1 Descriptionem numeri •XXVIII- om. d. 2 Titulum om. d. 3 yill. om. f. II in infinita a, b, c, d; in infinitum 1. || omnisqne f. 4 ex om. a, d, f; supra versum r. 5 po- Denti] poiient f, s; in % tamen i rasura est deletum. Supra versum: In at. ponent id b; tibi d. |1 -VI- sua a. 6 sua om. c. 8 quae] Coniicias qui esse legendum. 11 ipse 1;
ipso, o in a mutato s; in c. || triangnlos c, s. 13 unitas snpra versum a.
94 INST. AEITHM. II, 9.
quarti vero, id est -XV-, quinarius latus tenet, et quinti senarius idemque est usque in infinitum.
De generatione triangulorum' numerorum.
VIIII. INascuntur autem trianguli disposita naturali
5 quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo se-
quehtium congregelur. Disponatur enim naturalis nu-
merus hoc modo:
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII.
£x his igitur si primum sumam, id est unitatem, ha- 10 beo primum triangulum, qui est vi et potestate, nonduno etiam actu nec opere. Huic si secundum adgregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi trianguius opere et aclu nasci- tur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturaii 15 numero adiecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ter- narium adgregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternariunfi superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu 20 triangulus, quos per iatera disponens ad superioris de- scriptionis exemplar cunctos triangulos numeros sine uliius dubitationis erroribus pernotabis. Et quantas ulti- mus numerus in se unitates habet, quem superioribus ad- gregabis, tot ipse, qui iit triangulus, unitates habebit in
1 et quarti a, b, c, d, 1, s. |] vero inductum a; enim f. || quarti vero .... latus tenet om. d, r; sed in r in margine leguntur quarti vero .... quinarius et eadem, quae infra eac s allaia sunt. |] quindenarii continet latus quinarius f. ]] te- net] continet 1. )] quinti, id est -XXI- s. 2 idemque
usque in infinitum] sexti deinde id est vicenarii et octavi septenarius latus continet eodemque modo usque [in r] in- finitum propagetur s. ]] est om. a, d, f, r. ]] usque om, r. 3 Tiivlum om. d. 4 VIIII. om. f. j| Noscuntur r. JJ naturali supra versum d. 6 congregatur, a mutato in e, a. 9 pri- mum triangulum a, c, s; triangulum supra versum b, r. 13 mihi om, c. 18 consequentem] sequentem c. 19 ex- plicabitur a. 20 per] super a. ]] superius f.
INST. ARITHM. II, 10. 11.
latere. 'Nam ternarium, qui est primus actu triangulus,
adiecto binario unitati feceramus; et hic duos habet in
latere. £t senarium his adiecta ternarii quantitate pro-
duximus, cuius iatus soli tres continent; et idem in aliis
cunctis, quot unitates habentem numerum superioribus 5
adgregabis, tot unitatibus eius latera continebuntur. "^
De quadratis numerts.
X. Quadratus vero numerus est, qui etiam ipse qui-
dem iatitudiuem pandit, sed non tribus angulis ut supe-
rior forma, sed quattuor ipse quoque aequali laterum de- lo
meosione porrigitur. Sunt autem huius modi:
lUI.
vmi.
Be eorum lateribus.
XI. Sed in his quoque secundum naturaiem nume- 15 rum iaterum augmenla succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id estunitas, unum habet in latere ; secundus vero, qui actu primus est, id est quattuor, duo- bus per latera positis continetur; tertius vero, id est •nill-, qui secundus est opere, tribus in iatere positis 20 adgregatur. Et ad eandem sequentiam cuncti procedunt.
2 et] at a, c, d, f, r, s. || duo f, duas d. 7 In- impt, om. d. De numeris quadratorum f. 9 non in tri- ^us a , b , c , 1 , s ; in supra versum r. 10 •IIII- c. 12 Nu- meros om. c, d, f, 1, r, s. 13 /n f. addita est descripiio ^meri X,XV. 14 Inscript. om. d. De lateribus eorum f. ^o natnralem om. a. 18 secundus vero quadratus s. || est poii primns owi. a, c, d, f, r, s. || •IIIL c, s. 20 novem ^^ f. 21 praecedunt a, precedunt c.
96 INST. ARITHM. II, 12,
De quadratorum numerorum generaiione rursusque de
eorum laterihus.
Xlt. Nascuntur autem tales numeri ex naturalis nu-
meri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli,
5 ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno
semper intermisso, qui sequitur, si cum superiore vel
superioribus coiligatur, ordinatos ex se quadratos effi-
cient. ^Disponatur enim numerus naturalis hoc modo:
I. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIU. X. XI.^^
10 Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi natus est
potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium
iunxero secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni
relicto binario ternarium adposuero, quaternarius mihi
quadratus exoritur. Quod si rursus reiicto medio qua-
15 lernario quinarium similiter adgregavero , quadratus mibi
tertius, id est novenarius, procreatur. Unus enim et
•III- et -V- VIIII- colligunt. At vero si his intermisso
senario septenarium iungam tota in sedecim summa con-
crescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut bre-
20 viter huius forma procreationis appareat, si cuncti inpares sibimet adponantur conlocato sciiicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtiiitas et inmutabilis ordinatio, quod tot unitates unus- quisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint
25 numeri ad coniunctionem propriam congregati. Nam in
primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere,
in secundo, id est quaternario, quoniam ex uno et tribus
1 Inscripi, om. d. H genere f. [1 et rursus f. 3 Noscun-
tur r. 6 vel superioribus om. d, vel cum superioribus f.
7 efiiciet a, c, f, r, s. 12 uni] uno a, c, d, r, s; uno et
supra o i b. 14 — 16 quadratus . . . aggregavero in mar-
gine inferiore r. 17 tres . . quinque . . novem d, f. [] col- legunt a, 1, r. || in his, in inducto, a, rasura deleto, s. 23 stabilitas a et supra versum sec, manu: subtilitas; stabi- litas vel subtilitas c; subtilitas et supra versum: In ai; sta- bilitas b, r. || inmobilis a, c, s; inmutabilis et supra ver- sum et inmobilis b; immotabilis r.
INST. ARITHM. II, 13.
procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur.
£t in novenario» quoniam tribus numeris procreatur, latus
I ternario continetur, atque idem in aliis videre licet.
De pentagonis eorumque lateribus,
XIII. Pentagonus vero numerus est, qui ipse quidem 5 in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur. Cunctis scilicet lateribus aequali demensione dispositis. Sunt autem hi I. V. XII. XXII. XXXV. LI. LXX. Eodem quoque modo eorum iatera suc- crescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, 10 idem unus spatium lateris tenet, secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt; tertius vero, id est Xll-, tribus in latus auctus est; quartus XXII- quattuor numerorum in latere quantitate distenditur; atque idem in ceteris secundum 15 unitatis progressionem. In naturali scilicet numero se- cundum superiorum figurarum increment^i tenduntur.
xn.
XXII.
1 •II- a, 1, r, s. 3 videri a, b, c, 1, s. || liceat s. 4 InscripL om. d. || lateribus] generationibus f. 6 XII. 1.
quidem -V* a, s. I secundus a; se-
6 in supra versum a. {| latitudine a. | I, -V. angulis c. 16 unu m litura s.
candi et supra versum t dus b; secundi in liiura r. || vero om. f. 18 duodecim f. 20 distenditur quantitate a, c, r, s. [{ osten- ditnr corr. in distenditur r. || iu ceteris idem f. 22 supe- riori c. II tendentur mulaium in tenduntur a. 23 Numeros OOT. c, d. 24 /w d addila est descripiio numeri LI. In b
peniagoni angulos quoque aequales habent
Boetius. 7
98 INST. ARITHM. II, 14. 15.
De generaiione pentagonorum.
Xinr Nascuntur autem hi numeri, qui extensi in la-
titudinem •¥> angulos pandunt, ab eadem naturalis nu-
meri quantitate in se coacervata, ita ut duobus semper
5 interiectis numeris superiori vel superioribus vincens ter- nario eum, cui iungendus est, adgregetur. Namque uni- tati intermissis duobus et tribus si lin* iungas, qui tribus ipsam superant unitatem, quinarius pentagonus procrea- bitur. Post nil- vero si iiUermisso quinario et senario
10 septem adgreges, duodenarium pentagonum procreabis.
Namque unus et IHI- et -VII- numeri XII- explebunt.
Hoc etiam in aliis fiet. Nam si X- vel XIII- vel XVl-
vel XVnil- vel XXII- vel XXV- superioribus cunctis ad-
iunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, se-
15 cundum superiorem descriptionem : XXII- XXXV. LL
Lxx. xcn. cxvn.
