This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct
to make the world's books discoverablc onlinc.
It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct
to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr.
Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc
publishcr to a library and fmally to you.
Usage guidelines
Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. Wc also ask that you:
+ Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for personal, non-commercial purposes.
+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb
at|http://books.qooqle.com/|
Anicii Manlii Torquati Severini
BOETII-i DE INSTITUTIONE AEITHMETICA
Libri Duo
I Pe Institutione Musica
LIBRI QUINQUE.
ACCEDIT GEOMETRIA QUAE FEUTUR BOETIf.
E LIBRlS MANU SCRlPTIS
Edidit
GOBOFBEDUS PRIEDLEIN.
Lipsiae
IN AEBIBUS B. G. TEUBNERI.
MDCCCLXVir.
LIPSIAE: TYPIS B. G. TEUBNERf.
PRAEFATIO.
Decem fere abhinc annos et scriptores latinos *
cogniturus et rei mathematicae studiosus Boetio . l,
coepi operam dare nec multo post acrius in mathe- l
matica inprimis eius opera incumbendi auctor fuit j[|
mihi Halmius,ad accuratius cognoscendam linguam 'j
latinam hinc quoque aliquantulum afferri posse ratus. "7^
Prius tamen rebus arithmeticis utilem fructum afferre '1 i^
me posse putavi; quaeque inveneram publici iuris %^
feci libello de Boetii geometria edito^). Opiniones |
meas aggressus est vir doctissimus Mauritius Can- tor^) meque inpulit, ut, quae minus recte de Boetii jf^
arte ratiocinandi et computandi statuerat, refellere ^
conarer argumentis quam maxime certis'^). Pauca , >
etiam de geometria Boetii protuli^); quibus a Boetio
eam profectam non esse comprobarem.
^) Gerbert, die Geometrie des Boethius und die indischen 1 ,
Ziffern. Erlangen, Biasing 1861. |
*) Mathematische Beitrage zum Kulturleben der Volkei', Halle, Schmidt 1863.
3) Zeitschrift fur Mathematik und Physik, IX, S. 73—95, U5— 171, 297—330. X, S. 241—282.
4) Neue Jahrbucher fur Philologie und Padagogik. 1863. S. ^26— 427.
riM
IV PKAEFATIO.
Haec agentem interrogavit me Halmius, vel-
lemne labores suscipere necessarios ad opera Boetii
mathematica edenda, nec volentem tantum provo-
cavit sed etiam libris manu scriptis quibus optimis
potuit ad me missis simul adiuvit. Usus sum igitur
codicibus Monachii asservatis praestantissimis , qui-
bus accesserunt codices Bambergenses non minoris
notae et liber Erlangensis, quem alter tantum codex
Carnutensis aequat. Cuius rei gratiae milii agendae
sunt maximae et Halmio ipsi et viris humanissi-
mis et benevolentissimis Foringer^Thomas Mona-
censibus, Stenglein Bambergensi, Autenrieth
Erlangensi. Egregiam operam navavit mihi princeps
Boncompagni, cuius summa liberalitate summa
mea laude digna factum est, ut non solum, quae
ipse in libris suis manu scriptis habuit, quae in
aliis codicibus Romanis inventa sunt, quantum opus
esse visum est, in meum usum possem convertere,
sed etiam de codicibus, qui Neapoli, Florentiae,
Veronae custodiuntur; fierem certior.
Ita instructus rem aggredi ausus sum parum
fortasse versans quid valerent humeri. Sed occasio-
nem vircs intendendi omittere nohii. lam perfeci
quae perficere mihi proposui. Utrumque Boetii
opus et quod de arithmetica et quod de musica
composuit, novissime apud nos anno 1570 Basileae
editum, tribuB paene saeculis post rursus profero
adiecto geometriae opusculo. De quibus pauca haec
videntur monenda.
Inscriptionem alterius operis Boetii sumpsi ex
capite quarto libri I. de inst. mus. (p. 192, v. 19) :
tn libris, quos de arithmeiica institudone conscripsimus,
Praepatio. V
iinde titulum quoque petitum esse veri simile est,
qui legitur in codice Bamb. HI. N. 13 (d) ante
titulorum indicem libri II de inst. arithm. (p. 72,
V. 9 var. lect.). Nec obstare mihi videtur, quod
Boetius in cap. quadragesimo libri II inst. arithm.
(p. 137, V. 7) arithmeticam introductionem se
terminare dicit.
Alterius operis inscriptionem manifestam reddi
putavi cum capite decimo libri III. de inst. mus.
(p. 283, V. 9): id, quod institutione musicae adorsi
sumus, tum capite sextodecimo eiusdem libri III
(p. 300, V. 2): quod superest musicae institutioni et
eapite septimo libri V (p. 358, v. 2): quae secundo
huius institutionis libro digessimus et infra (v. 9) ex
sccundo huius institutionis musicae libro et quarto
petendum est, Hinc eius opera, qui titulos finxit
et indices eorum composuit, formula (e. g. p. 225,
V. 16) de musica id est armonica institutione tiber orta
videtur.
Eorum librorum, quos Boetius de geometria
scripsisse dicitur, investigare veram inscriptionem
nihil aliud esset nisi operam et tempus perdere.
lam inter homines doctos constat, eos libros minime
Boetio tribuendos esse, quos codices manu scripti
non pauci praeter duos illos praebent, qui in
praestantissimis codicibus Erlangensi et Carnutensi
reperiuntur^). Nec ipsos hos duos libros a Boetio
compositos esse ego quidem contendo repugnante
inprimis Cantore. Sub iudice adhuc lis est, quam
'^) Cantor, Mathem. Beitrage. S. 19G — 197.
VI PRAEFATIO.
tamen statim, si legi posset, dirimeret codex Vero-
nensis palimpsestus 38, in quo verum Boetium latere
putat Blume ®). Humanissime et liberalissime Bon-
compagni, illustris ille rerum mathematicarum
fautor eflfecit; ut codex ille diligentissime inspicere-
tur, sed adeo difficilis lectu inventus est, ut praeter
admodum pauca verba nihil transcribi ex eo posset.
Donec igitur aut acriores oculi, quod vix crediderim^
aut instructior ars , quod fieri posse nemo negaverit,
in communem usum protulerint, quae Blume investi-
gavit, nihil aliud restat, nisi ut ea, quae fertur
Boetii geometria, edatur, quam artemgeometri-
cam auctorem nominasse testantur loci, quos in pag.
434 sub voce ars attuli. Quae cum per se nuUius
fere pretii sit, maximi momenti ad res arithmeticas
facta est antiquissimis, quae quantum scimus in
nostris litteris exstant, vestigiis eorum signorum,
quibus nunc numeros describimus. Itaque omnem
impendi operam , ut Carnutensi quoque codice ipse
uti possem, neque tamen fieri potuit, cum legibus
non liceret, codicem illum ex Francogallia ad me
mitti.
De libris manu scriptis, quibus usus sum, notarum
explicationes singulis operibus addidi. Quam maxime
studui, ut non solum veri Boetii scripta sed etiam
veram scribendi formam ederem. Omittendi igitur
erant capitum tituli, quos Boetium scripsisse minime
est verisimile. Quum tamen faciliorem operum
conspectum praebeant, minoribus litteris edendos
®) Erlauterungen zu den Schriften der rom. Feldmesser. S. 65, Anm. 114.
Praefatio. Vii
censui. In vocabulorum scriptura si cui parum sibi
constare videatur; quod supponenda et ohtinet, inpar
et comparare, adsumo et aspicere, alia huius modi
typis invenerit edita, is meminerit codices me
secutum esse hac in re maxime varios nec nisi
magis veri similia assequi potuisse^). Uni tantum
spaiiomyiXi^ paene codicibus t litteram servavi reiecta
c, quae saepissime occurrit. In graecis nominibus
propriis graecam scribendi rationem sequi malui,
ex qua et ipsa Ptoiomaeus videtur scribendum. Geo-
metriae libros , cum posteriori tempori attribuendi
mihi videantur, si qua in re a ceteris Boetii libris
distabant; non mutavi. Et haud scio an in ipsius
Boetii operibus corrigendis constantior esse studuerim
Boetio ipsO; cum variationem rerum illum amasse
non solum easdem sententias eloquendi maxima
varietas testetur, sed etiam quod promiscue scripsisse
eum maxime est verisimile triangulus et trian-
gulum; pyramidam et pyramidem, atomon
latinis; %okovQOV graecis litteris; similia.
Uncis inclusi quae in pag. 375 verss. 1. 2. 18.
