Boethius — De institutione musica · The Collective Press

Google

This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct

to make the world's books discoverablc onlinc.

It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct

to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc

publishcr to a library and fmally to you.

Usage guidelines

Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. Wc also ask that you:

+ Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for personal, non-commercial purposes.

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

About Google Book Search

Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb

at|http://books.qooqle.com/|

,*. . ■*«

^i^

/•-'

' /

Googlc Book Scarch hclps rcadcrs discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb

at|http://books.qooqle.com/|

,*. . ■*«

^i^

/•-'

' /

ANICII MANLII TORQUATI SEVERINI

BOETII-i DE INSTITUTIONE AEITHMETICA

LIBRI DUO

I PE INSTITUTIONE MUSICA

LIBRI QUINQUE.

ACCEDIT GEOMETRIA QUAE FEUTUR BOETIf.

E LIBRlS MANU SCRlPTIS

EDIDIT

GOBOFBEDUS PRIEDLEIN.

LIPSIAE

IN AEBIBUS B. G. TEUBNERI.

MDCCCLXVir.

LIPSIAE: TYPIS B. G. TEUBNERf.

PRAEFATIO.

Decem fere abhinc annos et scriptores latinos *

cogniturus et rei mathematicae studiosus Boetio . l,

coepi operam dare nec multo post acrius in mathe- l

matica inprimis eius opera incumbendi auctor fuit j[|

mihi Halmius,ad accuratius cognoscendam linguam 'j

latinam hinc quoque aliquantulum afferri posse ratus. "7^

Prius tamen rebus arithmeticis utilem fructum afferre '1 i^

me posse putavi; quaeque inveneram publici iuris %^

feci libello de Boetii geometria edito^). Opiniones |

meas aggressus est vir doctissimus Mauritius Can- tor^) meque inpulit, ut, quae minus recte de Boetii jf^

arte ratiocinandi et computandi statuerat, refellere ^

conarer argumentis quam maxime certis'^). Pauca , > etiam de geometria Boetii protuli^); quibus a Boetio eam profectam non esse comprobarem.

»'.

^) Gerbert, die Geometrie des Boethius und die indischen 1 ,

Ziffern. Erlangen, Biasing 1861. |

*) Mathematische Beitrage zum Kulturleben der Volkei', Halle, Schmidt 1863.

3) Zeitschrift fur Mathematik und Physik, IX, S. 73—95, U5— 171, 297—330. X, S. 241—282.

4) Neue Jahrbucher fur Philologie und Padagogik. 1863. S. ^26— 427.

y »?

riM

IV PKAEFATIO.

Haec agentem interrogavit me Halmius, vel- lemne labores suscipere necessarios ad opera Boetii mathematica edenda, nec volentem tantum provo- cavit sed etiam libris manu scriptis quibus optimis potuit ad me missis simul adiuvit. Usus sum igitur codicibus Monachii asservatis praestantissimis , qui- bus accesserunt codices Bambergenses non minoris notae et liber Erlangensis, quem alter tantum codex Carnutensis aequat. Cuius rei gratiae milii agendae sunt maximae et Halmio ipsi et viris humanissi- mis et benevolentissimis Foringer^Thomas Mona- censibus, Stenglein Bambergensi, Autenrieth Erlangensi. Egregiam operam navavit mihi princeps Boncompagni, cuius summa liberalitate summa mea laude digna factum est, ut non solum, quae ipse in libris suis manu scriptis habuit, quae in aliis codicibus Romanis inventa sunt, quantum opus esse visum est, in meum usum possem convertere, sed etiam de codicibus, qui Neapoli, Florentiae, Veronae custodiuntur; fierem certior.

Ita instructus rem aggredi ausus sum parum fortasse versans quid valerent humeri. Sed occasio- nem vircs intendendi omittere nohii. lam perfeci quae perficere mihi proposui. Utrumque Boetii opus et quod de arithmetica et quod de musica composuit, novissime apud nos anno 1570 Basileae editum, tribuB paene saeculis post rursus profero adiecto geometriae opusculo. De quibus pauca haec videntur monenda.

Inscriptionem alterius operis Boetii sumpsi ex capite quarto libri I. de inst. mus. (p. 192, v. 19) : tn libris, quos de arithmeiica institudone conscripsimus,

PRAEPATIO. V

iinde titulum quoque petitum esse veri simile est, qui legitur in codice Bamb. HI. N. 13 (d) ante titulorum indicem libri II de inst. arithm. (p. 72, V. 9 var. lect.). Nec obstare mihi videtur, quod Boetius in cap. quadragesimo libri II inst. arithm. (p. 137, V. 7) arithmeticam introductionem se terminare dicit.

Alterius operis inscriptionem manifestam reddi putavi cum capite decimo libri III. de inst. mus. (p. 283, V. 9): id, quod institutione musicae adorsi sumus, tum capite sextodecimo eiusdem libri III (p. 300, V. 2): quod superest musicae institutioni et eapite septimo libri V (p. 358, v. 2): quae secundo huius institutionis libro digessimus et infra (v. 9) ex sccundo huius institutionis musicae libro et quarto petendum est, Hinc eius opera, qui titulos finxit et indices eorum composuit, formula (e. g. p. 225, V. 16) de musica id est armonica institutione tiber orta videtur.

Eorum librorum, quos Boetius de geometria scripsisse dicitur, investigare veram inscriptionem nihil aliud esset nisi operam et tempus perdere. lam inter homines doctos constat, eos libros minime Boetio tribuendos esse, quos codices manu scripti non pauci praeter duos illos praebent, qui in praestantissimis codicibus Erlangensi et Carnutensi reperiuntur^). Nec ipsos hos duos libros a Boetio compositos esse ego quidem contendo repugnante inprimis Cantore. Sub iudice adhuc lis est, quam

'^) Cantor, Mathem. Beitrage. S. 19G — 197.

VI PRAEFATIO.

Nec ipsos hos duos libros a Boetio compositos esse ego quidem contendo repugnante inprimis Cantore. Sub iudice adhuc lis est, quam

'^) Cantor, Mathem. Beitrage. S. 19G — 197.

VI PRAEFATIO.

tamen statim, si legi posset, dirimeret codex Vero- nensis palimpsestus 38, in quo verum Boetium latere putat Blume ®). Humanissime et liberalissime Bon- compagni, illustris ille rerum mathematicarum fautor eflfecit; ut codex ille diligentissime inspicere- tur, sed adeo difficilis lectu inventus est, ut praeter admodum pauca verba nihil transcribi ex eo posset. Donec igitur aut acriores oculi, quod vix crediderim^ aut instructior ars , quod fieri posse nemo negaverit, in communem usum protulerint, quae Blume investi- gavit, nihil aliud restat, nisi ut ea, quae fertur Boetii geometria, edatur, quam artemgeometri- cam auctorem nominasse testantur loci, quos in pag. 434 sub voce ars attuli. Quae cum per se nuUius fere pretii sit, maximi momenti ad res arithmeticas facta est antiquissimis, quae quantum scimus in nostris litteris exstant, vestigiis eorum signorum, quibus nunc numeros describimus. Itaque omnem impendi operam , ut Carnutensi quoque codice ipse uti possem, neque tamen fieri potuit, cum legibus non liceret, codicem illum ex Francogallia ad me mitti.

De libris manu scriptis, quibus usus sum, notarum explicationes singulis operibus addidi. Quam maxime studui, ut non solum veri Boetii scripta sed etiam veram scribendi formam ederem. Omittendi igitur erant capitum tituli, quos Boetium scripsisse minime est verisimile. Quum tamen faciliorem operum conspectum praebeant, minoribus litteris edendos

®) Erlauterungen zu den Schriften der rom. Feldmesser. S. 65, Anm. 114.

PRAEFATIO. VII

censui. In vocabulorum scriptura si cui parum sibi constare videatur; quod supponenda et ohtinet, inpar et comparare, adsumo et aspicere, alia huius modi typis invenerit edita, is meminerit codices me secutum esse hac in re maxime varios nec nisi magis veri similia assequi potuisse^). Uni tantum spaiiomyiXi^ paene codicibus t litteram servavi reiecta c, quae saepissime occurrit. In graecis nominibus propriis graecam scribendi rationem sequi malui, ex qua et ipsa Ptoiomaeus videtur scribendum. Geo- metriae libros , cum posteriori tempori attribuendi mihi videantur, si qua in re a ceteris Boetii libris distabant; non mutavi. Et haud scio an in ipsius Boetii operibus corrigendis constantior esse studuerim Boetio ipsO; cum variationem rerum illum amasse non solum easdem sententias eloquendi maxima varietas testetur, sed etiam quod promiscue scripsisse eum maxime est verisimile triangulus et trian- gulum; pyramidam et pyramidem, atomon latinis; %okovQOV graecis litteris; similia.

Uncis inclusi quae in pag. 375 verss. 1. 2. 18. 19. leguntur, nec me fugit includi etiam alia posse, velut pag. 383 vv. 5—21, pag. 387 v. 23 et pag. 388 xy, 1. 2. Sed magis sunt vitiosa illa loca, quam ut uncis sanari possint. In pag. 401 v. 10 post hngitudine lacuna statuenda est. Intercidit enim

375 verss. 1. 2. 18. 19. leguntur, nec me fugit includi etiam alia posse, velut pag. 383 vv. 5—21, pag. 387 v. 23 et pag. 388 xy, 1. 2. Sed magis sunt vitiosa illa loca, quam ut uncis sanari possint. In pag. 401 v. 10 post hngitudine lacuna statuenda est. Intercidit enim

') Vel idem vocabulum eisdem litteris ubique ut redderem qnam mazime cum intentus essem, tamen ne oculos laterent aliquot menda inpedire nequivi. NonnuIIa etiam mutata novis argumentis sententia variavit. Quae ut secundum scripturam in indice adhibitam emendata habeantur peto.

VIII PRAEFATIO.

scamni definitio. Haec tamen et alia alias fortasse explicabo. Nunc operam navare Boetii opera cogni- turis equidem volui, quantam navaverini/ iudices videant benevoli.

Scrib. Onoldi m. Maio a. mdccclxvii.

Godofredus Priedlein.

BOETII

DE INSTITUTIONE ARITHMETICA

LIBRI DUO.

NOTAEUM EXPLICATIO.

a=codex Bambergenais HI. IV. 12. (F, 20) saec. X. splen- dldissime ornatus, quem Gerbertom ad Ottonem tertium misisse maxime est verisimile. Non tamen eadem est lectionnm praestantia. Multis enim locis correctoris manu emendatis haud pauci emendandi relicti suht. Ex capi- tum inscriptionibus quindecim alieno loco sunt positae. Kec fortunam aequam nactus est sex vel septem foliis inter secundi libri caput tricesimum septimum et qua- dragesimum tertium et ultimo folio cum fine capitis quin- quagesimi quarti deperditis.

b = codex Bambergensis HI. IV. 11. (F, 16) saec. X., cuius lectiones ubique fere sunt meliores. Multa quoque supra versns et in margine manu non multo recentiore sunt adnotata, quae in aliis codicibus vel maiore vel non minore probabiiitate legebantnr.

c=codex Bambergensis HI. IV. 14. (F, 3) saec. X. pulcher- rime scriptus, non diligentissime. Multa enim singula vocabula suntomissa, maiores lacunae inveniuntur quin- qne. Propior tamen accedit ad b quam ad a.

^=codex Bambergensis HI. IV. 13. (F, 26) saec. XI., cui ita similitudo est cum c, ut compluribus locis meliora praebeat. Multa supra versus et in margine secunda manu snnt addita.

BOETIUS. 1

2 NOTARUM EXPLICATIO.

Propior tamen accedit ad b quam ad a.

^=codex Bambergensis HI. IV. 13. (F, 26) saec. XI., cui ita similitudo est cum c, ut compluribus locis meliora praebeat. Multa supra versus et in margine secunda manu snnt addita.

BOETIUS. 1

2 NOTARUM EXPLICATIO.

f = codex Monacensis 18480 (Tegerns. 480) saec. XI. et pul- cherrime scriptus et diligentissime. Multi tamen loci tantum a reliquonipi codicnm consensu recedunt, ut non vera Boetii verba sed scriptoris non imperiti' cogitata prodere videantur. Maxime similis est codici d. 1 = codez Monacensis 14601 (Ratisb. Emm. F, GIV) saec. XII. Huius codicis in libro priore tanta est similitndo cum d, ut descriptus ex eo possit videri , quippe qui vel in contextum receperit, quae in d correcta erant; in altero tamen libro multo similior est codici b. r=codex Monacensis 3517 (Aug. civ. 17) saec. IX — X. ni- tide scriptus. Maior autem arithmeticae cognitio in scriptore erat quam diligentia in litteris pingendis, nisi forte alius recensor alius scriba operis fuit. Codex non multo post quam erat scriptus retractatus et coi*rectus videtur esse. Similis est codici c et ex parte etiam -a- Tituli capitum libri secundi similes sunt titulis codicis f. NonnuIIis locis additamenta in eo sunt superflua. 8 = codex Monacensis 6405 (cod. Fris. 205) s. XI. nitidissime scriptus. Ultima tamen folia et vermis et usus aliqua ex parte laesit. Multa quae rubro colore descripta erant vel pallidiora facta sunt vel evanuerunt. Maxime simi- lis est codici a nec tamen admodum similis. Aliquot locis inveniuntur quae de suo quis addidit. F=Fragmentum, quod ex codice saeculi undecimi edidit Carolus Fred^ricus Weber Cassellis MDCCCXLVII. Duo codicum genera ut discernas adduci potes capite quarto libri prioris, ubi alteri codices (a, b) definitionem in- paris numeri in medio capite, alteri (c, d, f, 1, r, s) in fine habent. Meliores lectiones repperis maximam partem in c^ d, f, 1; sed adsunt vestigia, quae hos saltem codices, quos ego contuli et supra descripsi, ex uno eodemque fonte ma- nasse verisimile reddant.

DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIVS.

Meliores lectiones repperis maximam partem in c^ d, f, 1; sed adsunt vestigia, quae hos saltem codices, quos ego contuli et supra descripsi, ex uno eodemque fonte ma- nasse verisimile reddant.

DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIVS.

In dandis accipiendisque muneribus ila recte officia inter eos praecipue, qui sese magni faciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud, quod liberalius afferret, inventum, nec ab illo unquam, quod iucundius & beneyolentia conplecteretur, acceptum. Haec ipse consi- derans attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius, cum habendi sitis incanduit, ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subiecit, sed ea, quae ex Graecarum opulentia litterarum in Romanae lo orationis thesaurum sumpta conveximus. Ita enim mei quoque mihi operis ratio constabit, si, quae ex sapientiae doctrinis elicui , sapientissimi iudicio conprobentur. Vides igitur, ut tam magni laboris eifectus tuum tantum spectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sen- 1& tentiae adstipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus, quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio ; suis quippe in- strumentis res rationis expenditur, cum iudicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo non eadem quae 20 ceteris inminent artibus munimenta constituo, neque enim

1 Incipit epistola Boecii ad Simmachum patrium soce- mm V. c. Domino suo patricio Simmacho Boecius. Mani- lius Severinns floruit temporihus Teoderici regis Italorum transtulitqtie libellum istum de Greco in Latinum gemma- vitque florihus facundiae Somanae. Incipit liher Boetii de Arithmetica. a. || suo om, d , 1. || patri d , 1 , r. || Domino . . . Boetius om. f, s. 2 ita recte in margine r, supra versum s. 0 offerret c, d, f, r. 8 post instructius: et a, c ex corr. d, est f, s. 12 operis mihi a, c, d, f, 1, s. 14 exspectet ^ 11 spectet lilura praecedente a. 17 quod om. f. 21 con- Btitno munimenta a, b.

4 INST. ARITHM. I, PRAEFATIO.

fere ulla sic cunctis ahsoluta partibus nuliius indiga suis tantum est scientia nixa praesidiis , ut non ceterarum quo- que artium adiumenta desideret. Nam in effigiandis mar- more statuis aiius excidendae molis labor est, alia forman- 5 dae imaginis ratio, nec eiusdem artificis manus poiiti ope- ris nitor exspectat. At picturae manibus tabula commissa fabrorum : cerae rustica observatione decerptae , coiorum fuci mercatorum sollertia perquisiti, lintea operosis elabo- rata textrinis multiplicem materiam praestant. Nonne idem

10 quoque in bcliorum visitur instrumentis? Hic spicula sagit- tis exacuit, illi validus torax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprii laboris orbi infigenda mer- catur. Tam multis artibus ars una perficitur. At nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu

Hic spicula sagit- tis exacuit, illi validus torax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprii laboris orbi infigenda mer- catur. Tam multis artibus ars una perficitur. At nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu

15 enim solus manum supremo operi inpones , in quo nihii de decernentium necesse est laborare consensu. Quam- lihet enim hoc iudicium multis artihus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine.

Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc stu-

20 dio longis tractus otiis labor adiecerit, an rerum sub- tilium fugas exercitatae mentis veiocitas conprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea, quae sunt cali- gantihus inpedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque iudicii lucra quaeruntur, cum

25 tu utrarumque peritissimus litterarum possis Graiae ora- tionis expertihus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non alte- rius obnoxius institutis artissima memet ipse transla- tionis lege constringo, sed paululum liherius evagatus

3oa1ieno itineri, non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, moderata

1 indigua a. 3 effingendis f. effigendis r. 4 est om, d, 1. 8 solatia d. 10 imbellorum c. y in bellorum quoque f, r. 11 thorax f. 12 crudium bonis a, b, s. || infigens demercatur c. 17 multis artibus hoc iudicium f, multis hoc iudicium artibus s. 18 cumulamur c , r. 24 mihi s in mar- gine [\ alieni mihi c. 25 linguarum {supra versum: i litte- rarum) s. 28 obnoxiis a. || ipse f.

INST. ARITHM. I, PRAEFATIO. 5

brevitate coUegi et quae transcursa velocius angustiorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione re- seravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam for- mulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constilerit, facile sobrius lector agnoscet. 5 Cum igitur qtiattuor matheseos disciplinarum de arithme- tica, quae est prima, perscriberem , tu tantum dignus eo munere videbare , eoque magis inerrato opus esse intelle- gebam. Nam etsi apud te faciiis veniae locus esset, ali- quando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta secu- lo ritas. Arbitrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio , dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua rese- ces, hiantia suppleas, errata reprehendas, comtnode dicta i5 mira animi aiacritate suscipias. Quae res inpulit pigram consiiii moram. Nimios enim mihi fructus placitura resti- tuent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam cete- rorum bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho palmites, sic ad te novi operis 20 rudimenta transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.

Incipiunt capitula libri primi, 25

Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.

Incipiunt capitula libri primi, 25

I. Proemium , in quo divisio mathematicae. II. De substantia numeri.

1 — 3 quae . . . reseravi c. in margine ex corr, 1 velo- ciis a. 3 aliquanto c. 6 Cum igitur .... arithmetica s. ii». II •IIII- c. 7 quae est prima om, c. 9 Nametsi (pun-

to sub N posiio *ei T supra scripto) a, Tametsi f. || ali- qaanto b, c, d, f, 1, r, s. 10 ipsum a || formidabat ipsam f. U oblatom ire a, b. oblaturi r. 13 suppremo a, c. su- premo f. 16 mira om, c. s; supra versum liiura deletum d,

orrectione additum 1. 20 et om, c, r. 23 minore b, c. 25 Explicit prologus in libro Boetii. a. Incipiunt om, r || ^bri I ay c. de libro primo f. || Inscriptionem om. b, d, 1, s. •6 mathematicae om. a.

6 INST. ARITHM. I, CAPITULA.

III. Deiinitio et divisio numeri et definitio paris et inparis. IIII. Definitio uumeri paris et inparis secundum Pytha- goram. V. Alia secuudum antiquiorem modum divisio paris et 5 inparis.

VI. Definitio paris et inparis per alterutrum. VII. De principalitate unitatis. VIII. Divisio paris numeri.

VUII. De numero pariter pari eiusque proprietatibus. 10 X. De numero pariter inpari eiusque proprietatibus.

XI. De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione. XII. Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis expositio. 15 XIII. De numero inpari eiusque divisione. XIIII. De primo et incomposito. XV. De secundo et composito.

XVI. De eo, qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus. 20 XVII. De primi et incompositi et secundi et compositi et ad se quidem secundi et compositi ad alterum vero primi et incompositi procreatione. XVIII. De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt , ad alios vero relati primi et incom- 25 positi.

XVIIII. Alia partitio paris secundum perfectos inperfectos et ultra quam perfectos. XX. De generatione numeri perfecti. XXI. De relata ad aliquid quantitate.

1 diffinitio hic ct infra libri praeter d [| imparis kic et

infra maximam partem lihri. 2 numeri om, c, r. 6 super b.

,im 9 ,pari f. 10 Toto hoc versu omisso sequentium capitum nu- meros uno minores hahent d, f, 1. 12 cognomine r. 13 pa- riter a. 16 De proprio a. 18 compositns et s. 20 et secundi et compositi om, a, c, d, 1, r, s. 21 incompositi et alterum c. || et alterum 1. 23 ad secandi b. 24 vero om. a. 26 Alio c II partio a. participio d. participatio I. 27 et utra- que a || et om. d, 1, r.

INST. ARITHM. I, 1. 7

XX[I. De speciebus maioris quantitatis et miuuris. XXIII. De multiplici eiusque speciebus earumque genera-

tionibus. XXIUI. De superparticulari eiusque speciebus earumque ge-

nerationibus. 5

XXV. De quodam utiii ad cognitionem superparticularibus accidente.

d, 1, r.

INST. ARITHM. I, 1. 7

XX[I. De speciebus maioris quantitatis et miuuris. XXIII. De multiplici eiusque speciebus earumque genera-

tionibus. XXIUI. De superparticulari eiusque speciebus earumque ge-

nerationibus. 5

XXV. De quodam utiii ad cognitionem superparticularibus accidente.

XXVI. Descriplio, per quam docetur, celeris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicitatem.

XXVII. Ratio atque expositio digestae formulae. lo

XXVIII. De tertia inaequalitatis specie, quae dicitur superpar- tiens deque eius speciebus earumque generationibus.

XXVini. De multiplici superparticulari.

XXX. De eorum exemplis in superiori formula inveniendis.

XXXI. Oe multiplici superpartiente. i5 XXXn. Demonstratio , quemadmodum omnis iuaequalitas ab

aequalitate processerit.

Expliciunt capitula lihri primi,

Incipit liber primus.

Proemium, in quo divisio maihematicae. 20

I. Inter omnes prisfcae auctoritatis viros, qui Pytha- gora duce puriore mentis ratione viguerunt, constare ma- nifestum est, haud quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruvio vestigatur, quod recte 25 intuentis soUertiam non latebit. Est enim sapientia re- rum, quae sunt suique inmutabilem substantiam sortiun-

2 eorumqne a, c, r, s. earum I. || generibns r. 4 eo- ramqne b, c, r, s. 6 cognationem a, b, c cognitionem (puncio 8ub i posUo et a supra scripto) s. 8 inaequalitati- bng a. 10 degestae c, d, r. 11 quae om. b. 12 spe- ciebos om. b. [| eommque s. 14 superioris f, superiore r. 18 Finit Boetii prologus b. |] libri primi om. c , r. || Inscriptio- nem om. d, f, 1, s. 19 Incipit liber primus om, b, f, r, d, 1. 20 Proemium . . . mathematicae om. a, d, 1. || in quo est divisio c. 26 sollertiam intuentis a, b, c, d, f, 1.

8 INST. ARITHM. I, 1.

tur, conprehenslo veritatis. Esse autem illa dicimus, quae nec intentione crescunt nec retractione minuuntur nec va- riationibus permutantur, sed in propria semper vi suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Haec autem sunt

5 qualitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates» aequalitates , babitudines, actus, dispositiones, ioca, tem- pora et quicquid adunatum quodammodo corporibus inve- nitur, quae ipsa quidem natura incorporea sunt etinmu- tabiii substantiae ratione vigentia, participatione vero cor-

10 poris permutantur et tactu variabilis rei in vertibilem inconstantiam transeunt. Haec igitur quoniam, ut dictum est, natura inmutabilem substantiam vimque sortita sunt, vere proprieque esse dicuntur. Horum igilur, id est» quae sunt proprie quaeque suo nomine essentiae nemi-

15 nantur, scientiam sapientia profitetur. Essentiae autem geminae partes sunt, una conlinua et suis parlibus iuncta nec uilis finibus distributa, ut est arbor iapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appel- lantur. Aiia vero disiuncta a se et determinata partihus

Essentiae autem geminae partes sunt, una conlinua et suis parlibus iuncta nec uilis finibus distributa, ut est arbor iapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appel- lantur. Aiia vero disiuncta a se et determinata partihus

20 et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex populus chorus acervus et quicquid, quorum partes propriis extremitatibus terminantur et ab alterius fine discretae sunt. His proprium UQmen est multitudo. Rur- sus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel

25 tetragonus vel quilibet numerus, qui ut sit nullo indiget. Alia vero per se ipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesqualterum vel sesquitertium et quicquid tale est, quod, nisi relatum sit ad aliud , ipsum esse non possit. Magnitudinis vero alia

30 sunt manentia motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur nec ullis temporibus adquie-

3 se vi suae a. 8 inmatabilis d, 1; s ex eorr. 10 in- vestibilem a. 12 sortiuntar {supra versum: l sortita sant) s. 15 supra scientiam: quoque a. 17 arbos b. 18 huius

mundi f. 20 coacervatim f, s; acervatim syllaha co ad- scripta a. 21 supra quicquid: est eorum a, est horum b, d. 23 discreta c. 27 post dimidium: vel f. 31 ratione a, c, f, s. supra ratione : alii rotatione b, r || vertantur d, r. ad- quiescant d, r.

INST. ARITHM. I, 1. 9

17 arbos b. 18 huius

INST. ARITHM. I, 1. 9

scunt. Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, iiiam vero, quae ad aiiquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, inmobilis vero magnitudinis geometria notiliam pollice- tur, raobilis vero scientiam astronomicae disciplinae pe- 5 ritia vendicat. Quibus quattuor partibus si careat inqui- sitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem spe- { culatione veritatis nulli recte sapiendum est^/^st enim sapientia earum reruin, quae vere sunt, cognitio et in- tegra comprehensio. Quod haec qui spernit id est has lo semitas sapientiae ei denuntio non recte esse philoso- phandum, siquidem philosophia estamor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. Illud quoque ad- dendum arbitror, quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino ad infinita progressionis augmenta con- i5 crescit. Magnitudo vero a iinita inchoans quantitate fflodum in divisione non recipit; infinitissimas enim sui corporis suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infini- tatem indeterminatamque potentiam philosophia sponte repudiat. Nihil enim, quod infinitum est, vel scientia^o potest colligi vel mente comprehendi, sed hinc sumpsit sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere soUertiam. Delegit eniih de infinitae multitu- dinis piuralitate finitae terminum quautitatis et intermina- bilis magnitudinis sectione reiecta definita sibi ad cogni- 25 tionem spatia depoposcit. Constat igitur, quisquis haec praetermiserit» omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadruvium est, quo his viandum sit, qui- bus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus

3 post ad aliquid: est r, sitpra ad aliquid: est b. || mu- sicae modulationis s. || praenoscunt a, f, r, s. 4 geome- trica a, Cy d, f, r. 6 vero om. a, d, f, 1, r. astrono- miae c. 6 vindicat I, vendicavit, a, b, c, d, r. || •IIII' c. 7 poterit b, c. potest f. poterit si sit Hnea subnotaium et supra versum possit r. 9 verae c, d, 1. 11 sententias sa- pientiae c esde om. c, d, f, I, r, s. 18 corporis sui recipit f. [| infinitatem naturae d, 1. 22 ratio ipsa f. ea ipsa ratio s [] posset d, f, 1. 23 infinita c, r in litura. infinite f. 24 finite f. 26 deposcit a, c, d, r, s.

10 INST. ARITHM. I, l.

ad intellegentiae certiora perducitur. Sunt enim quioam gradus cerlaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi illum ocuium, qui, ut ait Piato, muitis oculis corporalibus salvari constitui-

5 que sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vei inspici veritas queat, hunc inquam oculum demersum orbatum- que corporeis sensibus hae discipiinae rursus inluminent.

r^Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet

10 portion^m ? Haec est autem arithmetica. Haec enim | cunctis prior est, non modo quod hanc ille huius mun- ! danae molis conditor deus primam suae habuit ratiocina- tionis exemplar et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere

15 concordiam, sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod, quaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; quod si posteriora pereant, nihii de statu prioris substantiae permutatur, ut animal prius est | homine. Nam si tolias animal, statim quoque hominis

20 natura deleta sit, si hominem sustuleris, animal non per- ibit. Et e contrario ea e primi et incomposiii et secundi et composiii et ad se qiiidem secundi et compositi, ad alterum vero primi et

incompositi procreaiione,

XVII. Generatio autem ipsorum atque ortus liuius- modi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes 20 cribrum nominabat, quod cunctis inparibus in medio conlocatis per eam quam tradituri sumus artem, qui primi quive secundi quique tertii generis videantur esse distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem iipares in quamlibet longissimam porrectio- 25 nem. III. V. VII. VIIII. XI. XUI. XV. XVil. XVIIII.' XXI. XXHI. XXV. XXVII. XXVIIII. XXXI. XXXIII.

1 est f ; sit et supra versum est s. [] mansionem c. 2 ca- pax est s. 4 habebit r. 8 Namque a, 1. 14 nam quae ^ s; qu&e supra versum.sec. m. d; nam que, lineola, qua e w ae mutatur, erasa, 1; nam supra versum^ quae secunda ^nu addito r. 16 Inscriptio in margine legiiur in d. |{ et secundi et compositi om, c, d, 1, r, s; supra versum b. || in- compositi et secundi et om. a. 17 et alterom b. |1 alter- utmm c. II vero om, 1. 21 nominavit f. 22 quam om. a» r; supra versum d. 23 quive tertii. a, c, s. || esse vi- deantur s. 24 distinguuntur r.

BOETIUS. ^ 3

34 IN8T. AKITHM. I, 17.

JLXXV. XXXVU. XXXVIIII. XLI. XLUI. XLV. XLVIL

His igitur ita ciispositis coiisiderandum, primus nuineru&

~ quem eorum, qui sunt in ordine positi, primum metir»

possit. Sed duobus praeteritis illum, qui post eos est

5positus, mox metitur, et, si post eundemipsum, quem

> mensus est, alii duo transmissi sint, illum qui post duos

est, rursus metitur, et eodem modo, si duos quis relique-

rit, post eos qui est, a primo numero metiendus est;

eodemque modo relictis semper duobus omnes a primo-

10 jn infinitum pergentes metientur.

Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus nume- rus illum, qui est post duos secundum se locatos» per suam quantitatem metitur. Ternarius enim intermissis duobus id est -V- et •VII- novenarium metitur , et hoc per

15 suam quantitatem id est per ternarium. Ternarius enim numerus tertio •VIIII- metitur. Si autem post novena- rium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est per secundi inparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post •VIIIL duos relinquam, > 20 id est XI- et XIIL ternarius numerus -XV- metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius •XV- quinquies metitur. Rursus si a quindena- rio inchoans duos intermisero, qui posterior positus est, eius primus numerus mensura est per tertii inparis plu-

25 raiitatem. Nam si post XV^ intermisero -XVII* et •XVUIL, iocurrit •XXI- , quem ternarius numerus secunduoi septe- narium metitur. -XXI- enim numeri ternariu^septima pars est, atque ideo boc in infinitum faciens repperio primum numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse

30 metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum.

1 XLVini- addit b, XLVIIIL LI. f. 2 consideran- dum est f, 1; est supra versum habei b. 6 Bunt c, f. sunt rasura in sint mutaium r. .11 supra vulgo: est b. 13 me- titur .... suam quantitatem om, f. 22 metietur a. || qni- nano c^ r. 26 vicesimus unus a, S| vicesimus -I- c, yi- ginti unus b, d. 27 vicesimi enim primi f, vicesimi primi enim s. 28 ideo expunxit b. 29 intermiseris a, f. Q post se a, b, c, s.

\vi.

INST. ARITHM. I, 17. 35

Sin vero quinarius nirmerus, qui tn secundo ioco est constitutus, yelit quis, cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis • IIII • inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim •IIII* inpa-^ ^ res, id est VII- et ¥1111. et •XI- et XIII. Post hos 5 estXV', quem quinarius metitur secundum primi sci- licet quantitatem id est ternarii. -¥• enim -XV* tertio me- titur. Ac deinceps^si quattuor intermittat, eum, qui post Dlos toeatus est secundns, id est quinarius, sui quantitate metilur. Nam posl -XV. intermissis -XVII. et . XVIIII. et) lo^ •XXI. et 'XXIII- post eos .XXV- repperio, quos quinarius sci.^ licet numerus sua piuralitate metiiur. Quinquies enim qninario multiplicato .XXV. succrescunt. Si vero post iiunc quilibet .IIII. intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septe- 15 narii numeri, summam a quinario metietur; atque liaec est infinita progressio.

Quinquies enim qninario multiplicato .XXV. succrescunt. Si vero post iiunc quilibet .IIII. intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septe- 15 narii numeri, summam a quinario metietur; atque liaec est infinita progressio.

Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiri- tur, sex in medio relinquentur , et quem septimum ordo moDstraverit, hic per primi numeri, id est lemarii, quan- 20 titatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ilie, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario 85 metiendus est id est per tertii quantitatem ; atque hic us- que in extremum ratus ordo progreditur.

Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmo- dum sunt in ordinem naturaiiter inpares constituti. Me- tientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes 30

3 quattuor d, quatuor f. 4 quatuor b, f, quattuor d.

7 XV- enim .V- a, V- enixn quindecim b, d. 8 quatuor f. nil. c. 10 quindecim b, d. 14 quatuor b, f, quattuor d.

16 ntimeri om, c. || quinario numero f, 1. |1 metitur c, d,

1* r. 17 in infinita f. |{ processio a, r. 22 numerum

ow. s. numeri a, b, c, d, r; series numeri 1. 23 prae-

ciirret correcium in percurret a, percurrat r. || Si d, 1, r.

24 VL d. 26 hic om. c. 27 rectus c. 28 Suscipient *» d, f, 1.

36 INST. ARITHM. I, 17.

positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut

primus duo, secundus •llll*, terlius «Vl* quartus •VIII-

quintus -X^, vel si locos suos condupiicent el secundum

duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui pri-

5 mus est numerus et unus — omnis «nim primus unus esl

— bis locum suum multiplicet faciatque bis unuro; qui

^cum «II* sint, primus «II- medios transeat. Rursus se-

cundus, id est quiharius, si locum suum duplicet, •IIII-

explicabit, hic quoque uti •IIII* intermittat. Item si

^ 10 septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex

;,, creabit. Bis enim -III- senarium iungunt. Hic ergo in

ordinem 'VI* relinquat. Quartus quoque si iocum suum

duplicet, *VIII* succrescent. Ille quoque octo transsiliat.

^ Atque hoc quidem in ceteris perspiciendum.

15 Modum autem mensionis secundum ordinem conloca-

' torum ipsa series dabit. Nam primus primum quem nu-

merat, secundum primum numerat, id est secundum se;

et secundum primus quem numerat, per secundum

numerat, et tertium per tertium et quartum item per

20 quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit;

^ primum quem numerat, secundum primum metitur, se-

/vAlios ergo si respicias vel

25 qui alios raensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, in-

venies oronium simul commuoem mensuram esse non

posse, neque ut omnes quemquam alium simul nume-

rent; quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut

ab uno tantum numerentur; alios vero, ut etiam a pluri-

1 — 2 termissione . . . quartus •VIII- om, c. 2 quattuor dy quatuor f. || sex . . . octo . . . decem d, f. 4 inter- mittunt a. s. 6 duplicet f. 7 duo d, f, s. || sunt f. || duos d, f, r, s. 8 quattuor d. 9 uti om, f, rasura de- letum 1. II interminat et supra versum intermittat r. 10 «VI- f • 11 tres c, d, f. 12 sex c, d. 13 octo d. 14 prospi- ciendum a, perspiciendum est f. 15 ordinem om, c. 19 ter- tius a. II quartum correctum in quartus a. || per •IIII' c. 25 ipsi om, 1, rasura deletum d. 28 autem om, c. 29 post pluribus addunt numerentur d, 1.

INST. ARITHM. I, 18. 37

bus; quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nuUa mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unita- tem recipiunt, hos primos et incompositos iudicamus, qui yero aliquam mensuram praeter unitatem vel alieni- genae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus se- 5 cundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et composlti , primi vero et incompositi ad alter- utrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet. Si enim quoslibet iiios numeros secundum suam in semet ipsos multiplices quantitatem / qui procreantur , ad alter- lo utrum comparati nulla mensurae communione iunguntur. •III» enim et -V* si multiplices, -llh tertio •Villl» facient, et quinquies 'V» reddent •XXV» His igitur nulla est commu- nis mensurae cognatio. Rursus 'V- et -VII- quos procreant^ ' si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quin-:i5 quies enim «V-, ut dictum est, -XXV-, septies -VIL faciunt •XLVIIII-, quorum mensura nuUa communis est, nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas. -^

Be inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et com- positi suni^ ad aiios vero relati primi et incompositi. 20

XVIII. Qua vero ratione tales numeros invenire pos- simus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agno- scere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur , repperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre25it de maiore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si maior est, auferre ex eo rursus minorem , si vero minor fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo

8 comparati om» c. |{ hanc insequitor rationem reperiet

^t supra versum: hac inqaisltor ratione reperies r. || ante repperiet addit s: nollam mensurae rationem et supra versum subaudi per. || repperies d, 1. 12 Tres c, f. f| quinque a, 1, r, s. II tres b, d, f. || tertio. •IIL c. jj faciunt a, f; facient, e in Hiura, r. 13 reddunt f. || communionis a. U quinque a, 1, r, s. || septem d, f. 16 quinque a, b, 1) r. 11 septem a, b, d, 1, r, s. || faciunt om, c. 19 7Y- Mus in margine legitur in d. 22 nobis om. c.

II tres b, d, f. || tertio. •IIL c. jj faciunt a, f; facient, e in Hiura, r. 13 reddunt f. || communionis a. U quinque a, 1, r, s. || septem d, f. 16 quinque a, b, 1) r. 11 septem a, b, d, 1, r, s. || faciunt om, c. 19 7Y- Mus in margine legitur in d. 22 nobis om. c.

u .

38 INST. ARITHM. I, 18.

usque faciendum , quoad unitas ultima vicem retractionis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utri- que numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinqui- tur, numeruro sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in 5 unum incurrat yicissim ista subtractio, priml contra se necessario numeri dicentur^ et nulla alia mensura nisi sola unitate coniuncti.' Si vero ad aliquem numerum, ut su- perius dictum est, finis deminutionis incurrerit, efit nu- merus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem

loipsum» qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram.

Age enim duos numeros propositos habeamus, quos iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura metiatur; atque hi sint •VIIII« scilicet et •XXVIUl' Hoc

15 igitur modo faciemus reciprocam deminutionem. Aufera- mus de maiore minorem, hoc est de •XXVIIII- novena- rium, reiinquentur -XX- Ex bis ergo -XX* rursus mino- rem detrahamus, id est •Vllil* et reiinquentur -Xl- Ex his rursus detraho •VIIII-, relicti sunt -11. Quos si de-

sotraho novenario, reliqui sunt •VII*; quos si duo rursus septenario dempserim, supersunt *V* , atque ex his alios duos, •IIL rursus exuberant, quos alio binario deminutos sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam in uno terminus detractionis haerebit,

25quem duorum iilorum numerorum, id est •Vllll- et

1 quoad in litura b. d; qnoad et supra versum usque s; quo et correcium in quo vel a. 2 8i om, c. 4 videbis ipsi sibi f. || Erg^o qui f. |] in om, c. 5 primi et incon- positi f, 8. 8 ille erit 1; erit et supra versum ille d; erit ipse s. 9 metitur d, l. || utrasque in margine s. 10 utrum> que a. [] esse communem f. 12 Age autem f. 13 men- sura commaniB a, b. 14 metietur f. || sunt c, f, 1, r, s. ({ et om. f. 15 denominationem et supra versum deminutio-

nem r. || Auferemus f, r. 16 de om, c. 18 detrahemus a, d, f , r, 8. 19 duo d. 20 quoB si] coniecerim quod fii. II duo8 f, •II* c, r. 22 IL c. || tres c, f. || rorsum a, b, c, d, f, 1, r. || ezsuperant s. || alios d, 1; alio om. f. |{ aHo binario deminutos} si dempserim binario b. 23 egre- diatur r. 24 herebit c, d, f, r, s. 26 illorum duo-

rum f .

INST. ARITHM. I, 19. 39

«XXVUII* solam neqiie aliani constat esse mensuraai. Hos ergo contra se prmos Tocabimus.

|| ezsuperant s. || alios d, 1; alio om. f. |{ aHo binario deminutos} si dempserim binario b. 23 egre- diatur r. 24 herebit c, d, f, r, s. 26 illorum duo-

rum f .

INST. ARITHM. I, 19. 39

«XXVUII* solam neqiie aliani constat esse mensuraai. Hos ergo contra se prmos Tocabimus.

Sed sint alii numeri nobis eadein condlcione propo- siti, id est «XXI* et •VIIII-, ut quales hi sint investigentur, c\m sibimet fuerint invicem comparatt. Rursus aufero 5 de maiore minoris numeri quantitatem , id est •Vlllf • de •XXI-, reliiHprantur *X1I* Ex his rursus demo •Yini*, su- persunt •III* Qui si es novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat , •III- relinqaentur , de quibiis •111« detrahi nequeunt, atque hic lo est sibi ipsi aequalis. Nam -111-, qui detrabel)antur, us- que ad ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sufit, delrahi minuique non poterunt. Hos igi- tur commensurabiles pronuntiabhnus et est eorum , qui est reltquus, terBarius mensura commmiis. i5

Alia partiiio paris secundum perfectos^ inperfectos et

ulira quam perfecios.

XVUH. {\c de inparibus numeris ouantum introductio- nis permittebat brevitas expeditum est/ Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sant super- 20 flui, alii deminuti secundum utrasque habitudines inae- - qualitatis. Omnis quippe inaequalttas aut in maioribus aut in mtn(H*ibus consideratur^ niili enim inmoderata quo- ^'^

colligunt, minorem sciiicet summam toto corpore con-

cludentes. Rursus •XIIIL habent medielatem, id est

20 septenarium , habent septimam, id est -II-, habent quartam decimam, id est 'I* quae in unum si colledae sint, denarii numeri summa succrescit, toto scilicet ter- mino minor.

Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille, quem

25 suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas vel triplici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vel quicquid unquam monslruosum naturae in partium mul-

1 .XIL et .XXini. a, b. 2 in suis f. 4 tertia] m. d. 6 duo c, f. [[ pars om, d, 1. H 'XII- c, r. || unum c, f. '( omnisque] Omnis d, f, 1. 6 sedecim a, d, 1, r. 7 vice- simi quarti s. 8 qnatuor f. || duo f. || 'XXIIII' f. 11 idem d. 12 cuius] quoniam f. 16 mediam partem d. || quartam} •IIII. c. 20 septimam] -VII. f. 21 .XIIII. c, f. U in unum si om, c. II coUecta a, d, f, s; collectae, correctum in col- lecta r. 22 numeri om, b, 1. jj concrescit f.' 26 Post centimanus addunt egeon r, s. [] gigans r, gigans, n indueto , a. 27 iunctus c, r. || ut inductum a. 28 monstrosum c, d; monstrosum et supra versum monstruosum b , monstrosum , su~ pra o y addiio 1. || natura f.

INSTe ARITHM. I, 20. 41

tipiicatioiie subripuit; ille vero, ut si naturaliter quadam v. c Decessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sor-^ tiretur. 5

|| natura f.

INSTe ARITHM. I, 20. 41

Inter hos autem velut inter inaequales intemperan-^ ^c^ tias medii temperamentum limitis sortitus est ille nume- rus, qui perfectus dicitur, virtutis sciiicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus deminutione remiltitur, sed medietatis obtinens 10 terminum suis aequus partibus nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut •¥!• vel •XXVIII- Namque senarius habet partem mediam, id est III-, et tertiam, id est •II- et sextam, id est -I* quae in unam summam si redactae sint par totum numeri corpus suis partibus in- 15 venilur -XXVIII- vero babet medietatem -XIIII- et septi- mam •IIII- nec caret quarta , id est 'VII- , possidet quar- taro decimam -II- et repperies in eo vicesimam octavam •I', quae in unum redactae totum partibus corpus aequa- bunt. -XXVIII- enim iunctae partes efficient. 20

Le generMone numeri perfecti»

XX. Est autem in his quoque magna similitudo vir- tutis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facUe numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos ac demi- 25

1 61 om. c. 2 nascerentur, altero n inducto, a; nasce- rentur, altero n rasura deleio^ d; nascerent, altero n ex" puncto, r. 3 cicoplee f. {| Posi dedecas d habet: deformati.

4 suae om, f. 6 aequales a, b, f. 8 emulator f, r, s. 11 aequis a, b, c, r. || grassatur a, b, c, d, r. H habun- dantia c, d, f. 13 mediam partem f. 14 duo f. | unum f. 15 redacta b, redacti c. || per a, r, s. || post partibus in mrgine aequalis a. 16 medietatem et septimam •IIII- Xnn- c. 17 qnarta] -Iin- d. || septem d. || -Xllir- c. 18 ea a, b, d, r, s. 19 redacta a, b, c, d, 1, r, s. || corpus om, c. 20 efficiunt s. 21 Tittdua in margine legitur in d. 23 rorftnter correctum in rarenter a. 24 sunt. f, r, .s.

42 INST. ARITHM. I, 20.

nutos loDge multos infinilosque repperies, nec ulBs ordi- nibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra dena- rium numerum -VL intra centenariam •XXVIII* intra mil-

5 lenarium • CCCCXCVI • inlra decem milia • Vffl • CXXVIII. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur , -VI- et rVIU* , et semper alternatlm in hos numeros summarnm

' ilne provenienl. Nam et primum -VI- , inde •XXVIII- post hos -CCCC-XCVI* idem senarins, qui primus, post quem

10 . VIII- CXX VIII- idem octonarius, qui secundus.

Generatio autem procrealioque eorum est fixa firma- que, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispo- sitos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordi-

VIII- CXX VIII- idem octonarius, qui secundus.

i5nem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione faclus sit, lotam summam in illum multiplicabis» quem posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facla pri- mus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc

20 transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si vero nec dum fuerit primus et incompositus, alium rur- sus adiunge et vide , quid fiat. Quod «si primum incom- positumque repperies, tunc in ultimae multitudinem sum- mae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim

25 omnes pariter pares numeri hoc modo:

I. II. IIIl. VUI. XVI. XXXII. LXUII. CXXVIII.

Facies ergo ita. Pones -I- eique adgregabis -11- Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit.

2 a om, a, r. 3 geratos a. 4 nQmerum om, d, f 5 X' milia c. 6 daabas partibas a, c, s; daobos parti- bas r. 8 fine pervenient a, fine perveniunt f, fines per- yenient c, s. fl s®^ ^^ h, f, 1, r, s. || deinde f, s; inde, de ex c&rr, addito r. 12 nec quo a, b, c, r, s. neq. ei supra versum ao r. || sit, t inducto, a. 18 primus] supra versum et incompositas a, b, d, r. 19 sed et s. || secun- dos et conpositas c, f. s. 20 adseqaitar a. 22 innge a. 28 maltitndine a, c, r. 26 pares pariter d. 27 anom f. | dao f. II tam d, r. 28 respicis a, d; respicies f.

INST. ARITHM. I, 20. 43

Inde •III- qui scilicet primus et iocoinpositus est; et post uoitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si igitur ternarium^ id est qui ex coacervatione coUectus est, * per bioarium multiplices, qui est uitimus adgregalus, per- fectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim -Uh •VI* 5 faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam par- tem, id est sextara, -III* vero medietatem secundum dua- iitatem , at vero •11* secuadum coacervationem , id est se- cundum teroarium, quoniam coacervati •III- muitiplicati sunt. -XXVUI- autem eodem modo nascuntur. Si enim lo super -I- et *II-, qui suot -III- addas sequentem pariter parem, id est '1111-, septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaiernarium consequenter adiunxe- ras. Per liunc igitur si itlam coacervationem multiplica- Teris, perfectus numerus procreatur. Septies enim •IIII- 15 •XXVIII- sunt, qui est suis partibus par, habens -I- a se iienominatum , id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium •XIIII- , secundum quaternarium Vir , septimum vero secundum septenarium -IIII-, secun- dum omnium collectionem quartum decimum -11-, qui so vocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, «i alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut

1 inde correctum in id est a; inde fiunt b, c, 1; sunt d) f; sunt inde r; inde sunt s. || tres d. 6 tres d, f.

Ergo cum hi reperti sint, «i alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut

1 inde correctum in id est a; inde fiunt b, c, 1; sunt d) f; sunt inde r; inde sunt s. || tres d. 6 tres d, f.

6 habent a, b , c, 1, r, s. 7 •¥!• f. || tres c, f. 8 duo a, i>, c, 1, r, 8. 9 coacervatim b, c, 1. || tres d. 10 suntj w margine addita est in d haec figura:

I II

tl unum c. 12 summam facies a, c, s. 16 snisper a. ||

^m f. y ad a, b. 17 denominatam f, 1, s. || XXVIII- f. vieesimam octavam s. 19 aeptimum vero om, b, I, r; se- ptimam vero f , s ; septimo vero correcium in septimum vero a. 20 collectionam a. || quartam decimam f, s. || duo a, b, f, ^ f) s. 22 eodem r. [{ ut om. d, supra versum r.

44 INST. ARITHM. I, 20.

vestiges. Ponas enim •!• licebit, et post hunc •II* et •1111% qui in septenariuoi cumulantur. Sed de hoc dndum

* exstitit •XXVIII* perfectus numerus. Huic igitur qui se- quitur pariter par id est •VIll-, continens iungatur acces- 5 sio, qui prioribus superveniens «XV^ restituet. Sed bic primus et incompositus non est, habet enim generis aite- rius partem super iiiam, quae est a se ipsa denominata, quintam decimam sciiicet unitatem. Hunc igitur, quo- niam secundus est et compositus, praeterito et adiunge

10 superioribus continentem pariter parem numerum , id est •XVI-, qui cum 'XV^ iunctus, unum ac triginta conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sede- cies •XXXI-, qui •€€€€• XCVI- explicant. Haec autem

15 est intra miilenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque po- tentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam , quam si per se ipsam

1 investiges s. |{ Pones a, s. || unum f. || liquebit c, liqaebit correctum in licebit a. [| duo f. || et om, r; cui adicies f . 3 numerus] In d addita est in margine haec jfigura

XXVIU^

I II IIII

4 pari a, paris r. || continens iungatur accessio in margine Utteris aliquot resectis a» in contextu est litura quattuor versuum.

5 qui om c. || X et quinque a, r; quindecim b. || restituit a, d, f, r, 8. 7 ipso f. 11 -XXX- c, f. || conficiat corrc- ctum in conficiet a. 12 •!•"«« f. U rursus ^ f. ; esc corr, add. c. 19 super eos 1; super supra ver- im c, II semper eos c. 21 appellatur a, c, r. 28 de- ficiet f. 31 duo d. 33 quattuor d. || est post duplug

''»»■ a, c.

48 INST. AEITHM. I, 23.

tium parem sumas, id est •VI*, tertii numeri in uaturali constitutione duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est- VIII- quarli numeri, id est quaterna- rii, dupius estl Idemque in ceteris in infinitum sumentibus

|| est post duplug

''»»■ a, c.

48 INST. AEITHM. I, 23.

5 sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascun- tur, si in eadem dispositione naturali duo semper inter- mittantur, et ^ui post duos sunt, ad naturalem nuinerum comparentur, 'excepto ternario, qui, ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit? 'Post unum enim et duo

10 tres sunt, qui triplus unius est; rursus post •IIII- et •¥• sunt *\h, qui secundi numeri, id est duorum, Iriplus est; rursus post «VI- sunt -VII- et •VIII- et post hos •VIIII- , qui tertii numeri, id est ternarii triplus est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine uUa offensione procediO

15 Quadrupiorum yej[0 generatio incipit, si quis tres nume- ros intermittat. Post unum quippe et duo et •UL sunt •IIU*, qui primi, id est unius, quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium, octo- narius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis,

20 qui binarii, id est secundi numeri quadruplus est; at vero si post •VIII- tres terminos intermisero, id est •VIIII- vel -X' vel 'XI^ duodenarius, qui sequitur, ternarii nu- meri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum pro- gressis necesse est evenire','semperque una terminorum

25 intermissione si crescat adiectio, ordinatas te muUipIicis numeri vices invenire miraberis.^ Si enim •UII^ inter- mittas, quincuplus invenitiir, si •V- sescuplus, si -VI- septuplus/semperque ipsius multiplicationis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus

3 id est quatemarii om. 1.; supra versum b. 4 Itemque a, d; itemque correcttem in idemque r. 6 procedit] In

d 171 margine inferiore additi sunt nimem ah •7« usque ad -X' eorumque dupli, tripli, quadrupli, quincupli; quos praecedunt inscriptiones Simplus, Duplus cet. 10 -III' c, d. || quat- tuor d. 13 quidem a, f. 14 facit correctum in fa-

ciat a, faciet r. |{ defensione, de in of muiato c. 15 •III* > c. 16 II- d, duos f. [I tres f. 21 octo d. 26 qua- tuor c. 27 quinque f. || sexcuplus c, f. || sex d.

INST. ABITHM. I, 24. 49

unum iDtermittit, triplas •U* quadrupliis •III- quincuplus -f- •IIII- et deinceps ad eundem ordinem sequentia est? Et onanes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt; tripli vero unus semper par ter- minus, inpar alius invenitur; quadrupli vero rursus sem- 5 per parem custodiunt quanlitatem constituunturque a quarto numero uno ex prioribus per ordinem positis pa- ribus iniermisso, primo pari binario, post hunc •VIII- intermisso senario, post hunc -XII- transmisso denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio se- lo cundum triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinalur.

De superpariicuiari eiusque speciehus earumque

Quincupli vero propositio se- lo cundum triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinalur.

De superpariicuiari eiusque speciehus earumque

generaiionihus,

XXmi. Superparticularis vero est numerus ad alte- is rum comparatus^ quotiens habet in se totum minorem et eius aliqiiam partem; qui si minoris habeat medie- tatem, vocatur sesqualter, si vero tertiam partem, voca- tur sesquitertius , si vero quartam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus; atque his nominibus in 20 infinitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum ali- qua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius, subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem 25 secundum roaiorum normam multitudinemque protendi- tur. Voco autem maiores numeros duces, minores co-

1 intermittat, a in i muiatOy a. [| dno f. || tres f. 3 du- pllces f. II consequentias f. || primum numerum et supra

versum pariom nnmeromm r. 6 custodiunturque in constituun- turqne mutatum c. 7 prioribus et supra p e et supra e su d. || in ordinem s; ordine d, in ordinem et supra in 1 per r. 8 pari nnmero a, b. 9 trasmisso r, intermisso c. 10 quin- quipli r, quinquupli c, s. 12 ordinantur r, s. 13 Titu- lus legitur in margine in d : De superparticulari et rel. r. Sequeniia auiem verha secunda manu addita sunt. \\ eorumque s, et eamm f. 16 XXV. 1. 16 quoties a. 19 sive quar- tam a. 25 vero om, c. 26 maiorem a, b, f, r, s.

BOETIUS. 4

50 INST. ABITHM. I, 24.

mites. Superparticularium quoque infinita est multitudo ob eam rem, quod eiusdem species interminabili progres- sione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem du- ces omnes post ternarium numerum naturaUter triplices»

5 comites vero omnes post binarium numerum naturaliter pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim

"Mongissimi versus triplicium naturalis numeri atque dapli- cium et sit hoc modo :

10 1. II. III. IIII. V. VI. VII. VIII. VIIII. X. III. VI. VIIII. XII. XV. XVIII. XXI. XXIIII. XXVII. XXX. II. IIII. VI. VIII. X. XII. XIIiLXVI. XVIII. XX.

Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem, tertius vero dupiicem. Atque in

15 eo si ternarius binario, vei si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur^ vel omnes triplices supe- riores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur. •III- enim babent intra se -11* et eorum mediam partem, id est

20 unum. Sex quoque continent intra se -1111- et eorum medietatem, id est •II- Et •VIIII- intra se senarium clau- dunt et eius mediam partem, id estr-III'; eodemque modo in ceteris.

Dicendum vero est, si quis secundam speciem super-

25 particularis numeri considerare desideret, id est sesqui-

lertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem

Dicendum vero est, si quis secundam speciem super-

25 particularis numeri considerare desideret, id est sesqui-

lertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem

huius comparationis talis est. Sesquilertius est, qui urii-

nori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem.

3 Nam f. J quidem habebit f. 10—12 Vmi. X.

XXVII. XXX. XVIII. XX. om, a et d; sed in d iidem versus in margine inferiore leguniur,' una cum numeris in contextu omis- sis, 17 apponantur b, 1, r. 18 emiholia a, hemiholia b, Hethimologia c. || nascitnr 1. || tres f. 19 duo f.

20 — 21 nnam . . . id est om. c. 20 -L b. fl continet c, con- tinet, mutaium in continent a. || inter c, inter mutatum in intra a. " 21 duo f. || 'VL b. 22 mediam partem] me- dietatem 1. 24 est om, d, f. 27 est om. c, d.

INST. ARITHM. I, 24. 51

Sed hi inyeniuntar, si omnibus a quaternario nuniero continuatim quadruplis constitutis a ternario numero tri- plices comparentur, eruntqne duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis,^ ut sub eo quadruph' et tripii subponantur, sub primo qua- 5 druplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur.

I. u. m. nn. v. vi. vii. viii. viiii. x.

mi. vm. XII. XVI. xx. xxiiii. xxviii. xxxii. xxxvi. xl. ^o

ni. VI. viii. XII. XV. xviii. XXI. xxiiii. xxvii. xxx.

Igitur primum primp si compares, sesquitertia ratio coQtinebitur. Nam si •Ifll* tribus compares habebunt in se •IIII* totum ternarium et eius tertiam partem, id est -I- £t si secundum secundo id est octonarium senario compa- 15 res, ideni invenies. Habebit enim octonarius senarium totum et eius tertiam partem , id est -II- Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notan- dum quoque est, quod •III* comites sunt^ duces •illls rursus -VL comites, duces -VIIL, et in eodem ordine 20 ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites sub- sesquitertii. £t in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.

5 ut 8ub eo quadrupli et tripli sint. Ponatur a; ut sub eo quadrupli et tripli sint. Subponatur et supra versum: In a^. ut sub eo quadrupli et tripli supponantur, et in margine: et etiam in al. ut sub eo quadrupli et snb eo tripli sint. b; ut sub eo quadrupli et sub eo tripli sint. Supponatur c, 1, 8, sed 1 in margine superiore, neque ut sub eo, sed et sub eo; ut sub eo tripli et quadrupli subponantur f, r. || sub primo quidem f. 8 dirigantur a, s. 9 — 11 VIII. VIIII. X. XXXn. XXXVI. XL. XXIIII. XXVII. XXX. 07». a, d; sed in d omnes mtmeri ab uno ad -X' eorumque quadrupli H triplt in margine inferiore leguntur. 12 sesquitertii a, d, r. 13 quattuor d, quatuor f. 14 quattuor d, qua-

tnor f. 15 octonario senarium a, b, r; octonario sena- rios c; octonario secundum s. 19 tres a, b, d, 1, r, s.

52 INST. ABITHM. I, 26. 26.

De quodam utili ad cognitionem superparticularibus

12 sesquitertii a, d, r. 13 quattuor d, quatuor f. 14 quattuor d, qua-

tnor f. 15 octonario senarium a, b, r; octonario sena- rios c; octonario secundum s. 19 tres a, b, d, 1, r, s.

52 INST. ABITHM. I, 26. 26.

De quodam utili ad cognitionem superparticularibus

accidente.

XXV. Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque

5 comes ad se invicem nuUa numeri intermissione copulan- tur. Nam primi se nuUo in medio posito transeunt, se- cundi interponunt unum, tertii duos, quarti tres etTdein- ceps uno semper minore, quam ipsi sunt, intermissione succrescunt.^atque hoc vel in sesqualteris vel in sesqui-

10 tertiis vel . in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium com- paretur, nullum intermisimus; post -ni- enim mox •nil- sunt; tit vero -VI- contra •VIII- , in secundo scilicet se§- quitertio, una facta est intermissio. Inter -VI- enim et

15 .VIQ- solus est septenarius, qui transmissus est jiumerus.

Rursus ut -VIIII- contra -XII- comparemus, qui sunt in

dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio.

Inter -VIIH- enim et XII- sunt -X- et -Xi- Secundum hunc

^ modum quarta dispositio -III- , quinta -UII- intermittit.

20 Descriptio^ per quam doceiur ceteris inaequalitatis specie- hus antiquiorem esse multiplicitatem,

XXVI. Quoniam autem naturaliter et secundum pro- priam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis | speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse

25 monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposui-

1 Inscript. in margine d, om, c. \\ co^ationein b, 1, r, s. II superparticularis s. 2 accidente seeunda manu ad- ditum in s. 3 •XXVI- 1. 6 sine ullo a, c, r, s; se sine uUo f. 7 •!• c. II duo f. (j •III- c, f. 8 una a, b, c, f, 1, r, 8. 11 invenire, e rasura paene deleto f. || -IIH- b.J| . III- b. 12 tres d. 13 At vero a, c, r, s. || Post VL addit comparentur s. 19 quattuor a, b, 1, r, s. 20 /n~ script. om, c, in margine d. doceatur f. 22 • XXVII - 1. 25 ordine operis f.

ISST. ARITHM. I, 27. 53

mus, planissime breviterque doceamus. Sit enim taiis descriptjo , in qua ponatur in ordinem usque ad denmum numerum continui numeri ordo naturalis et secundo yersu duplus ordo texatur, tertio triplus» quarto qua^uplus et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus^ quem- 5 admodum superparticulari et superpartienli et cunctis aliis princeps erit species muitipiicis et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima.

v,n«/

ii. u. III. ijii. V. VI. VII. viu. vim. X. !i lui. VI. VIII. X. xu. xiin. XVI. xvin. xx.

|IU. VI. VHII. Xn. XV. XVIII. XXI. XXIV. XXVII. XXX.

v,n«/

ii. u. III. ijii. V. VI. VII. viu. vim. X. !i lui. VI. VIII. X. xu. xiin. XVI. xvin. xx.

|IU. VI. VHII. Xn. XV. XVIII. XXI. XXIV. XXVII. XXX.

mi. vui. xn. xvu., xx. xxim. xxviu. xxxii. xxxvi. xl.

V. X. XV. XX. XXV. XXX. XXXV. XL. XLV. L.

VI. xu. xvm. xxiui. XXX. xxxvi. xul xlvul Lmi. lx. r ni. xim. XXI. xxvui. xxxv. xlu. xlviiii. lvi. lxiu. lxx. itudo. 21

Ratio atque exposiiio digestae formulae,

XXVII. Si igitur duo prima iatera propositae formu- lae, quae faciuiU^ngulum ab uno ad -X- et -X* proceden- tia , respiciantur et bis subteriores ordines comparentur, 25 qui sciiicet a •IIII- angulum incipientes in vicenos termi- num ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur ita, ut primus primum sola superet unitate, ut

8 tenuissimam . . . atilissimam» uliimis liiieris m indu' ctis a* 9 iocundissima a, b, 1, r, s. 10 — 21 7n eodici- bus adscripia sunt ad •!• : Prima unitas tetragona ; ad utrum- que •X* Secunda unitas ; ad c. Tertia unitas tetragona ; mi- meri quadrati diagonalis lineae insiar positi variis signis, ut \ vel X, inter se iuncii sunt; quae a Boeiio profecia esse equi- dem negaverim» 22 Titulum om. a, b, c, 1; is in dfigurae

supra descriptae subscriptus est, 23 -XXVI- d, •XXVni- 1.

24 decem «t decem f. 25 respiciuntur c. 26 •IIII- f. 28 uni- tate superet s.

INST. ABITHM. I, 27.

duo unum, secundus secundum binario supemdat, ut qua- ternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ter- narium, quartus quartum quaternarii numerositate transcen- dat, ut •VIII- quaternarium, et per eandem cuncti sequen- 5 iiam sese minons pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab •VIHI* inchoans longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, tri- plex species muitiplicitatis occurrit ita, ut ista comparatio

10 per -X* litteram fiat, hique se numeri superabunt secun-

* ^Tu^dum paritatis factam naturaliter connexiopem. Primus

enim primum duobus superat, ut unum tres; secundus

secundum quaternario, >ut binarium senarius'; tertius ter-

tium sex, ut ternarium novenariusv et ad eundem ceteri

15 modum progressionis augescunt. Quam rem nobis sci- licet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihii nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum , qui 'XVL numeri quantitate notatus est^et longitudinem latitudinemque in

^ quadragenos determinat, velil superioribus comparare, per •X* litterae formam proportione conlata , quadrupli mul- titudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se

1 •II- c, l. 1] L b, 1, s; II II- ad unum d. || secundum 'secundus r. 4 octonarius f. 6 novem a, d, 1, r, s. 7 et si hic f. 10 hi quae, correctum in hique se a. II Pri- mus] In f. addita est haec figura:

4 octonarius f. 6 novem a, d, 1, r, s. 7 et si hic f. 10 hi quae, correctum in hique se a. II Pri- mus] In f. addita est haec figura:

12 I. in- b, unum in- c, d, f. 14 VI- b, c, f. ^ 16 ob- icit f, s. 17 modolo a, b. 18 sedecim a, d^ 1, r, s. 19 natus a. 22 his quae correctum in his que a.

INST. ARITHM. I, 27. 55

progressio, ut primus primuin tribus superet, ut •IIII- unitatem, secundus secundum senario vincat, ut •VIII* binarium, tertius tertium noTenario transeat, ut duode- narius ternarium, et sequentes summulae trium se sem- per adiocta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores 5 aspiciat angulos, idem per omnes multiplicilatis species usque ad decupium dispositissima ordinatione perveniet. Si quis yero in hac descriptione superparticuiaris species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angu- lum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet lo biaarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet or-_ dinem, sesqnaltera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesqualter est, ut •III* ad -11*, vel -VI* ad lUI*, vel •VIIII. ad VI. vel XIl. ad VIII. itemque in ce- teris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio i5 misceatur, nuUa varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum , id est ternarius) binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus, -t lertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo 20 lertio comparetur» ut •1111- ad «in. et eodem ceteros or- dlne consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut •lUI. ad III. vel VUI. ad VI. et .XII- ad VIIII. Videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequen- 25 tes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpe- dimento species superparlicularis agnosces.

Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod

1 qaataor f. 2 octonarius f. 4 se om. c, r. 6 mul- tiplicatas eorrectum in multiplicitatis a; multiplicatas , s ex' puncto el tis superscrtpio r. 8 superparticulares b, d, 1; saperparticularitatis s. || species om, d. 10 ei quae cor- rectum in ei que a. 11 ad om. a. 13 duos a, b, 1, r, s; duo f. 14 novem c. [| itemque] Scribendum videtur: idem- que. 17 progressio c, r. 20 •1111-*«« f. 21 tertio sw

pra versum a. 22 coUigitur a, b, c, d, 1, r, s. 24 con- servatar s, servetur b, 1. 25 subsequentes f. 28 est in liac f.

56 INST» ARITHM. I, 27.

omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus au> tem dicilur, ut brevissime dicam, quod post latiiis ex- plicabitur, quem duo aequales numeri multipltcant, ut i» hac quoque descriptione est. ^Hms enim setioel unus est,

5 et est potestate tetragonus. Item bts duo •lifl- sunt, ter tres •VIIIL, quos in semet ipsos multiplicationes primi ordinis perfecerunt.^ Circum ipsos Tero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros autem vojpo, quos uno se supergredientes numeri multi-

Item bts duo •lifl- sunt, ter tres •VIIIL, quos in semet ipsos multiplicationes primi ordinis perfecerunt.^ Circum ipsos Tero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros autem vojpo, quos uno se supergredientes numeri multi-

10 plicant. ^ Circum •IIII- enim -IL sunt et -VI- Sed duo nascuntur ex uno et duobus , cum unum bis mnltiplicave- ris; sed unitas a binario unitate praeceditur; •VI* vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt. No- venarium vero «VI- et «XII- claudunt qui •XII* ex tribus

15 nascuntur et •IIIl- ter enim •IIII- fiunt -XII- , senarius vero ex duobus et tribus , bis enim tres faciunt -VI* qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt.^ Nam cum •VI- ex binario ternarioque nascantur, tres binarium nume- rum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut

20 primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis ter- minis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilate* ris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus sit ; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetra-

25 gonus sit ; et ut angulorum totius descriptionis ad angu- lares teiragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis con-

30 tinetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus^

5 •11' c. 6 •III- c, 8 Longiores correclum in Longi- lateros a; longilateres o super e scripto r. 10 quatuor f. |! dno sunt c, sunt duo f. 11 et duobus om, f. 18 •III- c. 16 — 16 senarius vero . . . faciunt «VL in d lineolis obliquis oblita sunt, 15 senarium d. 16 III- c. || •VI- faciunt 1. 18 nascuntur a, c, d, f, r. || III- s. 21 procreantur f, b. \\ nascetur c, r, s. 27 contra] cc c. 28 habent a, r, s. 29 faciant a, c.

INST. ARITHM. I, 28.

angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descri- pt^ione uUlia possint admirabiliaque perpendi, quae in- terim propter castigatam introducendi brevitatem iguota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum coQYertainus. • 5

De tertia inaequalitaiis specie , quae diciiur superpariiens deque eius speciebus earumque generationibus,

XXVIII. Igitur post duas primas habitudines muItP piices et superparticulares et eas» quae sub ipsis sunt, submuitiplices et subsuperparticulares tertia inaequaiitatis 10 -/^(.'[^ species invenitur, quae a nobis superius superpartiens^ o''

(licta est. Haec autem est, quae fit» cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper ali- quas partes, vei duas vei tres vel IIII' vel quotquot ipsa tulerit comparatio ; quae habitudo incipit a duabus parti- 15 bus tertiis ; nam si duas medietates habuerit, qui illum in- tra se totum coercet, duplus pro superpartiente componi-

1 an^loruip] In f. addita est /laec figura:

Prima unitas tetrag^oni

•w4

addita est /laec figura:

Prima unitas tetrag^oni

•w4

S 0

/ \

y \

♦*

/ \

A A

a p

«■«

w w

\/ \y

\ X

\ /

•«

\ /

{*•

XcY

loJtBJ^a; 8S)iun m\jQ

6 Insaripi. om, c, in margine d. 7 et de f. || speciebus

eias r, 8. || speciebus om. b, 1. [I et earum generatione r, s. 8 XXVin om. r; XCIIII d. 9 et ea d. 12 Hfl.ec est

antem c, s. Haec autem quae fit, vocahulo] quae ohlito , a. 13 infra a, c; intra et supra versnm infra b; in r. 14 11- vel -III- c [1 quattnor d. || quot a, d, f, r, s. 15 duobus r. 16 Post hahuerit addunt numerus f, s. 1| illum] Fortasse alium eit scribendum, || infra a, b, c, f, 1, r, s. 17 choercet d, co- hercet f, 1, s.

58 INST. ARITHM. I, 28.

tur. Habebit autem vel duas quintas vel duas sepiimas vei duas nonas et ita progredientibus, si duas solas partes minoris numeri superhabuerit per easdem partes inpari- bus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si

5 eum habeat totum et duas eius quartas, superparticularls necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duassextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet

10 formam.

Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae vel tres vel •HU' vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens

i5eius duas partes habueril, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi JHI*, superquadri- ])artiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina Hcet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri

20 naturaliter constituti et sub his aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius ter- tio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:

25 HI. HH. V. VI. Vn. VIH. VHH. X.

V. VH. VIHI. XI. XIH. XV. XVH. XVHII.

1 Habet a, c, r, s. || aatem] eniin r, s. || .autem vel om. c. 2 paries solas c, r, s. 3 in partibnsnameri

mutatum in inparibus nameris a; imparis numeri in lUura s. 5 habeat eum f. 7 si vero a, c, r, s. || IL a, 1, r. 11 Post hos duces s. |{ nascantur, a in u mutato a. || superpartien- tes, omisso sub, c. 13 -n- a, 1, r, s. || '111- a, c, f, 1, r, s. II quatuor b , d. || quaelibet f. 14 alium om, c. 15 su-

|| quattuor d. 21 in- cipientes om. a. 23 superpartientis a, c. 24 Fit s. 25 et 26 In d duo hi versus in margine inferiore leguntur sed additis •XI- -XIL et -XXI* XXni* Tertius versus continet -VI- eius-

que duplos usque ad •IIILXXII-, quartus versus 'X* eiusque du-

IN8T. ARITHM. I, 28. 59

Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consi- deretur, erit superpartiens ille, qui vocatur superbipar- tiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si yero ad secundum ordinem specu- lalio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur at- 5 que ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infiuitum species huius numeri convenientes or- dlDatasque respicies.

At vero quemadmodum singuli procreentur si in infi- nitum quis curet agnoscere, hic modus est. Hahitudo lo eoim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur» semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis dupiicet •¥• , faciet -X-', si •III- , faciet •VI- , qui -X* contra senarium comparati superbipartientem faciunt habi- tudinem. £t hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo is proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, sta- tum prioris habitudinis non mutabit. 'Si vero supertri- partientes invenire contendas, primos supertripariientes, id est -VII- et -IIII- triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternadi multiplicatione 20 produxeris, idem rursus efficient. Quodsi superquadri- partientes quemadmodum in infinitum progrediantur, ap- petas addiscere, primas eorum radices in quadrupium mul- tiplices licet, id est -VIIH- et -V* et eos, qui illa multipli- catione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem 25 fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; I €t ceterae species una semper plus multiplicatione crescen-

ph8 usque ad iraCXX. [DCXX]. 3 -m. c. 4 n- c.

6 ita om, c, supra versum a. 7 omnes om. a, c, f. 8 re- I spicias s. 9 procreantnr a, c. 12 bipartiens omisso su- I per a, b. [| proportio om. c, r || procreatur] est c, r. 13.

V- quis duplicet c, r, s. |] quinque f. || tres c, f. [J sex c. decem d. 18 contendis f. 21 efficient] In d in mar-

gine inferiore leguntur «1111. eiusque tripli usque ad .CCCVI'

[CCCXXini] , et sub his numeris • VII • eiusque iripli usque ad i DLXVTI. 22 appetas] optes a, b, d, f, 1. 23 ediscere r.

25 rursom a, c, f, s. 26 repperiesj In d leguntur in mar-

gine inferiore -Y' eiusque quadrupU usque ad «ICCLXXX. et sub his •VIIII- eiusque quadrupli usque ad II CCC IIII,

60 INST. ARITHM. I, 29.

tibus radicibuB oriuntur. Radices autem proportionum Toco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur. Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes

ARITHM. I, 29.

5 ex minore plus in maioribus sunt, tertii semper vocabu- lum subauditur, ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbi- partiens tertias ; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas , quoniam tribus su-

10 per quartis exuberat; et superquadripartienti subaudi- tur superquadripartiens quintas, et ad eundem modum in ceteris uno semper adiecto super habitas partes sub- auditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint: qui dicitur superbipartiens, idem

15 dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque simiiitudine usque in infinitum nomina producantur.

De multiplici superpariiculari,

20 XXyilll. Igitur relatae ad aiiquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his veliit ex aiiquibus principiis componuntur, ut multiplices super- particularesetmultiplices superpartientes, liorumquecomi- tes submultiplices superparticulares et submultiplices su-

25 perpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur,

2 numeros voco f. || quos correctum in qnasi a. 3 inmittitur correcium in innititur a. 4 In hoc a, s; Hoc et supraversum: In ai: in hoc b. |] est supra versum rec, manu r. 8 etj sed 1; sed ei supra versum &l et b. || subaudire necesse est f. 9 ut quoniam a, et d; sed in d ut est inductum* 10 super quartas, et supra ver- sum: in a) superquartas b. [[ exuperats. 11. superquadripar-

tiens] super om. c. 12 superhabitis a. 14 ut qui f , 1 ; ut sw pra versum adscriptum est in a, b, d, r, s. || superbipartiensl su; cum litura c. 19 Titulum om, c. 20 XXvIIII om. r. |] re lictae corr, in relatae a |) ad om. c. 26 Posi numeri ad' dunt et eorum species f, r; et eorum quoque species s; v

-^mmm

)

INST, ARITHM. I, 29. 61

14 ut qui f , 1 ; ut sw pra versum adscriptum est in a, b, d, r, s. || superbipartiensl su; cum litura c. 19 Titulum om, c. 20 XXvIIII om. r. |] re lictae corr, in relatae a |) ad om. c. 26 Posi numeri ad' dunt et eorum species f, r; et eorum quoque species s; v

-^mmm

)

INST, ARITHM. I, 29. 61

quorum definitio talis reddi potest.^Muttiplex superparticu- laris esi, quotiens numerus ad numerum comparatus babet eum plus quam semel et eius unam partem/hoc est babet eum aut duplum aut tripium aut quadruplum aut quotiens- libet et eius quamlibet aliquam partem vel mediam vel 5 terUam vel quartam vel » quaecunque alia partium exube- ratione contigeriL 'Hic ergo ex multipiici et superparti- culari consistit. ^uod enim comparatum numerum pius quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod mino- rem in habenda parte transcendit, superparticularis? Ita- lo que ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum scilicet fiunt imaginem proportionum, ex qui- bus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius Tocabuli» quae multiplicis nomine possessa est, multipli- cis Dunieri specierum vocabulo nominanda est, quae vero ^ superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticuiaris numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius me- diam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, du- plex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus 20 et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur tri- plex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquar- tus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesqui- ^^ qaartus ; et quotiens totum numerum in semet ipso con- linuerit per multiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum super- particularem comparationem habitudinemque vocabitur. Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex ses- ^

maTgine Jiabei et eorum qnoque species a, et eorum qnoqae omnes spedes 1: supra versum hahent et eornm quoque spe- cieg b, d. 7 contingerit a, c. 9 minorem numerum f. 10 ha- bendo f. 11 fictum Yocabulum f, s. 12 illius a. 17 species numeri f. 22 dicitur c, r, s; dicitur corr, in dicetur a.

24 et om. f. 24 — 26 et eodem . • . sesquiquartus in margine iuperiare r. 26 quoties a, 1. 27 appellatur b, c, d, f, 1, r,

7 contingerit a, c. 9 minorem numerum f. 10 ha- bendo f. 11 fictum Yocabulum f, s. 12 illius a. 17 species numeri f. 22 dicitur c, r, s; dicitur corr, in dicetur a.

24 et om. f. 24 — 26 et eodem . • . sesquiquartus in margine iuperiare r. 26 quoties a, 1. 27 appellatur b, c, d, f, 1, r,

duplicibus^ quidem sesqualteri ^ex triplis^ sesquitertii, ^ex quadruplis' sesquiquarti et ceteri in hunc modum. TEx «^^'> ."*i superparticularibus vero conversis^ superpartientes nasci ''*'(-(- necesse est, ita ut^ex sesqualtero^nascatur superbipar- tiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex ses- lo quiquarto^superquadripartiens procreetur. Rectis auteri? positis neque conversis prioribus superparticularibus multipiices superparticulares oriuntur; rectis vero super- partientibus multiplices superpartientes efficiuntur. Prae;;;^ _ cepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo i5 facias parem, secundum vero primo et secundo, ter- tium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, dupli- ces erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum 20 omnes formas numeri muitiplicis explicabit. laceant igi- ,;;, tur tres termini aequales. ' l, v .

I. I. I. Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, se- cundus vero primo et secundo , id e«t -II- , tertius vero 25 primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, quod sunt IIII- ut est descriptio.

1 contigit c, correct. in contingit a. 3 ex his f; in om. r. II tripli r. || deinde a, c, s. || quadrupli r. 6 triplicibus a, c, f, s; tribus 1. jj et ex quadruplis r. 7 Et corr, in

Ex a. 11 procreetur om. a, b, c, d, 1, r, s; ut duhium siiy uirum, qui codicem f eaoaravit, de suo, an ex meliore codice procreetur addiderit. 13 superpartientes c. || superpartien- tibus multiplices in margine rec, manu r. 14 multiplicis,

ullimo i in e mutaio, a. 17 primo et duobus secundis f;

primo, secundis duobus a, c, s. 21 multiplices a, d, f, r. | procreabit d. \\ Sint d. 24 id est .... vero primo om. d; rec, tamen manu addita sunt: id est I. 25 duo f. 26 et duobus f. 11 uno d. II et ante duobus om^ a , b , d. 27 unis om. s. || uno a, b, c, d, r, s. || ut haec est descriptio d; ut est de-

68 INST. ARITHM. I, 32.

I. 1. I.

I. II. IIII.

Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo 5 aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt tres, lertius primo, id est uni, duobus secundis, id est IIII-, et tertio, id est •IIII-, qui simul -¥1111- fiunt, et venit haec formula.

II.

mi.

III.

VIIII.

Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus, sil secundus primo et secundo aequalis, id est lUh, sit i5tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est XVI

II.

mi.

III.

VIIII.

I. I. I. I. II. IIII. L III. VIIII. 20 I. IIII. XVI.

Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus et «secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procrea-

scriptio hec f. 4 de supra versum a, r. || et sit c, d, 1, r. primo primus c. 6 uno d. [| III- c. 7 et duobus f. |1 id est •IIII- 07«. c, 1, r, s; supra versum d. || id est sec. manu ad- ditum f. II quatuor d. 8 fiunt] sunt r. || forma a, s;

in hanc formam et supra: et venit haec formula d. 9 — 11

Formulam om, 1, 12 in triplicibus d, f; de triplicibus, de ex corr. addito, r. 13 id est unus supra versum d. 14 sit om. d. II aequalis/ id est -1111- supra versum d. [| sit oin. d. 15 et duobus f. |[ aequalis, id est -XVI- supra versum d. 21 his om. d. 22 utamus praeceptis s; || utamur c. [] qtiis dicat corr. in qui, vocabulo dicat inducto, sl, [| ex supra ver- sum a, s. II qualibus c. 24 ita est, vocabulo est inducto a, rasura deleto s.

INST. ARITHM. I, 32. 69

bitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo^ Sint enim •III- duplices termini, qui ex aequalibus creatP sunt, et qui uitimus est, primus ponatur hoc modo:

ini. iL L >

£t constitualur primo in lioc ordine primus par, id est5 •IIII-, secundus vero primo et secundo par, id est VL, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est •VIIII-

fflL IL L im. VI. VIIII.

Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis lo exoritur. Videamus nunc ad eundem modum , ex triplici qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores

VIIIL III. I.

Converso scilicet ordine, sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus. Ponalur ergo primus primo aequus, id i5 est •VIIII-, secundus primo et secundo, id est -XIL, ter- tius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est •XVI-

VIIII. III. L VIIII. XIL XVI.

Rursus secunda species superparticularis numeri, id est 20 sesquitertius procrealus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut sub- iecla monstrat descriptio.

XVL IIII. I.

XVI. XX. XXV. 25

1 triplo d. 2 tres b, f. 5 constituautur a, c, s, £^ r, sed n rasura deleto, || constituaturque d. || primo om, a, b, d. |[ primus primo a et s, sed primo rasura deleto; primo supra primus d. 6 quatuor d. || par om, d. lOilla om, c. || sesqualtera illa r. U ad enndem .... nascatur] quemadmodum ex triplici nu- mero ad eundem modum numeri nascantur d. || ez triplici om. 1. 12 nascitur b, 1; nascantur s. || enim] itaque d.

6 quatuor d. || par om, d. lOilla om, c. || sesqualtera illa r. U ad enndem .... nascatur] quemadmodum ex triplici nu- mero ad eundem modum numeri nascantur d. || ez triplici om. 1. 12 nascitur b, 1; nascantur s. || enim] itaque d.

15 primo primus c. 17 aequus supra versum d, r. 21 ses- quitertii procreati sunt a. 22 continua c. [) subiecta mon- strabit a; subiecta monstrat et supra versum: in slI. bit b; monstrabit subiecta s.

70 INST. ARITHM. I, 32.

Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus muiiipli- citatis facial, convenienter ordinem superparticularitatis

\Jnveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis se- cundum iiaec praecepta convertat, continuo videat super-

5 partientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbi- partiens, ex sesquiterlio supertripartiens procreatur et ceteri secundum communes denominationis species sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igi-

^ur sic:

10 VIIII. VI. IIIl.

Superioris igitur descriptionis primo primus aequus nu- merus adscribatur , id est -VIIII- secundus vero primo et secundo, id est XV-, tertius vero primo, duobus secun- dis el terlio, id est -XXV-

15 viiii. VI. im.

/wW VIIII. XV. XXV.

Si vero sesquitertium eodem modo verlamus , ordo super- tripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii

XVI. XII. VIIII.

20 PonatUr secundum priorem modum primo primus par, id est -XVI-, secundus primo et secundo, id est •XXVIII-, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est •XLVIIIL Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.

XVI. XII. VIIII. t- ' XVI. XXVIII. XLVIIII.

Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, super-

1 si quidem a; quis idem et supra versum hoc b; quis hoc idem 1. |l multiplicatis b, c, f, l, r. 2 faciant, n ohtito, a ; faciet c. [| superparticularis a. 4 Post videat addit vel videbit a. 5 et om. s. 8 interpellatione f. |{ Dispona-

tur c. 11 numerus aequus a, b. 12 vero ow. d, f. 13 vero om, d. 14 Post -XXV- addit: Et venit haec forma a; quae verha in s rasura deleta sunt, 17 Si ergo a. 18 propo- sitio a, d, f, r. 19 Nunc versum om. d. 20 Ponatur enim -a, 1. 22 et duobus a, 8.

INST. ARITHM. I, 32. 71

quadripartiens statim quantitas procreabitur , ut est ea forma, quam subpositam vides.

XXV. XX. XVI. ^n/

XXV. XLV. LXXXI.

Restat, quemadmodum ex superparticularibus et super-si partientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tan^ tum faciam descriptiones. Namque si rectum et non coii- versum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis excrescit. Sit enim hoc modo : > ^

IIU. VL VIIII.

Ponatur secundum superiorem modum primo primus ae- qualis, id est 1111-, secundus primo et secundo, id est •X-, tertius primo, duobus secundis et terlio aequalis, id estXXV. 15

Sit enim hoc modo : > ^

IIU. VL VIIII.

Ponatur secundum superiorem modum primo primus ae- qualis, id est 1111-, secundus primo et secundo, id est •X-, tertius primo, duobus secundis et terlio aequalis, id estXXV. 15

iin. VI. viiii. ^;^,^) mi. X. XXV. ^

Atque haec quidem duplex sesqualtera summa pro^;^^ ducta est; si vero sesquitertium non conversum pona- mus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio 20 docct i

VIIII. XU. XVL /,,1^^

VIIIL XXL XLVIIIL ^

At vero si ad superpartientes animum convertamus eos- que ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, 25 multiplices superpartientes ordinatim progenitos repperie- mus. Disponatur enim superpartientis haec formula :

VIIIL XV. XXV.

1 quantitas supra versum d. |{ ea om. c. 10 crescit a,

b; adcrescit d. || Sit] Fit a, c, d, s. Sit . . . modo] enim

hoc modo ponatur r. 12 Ponatur om. r. || superiorem]

priorem c, d. . 13 quattuor a, b, d, 1, r, s. 14 aequalis

om, d. 16 et 17 Duo hi versus in margine leguntur in a.

17 XXV.] XV- c. 19 ponamus conversum f. 20 duplus a,

c, d, f, r, s. II VLi] l et supra versum ut r. 21 docet discriptio s.

-Y

72 INST. ARITHM. II, CAPITULA.

Adscribatur ergo primus primo aequus, id est •VIIII-, se- cundus primo et secundo, id est •XXilll-, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est LXIIII.

VIIII. XV. XXV.

6 ^ ^^ vun. xxiiii. Lxiiii.

Videsne, ut ex superbipartienle duplus superbipartiens exortus sit? At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio supertripartiens invenitur, ut in subiecta de- scriptione perspicuum est.

10 XVI. XXVIII. XLVIIIL

^^ XVI. XLIIII. CXXL

Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multipiices superparticulares vel multiplices superpartien-

utes oriuntur. Quare constat, omnium inaequalitatum ae-

nfs qualitatem esse principium. Ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disseren- dum esse credidimus, ne vel iniinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes ab uti-

^ lioribus moraremur.

20 Liber primus explicii.

Incipiunt capitula lihri secundi.

I. Quemadmodum ad aequalitatem omnis iuaequalUas reducalur.

3 et duobus b, c, 1. 6 Vides, omissone, 1. || super- partiens c. 7 duplus f. 8 supertripartiens sine dubio s. I tripartiens omisso super a, b, c, f, 1, r. 9 superspicuum 1. 16 actenus f, 1. {| diserendum a, differendum c. 17 esse om. f. II credimus a, b, 1, r, || nec 1. 18 res om. d. 20 Ti- tulum om. f , r. Explicit liber primus (I. c) a, c. Liber pri- mus arithmeticae explicit s. /ra b, d, 1 praecedunt titulum: Anicii Mallii (Manlii d, 1) Severini Boecii v. c. et ill. (inL d) exconsul (cons. d) ord. (ordinis d) patricii institutionis arith- meticae. Jn d addita sunt in fine tituli: Inoipit liber II. feli- citer. 21 Titulus in margine legitur in s. || capitula] tituli b, \. II libri II. c; de libro seeundo f. || Titulo in fine addit feliciter b. 22 inaequalitatis r. 23 seducatur a, deducatur d, reducitur 1.

Jn d addita sunt in fine tituli: Inoipit liber II. feli- citer. 21 Titulus in margine legitur in s. || capitula] tituli b, \. II libri II. c; de libro seeundo f. || Titulo in fine addit feliciter b. 22 inaequalitatis r. 23 seducatur a, deducatur d, reducitur 1.

