I. III. VI. X. I.1111.V1III. XVI.
L\a-
ipti-
".'OQi.
XV. XXI. XXVllI. XXXVI. XLV. LV.
XXV. XXXVI. XLVIIU. LXim. LXXXI. c.
XXXV. LI. LXX. XCII. CXVn. CXLV.
I. VI. XV. XXVin. XLV. LXVI. XCI. CXX. CLIII. cxc.
I. VII. XVIII. XXXim. LV. LXXXL CXU. CXLVm. CLXXXVmi. CCXXXV.
1 Ab L usque ad XIIII- f. 2 XV. XXVIII. om. f. || r addit
I V VIIU XIII XVII ^^ figura. 13 Inscript. om, s. || nu-
merornm] eornm c, F. [| in ordine om. f. 14 -XVI- 1. 16 Bubiecta oculis F. |{ retenen-tur r, continentur F. |1 super- dictarum b. 17 eubteriori f. 18 ponatur hoc modo s. 19 LV. om, c; r addit LXVI. Similiter infra c oin. C. CXL.V. CXC. CCXXXV. r addit CXXI. CLXXVI. CCXXX. CCLXXXVI. 20 Quadrati et quadranguli F. 23 Post hunc versum addit r: Ogdogoni I. VIII. XXI. XL. LXV. XCVL CXXXIII. CLXXVI. CCXXV. CCLXXX. CCCXLL
102 INST. ARITHM. U, 18,
Qui figurati numeri ex quihus figuratis numeris fiant , in- que eo quod triangulus numerus omnium reliquorum prin-
cipium sit.
XVni. His igUur ita sese habentibus quid in hac re
5 sit consequens vestigemus. Omnes enim tetragoni , qui sub triangulis sunt naturaii ordinatione dispositi, ex su- perioribus triangulis procreantur illorumque collectione quadrati tigura componitur. Quattuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus trian-
logulis; novenarius vero ex tribus et sex, sed utrique
sunt trianguli; at XVl- ex deceni et sex; et XXV* ex -X-
et XV- Idemque in sequenti ordine quadratorum con-
stans atque inmutabile repperitur. Pentagonorum vero
summae conficiuntur ex uno super se telragono et altrin-
15 secus triangulo constituto. Nam quinarius pentagonus
ex quaternario super se posito tetragono et ex uno , qui
in triangulorum ordine ponitur , adgregatur. •XII- vero
pentagonus ex novenario super se quadrato et tribus , se-
cundo triangulo, nascitur. -XXU- vero ex -XVI- et -VI-,
20 quadrato scilitet atque triangulo; ,et -XXXV- ex -XXV-
et -X- Et in ordinem ad eundem modum intoentem nuUa
cunctatio contrarietatis inpediet. At vero si exagonos
1 numeris om. b, 1. || inque om. f; in eo F; In eoque r. 3 Post sit addit b: pertinens ad fig. 1: pertinens ad figu- ram, inititm sequentis iituli. 4 XVII. 1. 5 investigemus s. 6 sunt om. c, s. || dispositi sunt c; sunt supra versum s. || ex superioribus supra versum F. 8 quadrata F. || Quater- narius c, r, s. [] enim] namque c. 10 novem a, d, f, r. || sed] qui r, s. 11 trianguli sunt c, r, s. || at] et c, r; corr. in at a. || sedecim d, f, F. || ex] e a, d. || -X- et •VI. c, F, s; decem et VL d; Yl- et X- r. |1 XXV- ex] •XXV- et e. 13 Pentagonum c. 14 — 16 et altriilsecus . . . et ex uno in 7nargine F. 15 Namque a, s. || quinque a, d, f; 'V- r; quinarius et supra versum l quinque b. 16 quat- tuor a, d, f; •IIII- F; quaternario et supra versum l quatuorb. 17 Duodecim f, F; Duodenarius s. 19 viginti vero duo F || ex] X^ F. II sedecim et sex d, f ; sedecim et VI- r. 21 de- cem f. II ordinem] eodem ordine a. 22 cunctacio F. || impediat s.
