Bobtius. 8

114 INST. ARITHM. U, 25.

aequalia, sed cunclis inaequaiibus , quamyis solida sit
figura, ab aequalitate cybi iongissime distare videatur.
Hi autem sunt, nt si quis faciat bis tres quater, vei ter
quattuor quinquies et alia huiusmodi , quae per inaequa-

5 les spatiorum gradus inaequaiiter provehuntur. Haec
autem forma Graeco nomine scalenos vocatur. Nos vero
gradatum possumus dicere, quod a minore modo velut
gradibus crescat ad maius. Vocant autem eandem figu*
ram Graeci quidam spheniscon; nos autem cuneum pos-

10 sumus dicere. Etenim quos ad quamiibet illam rem
constringendam cuneos formant neque latitudinis neque
iongitudinis neque aititudinis habita ratione, quantum
commodum fuerit» tantum vel aititudini minuitur, vei
crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos ple-

15 rumque necesse est omnibus partibus inaequaiibus inve-
niri. Quidam vero hos bomiscos vocant , id est quasdam
aruias, quae in lonica Graeciae regione, ut ait Nicoma-
chus, hoc modo formatae fuerunt, ut neque aititudo iati*
tudini neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem

20 aliis quibusdam nominibus, quae nunc persequi super-
vacuum iudicavimus. Igitur cybi aequalibus se spatiis
porrigentis et huius formae, quam diximus, gradata distri-
butione dispositae medietates sunt, quae neque cuncti»
partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos

2 figura sit c, r, s. || yidetur s. 3 autem om. s. || fa- ciet, e in a mutatOy a. 4 quattuor] •IIII-*'' d, r. || quin- quies] vel quater quinque a. 6 scalenos] scalenus vel squalenos a. || vero] autem s. 7 gradatim c. || a om, c. {| velut] vel a, b; velud d. 9 speriscon a, s; spe iscon c; sphericon f. 10 quos] cum s. [| illam om, s. 11 con- fringendam s, conscribendam a. || Supra formant: aucto- res s. 12 ratione] In marginB inferiore b addit: in aj. ra- tione sunt. Sed quantum etc. 13 tantum om, d. |{ latitudini c, d. 14 profunditas d. {( augetaiir F. 16 bonis quos, qu in c mutato a; boniscos c; bonoscos r. 18 — 19 altitudini lon- gitudo nec haec latitudini F. 19 neque haec] nec haec c, s; ne quae haec d. {{ haec supra versum a. [[ conveniret a, r, s.

21 iudicabimus b, 1; in a bi lineolis est oblitum; iudicamus f, r.

22 porrigentur, mutatum in porrigentes a. [| et buius supra versum a. 23 positae, dis ex corr. addito a, r. 24 nec c, d, 1.

7 Inst. Arithm. H, 26. 115

Graeci paralleiepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uni- formiler composilum habere non possunt, ut tamen idem pluribus dictum sit. Ea namque hoc nomine yocalur figura, quae alternatim positis lalitudinibus continetur.

De parte altera longioribus numeris eorumque 5

generationibus,

XXVI. Huiusmodi vero formas quaies sunt, quae vocantur a Graecis stsQoiirjxeLg, nos dicere possumus parte altera longiores. Quarum figurarum numerus hoc fflodo deflniendus est: Parte aitera longior est numerus, lo quem si in latitudinem describas et ipse quidem quattuor veuit laterum et quattuor anguiorum, sed non cunctis aequaiibus sed semper minus uno. ^Namqne nec iatera lateribus cuncta cunctis aequa sunt, nec iongitudini iati- tudo/sed, ut dictum est, cum hinc aitera pars maior i5 fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat.' ^ Si enim numerum naturaiem disponas in ordinem , et secun- dum per primum muitipiices, taiis nascitur numerus,' vei si secundum per tertium , vei si tertium per quartum , vel si quartum per quintum, omnesque hi unitate tantum 20 addita, multipiicentur, nascentur parte aitera iongio- res. Disponatur enim numerus naturaiis I. II. III. IIII. V. VI. VII. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur

1 parallepidas a, parallelepipedes f. 2 tamen] tan- tum corr, in tamen a. || idem] id de a. 3 supra pluribus: aominibns s. || Ea ex corr. add, d. || Ea namque] Eaque c. ^ latitudinibas] mpra versttm habitadinibus d. 5 Inscripi. om, ^' In a legitur inscriptio capilis vicesimi ociavi. Q numeris w«.b, c, r. 6 procreationibus F. 7 XXVIII. a; XXV. I. || fignias ei supra versum 1 formas s. 8 strjQOvcrjvs a; €PO- ^iKec f. II nos supra versum r. || nos aatem a, s. || pos- Bumns dicere s. 11 latitudine f; altitudinem a, b, c. '^11- d, r. 12 provenit 1; venit, pro ex corr. addiio b.

IIII- r, 8. 13 sed] et corr. m.sed a. 14 sint F. | lon- ptudo latitudini F. 16 tamen corr. in tantum a, d. | mi- «ore c. 18 nascetur a, 1, s. |1 vel] et c, 1, F. 20 hi su- f^t^versum r; in c. || tamen corr, in tantum a. 21 nascentur autem f. 23 actenus b, f , r ; actenus , h ex corr. addiio , a.

INST. ARITHM. II, 27.

faciat unum bis, faclet •II*, et rursus bis tres, faciet -VL, ter quattuor, faciet 'Xli-, quater quinque, faciet -XX-, et hoc ad eundeffi ordinem. Quicunque igitur facti sunt, procreabuntur parte allera longiores, ut subiecta de- 5scnptio docet, in qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte aitera longiores, super adscripti sunt, qui vero nascuntur, subterius sunt iiotati.

I. II. m. lui. V. VI. VII. n. VI. xii. XX. XXX. XLii.

li III Ilil

lil IIII

Iii 11

De antelongioribus numeris et de vocabulo numeri parte

altera longioris.

XXVII. Ergo si unitate tantum discrepent, qui mul-

tipiicantur, descripti superius numeri protenduntur , sln

20 vero aliquo numero, ut ter -VII- vel ter -V- vel aliquo

modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate,

non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed ante-

1 faciet s. || faciat duo d; faciet dao f. || faciat sex
d, 1; faciat VI- r. 2 .Iin- d. || V. 1; qninqmes d, r.
.3 facta F. || sint f. 4 altera parte F. 6 mnltiplicatis f.

6 nascentur a. c, r, s. || snper ei supra vertmm l pra b.

7 sunt om, r. || subnotati b, l; adnotati sunt d. 8 -VIII- ad~ dunt a, c, f, r, s. 9 LVI* addunt c, f, F, r, s. 10 Figu- \ ram numeri -LVI- addunt c, f, F, 1, r, s. /n b, c, d, 1, r virgulae ita aunt dispositaej ul binae, iemae, quaiemae, quinae^ ' senae, septenae in singulis versibus sint posiiae. 16 Inscript, I om, a, d. II numeris om. F. || parte altera longioria nu- meri F. 17 longioribus s. 18 XXVII. om. a; XXVI. 1. || ab unitate a, f, r. 19 protendentur a, d, f, L [] sivero a, c, 8. 20 ter VII- vel ter V] ter IIII- vel ter V- c- bis IIIL vel ^ter V- s, F; bis 1111- ter V- quater VI- rl

Inst. Arithm. Ii, 28. 117

longior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae eius heredes nulii alii nisi tantum binario adscriliebatur. Hunc aiteritatis principium esse dicebant, eandem auteni naturam et semper sibi similem consentientemque nullam aiiam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Bina- 5 rius autem, numerus primus, est unitati dfssimilis, id* circo quod primus ab unitate disiungitur. Atque ideo alteritatis cuiusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia sola tantum est unitate dissi- milis. Merito ergo dicentur hi numeri parle altera lon- lo giores, quod eorum latera unius tantum sese adiecta numerosiiate praecedunt. Argumentum autem est, alteri* tatem in foinario numero iuste constitui , quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his , inter quos bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius, quod inpar numerus sola i5 perfici unitate monstratus est, par vero soia dualitate, id est solo binario numero. ^tSlam cuiuscunque medietas unus est, ille inpar est, cuius vero duo, hic paritate recepta in gemina aequa disiungitur/ Quare dicendum est, inparem numerum eiusdem atque in sua se natura 20 tenentis inmutabilisque substantiae esse participem, id- circo quod ab unitate formetur, parem vero allerius ple- Dum esse naturae, idcirco quod a dualitate conpletur.

Quod ex inparihus quadrati, ex parihus parte altera

longiores fiant. 25

XXVIII. At yero positis in ordinem ab unitate in-
paribus et sub his a dualitate paribus descriptis coacer-
vatio inparium tetragonos facit, coacervatio parium su-

6 anitati diBsimilis est a. 7 Adque r; et d. 8 fuifc] est d. 9 iinitatis a. || desimilis r. 12 nnmerositatem a. || est am, a. || alteritatis vel alteritatem a. 14 e] a a, r, 8; ex f, F. 16 unitate perfici a, c, s. 18 est unus c, f, s. II cuius vero medietas s. 20 natura supra versum s. 21 inmotabilisque r. 24 Titultm om, d. || de imparibus c. || De ^eneratione laterculorum eorumque difinitione vel de ge- neratione cuneorum eorumque diffinitione a. 26 XXVIIII. a; XXVII. 1.

118 INST. ARITHM. H, 28.

periores efficit parte altera longiores. Quare quoniam
tetragonorum haec natura est, ut ab inparibus procreen-
tur, qui sunt unitatis participes, id est eiusdem inrauta-
bilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequaies

5 sint, quod et anguli angulis et latera laleribus el longitu- dini compar est latiludo, dicendum est, huiusmodi nu- meros eiusdem naturae atque inmutabiiis substantiae participes, illos vero numeros, quos parte altera longio- res paritas creat, aiterius dicemus esse substantiae. Nam

10 quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic
horum iatera a se tantum uno sunt altera et una tantum
differunt unitale. Quare disponantur in ordinem omnes
ab uno inpares et sub his omnes a binario numero pares.

I. III. V. VII. viiii. XI. xin.

15 U. IIU. VI. VIII. X. XU. XIIII.

Est ergo princeps inparis ordinis unitas, quae ipsa
quidem elTectrix et quodammodo forroa quaedam est in-
paritatis, quae in tantum eiusdem nec mutabiiis substan-
tiae est, ut, cum yel se ipsa multipiicaverit vei in
20 planitudine vel in profunditate, vel si alium quemlibet
numerum per se ipsa multiplicet, a prioris quantitatis
forma non discrepet. ^amque si unum semel facias, vel si
semel unum semel, vel si duo semel, vel si tres semel,
vel si quattuor semel, vel quemlibet alium numeriun

2 ut et d, 1. 5 sunt r, F. 7 inmotabilis r. 11 ta- men corr, in tantum a. || altera mutatum in latere a. [| et uiia tantnm corr. ex tamen a. 12 deferent r; differat c. || Quare corr, ex quorum a. 18 a binario] ab uno a, c; abi- nari d; ab uno et supra versum at a binario b. 19 ipsam c, r, s. 20 in ante profunditate om. r. 21 ipsam c, s. 22 discrepat b, c, d, f, I, r, s. [] Namque om. r; supra ver- 8um a. if si nnum . . . duo semel] si semel unum semel ei supra versum facias vel si duo semel a; vel si duo semel su^ pra versum b; si semel unum semel c; si unum semel facias vel si duo semel d, f; si unum semel facias, si duo semel F; si unum semel facias vel si semel unum (tit litura) vel si duo semel 1; si semel unum semel vel si semel •II* r; si semel unum vel semel •II- s. 23 'IIL r, s. 24 •IIII-^' s. || quattuor semel sunt •IIII^ r. || vel si quemlibet c, 1, s; sl ex corr. add. b. || alium quemlibet c.

Inst. Arithm. Ii, 28. 119

fnultiplicet, a quantitate sua is, quem multiplicat, numerus non receditl quod circa alium numerum non potest in- Teniri.^ Paris vero ordinis binarius numerus princeps est, quae dualitas, cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si se ipsa mul- 5 tipHcet vel per latitudinem vel etiam per profunditatem yel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, conlinuo alter exoritur. Nam bis unum vel bis duo si facias, vel bis tres vel bis quattuor vel bis quinque vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius lo quam primo fuerat, invenitur. %scuntur autem ex su- periore descriplione et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo. Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, quat- tuor tetragonus exoritur. Huic si quinarium iungam, no- 15 venarius rursus occurrit. Huic si copules septem, sede- cim quadrati forma se suggerit. Idemque si in ceteris facias, omnes conpetenter quadratos videas procreari/ At vero ex secundo paritatis ordine idem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primo respexero, 20 huiusmodi mihi numerus occurrit, qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes quattuor iunxero, parte altera longior rursus erit, senarius sciiicet, qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem adgregavero, nascetur mihi duodenaria forma , quae fit ex quater tribus. Quod si 25 continuatim quis faciat, cunctos huiusmodi numeros in