margine r, iunctis c. || sedecim f.
Boetius. 9
130 INST. ARITHM. n, 33.
V. XIII. XXV.
IIII. XII. XXIIIl.
I. II. iin. nii. VI. vim. viiii. xii. xvi. viiii. XXV. XLvmi.
5 vm. xvm. XXXII.
vm. XVIII. XXXII.
II. IIII. VI. VI. VIIII. XII. XII. XVI. XX.
XVI. XXXVI. Lxmi.
IUud quoque non oportet minore admiratione suspi*
locere, quod secundum proprias naturas, ubi ailrinsecus duo tetragoni stant et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus, qui nascitur, ille semper ab inpari procreatur. Nam ex superioribus uno et 'IIII* et bis mul- tiplicato binario factus est novenarius tetragonus, qui sci-
15 licet a tribus procreatur; ter enim tres *Vmi* faciunt, qui
ternarius inpar est numerus. Et sequens, qui ex •IIU- et
•VIIII* et bis multipiicato senario coniunctus est «XXV»
tetragonus et ipse ex inpari quinario nascitur et conti-
nenti post ternarium ; quinquies enim quinque 'XXV- pro-
20 ducunt et quinarius post ternarium inpar est numerus.
Insequenti quoque eadem ratio est. Nam qui ex •VIIII* et
•XVI- et bis ducto *XIL quadratus •XLVIIII- producitur»
ille a septenario inpari fit et post quinarium continenti ;
septies enim septem •XLVIIII^ creant. At vero ubi duo
26 altrinsecus parte altera longiores unum medium tetrago- num ciaudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et «VL parte allera lon- gioribus et quaternario bis mullipiicato •XVr tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, produ-
80 citur ; quater enim quattuor -XVL sunt. Et insequenti
3 VIIII. XII.] VIII. XII. F. 9 ammiratione iVi mar-
gine r. || suscipere f, s; snscicere r. 13 quattuor f. 15 •III- r. t| novenarium a, c, 1, s; noTem d. 16 quattuor f. 17 et bisj et offi. a. || iunctus c. 19 quinque] V- c, f. 21 et insequenti d; In sequenti a, 1. 22 et bis . . . XLyilll. in margine r. || quadratis c. 23 Post continenti addit •VII- a. 24 septem] -VII- c, d, f, r, s. 26 concludunt a. 30 quat- tuor] -UII- c , d. II in sequenti a, 1.
Inst. Arithm. H, 34. 131
quoqoe ordine, ubi ex 'VI* et «XII* et bis in suam sum-
mam ducto novenario •XXXVI* fiunt, ex continenti pari
senario copulantur; sexies enim sex *XXXVI* restituunt.
Nec minus in eandem rationem cadit ex •XII- et XX- et
bis 'XVL factus LXIIII* tetragonus; hic enim ex octona- 5
rio continenti post senarium nascitur; octies enim VDI.
LXIIII. tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secun-
dum eundem modum, si idem facias, rationis ordo non
discrepat.
Quod ex quadratis et parte altera longioribus omnis for^ lo
marum ratio consistai,
XXXIin. lUud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio, non minore considera- tione notandum est. Namque trianguli, qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus , collecti producunt, his i5 iunctis velut ex quibusdam eieipenlis oriuntur. Namque ex uno primo telragono et binario primo parte altera lon- giore ternarius triangulus copulatur, el ex binario et qua- ternario , id est ex secundo tetragono senarius trianguius procrealur. Ex quaternario quoque et senario denarius 20 trianguius nascitur, et ad eundem ordinem cuncta trian- guIorum*ratio constabit. Disponantur enim alternatim in- ter se tetragoni et parte altera iongiores, qui ut melius pernotarentur , prius in duobus eos versibus disposuimus. Post autem eosdem permiscuimus et, qui exinde trianguli 25 nascerentur, adscripsimus. ]
1 ordine quoqae a, r. || senario et dnodenario d; senario et •Xn* r, s. 3 senarii c. || sex enim sexies c, d^ f, I, r. 4 cadent a, b, c, f, 1, r, cadet s. 5 LX quattuor f.
7 LXIIII.°' f. 10 Inscript. om, c, d. 11 consistit f, r.
12 XXXm. 1. II vero
versum \ copulatur d. [
creatur] copulatur d.
quoque c. 18 procreatur et supra
vel quaternario a, b, d, 1, r, s. 20 pro- 22 altematim om, s. || inter] in c.
24 praenotarentur F. |) eos in duobus c, s. 25 miseuimus
r. Il qui] quia f. 26 descripsimus c, f, s, F ; sec, mamt ad-
ditum r.
132 INST. ARITHM. U, 35. 36.
Tetragoni.
I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XXVIIII. LXIIII. LXXXI.
Parte altera longiores.
II. VI. XII. XX. XXX. XLU. LVI. LXXII. XC.
5 Trianguli.
lU. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV. LXVI. LXXVHL I. IL im. VL VIIIL XU. XVL XX. XX V. XXX. XXXVL XLU.
Quemadmodum quadrati ex parte aliera longiorihus vel parte altera longiores ex quadratis fiant.
10 XXXV. Omnis vero tetragonus, si ei proprium latus
addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior
fit. Namque 'IIIL tetragono si quis duo iungat vel duo
detrahat, •¥!• addendo perficiet et *I1- detrahendo. At
uterque figuram continet parte altera longiorem. Quae
15 sciiicet magna est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia ah aequalitatis natura et a suis se finibus continente substantia discedens aut in maius ex- uberat aut in minora decrescit.
Quod principaliter eiusdem quidem sit suhsiantiae unitas, 20 secundo vero loco inpares numeri^ tertio quadrati^ et quod principaliter dualitas alterius sit suhstantiae , secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores,
XXXVl. Constat igitur primo quidem loco unitatem
propriae inmutahiiisque suhstantiae eiusdemque. naturae,
p dualitatem vero primam alteritatis mutationisque esse
principium; secundo vero ioco omnes inpares numeros