Inst. Arithm. Ii, 19. 103
tibrata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque -VI. exagonus ex quinario pentagono et uno, qui est in trian- gulorum ordine dispositus, nascitur. Nec aiia est origo -XV* exagoni nisi ex duodenario pentagono et ternario 5 triangulo. Quod si 'XXVIII* rursus exagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nuiios invenies nisi -XXIL pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in ce- teris. Nec bunc geniturae ordinem eptagonorum pro- creatio refutabit. Namque ex super se exagonis et ex lo eminus positis trianguiis procreantur. Septeaarius enim eptagonus nascitur ex senario exagono et uno potestate triangulo ; •XVIII- vero eptagonus ex XV- exagono et ternario triangulo coniungitur; et •XXXIIII- ex XXVni- scilicet exagono et senario triangulo ; atque hoc in cun- 15 clis inoffensum repperire iicet. Videsne igitur, ut pri- mus omnium triangulus cunctorum summas efficiat et omnium procreationibus misceatur?
Periinens ad figttraiorum numerorum descripiionem
speculatio. 20
XVIIII. Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint com- n-% parati^Qd est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis vel hi rursus eplagonisl sine ali- qua dubitatione triangulis sese superabunt. fNam si ter- narium triangulum quaternario, vel quaternarium tetra- 25
2 super] sub c. |] se om. r. \\ sex d, f, F; sex corr. in senarius r; senarius c, s. 5 quindenarii c, f, F, s. 6 rur-> sum c. II exagonis f; exagonus F, quod haud scio an sit scribendum. 7 discas c. || nullas F. 10 super] per c.
11 Septem enim d, f, F; Septenarius, omisso enim, r; Nam septem a. 12 exagouo om. d. 13 octodenarius s. [| quin- denarius c, s. 14 triangulo ternario d. || coniungatur f, F; coningatur a, d. 15 exagono] pentagono a, c; pentagono
et supra versum exagono b; exagono in litura r. [| haec r. 16 repperiri d. || Vides, omisso ne a. 17 efficiet f, r, s. 19 Inscript. om. d. [) Pertinens] speculatio F. || discriptio- nes F. 20 speculatio] pertinens F. 21 XVIII. 1. || si et ad a. |) comparati fuerint a. 23 vel hi] et hi F; vel ii a. 24 Namque d, f, F.
104 INST. ARITHM. II, 20. 21.
gonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exa-
gono, vel senarium septenario eptagono compares, priaia
se triauguio, id est sola transeunt unitate. At vero si
senarius contra novenarium , vei bic contra •XII- , vel hic
5 contra XV- , vel quindecim contra •X- et • VIII- , pro in- veniendis differentiis comparentur, secundo se trianguio, id est ternario superabunt. -X- vero ad -XVI- et -XVI- ad -XXII- et XXII. ad XXVIII et XXVIII. ad XXXIIII. si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. At-
10 que hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese per-
spectum omnesque se triangulis antecedent. Quare per-
fecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum
principium elementumque esse trianguium.
De numeris solidis,
15 XX. Hinc vero ad figuras soiidas facilior via est. Praecognito enim, quid in pianis numerorum figuris vis ipsa quantilatis naturaiiler operetur, ad soiidos numeros non erit ulia cunctatio. Sicut enim iongitudini humerorum aiiud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostende-
20 retur, adiecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam» quae aiias altitudo alias crassitudo alias profunditas appei- latur, solidum numeri corpus expiebit.
J)e pyramide , quod ea sit solidarum figurarum principium
sicut triangulttS planarum,
25 XXI. Videtur autem, quemadmodum in planis flgu-
3 unitate transeunt s , F. 4 — 6 duodecim . . . quin- decim f, F. 5 vel XV- d, F. || decem et octo f; XVIII. d, r. 7 Decem f, F. 9 senario adcrescente c. 10 per- fectum c. 11 antecedunt F, s. 14 Insciipt. om, d. De so- lidis numeris F. 15 XVIIII. 1. 16 praecognitis, et supra versum 1 to b; praecognitoa; os mutato in is a; praecognitis c, d, f, 1, r, 8, F. II enim] vero c, s. || quid in litura r; quod c; quae s; quod con\ in quid a. 18 non erit ulla] nulla erit d. [| cuntatio f. 19 ostendetur c, r. 20 adicie- mus r. 22 explevit r, explevit corr. in explebit a. 23 Jn- script. om. d. |] pyramida a, b, d, 1. || sit om. f. || principium sit f. 24 sicut triangulus planarum om, b, 1. || sicut] ut F. 25 XXI. orn. 1. II autem] enim c, s.