De exagonis eoriimque generationibus,
XV. Exagoni autem , qui sex angulis, et eptagoni, qui •VII- rursus lateribus continentur, secundum hunc mo-
20 dum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in
trianguli nuraeri nalura procreationeque ipsos numeros
iungebamus qui sese in naturali dispositione sequerentur
et se tantum unitate transirent. Quadrati vero numeri,
id est tetragoni, procreatio fiebat ex numeris, qui uno
25 intermisso copulabantur, cum se binario superarent. Pen- tagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictis-
1 Inscript, om. d. 2 XIII. 1. || numeri supra versiim a. |[ in latitudinem] in margiyie vel longitudinem a; in contextu c, f. 4 sese a, c, f, r, s. 7 •III- c. || quatuor d, quat- tuor f. iiemque infra. \\ subiungas d. 10 -VII' c. || pro-
creabis] adgregabis d. 11 septem . . . duodecim d, f. 13 vel •XXII- bis s. 15 XXII] XXX- 1. II XXXV.] XXXI- c. 17 Inscripi. om. d. |] generationibus] lateribus f. 18 XIIII. 1. 19 septera d, f. 20 Nam, omisso que a, b. 22 naturali numeri dispositione f. '
Inst. Arithm. Ii, 16. 99
que, qui se ternario vincercnt. ^Secundum talia quoque augmenta exagonorum vel eptagonorum vel octogonorum vel novem laterum figura vel, -X- quotlibet aliorum conpe- tenti progressione conficitur.^ Ut enim in pentagono duo- bus inlermissis eos iungebamus, qui se ternario superarent, 5 nunc in exagono Iribus intermissis eos iungemus , qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus iunctis omnes exagoni nascuntur : I. V. Vim. Xni. XVn. XXI. et ad eundem ordinem con- sequentes. Atque ab his sex angulorum formae nascuntur : lo I. VI. XV. XXVIII. XLV. LXVI. quos ad superiorem mo- dum scilicet descriptos in propriis ordinibus pernotabis.
Be eptagonis eorumque generationibus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descripiionesque
figurarum. i5
XVi. Septem vero angulorum figura est, cum ad eundem ordinem progressionis uno plus quam in sexan- gulorum figura numero intermisso superiori coniunxeris. Nam si quattuor interpositis, qui se quinario vincant, ad- gregaveris, eptagoni continuo figura nascetur, ut hi 20 numeri sint eorum radices et, ut superius dictum est, fundamenta : L VI. XI. XVI. XXI. Qui vero ex his con- stant, hi sunl: I. VII. XVIII. XXXIIII. LV. Novem vero angulorum secundum eundem ordinem forma procreatur ita, ut secundum aequalem progressionem primi quoque 25 eorufli numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionem-
1 quoque talia a, c, 8. 2 vel eptagonorum om. a, b,
c, d, 1; supra versum r. || octagonorum d, f. 3 decem
d , f . U quodlibet r. 7 radices eorum d. 9 •VIIIL] -VIII- c. 12 proprils] his a. 13 Inscript, om. d. || pentagonis a, b. || communi f. || omnlum om. a, b, f. 14 veniendae 1. || de- scriptionesque figurarum om. c, f, r, s. || que om. 1. 16 XV. 1. 17 triangulorum a. 19 IIII- c; 1111°^ 1; -V- a. || sese c, r, 8. 20 ut] et f. 21 numeri om. d, f; m margine r. {| radices eorum d. 25 primum corr. in primi a. " 27 quae prima .... numeri in margine r. [] nnmero d.
INST. ARITHM. II, 16.
que perQciunt; in tetragono yero, qui secundus est, duo-
.bus sese iuncti numeri vincunt, et in pentagono tribus et
in exagono •IIIL et in eptagono quinque, huiusque rei
nuUus est modus. Hoc autem nos subiectarum formarum
5 descriptiones docebunt.
I. I.
I. I.
i. II.
I. 11. III.
I. II. III. IIII.
I. III. mi.
I I
I I
I. III. V.
vnn.
I. III. V. VII.
I.III.V. VII.VIIII.
I. IIII. VII.
xn.
I. mi. VII. X.
XXII.
1 vero om, b, c, 1. 3 quatuor d, f. || -V' c. 4 formarum om. s. Q subiectarnm deBcriptiones nos s. 6 Ah '!• usque ad •XI- f. Numeros omnino om. d, uhitres tantum triangtdi, duo te- tragoni, duo pentagoni, duo exagoni, sed etiam duo eptagoni et duo octogoni reperiuntur. Numeros omittit quaternasque cuiusque gene- ris figuras descrihii 3, 8 f addit -XY' eiusque figuram, 9 Ab •1« usque tid -XI- f. 11 f addit -XXXVI' cumfigura, 15 Ah •I« usque ad •XIIII- f. 16 f addit XXXV^ cumfigura.
INST. ARITHM. II, 17.
I. I.
i. V.
I. V. VllII. XV.
I. V. VIIII. XIII.
Descripiio figuratorum numerorum in ordine,
XVII. Similiter autem licebit et aiiarum formarum,
quae pluribus angulis continentur quantitates adscribere. i5
Sed quoniam facilius oculis subiecta retinentur supra-
dictarura formarum numerositas in subteriore descrl-
ptione ponatur.
Tri.m -
JTJi. L»Vi-
inti. ttnta- j y^ XII. XXII.