19. leguntur, nec me fugit includi etiam alia posse,
velut pag. 383 vv. 5—21, pag. 387 v. 23 et pag. 388
xy, 1. 2. Sed magis sunt vitiosa illa loca, quam
ut uncis sanari possint. In pag. 401 v. 10 post
hngitudine lacuna statuenda est. Intercidit enim
') Vel idem vocabulum eisdem litteris ubique ut redderem
qnam mazime cum intentus essem, tamen ne oculos laterent
aliquot menda inpedire nequivi. NonnuIIa etiam mutata
novis argumentis sententia variavit. Quae ut secundum
scripturam in indice adhibitam emendata habeantur peto.
VIII PRAEFATIO.
scamni definitio. Haec tamen et alia alias fortasse
explicabo. Nunc operam navare Boetii opera cogni-
turis equidem volui, quantam navaverini/ iudices
videant benevoli.
Scrib. Onoldi m. Maio a. mdccclxvii.
Godofredus Priedlein.
De Institutione Arithmetica
LIBRI DUO.
NOTAEUM EXPLICATIO.
a=codex Bambergenais HI. IV. 12. (F, 20) saec. X. splen- dldissime ornatus, quem Gerbertom ad Ottonem tertium misisse maxime est verisimile. Non tamen eadem est lectionnm praestantia. Multis enim locis correctoris manu emendatis haud pauci emendandi relicti suht. Ex capi- tum inscriptionibus quindecim alieno loco sunt positae. Kec fortunam aequam nactus est sex vel septem foliis inter secundi libri caput tricesimum septimum et qua- dragesimum tertium et ultimo folio cum fine capitis quin- quagesimi quarti deperditis.
b = codex Bambergensis HI. IV. 11. (F, 16) saec. X., cuius
lectiones ubique fere sunt meliores. Multa quoque supra
versns et in margine manu non multo recentiore sunt
adnotata, quae in aliis codicibus vel maiore vel non
minore probabiiitate legebantnr.
c=codex Bambergensis HI. IV. 14. (F, 3) saec. X. pulcher-
rime scriptus, non diligentissime. Multa enim singula
vocabula suntomissa, maiores lacunae inveniuntur quin-
qne. Propior tamen accedit ad b quam ad a.
^=codex Bambergensis HI. IV. 13. (F, 26) saec. XI., cui
ita similitudo est cum c, ut compluribus locis meliora
praebeat. Multa supra versus et in margine secunda
manu snnt addita.
Boetius. 1
2 NOTARUM EXPLICATIO.
f = codex Monacensis 18480 (Tegerns. 480) saec. XI. et pul- cherrime scriptus et diligentissime. Multi tamen loci tantum a reliquonipi codicnm consensu recedunt, ut non vera Boetii verba sed scriptoris non imperiti' cogitata prodere videantur. Maxime similis est codici d. 1 = codez Monacensis 14601 (Ratisb. Emm. F, GIV) saec. XII. Huius codicis in libro priore tanta est similitndo cum d, ut descriptus ex eo possit videri , quippe qui vel in contextum receperit, quae in d correcta erant; in altero tamen libro multo similior est codici b. r=codex Monacensis 3517 (Aug. civ. 17) saec. IX — X. ni- tide scriptus. Maior autem arithmeticae cognitio in scriptore erat quam diligentia in litteris pingendis, nisi forte alius recensor alius scriba operis fuit. Codex non multo post quam erat scriptus retractatus et coi*rectus videtur esse. Similis est codici c et ex parte etiam -a- Tituli capitum libri secundi similes sunt titulis codicis f. NonnuIIis locis additamenta in eo sunt superflua. 8 = codex Monacensis 6405 (cod. Fris. 205) s. XI. nitidissime scriptus. Ultima tamen folia et vermis et usus aliqua ex parte laesit. Multa quae rubro colore descripta erant vel pallidiora facta sunt vel evanuerunt. Maxime simi- lis est codici a nec tamen admodum similis. Aliquot locis inveniuntur quae de suo quis addidit. F=Fragmentum, quod ex codice saeculi undecimi edidit Carolus Fred^ricus Weber Cassellis MDCCCXLVII. Duo codicum genera ut discernas adduci potes capite quarto libri prioris, ubi alteri codices (a, b) definitionem in- paris numeri in medio capite, alteri (c, d, f, 1, r, s) in fine habent. Meliores lectiones repperis maximam partem in c^ d, f, 1; sed adsunt vestigia, quae hos saltem codices, quos ego contuli et supra descripsi, ex uno eodemque fonte ma- nasse verisimile reddant.
DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIVS.