1 — 2 multipUcet . . . numeram in margine r. 4 tunc s. 5 est totius d. || «ipsam F. 8 bis unum vel om. d, f. |{ bis •IL c, s. 9 facies c; facies mutatum in facias a, r. {| •III- c. IJ •IIII' s. II 'V- c, s, 10 quemlibet numerum alium a. 11 invenitur vel invenerit a, sed vel invenerit indttctum. 12 et om. s. 13 enim om. F, s. 14 coacer- varis c, coacervaberis r. || •IIII- c, r; quaternarius f, s. 15 iuni^as s; iungam mutaium in iungas r. 16 -yil- c, d. {{ •XVI^ d. 17 sugeserit a. 18 facies b, f, 1. 19 a parte a, s; tn r a ramra est deletum. 20 primos b, d, 1. 21 nu- merus mihi d. 22 •IIII- d, s. 23 bis tres con\ in bis tribus a, d; bis tribus in Htura r. 24 nascitur, i in e mu- taio, F. 26 in om. F.
120 INST. ABITHM. II, 29.
conpetenti ordine procreatos videbit, qnam descriptio^ nem scilicet inferior forma demonstrat.
Radices.
I. i.iii. I.III.V. i.in.v.vii. i.iii. v.vu. vim. i. m. v.vn.viiii.xu
5 Tetragoni id est quadrati. I. mi. vmi. XVI. XXV. xxxvi.
Radices.
ii.iiii. ii.iiii.vi. ii.iiii.vi. vm. II.IIII.V1.VIII.X. n.im.vi.viii.x.xii.
Parte altera longiores.
10 VI. XII. XX. XXX. XLII.
De generatione laterculorum eorumque definitione.
XXVnil. Quos autem superius laterculos diximus,.
quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt^
quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinem-
15 que porrectis minor his additur altitudo, ut sunt huius modi: tres ter bis, qui sunt •XVIII- vel quattuor quater bis, vel alio quo modo , ut his in latitudinem longitudinemque aequis minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in mi-
20 nus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae sed hoc modo, ut ex aequalibus aequaliler ducantur in maius. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini et maior sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis doci-
3 Radices om, &, c. 5 Hune versum om, c, \\ quadrati] quadri r; quatuor quadraii d. 7 radices om, s. 8 8 addit ab initio -II- 9 Ifunc versum om, c. 10 s addit ab initio •II* 11 In- script. om. a, d; b, 1, d, F addunt: yel de generatione (genere F) cuneorum eorumque definitione (diffinitione) I. 12 XXVmi. om. a; XXVHI. 1. 13 ipse d, r. 16 ini- c, d. 17 alio quo] aliquo 1; alio quo corr. in alio quocunque a; alio ali- quo et supra versum cunque b ; alio qualicnnque d ; alio quo- libet f. II ut] in, ut ex corr, addito^ r. [j longitudinem lati- tudinemque a, f, s. 18 ducatur] addatnr s. 19 in om. a, b, c, d, f, 1, s; supra versum r, 20 ipsi a; ipse d, f, 1. 21 ex supra versum r. 22 longitudini latitudo d. 23 ille d, f. y decades a, f; deocadles s; docades F.
INST. ARITHM. n, 30. 121
des nominaDtur. Ut si quis hoc modo faciat: •HII* qua*
ter novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt.
Sphenisci vero, quos cuneolos superius appeUavimus, hi
sunt, qui ex inaequaiibus inaequaliter ducti per inaequa-
lia creverunt, cybi vero, qui ex aequalibus aequaliter^
per aequalia producti sunt.
De circularibus vel sphericis numeris,
XXX. Ipsorum vero cyborum quanticunque fuerint ita ducti , ut a quo numero cybicae quantitatis latus coe- perit, in eundem altitudinis extremitas terminetur, nu- lo merus iile cyclicus vel sphericus appellatur; ut sunt mul- tiplicationes, quae a quinario vel a senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit XXV-, ab -V- progressus in eosdem desinit V* Et si hos rursus quinquies ducas, in eosdem V- eorum terminus veniet. Quinquies enim -XXV- 1^ fiunt. CXXV- et si hos rursus quinquies ducas, in quina- rium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc lis- que in inflnitum idem semper eveniet. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyciici vel spherici vocantur, quod sphera vel circnlus in 20 proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo illius puncti, qui eminus fixus est, aequaliler distans a primo puncto circumductio et ad eundem locum reversio^ unde
1 qnattior e, quattnor f. 3 Spherici a, s; spherici et supra versum at sphenisci b; spheriBci c; speniAci r; Spe- rici F. II cuniolos c; hemiholos vel cuneolos a, s; hemiho- I0S vel hemiolos s; hemiholos vel emiholosF; hemiholos yel m mm^gine b; mpra verttum 1, r. 6 vero sunt F. 7 In- script, om. d. || spericis r, spiricis s. 8 XXYIIII. 1. 10 la- titadinis a, c. 11 cjbicus f. || spericus r, F. 12 a ante senario om. a, c, 1, s. 13 >y- c, d, r, s. l| qui fit] om. c; fiont s. 14 rursum a, b, c, f, 1, r, s. || eduoas c, f, r, s. 16 fiunt] sunt a, b. || rursum c. 17 terminatur s. 18 eve- niet; e indueto^ a; veniet b. 20 sperici r, F. || spera d, r. 21 semper om, F. 22 — 24 et alio . . . puncto eadem manu in margine F. •
122 INST. ABITHM. II, 31.
moveri coeperat. Sphera vero est semicirculi manente
diamelro circumducljo et ad eundem locum reversio, unde
prius coeperat ferri. Unitas quoque virtule et potestate
ipsa quoque circulus vel sphera est. Quotiens eni^i pun-
5 ctum in se muiliplicaveris, in se ipsum, unde coeperat, ter* minatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, si hoc semel, idem est, et si hoc rursus seniel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio , soiam planitudinem reddit et fit circulus, si secunda, mox sphera conficitur. Etenim se*
10 cunda mulliplicatio effectrix semper est profunditatis. Ex •V* igilur et -Yh paucas huiusmodi formas subscripsimus.
I. V.' VI.
I. XXV. XXXVI.
I. CXXV. CCXVI.
15 I. DCXXV. ICCXCVI.
I. Iiicxxv. Vildcclxxvi.^
I>e ea natura rerum, quae dicilur eiusdem naturae, ei de ea, quae dicitur alierius naturae et qui numeri cui naiu-
rae coniuncti sint,
20 XXXI. Ac de solidis quidem figuris haec ad praesens
dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis
investigantes rationibus, quique in matheseos disputa-
tione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilis-
sime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas
25 in gemina dividentes hac speculatione distribuunt. Dicunt
1 ceperat c, 1; coeptus est d, f. || Spera d, r. 1 — 3 Sphera . . . ferri eadem manu in margine F. 3 ceperat 8. 4 spera d, r, F. 5 in se anie muUiplicaveris om. f, F. 6 facias r. || redit, et b. [J hoc rursus c, d, 1. 7 idem] unnm b.
11 et si hoc . . . idem est om. c , d. || est] conficitnr a. 8 una ut -Y- quinquies d. || fuerit] erit s. || redit c. 9 se- cnndo a, b, f ; secunda ei supra versum nt •XXV» qninqnies d. II spera d. 11 quinque .... sex, c, f. 14 -CXXV' om. F; ideoque sequentes numeri suni uno versu promoti, 17 In- script. om. d, s. /n a legitur inscripHo sequeniis capitis. || I>e natnra, omisso ea, f. || remm om. c. 18 dicitnr] est F. 19 sunt c, 1, r. 20 XXX. 1. 22 quique] qninque P. 23 quaque} qua d; unaquaque s. 24 peritissimaeqne d.
Inst. Arithm. H, 31. 123
eoim omnes omnium rerum substantias constare ex ea, quae propriae suaeque semper habitudinis est nec uUo modo permutatur, etea sciiicet natura, quae variabiiis mo- tus est sortita substantiam. Et iliam primam inmutabilem naturam unius eiusdemque substantiae vocant, hanc vero 2> aiterius, sciiicet quod a prima iila inmulabili discedens prima sit altera, quod nimirum ad unitatem pertinet et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque inpares numeri formati sunt, qui- lo que ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo eius- dem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequaiitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris inparibus procreantur. Ilii vero, qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coa- 15 cervati collectique in unam congeriem parte altera lon- giores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam ab eiusdem subslantiae natura disces- «isse dicuntur, putanturque alterius naturae esse partici- pes idcirco, quoniam, cum iatera tetragonorum ab aequali- 20 tate progressa in aequalilatem propriae iatitudinis aml)itum tendant, hi adiecto uno ab aequalitate laterum discesse- runt atque ideo dissimilibus iateribus et quodammodo a se alteris coniunguntur. Quare notum nobis est, quod ex his ea, quae sunt in hoc mundo, coniuncta sunt. Aut 25 cnim propriae inmutabilis eiusdemque substantiae est, quod est deus vei anima vei mens vei quodcunque pro-
1 omnes om. c, f, s; supra versum b; litura r. || sub- fitantiam c, s. 2 proprie c. 4 substantia f. |J primo a, b, c, 1, r. II inmotabilem r. 6 immobili d. || dece- dens e; descendens s. 8 decedens c, f; descendens s. 11 eiasdemque a, b; unius eiusdemque s. 15 his] eis a. 20 cum] eum corr, in cum a; con r; cum om. d. || latere corr. in latera r. 22 tendunt c. || abiecto corr. in adi- cecto a. 23 desimilibus r. |J lateribus constant a. || etl Tel corr, in et a. 24 a se supra versum a; a supra se d. |] nobis notum c, f, s. 26 enim om. s. || proprie c, d. || einsque r. 27 quod est deus] ut deus est r; quod deus, qnod in ut corr, d; ut deus f, s; quod est deus, quod est in ut corr,, 1. II mens est d, f, r, s.
124 INST. ARITHM. II, 31.
priae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis varia-
bilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus
accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac ge-
mina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte
5 altera longiorum cunctas numeri species cunctasque ha-
bitudines vel ad aliquid relatae quantitatis, ut multipli--
cium vei superparticularium et ceterorum, vel ad se
ipsam consideratae , ut formarum , quas dudum in supe-
riore disputatione descripsimus, informari, ut, quemad-
10 modum mundus ex inmutabili mutabilique substantia, sic omnis numerus ex .tetragonis, qui inmutabilitate perfi- ciuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participiant, probetur esse coniunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sint hi, quos promeces yocant, id
15 est anteriore parte longiores, vel qui, quos atsQOfir^xscgy id est parte altera longiores. Est enim parte altera lon- gior numerus, quicunque unitate tantum lateri crescit adiecta, ut sunt sex, scilicet bis tres, vel «Xn- tres quater et consimiles. Anteriore vero parte longior est, qui sub
20 duobus numeris huiusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis diiferentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter quinque vel ter sex vel quater septem. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta merito anteriore parte iongior dicitur. Cur autem
25 parte altera longiores numeri dicantur, supra iam dictum est. Quadrati vero quoniam aequam latitudinem longitu- dini gerunt, propriae longitudinis vel eiusdem latitudinis
1 beatum corr, in be&tur a; habetar et supra versum i beatar s. 3 accedere a, r, s. 8 considerate f. 12 mo- tabilitate r; matabilitatem d, s. 14 describendum a. || qui] quid a, b, d. || promeciis a, prometis d, promecis f^ r; promechis s. 15 qaos] nos a. || BttQopkijneig om. c *,. eteromhici a. 16 enim om. d. 17 tamen corr. in tan- tum a. 18 VI- c, f, r. || scilicet ut f. fl III- c, r. yel] et d. |] duodecim d, f. || -III- r. 19 consimilis s. parte vero c, s. || parte altera longior d. 22 'V- c. •VI- c. II VII- c, f 26 longitudinem latitudini d. 27 enintj g ex corr, addUo^ r. [| longitudinis , linea subnotatum ei sw- pra versum latitudinis d.
Inst. Abithm. Ii, 32. 125
aptissime vocabuatur, ut bis duo, ter tres, quater quat-
tuor et ceteri. Parte altera vero longiofes, quod non
eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo lon-
gitudinis et parte altera iongiores vocantur.
Quod omnia ex eiusdem naiura ei alierius naiura consisiani 5 idque in numeris primum videri,
XXXII. Omne autem, quicquid in propria natura substantiaque est inmobile, terminatum definitumque est, quippe quod nuila variatione mutetur, nunquam esse desinal, nunquam possit esse, quod non fuit. At haec 10 unitas sola est et, quae unitate formantur, conprehensi- bilis et determinatae et eiusdem substantiae esse dicun- tur. £a vero sunt, vel quae ab aequalibus crescunt, ut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est inpares. At vero binarius et cuncti parte aitera longiores, qui a finita 15 substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substan- tiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his, ,; .. quae longe disiuncta sunt atque contraria, ex inparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis va- riatio, hic inmobilis substantiae robur , illic mobilis per- ^o mutatio; hic definita soliditas, iilic infinita congeries mul- tiludinis. Quae scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur et illius unitatis informatione atque regimento unum nu- meri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque inpro- 25 vide, qui de hoc mundo deque hac communi rerum