In8t. Arithm. Ii, 21. 105
ris triangulus numerus primus est, sic in solidis, qui vocatur pyramis, profunclitatis csse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. £st autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a penta- 5 gona et secundum sequentium muititudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim trian- gulo atque descripto si per tres angulos singuiae lineae recte stantes ponantur, haeque tres inclinentur, ut ad unum medium punctum vertices iungant, fit pyramis, lo quae, cum a triangula basi profecta sit, tribus trianguiis per latera conciuditur hoc modo: Sit abc* triangulum. Si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae et ad ununi punctum convertantur, quod est d-, ita ut •d- punctum non sit in plano, sed pendens, illae scilicet x5 lineae ad ipsum erectae verticem et quodammodo cacu- men -d- facient et erit basis abc* unum triangulum, per latera vero tria triangula, id est unum trianguium
a. d. b, aliud vero b. d. c, tertium c. d. a.
1 qtiae F. 3 quippe ratarum] qui praedictarum a.
inveniri F. 5 a tetragona] latera tetragona r. [] tetra gono a, b. || a pentagona] a ex corr. addit r. 6 Post
pentagona addit s: alias ab exagona, alias ab eptagona. 7 enimj autem f. 8 descripto] disposito r, s; disposito vel descripto c. || si per] super, u in i muiato a. |j •III- c |l rectae lineae c. 9 rectae d, f, s. 10 vertice F. 11 qui corr, in quae a. || a o»?. a, b, c, 1, r, s; eo; cojt, add, d. | perfecta f. 12 Fit c, r, s. |1 primum triangulum a. |
triangulum om. s. 13 igitur huic F. 14 convertant c.
17 faciet a. 19 a. d. b ] a. b. c. s. || tertium vero d, f,
1, r, 8, F. [] c. T. Z] d. c. a. F. |] Post cT dT a. addU s: de-
Il^ST. ARITHM. II, 22. 23.
De his pyramidis^ quae a qiiadratis vel a ceteris multi-
angulis proficiscuntur figuris.
XXII. Idem si a tetragona basi proficiscatur et ad unum verticem eius lineae dirigantur, erit pyramis quat-
stuor triangulorum per lalera, uno tantum tetragono in
basi posito, super quam ipsa figura fundata est. Et si a
pentagono surgant V- lineae, quinque rursus pyramis
triangulis continebitur, et si ab exagono, sex triangiilis
nihilominus; Tet quanloscunque angulos habuerit figura,
10 super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangiilis continetur, ut ex subiectis descriplionibus palam est.^
Solidorum generatio numerorum.
XXIII. Dicuntur autem huiusmodi pyramides hoc ismodo: prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de
Bcribitur hoc modo triangula pyramis s. 2 proficiscuntur figuris a. || figuris om. F. 3 XXI. 1. H Item a, f. (| Idem autem d. 5 in om. a. 6 ipsa extrema figura quadrati a; ipsa extrema quadrati figura c, s. 7 surgunt d. || quin- que d, f, r. || rursus pyramis quinque triangulis a, c, r, s. 9 quantiscunqae d. |1 figura habuerit s. 11 continebitur a. ij ex] in a, b, c, s. 12 b, c, 1 addunt figuram eptagoni; r addit trigonum et eptagonum et inscriptiones : Prima pyramis de trian- gulo cet.; f addit alteram figuram pentagoni cum litteris verte et eptagonum. Quadrato circumscripta sunt verha Basis, Vertex ; reliquis figuris inscriptio est Pentagonus, Exagonus, eptagonus. 14 XXII. 1. II Ducuntur c; Dicitur corr. in Dicuntur r.
Inst. Arithm. Ii, .^S. 107
tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de exagono, quinta pyramis de eptagono, idemque in ceteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse dixi- mus, qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut sunt 1. 11. 111. IIII. V. VI. VII. VIII. Vlffl. X., his autem ordinatim 5 €ompositis et ad se invicem cum distantia iunctis superficies nascebantur, ut, si unum et duo iungeres, primus triangu- lus nasceretur, id est tres, et cum his adiungeremus ter- tium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurre- ret, et post hos tetragoni uno intermisso, pentagoni vero lo duobus, exagoni tribus, eptagoni relictis quattuor nasce- bantar: nunc vero ad solidorum corporum procreationem ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient. Et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt; ad procreandas vero pyrartii- 15 das a tetragono tetragoni; ad eas vero, quae sunt a pen- tagono pentagoni copulandi sunt. Et illae, quae sunt ab exagono vel eptagono non nisi exagonorum vei eptagono- rum copulatione nascentur. Primus ergo potestate trian- gulus est unitas eandemque etiam ponimus virtute pyra- 20 midam; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo coniunxero, id est cum unitate, quaternaria niihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si his tertium, senarium, iunxero denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium iunxero viginti numerorum pyramis veniet, 25 atque ita in cunctis aiiis eadem ratio copulationis est.
Trianguli.
I. III. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV.