3 numeris constat c. {] nnmerus d. || esse numeros c. esse om, f. 4 currunt a; currerint c; currerit et supra r re r; current s. 6 in se c, d, f, r, s; in ef supra versum 1 ad b. 7 uno a. 8 -111- c, r. || iun^eremus a, c, r. 9 rursum d. || occurret r. iO et om. b, I. \\ detetragoni r. || intermisso uno a. 14 quidam r. {| pyramides, es mutato in as a. 19 nascantur, altero a in e muiatOy a. 20 uni- tas est c, s. 23 michi a, 1. 24 denariae d, f; denaria corr. in denariae a. 25 adiunxero a, s. {{ -XX- r; vice- simi yel viginti c. (| vicesimi numeri s. 26 est hoc modo s. •27 Trianguli om. f. Trianguli ab unitate et naturali s.
108 INST. ARITHM. II, 23.
Pyramides a triangiilis.
I. Ulf. X. XX. XXXV. LVl. LXXXIIII. CXX. CLXV. CCXX.
In hac igitur coniunclione necesse est, ut semper, qui ultimus est coniugatorum numerorum, is quasi quo-
5 dammodo basis sit. ^Cunctis enim latior invenilur. 1 Et
qui ante ipsum numeri coniungantur, minores esse ne-
cesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perve-
niat, quae puncli quodammodo et verticis obtineat locum.
'Namque in -X- pyramide super sex additi sunt tres atque
lounus, qui senarius superat ternarium quantitate, ipsi
vero tres unum pluraiitate transcendunt, qui unus extre-
mum terminum progressionis offendit; Simiiis quoque
ratio in ceteris perspici potest, si eorum procreationes
diligentius volueris perscrutari. lilae quoque, quae sunt
15 a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se com-
positione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis,
id est I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVUII. LXIIil.
LXXXI. C. , si unitatem primam ex hac dispositione prae-
sumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas,
20 nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum
superponam, id est quattuor, nascetur pyramis quinque
numerorum , quae duobus tantum numeris per iatera po-
sitis continetur. Sin vero his sequentes novem adiecero,
fiet mihi quattuordecim numerorum forma pyramidis,
25 quae per iatera tribus unitatibus conciudatur. Atque huic
si sequentem tetragonum -XVI- superponam, tricenaria
mihi pyramidis forma producilur. In his quoque omnibus
pyramidis lot erunt unilates per latera, quantae in se
numerorum adgregatae fuerint quantitates. Nam unitas,
3 ffunc versum praecedit in a iitulus: De curtis pyramidis. XXIIII. 4 sit a, d, f, r, 8. |) isj his a. 9 decimo a; decima, a eraso^ s. 1) VI- c. || III- c. 10 ternariara quantitatem a, d, f. 11 vero supra versum a. (| •III- c. 12 — 13 In ceteris quoque ratio similis d. 19 mihi om. f. 20 tetragonutaj Videtur legendum sequentem tetragonum vel tetragonum secundum. 21 •IIIL c. 24 fiat r, fiat, a in e mutatOy a. [| •XIIII. c. 25 concluditur c, 1. 27 forma pyramidis d. || producitur, i mutato in e, a.
Ikst. Arithm. Ii, 24. 109
quae prima pyramis est, unum solum, id est se ipsam
gerit in latere, quinaria vero, quae constat ex uno et
quattuor, duobus per latera designatur , et-XIIIi-, quae
ex tribus numeris compositis fit, ternario mimero in latere
posito constituitur. Hanc aulem pyramidum generatio- 5
nem monstrat subiecta descriptio.
Tetragoni.
I. nii. viiiL XVI. XXV XXXVI. xlviiii. Lxmi. lxxxi. c.
Pyramides a tetragonis.
I. V. XIIII. XXX. LV. XCI. CXL. CCIIII. CCLXXXV. lo
CCCLXXXV.
£t ad eundem modum cunclae a ceteris multianguiis profectae formae in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum anguiorum forma ex sui generis figura unitati superposita ab uno ingredienlibus ad pyra- 15 midum constituendas figuras nsque in infinita progreditur et ex hoc equidem apparere necesse est, triangulas for^ mas ceterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta vei a quadrato, vel a pentagono, vel ab exagono, vel ab eptagono vel a 20 quocunque similium solis triangulis usque ad verticem continetur.
De curtis pyramidis,
XXIIII. Scire autem oportet, quae sint curtae pyra- mides, vel quae bis curtae, vel quae ter curtae vel quater 25
2 quinque a, d, f, r. || constant a, d, r. 3 nil- c. designantur d, f, r. |1 quattuordecim f. 4 ternarii t.
5 pyramidam c. 7 Tetragoni om. d. 8 XLVini C.l
XXVIII. XXXVI. XLV. LV. c. 11 CCCLXXXV- om. f. 12 a om. d. 20 Posl exagono adduni 1, s: iter duxerit. || vel ab eptagono om, f ; vel ab pentagouo iter dixerat vel ab eptagono r; vel ab eptagono iter duxerat a. 23 InscripL m. d; in a, legitur inscriptio sequentis capitis. 24 XXII II. m. r; XXV. a; XXIII. I. |1 autem] haec r ex prava inter- pretatione compendiiy quo significatur autem. 25 vel quae ter curtae vel quaterj vel ter vel quater a; vel quae ter
110 INST. ARITHM. 11, 24.
et deinceps secundum numerorum adiectionem. ^^erfecta enim pyramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad primam vi et potestate pyramidam pervenit, unitatemr Sin vero a qualibet basi profecta usque ad unitatem alti- 5 tudo illa non venerit, curta vocabitur, recteque huiusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremi- tatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis -XVI- tetragono adicial •Vlill- atque huic mi- et ab ulterioris sese unitatis adiectione suspendat.^ Pyramidis
10 equidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen ver-
ticis non excrevit, curta vocabitur et liabebit summita-
tem non iam punctum, quod unitas est, sed superficiem,
quod est quilibet numerus secundum basis ipsius angii-
los porrectus atque ultimus adgregatus. Nam si tetra-
15 gona fuerit basis, quadrata deniinutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter, et si exagona, illa quo- que ultima superficies erit exagona. Ergo in curta py- ramide tot erit angulorum superficies, quot fuerit ba- sis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extre-
20 mitatemque non pervenit. sed nec ad primum quoque
opere et actu niultiangulum eius generis, cuius fuerit
basis, bis curta vocabitur; '^iut si a XVI- tetragono pro-
ficiscens usque in novem terminum ponat neque excrescat
ad qualtuor.^ Et quotcunque telragoni defuerint, totiens
25 eam curtam esse dicemus; ut si unitas defuerit, primus quadratus, curtam, quam Graeci xoIovqov vocant; si vero duobus tetragonis deficitur, id est unitate et eo, qui
vel quater curtae r; vel ter curtae vel quater s; vel quae ter curtae vel quae quater f; alterum quae supra versum d. 3 pyramidem d. 6 piramidis c. 7 autem est] autem fit c, s; enim fit in litura r. 8 novem d. || quatuor d, quat- tuor f. 9 Piramis c, d. 10 acumen d. 13 quod est om. c, r, 8. II cuiuslibet numeri qui c, r, s. || ipsius] illius f. 15 semper] superficiem c, r, s. [| ascendit] osten- dit a, c, r, s. 19 extremitatemque] ad extremum a. 22 aj ad d. II sedenario s. 23 •VIIII- c, 1; novenario et supra
versum ai novem b; novenarium s. || ponatur c; ponam
corr. in ponat a. 24 IIII- f. 26 noXoigov d. || vocant
om. 1. II sin 1. 27 deficit b, c, 1.
Inst. Arithm. Ii, 25. 111
sequitur, vocatur bis curta, quod Graeci SixoXovqov ap-
pellant. Quod si tribus telragonis, ter curla dicetur, quam
Graeci tQtxoXovQOv nominant. £t quotcunque tetragoni
fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse pro-
ponimus. Hoc autem non solis a tetragono pyramidis sed 5
JD omnibus ab omni mulliangulo progredientibus specu-
lari licet.
\ De cyhis vel nsseribus vel laierculis vel cuneis vel sphe^
ricis vel parallelepipedis numeris,
XXV. Ac de solidis quidem, quae pyramidis formam lo '^~ obtinent, aequaliter crescentibus et a propria veiut radice muitiangula figura progredientibus dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compo- silio, eorura qui dicuntur cybi vel asseres vel laterculi vel cunei vel spherae vel parallelepipeda Jquae sunt, quo- 15 tiens superficies contra se sunt, et duclae in infinitum ^ nunquam concurrent.^ Dispositis enim in ordinem tetra- gonis I. UII. Vini. XVI. XXV., quoniam hi solam longitu- dinem latitudinemque sortiti sunt et altitudine carent, si per latera solam unam muiliplicationem recipiant, aequa- 20 iem provehunt profunditatem. Nam quattuor tetragonus duos habet in latere et natus est ex bis duobus. Bis enim (iuo quattuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cybi forma nascetur. Nam si bis binos bis facias, octonaria quantitas crescit. Et est pri- 25
1 vocabitur a, f. |] quod] quam c, s. 2 Quod si] Si vero s. II dicitur d, vocetur a, s. 4 toties s. [] pyrami- dain a, c; pyramidis s. 5 non solum a, d, f, r, s; solis et supra versum \ lura b. Legendum videtur non in solis. || pyfanaidi s. 7 Post licet addit 1 primam sequeniis capitis
lenlenliam, 8 Inscript, om. d. In a legiiur inscriptio capi- tis vicesimi sexti. \\ vel cuneis om. f. 9 figuris paralleli- pedis f. 10 XXVI. a; XXIIII. 1. 12 progredientibus
^pra versum d. |1 Est ex corr. add. r. 14 quij quae corr, in qui a. 15 sperae c. j] parallelepipedi b, 1, r. 17 con- currunt a. || enim supra versum r. ]| in supra versum a. •21 •IIII- d; •IIILor 1; quaternarius c, s. ]] •IIIL'"^ u r. ■23 IIII- d; •III- c. 24 si om. c. 25 octonarii a, r, s.
112 INST. ARITHM. II, 25.
mus hic cybus. •VIIII- vero tetragonus, quoniam tres
habet in latere et faclus est ex tribus in se multiplicatis,
si ei unam lateris multiplicationem adiunxeris, rursus
alius cybus aequabili laterum formatione concrescit. Ter
5 enim Ires si tertio duxeris, •XXVII- cybi figura produci-
tur. Et •XVI-, qui est ex quattuor, si quater augescat,
•LXIIU' cybus pari laterum demensione crassabitur. Et
sequentes quidem tetragoni secundum eundem moduni
multiplicatione facta provehuntur. Tot autem necesse
10 est unitates cybus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus, ex quo ipse productus est. Nam quo- niam quattuor tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cybus. Et quoniam •VIIII- tetragonus tribus per latus unitatibus signabatur,
15 soio ternario XXVII- cybi latus urgetur. . Et quoniam
•XVI- tetragonus •IIII- unitatum latus habebat, totidem
•LXIill- cybus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi
et potestate cybi, quod est unitas, unus erit in latere.
Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quat-
20 tuor angulorum , totidemque laterum. Omnis autem cy- bus, qui ex tetragonorum superficie in profunditatem cor- poris crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus , ha— bebit quidem superficies -VI-, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est, latera vero -XII-, quo-
1 cnbus hic d. || Novem d, f; Novenarius c, s. || tetra- gonis c. 2 latera a. |{ in se om. a, d, f; supra versum r. 4 aequali a, c, f, r, s; aequabili et supra versum 1. aequali
b. II succrescit a; crescet c; crescit r, s. 6 trcs noveiti c; tres VIIII. d, f, 1. || figura] forma a, b. 6 -XVI-] si sedenarius s. || IIII- d, f. 8 sequentis f. 10 ille pri- mus a; prius ille in litura r. 12 IIII- f, 1; quaternarius
c, s. II tantum] termini inductum a. l| latere numeros ha- bet, fiupra latere in, a. 13 habebit d. 14 novenarius
c, 8. II per latus tribus a. 16 habet c, s. 17 -unitates om, a, d, f. 18 erat corr. in erit r. 19 enim] autem
d, f; autem ei supra versum l enim b. || -1111- d, s. 20 to- tidem, omisso que, a, d, f; que ex corr, add. r, || autem] enim a; quoque c, 1; quoque et supra versum l autem b. 23 sex d. [1 - quorum b, c, r; quorum, o in a mutato, a, d, 1, s. 24 vero supra versum a.
Inst. Arithm. Ii, 26. 113
rum unumqnodque singulis his, quae superioris fuere Cetragoni, aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est; angulos rero 'yill-, quorum singuius sub tribus eiusmodi continetur, quales priores fuere tetra- goni, unde cybus ipse productus est. ^Ergo ex naturali- 5 ter profiiso numero qui in subiecta forma descripti sunt subiecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qni sub- notati sunt cybi proyehuntur.
Numerus naturalis:
I. n. ni. nii. v. vi. vii. lo
Tetragoni:
I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. Cybi :
I. Viii. Xxvii. Lxiiii. Cxxv. Ccxvi. Cccxlul^
Et quoniam omnis cybus ab aequilateris quadratis i^
profectus aequus ipse omnibus partibus est — nam et
latitudini longitudo et his duobus compar est altitudo —
et secundum sex partes, id est sursum deorsum dextra
sinistra ante post, sibi aequalem esse necesse est: huic
oppositum contrariumque esse oportebit qui neque longi- 20
tudinem latitudini neque haec duo profunditati gerat
1 nnam qaotqne c. 3 octo c, s. || singulos c; sin- galis, is in ns correcto, f; singali, i in us correcto a. 4 hu- iasmodi a, c, d, s. || continet c. 5 unde cybas] 'VL, de qaibns a. 6 descriptus est 8. 8 cubi f. 9 Numerus naturalis om, c; Numeri naturales f. 16 In a praecedit hunc versum inscriptio capitis vicesimi septimi, b e^ 1 addunt inter hunc versum et quattuor proximos figuram
lii.r-^
16 profectus est, f; est ex corr. add, s. 17 duabus c, 1;
daobus his f. 18 secundum om, 1. || VI' f. [| rursum
a, b. II dextera f, r. 19 ante et post d. 21 gerat] ge*
nerat a, 1, r, s; generat et supra versum l gerat b.