INST. ARITHM. II, CAPITULA. 73

n. De inveniendo in unoquoque numero, quol nume- ros eiusdem proportionis possit praecedere eorum- que descriplio descriptionisque expositio. III. Quod muitiplex intervallum ex quibus superparticu- laribus medielate posita intervallis iiat eiusque in- 5 venieudi regula. Un. De per se conslante quantitate , quae in figuris geo- metricis consideratur, in quo communis ratio omnium magnitudinum. V. De numero lineari. lo

VI. De planis rectilineis figuris quodque earum triangu-

lum prii^cipium sit. VII. Dispositio triangulorum numerorum. VIII. De iateribus triangulorura numerorum. VIIII. De generatione triangulorum numerorum. 15

X. De quadratis numeris. XI. De eorum lateribus. XIL De quadratorum numerorum generatione rursusque

de eorum laleribus. XIII. De pentagonis eorumque lateribus. 20

XIIII. De generatione pentagonorum. XV. De exagonis eorumque generalionii^us. XVI. De eptagonis eorumque generationibus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descriptionesque figurarum. 25

XVII. Descriplio figuralorum numerorum in ordine. XVIII. Qui figurali numeri ex quibus figuratis numeris fiant inque eo, quod triangulus nuraerus omuium reli- quorum principium sit.

1 in om, d. || quod d, quos a, b, c, f, 1, r, s. 2 possit praecedere] praecedat b, 1. 7 quantitate constante c. ||

figuris et geometricis d. 10 linearii a. 11 qnoque a.

12 est a. 13 Depositio c. 18 rursumque f. 21 penta, omigso gonornm, a. 22 Hic iitulus deest in a, excepta lit'

iera prima D. 23 pentagonis a, c, r, 8. |{ commnni r.

24 omnium om. a, c. || veniende d. 25 discriptiones, omisso qne, 1; discriptionis , omisso qne c; discriptione , omisso qne s. 26 fignramm a. 27 numero a, b; nnmerus r. 28 inqne eo] neqne r, in eo s.

74 INST. ARITHM. II, CAPITULA.

XVIill. Pertinens aif figuralorum numerorum descriptionem speculalio. XX. De numeris solidis.

XXI. De pyramide, quod ea sit soiidarum figurarum prin- 5 cipium, sicut triangulus planarum.

XXII. De his pyramidis, quae a quadralis vel a ceteris

multiangulis figuris proficiscuntur. XXIII. Soiidorum generatio numerorum. XXIIII. De curlis pyramidis. 10 XXV. De cybis vel asseribus vel iaterculis vel cuneis vel sphericis vei paralielepipedis numeris.

XXVI. De parte aitera longioribus numeris eorumque gene- rationibus.

XXVII. De anteiongioribus numeris et de vocabulo numeri 15 parte altera longioris.

XXVIII. Quod ex inparibus quadrali, ex paribus parte altera longiores fiant.

XXVIIII. De generatione lalercuiorum eorumque definitione. XXX. Do circularibus vel sphericis numeris.

^ XXXI. De ea natura rerum , quae dicitur eiusdem naturae et de ea, quae dicilur alterius naturae et qui nu- meri cui naturae coniuncti sint.

XXXIl. Quod orania ex eiusdem natura et alterius natura consistant, idque in numeris primum videri.

4 piramida a, d, r; pyramida f. || sit ea f. 5 sicut triangalus planarum om. d. 7 multianguli a || procrean- tur c. 8 soiidarum c. || generatione s. 9 curatis a.

10 cubis f. [[ culneis f, r. 11 splericis a, spericis s, sphe- ris d. II perallelipipedis r, parallelipedis s. 12 — 14 eorum- que generationibus. XXVII. De antelongioribus numeris om. d. 16 altera parte a. 16 XXVII. d. 17 longioris c. 18 XXVIIL d. II laterculoramque c. || Post definitione ad- dit: vel de generatione cunctorum eorumque difinitione d, vel de generatione cuneorum eorumque diffinitione f, vel de generatione cuneorum eorumque diffinitione natorae coniun- ctae sunt. r. 19 spiricis r, spericis s. 21 alteris r.

naturae om, b, 1. 22 coniuncti sunt a, c, d, r, s; conve- niant b, I. 23 naturae c. || natara om, b, 1, s; naturae d. 24 consistit a, c. || consistant videri in margine in-

INST. ARITHM. H, CAPITULA. 75

^XXXIII. Ex eiusdem atque alterius numeri natura , qui ^ sunt quadratus et parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare. XXXilll. Quod ex quadratls et parte altera lougioribus omnis formarum ratio consistat. 5

XXXV. Quemadmodum quadrati ex parte altera longio- ribus vel parte altera longiores ex quadratis fiant. XXXVI. Quod principaliter eiusdem quidem sit substan- tiae unitas, secundo vero loco inpares numeri, tertio quadrati et quod principaliter dualitas alte- 10 rius sit substantiae, secundo vero loco pares nu- meri, tertio parte altera longiores. XXXVII. Alternatim positis quatratis et parte altera lon- gioribus qui sit eorum consensus iu difTerentiis et in proporlionibus. 15

XXXVIII. Probatio quadratos eiusdem esse naturae. !XXXVI1II. Gybos eiusdem partlcipare substantiae, quod ab inparibus nascantur. XL. De proportionalitatibus. XLI. Quae apud antiquos proportionalitas fuerit, quas 20

posteriores addiderint. XLII. Quod primum de ea, quae vocalur arithmetica proportionalitas, dicendum sit.

feriore r. 1 XXXIII. Ex eiusdem in margine r. || et r.

numeri om, r. 2 sunt] est b, 1. |[ et] ex a, c, r. || omnis d. 4 et om. c, a a, ac s. 5 Post omnis addit ■XXXV- s. || con- slstit b, l, s; constat f. 6 XXXVI- s. [} altera] ante s.

8 XXXVI. om. a, totumque hunc titulum praecedenti addit, XXXVII. c. 9 — 12 secundo . . . longiores om. c. || im- paris a , d, r. 10 tertio vero 1. || quadrati . . . tertio om,

a. II quadratis r. 11 secundo vero loco .... longiores om.

6 XXXVI- s. [} altera] ante s.

8 XXXVI. om. a, totumque hunc titulum praecedenti addit, XXXVII. c. 9 — 12 secundo . . . longiores om. c. || im- paris a , d, r. 10 tertio vero 1. || quadrati . . . tertio om,

a. II quadratis r. 11 secundo vero loco .... longiores om.

b, 1, 8. [] paris d, r. || numeri om, r. 12 longiore a, r. 13 XXXVI. a, itemque infra reliqui numeri in a, uno sunt mi- nores; XXXVIII s, itemque reliqui numeri uno maiores, \\ et^ ex c. 14 quae et supra ae sec. manu i r. || eorum qui sit c. 15 in om, a, b, I, s. 16 eiusdem natnrae esse b, 1. 17 Cubos f, s. II eiusdem participare eiusdem a, c. || sub- stantia d. || ab om, b, l. 18 imparis r. || nascuntur f. 19 proportionalibus d. 20 aput s. || antiquiores b, 1. 22 vo- cantur c. 23 dicendum est a, c, d, f, r, speculandum est s, speculandum sit b, 1. '

76 INST. ARITHM. II, CAPITULA.

XLIII. De arilhmetica medietate eiusque proprietatibus. XLIIII. De geometrica medietate eiusque proprietatibus. XLV. Quae medietates quibus rerum publicarum stati- bus comparentur. 5 XLVI. Quod superficies una tantum in proportionalitali-

bus medietate iungantur, solidi vero numeri dua- bus medietatibus in medio collocatis. XLVII. De armonica medietate eiusque proprietatibus. XLVIII. Quare dicta sit armonica medietas ea quae di- 10 gesta est.

XLVIIII. De geometrica armonia.

L. Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus ter- . minis arithmetica , geometrica et armonica inter eos medietas alternetur; in quo de eorum gene- 15 rationibus.

LI. De tribus medielatibus , qnae armonicae et geo-

metricae contrariae sunt. LII. De quattuor medietatibus , quas posteri ad im- plendum denarium limitem adiecerunt. 20 LIII. Dispositio decem medietatum.

LIIII. De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis.

Expliciuni capitula.

3 quibns rebus rerum b, 1. || stantibus a, c. 5 una tantnmj unitatum f. [j tantum om, d. 6 duobus a, c.

7 coUocantur a, b, c, l. 9 dicta om, c. || ea om. b, 1. '

degesta r, gesta a, c. 10 sit c. 11 armonica a, b, c, 1. 12 constitutus a. 14 alternetur om, s. || in quo de] in

quod c. 16 arithmeticae c, d, f, 1, r, s; arithmetichae a, b ; qui communis omnium codicum error fiaud scio an uni f(Tnti trihuendus sit, || et om. a, c. || geometricae atque armoni- cae b, 1. 17 contraria c. 21 maxima] armonica. || e* om. s. 23 Titulum om. b, c, d, 1, r, s. In & in fine addituf^ est: DuJ rpaK [Domino vel Deo gratias litteris graecis expres- sum?'^

INST. ARITHM. U, 1. 77

Incipit liber secundus.

fjuemadmodum ad aequalitaiem omnis inaequalitas redu-

caiur,

17 contraria c. 21 maxima] armonica. || e* om. s. 23 Titulum om. b, c, d, 1, r, s. In & in fine addituf^ est: DuJ rpaK [Domino vel Deo gratias litteris graecis expres- sum?'^

INST. ARITHM. U, 1. 77

Incipit liber secundus.

fjuemadmodum ad aequalitaiem omnis inaequalitas redu-

caiur,

I. ^Superioris libri disputatione digestum est , quem- ' admodum tota inaequalitatis substantia a principe sui ge- 5 ^ neris aequalitate processerit? Sed quae rerum elementa suDt, ex hisdem principaliter omnia componuntur, et in eadera rursus re^olutione facta solvuntur; ut, quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllaba- nim progressa coniunctio et in easdem rursus terminatur lo exlremas; eandemque vim obtinet sonus in rousicis. lam jero mundum corpora quattuor non ignoramus efficere; namque ut ait: Ex imbri, terra atque anima gignuntur et ^ igni^Sed in haec rursus eius quattuor elementa fit postre- ma solutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine i5 cuDctas inaequalitatis species proficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem velut ad quoddam ele- meDtum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rur- sus impefatione coUigituF, eaque resolvendi ars datis qui- ">

1 Anicii Manlii Severini Boecii vc et int. exconsul: ord patricii liber secundns incipit. a; Anicii MaUii Severini

Boecli (Boetii 1) vc exconsnl orcT patricii arithmeticae insti- tutionum liber secundus ('II- l) incipit. b, 1; Incipit liber secTindus arithmeticae f. H Titulum om. d. ]| secundus] •II* c. 8. 2 et 3 Hunc tiiulum om, a, b, f, 1. {] deducitur d.

Hegestum a, deiestum r. 5 a om, a, c. 6 elimenta ^tlinfra. 9 sillabarum a, 1, r, s. 10 terminatus c.

or 12 IIII- a, c, 1, r, s; quatuor b. 13 ut. ait Lucretius c, 1; ^t ait Plato r; ut ait Lucretius et supra versum sec. manu: Olossa b, s; ut ait et supra versum poeta vel philo et sec. Mnu sophus lucretius d (Lucretius I, 716: Ex Igni, Terra '^tqiie Anima procrescere et Imbri). || imbri et terra s. || at- l^e om. a, r; terraque b, c, 1. || animatia a; anima et supra ^mum i. aere b, 1. 14 •IIII- c, s. || postremo a, c, f.

1» resolutio f, s; solutio, re supra versum addito 1. U inae- i^alitas a nobis c, d, f, 1, r. 17 velud s. || velut rursus a, ''^rsus velut d, f, 1, s. 18 Haec corr. in hoc a; hoc supra 'f^sum r. 19 collegitur c.

i !>

78 INST. ARITHM. U, 1.

biislibet tribus terminis inaequalibus quideih sed propor- tionaliter constitutis, id est ut eandem medius ad pri- mum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus, ad medium, in qualibet inaequalitatis ratione vel in multipli- 5 cibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, velin bis, qui ex bis procreanlur multiplicibus superpar- ticularibus, vel multiplicibussuperpartientibus, eadem atquc una ratioue indubitata constabit. Propositis enim tribus, ut dictum est, terminis aequis proportionibus ordinatis ulli-

Propositis enim tribus, ut dictum est, terminis aequis proportionibus ordinatis ulli-

^^ laun) semper medio detrabamus et ipsum quidem ulti- mum primum terminum conlocemus, quod de medio re- linquitur, secundum. De tertia vero propositorum termi- norum summa auferemus unum primum et duos secun- dos, eos, qui de medietate reiicti sunt, et id quod ex ter-

15 tia summa reiinquitur, tertium terminum constituemus» Videbis igitur boc facto in minorem modum summas re- verti et ad principaliorem babitudinem comparationes pro- portionesque reduci,^ ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque

2Q remeare; et si sit superparticularis sesquiquartus , primo ad sesquitertium , inde ad sesqualterum, postremo ad tres aequales terminos redire.' Hoc aiitem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus, sollertem vero in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experten -

25 tem eadem ralio praeceptorum iuvabit. Constituantur enim tres a se termini quadrupli.

VIII. XXXII. CXXVIII.

Aufer igitur ex medio minorem , id est ex triginta duo- bus octonarium, relinquuntur •XXIIII- et primum octona- rium terminum pone, secundum vero, quod relictum fuerit ex medio, id est •XXIIII-, ut sint hi duo termini

3 quam habet a. 6 quae c, d, 1, r, s. || ex is d. |{

Post procreantur addit hoc est c. 7 vel om, f, 9 ut ul~ timum a, c; ut supra versum r. 12 tercio f. 13 aufe- ramus s; auferemus corr. in auferamus a. 23 multiplici tantum] multiplicantium d. || solertem a, b, r. 29 relin- quunt c. 30 pones d. 31 sunt c. || II- c.

INST. ARITHM. II, 1. 79

VIII- et XXIIII. De lertio vero, id est CXXVIII., aufer uuum primum id est VIII- et duos secundos, qui sunt reliqui, id est bis •'XXIIII- et relinquuntur LXXH- His dispositis terminis ex quadrupla propinquior aequitati pro- portio tripla redacta est. Sunt enim hitermini: VHI.XXIHI. 5

^ LXXII. Ex his aulem ipsis idem si feceris, ad duplam rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum , id est VIH-, et ex secundo aufer primum, XVI- relinquentur; sed ex tertio, id est ex LXXII-, aufer pri- mum, id est VIH- et duos secundos, id est bis XVI-, et lo erit reliqua pars XXXH- , quibus positis ad duplas pro-

! portiones habitudo redigitur : VIIL XVI. XXXH. Idem vero

\ ex his si fiat rem omnem ad aequitatis summas eiiquabi- mus. Pone enim primum minori aequum, id est -VIH-;

I et aufer ex XVI- octonarium , remanent •VIH- , quibus i5 positis ex tertio, id est XXXII-, sumptis primo, id est •VIIL et duobus secundis, id est octonariis, supersunt •VIII-; quibus dispositis prima nobis aequitas cadit, ut subiectae summulae docent

VIII. VHL VHL ^o

VHL VHL ^o

Hinc igitur si quis ad alias inaequalilatis species ani-'' mum tendat, eandem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitan- dum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est,^ ita et ad aliquid rela- 25 tae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim, quod hinc et eius procreatio prima foret et in eam rursus postrema solutio.

4 aeqaitate a; aequalitati s; aequitati et supra i al f. 5 hi] in c. 6 Ex supra versum 'h. [] duplum a, c, r, s.

9 relinquetur c. 10 sedecim c, d, f. 11 triginta duo

a, 1, r, s. II propositiones d , r. 13 si om. s. || aequallta- tis s; aequitatis et supra i al f. || Supra eliquabimus : deri- vabimns, ad purum ducemus, resolvemus b, exprimemus d. 15 sedecim f. || octo f. 16 dispositls f, s; positis, dis su- pra versum addiio r. || triginta duobus d; XXX et duobus f. 18 positis c. II aequitas nobis c. || aequalitas f. 20 •VIII- et -VIIL et ■VIII- a, c, d, f, r, s. 26 aequalitas supra ver- sum d. 27 eam] eadem c. 28 solatio, a i?i u muiato, r. I|

80 INST. ARITHM. II, 2.

De inveniendo in unoquoque numero quot numeros eius- dem proportionis possit praecedere eorumque descriptio

descriptionisque expositio.

'..•j-^ 11. Est autem quaedam in hac re profunda et miranda

5 speculatio et ut ait Nicomachus enmusotaton theorema

proficiens et ad Platonicam in Timaeo animae generatio-

nem et ad intervalla armonicae disciplinae. Ibi enim iu-

T)emur producere atque extendere tres vel quattuor ses-

2 'V- a, b, 1. 5 singulatim a, c, 8. 8 geometrica a, c, d, l, r, 0. 9 enim om. a. 10 spatium latitudinis s. || triangula- res c. II fig^a om. c, figurae s. 11 qui] quae c. 16 triangulos m. a, d, f . 18 quadratus etc.] Hanc et sequenies inscripiiones om. ^, f ; prima tamen videiur in d rasura esse deleta, f addit: te- tragona. 19 pentagonus] Figuram peniagoni regularis habet s.

INST. ARITHM. II, 7.

exagonus in sex trianguios divisus. angulos pandunt, ab eadem naturalis nu- meri quantitate in se coacervata, ita ut duobus semper

5 interiectis numeris superiori vel superioribus vincens ter- nario eum, cui iungendus est, adgregetur. Namque uni- tati intermissis duobus et tribus si lin* iungas, qui tribus ipsam superant unitatem, quinarius pentagonus procrea- bitur. Post nil- vero si iiUermisso quinario et senario

10 septem adgreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namque unus et IHI- et -VII- numeri XII- explebunt. Hoc etiam in aliis fiet. Nam si X- vel XIII- vel XVl- vel XVnil- vel XXII- vel XXV- superioribus cunctis ad- iunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, se-

15 cundum superiorem descriptionem : XXII- XXXV. LL

Lxx. xcn. cxvn.

De exagonis eoriimque generationibus,

XV. Exagoni autem , qui sex angulis, et eptagoni, qui •VII- rursus lateribus continentur, secundum hunc mo-

Lxx. xcn. cxvn.

De exagonis eoriimque generationibus,

XV. Exagoni autem , qui sex angulis, et eptagoni, qui •VII- rursus lateribus continentur, secundum hunc mo-

20 dum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli nuraeri nalura procreationeque ipsos numeros iungebamus qui sese in naturali dispositione sequerentur et se tantum unitate transirent. Quadrati vero numeri, id est tetragoni, procreatio fiebat ex numeris, qui uno

25 intermisso copulabantur, cum se binario superarent. Pen- tagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictis-

1 Inscript, om. d. 2 XIII. 1. || numeri supra versiim a. |[ in latitudinem] in margiyie vel longitudinem a; in contextu c, f. 4 sese a, c, f, r, s. 7 •III- c. || quatuor d, quat- tuor f. iiemque infra. \\ subiungas d. 10 -VII' c. || pro-

creabis] adgregabis d. 11 septem . . . duodecim d, f. 13 vel •XXII- bis s. 15 XXII] XXX- 1. II XXXV.] XXXI- c. 17 Inscripi. om. d. |] generationibus] lateribus f. 18 XIIII. 1. 19 septera d, f. 20 Nam, omisso que a, b. 22 naturali numeri dispositione f. '

INST. ARITHM. II, 16. 99

que, qui se ternario vincercnt. ^Secundum talia quoque augmenta exagonorum vel eptagonorum vel octogonorum vel novem laterum figura vel, -X- quotlibet aliorum conpe- tenti progressione conficitur.^ Ut enim in pentagono duo- bus inlermissis eos iungebamus, qui se ternario superarent, 5 nunc in exagono Iribus intermissis eos iungemus , qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus iunctis omnes exagoni nascuntur : I. V. Vim. Xni. XVn. XXI. et ad eundem ordinem con- sequentes. Atque ab his sex angulorum formae nascuntur : lo I. VI. XV. XXVIII. XLV. LXVI. quos ad superiorem mo- dum scilicet descriptos in propriis ordinibus pernotabis.

Be eptagonis eorumque generationibus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descripiionesque

figurarum. i5

XVi. Septem vero angulorum figura est, cum ad eundem ordinem progressionis uno plus quam in sexan- gulorum figura numero intermisso superiori coniunxeris. Nam si quattuor interpositis, qui se quinario vincant, ad- gregaveris, eptagoni continuo figura nascetur, ut hi 20 numeri sint eorum radices et, ut superius dictum est, fundamenta : L VI. XI. XVI. XXI. Qui vero ex his con- stant, hi sunl: I. VII. XVIII. XXXIIII. LV. Novem vero angulorum secundum eundem ordinem forma procreatur ita, ut secundum aequalem progressionem primi quoque 25 eorufli numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionem-

1 quoque talia a, c, 8. 2 vel eptagonorum om. a, b,

c, d, 1; supra versum r. || octagonorum d, f. 3 decem

Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionem-

1 quoque talia a, c, 8. 2 vel eptagonorum om. a, b,

c, d, 1; supra versum r. || octagonorum d, f. 3 decem

d , f . U quodlibet r. 7 radices eorum d. 9 •VIIIL] -VIII- c. 12 proprils] his a. 13 Inscript, om. d. || pentagonis a, b. || communi f. || omnlum om. a, b, f. 14 veniendae 1. || de- scriptionesque figurarum om. c, f, r, s. || que om. 1. 16 XV. 1. 17 triangulorum a. 19 IIII- c; 1111°^ 1; -V- a. || sese c, r, 8. 20 ut] et f. 21 numeri om. d, f; m margine r. {| radices eorum d. 25 primum corr. in primi a. " 27 quae prima .... numeri in margine r. [] nnmero d.

y *

100

INST. ARITHM. II, 16.

que perQciunt; in tetragono yero, qui secundus est, duo-

.bus sese iuncti numeri vincunt, et in pentagono tribus et

in exagono •IIIL et in eptagono quinque, huiusque rei

nuUus est modus. Hoc autem nos subiectarum formarum

5 descriptiones docebunt.

I. I.

i. II. III.

I. 11. III.

VI.

I. II. III. IIII.

I. III. mi.

I I

I. III. V.

vnn.

I. III. V. VII.

XVI.

I I I I

I.III.V. VII.VIIII. XXV.

I. IIII. VII.

xn.

I. mi. VII. X.

XXII.

1 vero om, b, c, 1. 3 quatuor d, f. || -V' c. 4 formarum om. s. Q subiectarnm deBcriptiones nos s. 6 Ah '!• usque ad •XI- f. Numeros omnino om. d, uhitres tantum triangtdi, duo te- tragoni, duo pentagoni, duo exagoni, sed etiam duo eptagoni et duo octogoni reperiuntur. Numeros omittit quaternasque cuiusque gene- ris figuras descrihii 3, 8 f addit -XY' eiusque figuram, 9 Ab •1« usque tid -XI- f. 11 f addit -XXXVI' cumfigura, 15 Ah •I« usque ad •XIIII- f. 16 f addit XXXV^ cumfigura.

INST. ARITHM. II, 17.

101

I. I.

i. V. VI.

I. V. VllII. XV.

I. V. VIIII. XIII. XXVIII.

Descripiio figuratorum numerorum in ordine,

XVII. Similiter autem licebit et aiiarum formarum, quae pluribus angulis continentur quantitates adscribere. i5 Sed quoniam facilius oculis subiecta retinentur supra- dictarura formarum numerositas in subteriore descrl- ptione ponatur.

Tri.m -

JTJi. L»Vi-

inti. ttnta- j y^ XII. XXII.

I. III. VI. X. I.1111.V1III. XVI.

L\a-

ipti-

XLVIIU. LXim. LXXXI. c.

XXXV. LI. LXX. XCII. CXVn. CXLV.

I. VI. XV. XXVin. XLV. LXVI. XCI. CXX. CLIII. cxc.

I. VII. XVIII. XXXim. LV. LXXXL CXU. CXLVm. CLXXXVmi. CCXXXV.

1 Ab L usque ad XIIII- f. 2 XV. XXVIII. om. f. || r addit

I V VIIU XIII XVII ^^ figura. 13 Inscript. om, s. || nu-

merornm] eornm c, F. [| in ordine om. f. 14 -XVI- 1. 16 Bubiecta oculis F. |{ retenen-tur r, continentur F. |1 super- dictarum b. 17 eubteriori f. 18 ponatur hoc modo s. 19 LV. om, c; r addit LXVI. Similiter infra c oin. C. CXL.V. CXC. CCXXXV. r addit CXXI. CLXXVI. CCXXX. CCLXXXVI. 20 Quadrati et quadranguli F. 23 Post hunc versum addit r: Ogdogoni I. VIII. XXI. XL. LXV. XCVL CXXXIII. CLXXVI. CCXXV. CCLXXX. CCCXLL

102 INST. ARITHM. U, 18,

Qui figurati numeri ex quihus figuratis numeris fiant , in- que eo quod triangulus numerus omnium reliquorum prin-

cipium sit.

XVni. His igUur ita sese habentibus quid in hac re

5 sit consequens vestigemus. Omnes enim tetragoni , qui sub triangulis sunt naturaii ordinatione dispositi, ex su- perioribus triangulis procreantur illorumque collectione quadrati tigura componitur. Quattuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus trian-

logulis; novenarius vero ex tribus et sex, sed utrique sunt trianguli; at XVl- ex deceni et sex; et XXV* ex -X- et XV- Idemque in sequenti ordine quadratorum con- stans atque inmutabile repperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se telragono et altrin-

15 secus triangulo constituto. Nam quinarius pentagonus ex quaternario super se posito tetragono et ex uno , qui in triangulorum ordine ponitur , adgregatur. •XII- vero pentagonus ex novenario super se quadrato et tribus , se- cundo triangulo, nascitur. -XXU- vero ex -XVI- et -VI-,

20 quadrato scilitet atque triangulo; ,et -XXXV- ex -XXV- et -X- Et in ordinem ad eundem modum intoentem nuUa cunctatio contrarietatis inpediet. At vero si exagonos

1 numeris om. b, 1. || inque om. f; in eo F; In eoque r. 3 Post sit addit b: pertinens ad fig. 1: pertinens ad figu- ram, inititm sequentis iituli. 4 XVII. 1. 5 investigemus s. 6 sunt om. c, s. || dispositi sunt c; sunt supra versum s. || ex superioribus supra versum F. 8 quadrata F. || Quater- narius c, r, s. [] enim] namque c. 10 novem a, d, f, r. || sed] qui r, s. 11 trianguli sunt c, r, s. || at] et c, r; corr. in at a. || sedecim d, f, F. || ex] e a, d. || -X- et •VI. c, F, s; decem et VL d; Yl- et X- r. |1 XXV- ex] •XXV- et e. 13 Pentagonum c. 14 — 16 et altriilsecus . . . et ex uno in 7nargine F. 15 Namque a, s. || quinque a, d, f; 'V- r; quinarius et supra versum l quinque b. 16 quat- tuor a, d, f; •IIII- F; quaternario et supra versum l quatuorb. 17 Duodecim f, F; Duodenarius s. 19 viginti vero duo F || ex] X^ F. II sedecim et sex d, f ; sedecim et VI- r. 21 de- cem f. II ordinem] eodem ordine a. 22 cunctacio F. || impediat s.

INST. ARITHM. II, 19. 103

16 quat- tuor a, d, f; •IIII- F; quaternario et supra versum l quatuorb. 17 Duodecim f, F; Duodenarius s. 19 viginti vero duo F || ex] X^ F. II sedecim et sex d, f ; sedecim et VI- r. 21 de- cem f. II ordinem] eodem ordine a. 22 cunctacio F. || impediat s.

INST. ARITHM. II, 19. 103

tibrata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positis pentagonis procreantur. Namque -VI. exagonus ex quinario pentagono et uno, qui est in trian- gulorum ordine dispositus, nascitur. Nec aiia est origo -XV* exagoni nisi ex duodenario pentagono et ternario 5 triangulo. Quod si 'XXVIII* rursus exagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nuiios invenies nisi -XXIL pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in ce- teris. Nec bunc geniturae ordinem eptagonorum pro- creatio refutabit. Namque ex super se exagonis et ex lo eminus positis trianguiis procreantur. Septeaarius enim eptagonus nascitur ex senario exagono et uno potestate triangulo ; •XVIII- vero eptagonus ex XV- exagono et ternario triangulo coniungitur; et •XXXIIII- ex XXVni- scilicet exagono et senario triangulo ; atque hoc in cun- 15 clis inoffensum repperire iicet. Videsne igitur, ut pri- mus omnium triangulus cunctorum summas efficiat et omnium procreationibus misceatur?

Periinens ad figttraiorum numerorum descripiionem

speculatio. 20

XVIIII. Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint com- n-% parati^Qd est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis vel hi rursus eplagonisl sine ali- qua dubitatione triangulis sese superabunt. fNam si ter- narium triangulum quaternario, vel quaternarium tetra- 25

2 super] sub c. |] se om. r. \\ sex d, f, F; sex corr. in senarius r; senarius c, s. 5 quindenarii c, f, F, s. 6 rur-> sum c. II exagonis f; exagonus F, quod haud scio an sit scribendum. 7 discas c. || nullas F. 10 super] per c.

11 Septem enim d, f, F; Septenarius, omisso enim, r; Nam septem a. 12 exagouo om. d. 13 octodenarius s. [| quin- denarius c, s. 14 triangulo ternario d. || coniungatur f, F; coningatur a, d. 15 exagono] pentagono a, c; pentagono

et supra versum exagono b; exagono in litura r. [| haec r. 16 repperiri d. || Vides, omisso ne a. 17 efficiet f, r, s. 19 Inscript. om. d. [) Pertinens] speculatio F. || discriptio- nes F. 20 speculatio] pertinens F. 21 XVIII. 1. || si et ad a. |) comparati fuerint a. 23 vel hi] et hi F; vel ii a. 24 Namque d, f, F.

104 INST. ARITHM. II, 20. 21.

gonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exa- gono, vel senarium septenario eptagono compares, priaia se triauguio, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium , vei bic contra •XII- , vel hic

5 contra XV- , vel quindecim contra •X- et • VIII- , pro in- veniendis differentiis comparentur, secundo se trianguio, id est ternario superabunt. -X- vero ad -XVI- et -XVI- ad -XXII- et XXII. ad XXVIII et XXVIII. ad XXXIIII. si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. At-

-X- vero ad -XVI- et -XVI- ad -XXII- et XXII. ad XXVIII et XXVIII. ad XXXIIII. si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. At-

10 que hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese per- spectum omnesque se triangulis antecedent. Quare per- fecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum principium elementumque esse trianguium.

De numeris solidis,

15 XX. Hinc vero ad figuras soiidas facilior via est. Praecognito enim, quid in pianis numerorum figuris vis ipsa quantilatis naturaiiler operetur, ad soiidos numeros non erit ulia cunctatio. Sicut enim iongitudini humerorum aiiud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostende-

20 retur, adiecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam» quae aiias altitudo alias crassitudo alias profunditas appei- latur, solidum numeri corpus expiebit.

J)e pyramide , quod ea sit solidarum figurarum principium

sicut triangulttS planarum,

25 XXI. Videtur autem, quemadmodum in planis flgu-

3 unitate transeunt s , F. 4 — 6 duodecim . . . quin- decim f, F. 5 vel XV- d, F. || decem et octo f; XVIII. d, r. 7 Decem f, F. 9 senario adcrescente c. 10 per- fectum c. 11 antecedunt F, s. 14 Insciipt. om, d. De so- lidis numeris F. 15 XVIIII. 1. 16 praecognitis, et supra versum 1 to b; praecognitoa; os mutato in is a; praecognitis c, d, f, 1, r, 8, F. II enim] vero c, s. || quid in litura r; quod c; quae s; quod con\ in quid a. 18 non erit ulla] nulla erit d. [| cuntatio f. 19 ostendetur c, r. 20 adicie- mus r. 22 explevit r, explevit corr. in explebit a. 23 Jn- script. om. d. |] pyramida a, b, d, 1. || sit om. f. || principium sit f. 24 sicut triangulus planarum om, b, 1. || sicut] ut F. 25 XXI. orn. 1. II autem] enim c, s.

IN8T. ARITHM. II, 21. 105

ris triangulus numerus primus est, sic in solidis, qui vocatur pyramis, profunclitatis csse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. £st autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a penta- 5 gona et secundum sequentium muititudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim trian- gulo atque descripto si per tres angulos singuiae lineae recte stantes ponantur, haeque tres inclinentur, ut ad unum medium punctum vertices iungant, fit pyramis, lo quae, cum a triangula basi profecta sit, tribus trianguiis per latera conciuditur hoc modo: Sit abc* triangulum. Si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae et ad ununi punctum convertantur, quod est d-, ita ut •d- punctum non sit in plano, sed pendens, illae scilicet x5 lineae ad ipsum erectae verticem et quodammodo cacu- men -d- facient et erit basis abc* unum triangulum, per latera vero tria triangula, id est unum trianguium

a. d. b, aliud vero b. d. c, tertium c. d. a.

1 qtiae F. 3 quippe ratarum] qui praedictarum a.

inveniri F. 5 a tetragona] latera tetragona r. [] tetra gono a, b. || a pentagona] a ex corr. addit r. 6 Post

d. b, aliud vero b. d. c, tertium c. d. a.

1 qtiae F. 3 quippe ratarum] qui praedictarum a.

inveniri F. 5 a tetragona] latera tetragona r. [] tetra gono a, b. || a pentagona] a ex corr. addit r. 6 Post

pentagona addit s: alias ab exagona, alias ab eptagona. 7 enimj autem f. 8 descripto] disposito r, s; disposito vel descripto c. || si per] super, u in i muiato a. |j •III- c |l rectae lineae c. 9 rectae d, f, s. 10 vertice F. 11 qui corr, in quae a. || a o»?. a, b, c, 1, r, s; eo; cojt, add, d. | perfecta f. 12 Fit c, r, s. |1 primum triangulum a. |

triangulum om. s. 13 igitur huic F. 14 convertant c.

17 faciet a. 19 a. d. b ] a. b. c. s. || tertium vero d, f,

1, r, 8, F. [] c. T. Z] d. c. a. F. |] Post cT dT a. addU s: de-

106

Il^ST. ARITHM. II, 22. 23.

De his pyramidis^ quae a qiiadratis vel a ceteris multi-

angulis proficiscuntur figuris.

XXII. Idem si a tetragona basi proficiscatur et ad unum verticem eius lineae dirigantur, erit pyramis quat-

stuor triangulorum per lalera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam ipsa figura fundata est. Et si a pentagono surgant V- lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebitur, et si ab exagono, sex triangiilis nihilominus; Tet quanloscunque angulos habuerit figura,

10 super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangiilis continetur, ut ex subiectis descriplionibus palam est.^

Solidorum generatio numerorum.

XXIII. Dicuntur autem huiusmodi pyramides hoc ismodo: prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de

Bcribitur hoc modo triangula pyramis s. 2 proficiscuntur figuris a. || figuris om. F. 3 XXI. 1. H Item a, f. (| Idem autem d. 5 in om. a. 6 ipsa extrema figura quadrati a; ipsa extrema quadrati figura c, s. 7 surgunt d. || quin- que d, f, r. || rursus pyramis quinque triangulis a, c, r, s. 9 quantiscunqae d. |1 figura habuerit s. 11 continebitur a. ij ex] in a, b, c, s. 12 b, c, 1 addunt figuram eptagoni; r addit trigonum et eptagonum et inscriptiones : Prima pyramis de trian- gulo cet.; f addit alteram figuram pentagoni cum litteris verte et eptagonum. Quadrato circumscripta sunt verha Basis, Vertex ; reliquis figuris inscriptio est Pentagonus, Exagonus, eptagonus. 14 XXII. 1. II Ducuntur c; Dicitur corr. in Dicuntur r.

INST. ARITHM. II, .^S. 107

Quadrato circumscripta sunt verha Basis, Vertex ; reliquis figuris inscriptio est Pentagonus, Exagonus, eptagonus. 14 XXII. 1. II Ducuntur c; Dicitur corr. in Dicuntur r.

INST. ARITHM. II, .^S. 107

tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de exagono, quinta pyramis de eptagono, idemque in ceteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse dixi- mus, qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut sunt 1. 11. 111. IIII. V. VI. VII. VIII. Vlffl. X., his autem ordinatim 5 €ompositis et ad se invicem cum distantia iunctis superficies nascebantur, ut, si unum et duo iungeres, primus triangu- lus nasceretur, id est tres, et cum his adiungeremus ter- tium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurre- ret, et post hos tetragoni uno intermisso, pentagoni vero lo duobus, exagoni tribus, eptagoni relictis quattuor nasce- bantar: nunc vero ad solidorum corporum procreationem ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient. Et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt; ad procreandas vero pyrartii- 15 das a tetragono tetragoni; ad eas vero, quae sunt a pen- tagono pentagoni copulandi sunt. Et illae, quae sunt ab exagono vel eptagono non nisi exagonorum vei eptagono- rum copulatione nascentur. Primus ergo potestate trian- gulus est unitas eandemque etiam ponimus virtute pyra- 20 midam; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo coniunxero, id est cum unitate, quaternaria niihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si his tertium, senarium, iunxero denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium iunxero viginti numerorum pyramis veniet, 25 atque ita in cunctis aiiis eadem ratio copulationis est.

Trianguli.

I. III. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV.

3 numeris constat c. {] nnmerus d. || esse numeros c. esse om, f. 4 currunt a; currerint c; currerit et supra r re r; current s. 6 in se c, d, f, r, s; in ef supra versum 1 ad b. 7 uno a. 8 -111- c, r. || iun^eremus a, c, r. 9 rursum d. || occurret r. iO et om. b, I. \\ detetragoni r. || intermisso uno a. 14 quidam r. {| pyramides, es mutato in as a. 19 nascantur, altero a in e muiatOy a. 20 uni- tas est c, s. 23 michi a, 1. 24 denariae d, f; denaria corr. in denariae a. 25 adiunxero a, s. {{ -XX- r; vice- simi yel viginti c. (| vicesimi numeri s. 26 est hoc modo s. •27 Trianguli om. f. Trianguli ab unitate et naturali s.

108 INST. ARITHM. II, 23.

Pyramides a triangiilis.

I. Ulf. X. XX. XXXV. LVl. LXXXIIII. CXX. CLXV. CCXX.

In hac igitur coniunclione necesse est, ut semper, qui ultimus est coniugatorum numerorum, is quasi quo-

5 dammodo basis sit. ^Cunctis enim latior invenilur. 1 Et qui ante ipsum numeri coniungantur, minores esse ne- cesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perve- niat, quae puncli quodammodo et verticis obtineat locum. 'Namque in -X- pyramide super sex additi sunt tres atque

^Cunctis enim latior invenilur. 1 Et qui ante ipsum numeri coniungantur, minores esse ne- cesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perve- niat, quae puncli quodammodo et verticis obtineat locum. 'Namque in -X- pyramide super sex additi sunt tres atque

lounus, qui senarius superat ternarium quantitate, ipsi vero tres unum pluraiitate transcendunt, qui unus extre- mum terminum progressionis offendit; Simiiis quoque ratio in ceteris perspici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. lilae quoque, quae sunt

15 a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se com- positione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, id est I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVUII. LXIIil. LXXXI. C. , si unitatem primam ex hac dispositione prae- sumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas,

20 nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est quattuor, nascetur pyramis quinque numerorum , quae duobus tantum numeris per iatera po- sitis continetur. Sin vero his sequentes novem adiecero, fiet mihi quattuordecim numerorum forma pyramidis,

25 quae per iatera tribus unitatibus conciudatur. Atque huic si sequentem tetragonum -XVI- superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producilur. In his quoque omnibus pyramidis lot erunt unilates per latera, quantae in se numerorum adgregatae fuerint quantitates. Nam unitas,

3 ffunc versum praecedit in a iitulus: De curtis pyramidis. XXIIII. 4 sit a, d, f, r, 8. |) isj his a. 9 decimo a; decima, a eraso^ s. 1) VI- c. || III- c. 10 ternariara quantitatem a, d, f. 11 vero supra versum a. (| •III- c. 12 — 13 In ceteris quoque ratio similis d. 19 mihi om. f. 20 tetragonutaj Videtur legendum sequentem tetragonum vel tetragonum secundum. 21 •IIIL c. 24 fiat r, fiat, a in e mutatOy a. [| •XIIII. c. 25 concluditur c, 1. 27 forma pyramidis d. || producitur, i mutato in e, a.

IKST. ARITHM. II, 24. 109

quae prima pyramis est, unum solum, id est se ipsam gerit in latere, quinaria vero, quae constat ex uno et quattuor, duobus per latera designatur , et-XIIIi-, quae ex tribus numeris compositis fit, ternario mimero in latere posito constituitur. Hanc aulem pyramidum generatio- 5 nem monstrat subiecta descriptio.

Tetragoni.

I. nii. viiiL XVI. XXV XXXVI. xlviiii. Lxmi. lxxxi. c.

Pyramides a tetragonis.

I. V. XIIII. XXX. LV. XCI. CXL. CCIIII. CCLXXXV. lo

CCCLXXXV.

£t ad eundem modum cunclae a ceteris multianguiis profectae formae in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum anguiorum forma ex sui generis figura unitati superposita ab uno ingredienlibus ad pyra- 15 midum constituendas figuras nsque in infinita progreditur et ex hoc equidem apparere necesse est, triangulas for^ mas ceterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta vei a quadrato, vel a pentagono, vel ab exagono, vel ab eptagono vel a 20 quocunque similium solis triangulis usque ad verticem continetur.

De curtis pyramidis,

XXIIII. Scire autem oportet, quae sint curtae pyra- mides, vel quae bis curtae, vel quae ter curtae vel quater 25

2 quinque a, d, f, r. || constant a, d, r. 3 nil- c. designantur d, f, r. |1 quattuordecim f. 4 ternarii t.

5 pyramidam c. 7 Tetragoni om. d. 8 XLVini C.l

XXVIII. XXXVI. XLV. LV. c. 11 CCCLXXXV- om. f. 12 a om. d. 20 Posl exagono adduni 1, s: iter duxerit. || vel ab eptagono om, f ; vel ab pentagouo iter dixerat vel ab eptagono r; vel ab eptagono iter duxerat a. 23 InscripL m. d; in a, legitur inscriptio sequentis capitis. 24 XXII II. m. r; XXV. a; XXIII. I. |1 autem] haec r ex prava inter- pretatione compendiiy quo significatur autem. 25 vel quae ter curtae vel quaterj vel ter vel quater a; vel quae ter

110 INST. ARITHM. 11, 24.

et deinceps secundum numerorum adiectionem. ^^erfecta enim pyramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad primam vi et potestate pyramidam pervenit, unitatemr Sin vero a qualibet basi profecta usque ad unitatem alti- 5 tudo illa non venerit, curta vocabitur, recteque huiusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremi- tatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis -XVI- tetragono adicial •Vlill- atque huic mi- et ab ulterioris sese unitatis adiectione suspendat.^ Pyramidis

10 equidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen ver- ticis non excrevit, curta vocabitur et liabebit summita- tem non iam punctum, quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis ipsius angii- los porrectus atque ultimus adgregatus. Nam si tetra-

15 gona fuerit basis, quadrata deniinutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter, et si exagona, illa quo- que ultima superficies erit exagona. Ergo in curta py- ramide tot erit angulorum superficies, quot fuerit ba- sis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extre-

20 mitatemque non pervenit. sed nec ad primum quoque opere et actu niultiangulum eius generis, cuius fuerit basis, bis curta vocabitur; '^iut si a XVI- tetragono pro- ficiscens usque in novem terminum ponat neque excrescat ad qualtuor.^ Et quotcunque telragoni defuerint, totiens

25 eam curtam esse dicemus; ut si unitas defuerit, primus quadratus, curtam, quam Graeci xoIovqov vocant; si vero duobus tetragonis deficitur, id est unitate et eo, qui

vel quater curtae r; vel ter curtae vel quater s; vel quae ter curtae vel quae quater f; alterum quae supra versum d. 3 pyramidem d. 6 piramidis c. 7 autem est] autem fit c, s; enim fit in litura r. 8 novem d. || quatuor d, quat- tuor f. 9 Piramis c, d. 10 acumen d. 13 quod est om. c, r, 8. II cuiuslibet numeri qui c, r, s. || ipsius] illius f. 15 semper] superficiem c, r, s. [| ascendit] osten- dit a, c, r, s. 19 extremitatemque] ad extremum a. 22 aj ad d. II sedenario s. 23 •VIIII- c, 1; novenario et supra

versum ai novem b; novenarium s. || ponatur c; ponam corr. in ponat a. 24 IIII- f. 26 noXoigov d. || vocant om. 1. II sin 1. 27 deficit b, c, 1.

19 extremitatemque] ad extremum a. 22 aj ad d. II sedenario s. 23 •VIIII- c, 1; novenario et supra

versum ai novem b; novenarium s. || ponatur c; ponam corr. in ponat a. 24 IIII- f. 26 noXoigov d. || vocant om. 1. II sin 1. 27 deficit b, c, 1.

INST. ARITHM. II, 25. 111

sequitur, vocatur bis curta, quod Graeci SixoXovqov ap- pellant. Quod si tribus telragonis, ter curla dicetur, quam Graeci tQtxoXovQOv nominant. £t quotcunque tetragoni fuerint minus, totiens illam pyramidem curtam esse pro- ponimus. Hoc autem non solis a tetragono pyramidis sed 5 JD omnibus ab omni mulliangulo progredientibus specu- lari licet.

\ De cyhis vel nsseribus vel laierculis vel cuneis vel sphe^

ricis vel parallelepipedis numeris,

XXV. Ac de solidis quidem, quae pyramidis formam lo '^~ obtinent, aequaliter crescentibus et a propria veiut radice muitiangula figura progredientibus dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compo- silio, eorura qui dicuntur cybi vel asseres vel laterculi vel cunei vel spherae vel parallelepipeda Jquae sunt, quo- 15 tiens superficies contra se sunt, et duclae in infinitum ^ nunquam concurrent.^ Dispositis enim in ordinem tetra- gonis I. UII. Vini. XVI. XXV., quoniam hi solam longitu- dinem latitudinemque sortiti sunt et altitudine carent, si per latera solam unam muiliplicationem recipiant, aequa- 20 iem provehunt profunditatem. Nam quattuor tetragonus duos habet in latere et natus est ex bis duobus. Bis enim (iuo quattuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cybi forma nascetur. Nam si bis binos bis facias, octonaria quantitas crescit. Et est pri- 25

1 vocabitur a, f. |] quod] quam c, s. 2 Quod si] Si vero s. II dicitur d, vocetur a, s. 4 toties s. [] pyrami- dain a, c; pyramidis s. 5 non solum a, d, f, r, s; solis et supra versum \ lura b. Legendum videtur non in solis. || pyfanaidi s. 7 Post licet addit 1 primam sequeniis capitis

lenlenliam, 8 Inscript, om. d. In a legiiur inscriptio capi- tis vicesimi sexti. \\ vel cuneis om. f. 9 figuris paralleli- pedis f. 10 XXVI. a; XXIIII. 1. 12 progredientibus

^pra versum d. |1 Est ex corr. add. r. 14 quij quae corr, in qui a. 15 sperae c. j] parallelepipedi b, 1, r. 17 con- currunt a. || enim supra versum r. ]| in supra versum a. •21 •IIII- d; •IIILor 1; quaternarius c, s. ]] •IIIL'"^ u r. ■23 IIII- d; •III- c. 24 si om. c. 25 octonarii a, r, s.

112 INST. ARITHM. II, 25.

mus hic cybus. •VIIII- vero tetragonus, quoniam tres habet in latere et faclus est ex tribus in se multiplicatis, si ei unam lateris multiplicationem adiunxeris, rursus alius cybus aequabili laterum formatione concrescit. Ter

5 enim Ires si tertio duxeris, •XXVII- cybi figura produci- tur. Et •XVI-, qui est ex quattuor, si quater augescat, •LXIIU' cybus pari laterum demensione crassabitur. Et sequentes quidem tetragoni secundum eundem moduni multiplicatione facta provehuntur. Tot autem necesse

Ter

10 est unitates cybus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus, ex quo ipse productus est. Nam quo- niam quattuor tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cybus. Et quoniam •VIIII- tetragonus tribus per latus unitatibus signabatur,

15 soio ternario XXVII- cybi latus urgetur. . Et quoniam •XVI- tetragonus •IIII- unitatum latus habebat, totidem •LXIill- cybus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cybi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quat-

20 tuor angulorum , totidemque laterum. Omnis autem cy- bus, qui ex tetragonorum superficie in profunditatem cor- poris crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus , ha— bebit quidem superficies -VI-, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est, latera vero -XII-, quo-

1 cnbus hic d. || Novem d, f; Novenarius c, s. || tetra- gonis c. 2 latera a. |{ in se om. a, d, f; supra versum r. 4 aequali a, c, f, r, s; aequabili et supra versum 1. aequali

b. II succrescit a; crescet c; crescit r, s. 6 trcs noveiti c; tres VIIII. d, f, 1. || figura] forma a, b. 6 -XVI-] si sedenarius s. || IIII- d, f. 8 sequentis f. 10 ille pri- mus a; prius ille in litura r. 12 IIII- f, 1; quaternarius

c, s. II tantum] termini inductum a. l| latere numeros ha- bet, fiupra latere in, a. 13 habebit d. 14 novenarius

c, 8. II per latus tribus a. 16 habet c, s. 17 -unitates om, a, d, f. 18 erat corr. in erit r. 19 enim] autem

d, f; autem ei supra versum l enim b. || -1111- d, s. 20 to- tidem, omisso que, a, d, f; que ex corr, add. r, || autem] enim a; quoque c, 1; quoque et supra versum l autem b. 23 sex d. [1 - quorum b, c, r; quorum, o in a mutato, a, d, 1, s. 24 vero supra versum a.

INST. ARITHM. II, 26. 113

rum unumqnodque singulis his, quae superioris fuere Cetragoni, aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est; angulos rero 'yill-, quorum singuius sub tribus eiusmodi continetur, quales priores fuere tetra- goni, unde cybus ipse productus est. ^Ergo ex naturali- 5 ter profiiso numero qui in subiecta forma descripti sunt subiecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qni sub- notati sunt cybi proyehuntur.

Numerus naturalis:

I. n. ni. nii. v. vi. vii. lo

Tetragoni:

I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. Cybi :

I. VIII. XXVII. LXIIII. CXXV. CCXVI. CCCXLUL^

Numerus naturalis:

I. n. ni. nii. v. vi. vii. lo

Tetragoni:

I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XLVIIII. Cybi :

I. VIII. XXVII. LXIIII. CXXV. CCXVI. CCCXLUL^

Et quoniam omnis cybus ab aequilateris quadratis i^ profectus aequus ipse omnibus partibus est — nam et latitudini longitudo et his duobus compar est altitudo — et secundum sex partes, id est sursum deorsum dextra sinistra ante post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit qui neque longi- 20 tudinem latitudini neque haec duo profunditati gerat

1 nnam qaotqne c. 3 octo c, s. || singulos c; sin- galis, is in ns correcto, f; singali, i in us correcto a. 4 hu- iasmodi a, c, d, s. || continet c. 5 unde cybas] 'VL, de qaibns a. 6 descriptus est 8. 8 cubi f. 9 Numerus naturalis om, c; Numeri naturales f. 16 In a praecedit hunc versum inscriptio capitis vicesimi septimi, b e^ 1 addunt inter hunc versum et quattuor proximos figuram

II I I

I I

lii.r-^

16 profectus est, f; est ex corr. add, s. 17 duabus c, 1; daobus his f. 18 secundum om, 1. || VI' f. [| rursum a, b. II dextera f, r. 19 ante et post d. 21 gerat] ge* nerat a, 1, r, s; generat et supra versum l gerat b.

BOBTIUS. 8

114 INST. ARITHM. U, 25.

aequalia, sed cunclis inaequaiibus , quamyis solida sit figura, ab aequalitate cybi iongissime distare videatur. Hi autem sunt, nt si quis faciat bis tres quater, vei ter quattuor quinquies et alia huiusmodi , quae per inaequa-

5 les spatiorum gradus inaequaiiter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur. Nos vero gradatum possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad maius. Vocant autem eandem figu* ram Graeci quidam spheniscon; nos autem cuneum pos-

10 sumus dicere. Etenim quos ad quamiibet illam rem constringendam cuneos formant neque latitudinis neque iongitudinis neque aititudinis habita ratione, quantum commodum fuerit» tantum vel aititudini minuitur, vei crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos ple-

15 rumque necesse est omnibus partibus inaequaiibus inve- niri. Quidam vero hos bomiscos vocant , id est quasdam aruias, quae in lonica Graeciae regione, ut ait Nicoma- chus, hoc modo formatae fuerunt, ut neque aititudo iati* tudini neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem

20 aliis quibusdam nominibus, quae nunc persequi super- vacuum iudicavimus. Igitur cybi aequalibus se spatiis porrigentis et huius formae, quam diximus, gradata distri- butione dispositae medietates sunt, quae neque cuncti» partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos

Vocatur autem

2 figura sit c, r, s. || yidetur s. 3 autem om. s. || fa- ciet, e in a mutatOy a. 4 quattuor] •IIII-*'' d, r. || quin- quies] vel quater quinque a. 6 scalenos] scalenus vel squalenos a. || vero] autem s. 7 gradatim c. || a om, c. {| velut] vel a, b; velud d. 9 speriscon a, s; spe iscon c; sphericon f. 10 quos] cum s. [| illam om, s. 11 con- fringendam s, conscribendam a. || Supra formant: aucto- res s. 12 ratione] In marginB inferiore b addit: in aj. ra- tione sunt. Sed quantum etc. 13 tantum om, d. |{ latitudini c, d. 14 profunditas d. {( augetaiir F. 16 bonis quos, qu in c mutato a; boniscos c; bonoscos r. 18 — 19 altitudini lon- gitudo nec haec latitudini F. 19 neque haec] nec haec c, s; ne quae haec d. {{ haec supra versum a. [[ conveniret a, r, s.

21 iudicabimus b, 1; in a bi lineolis est oblitum; iudicamus f, r.

22 porrigentur, mutatum in porrigentes a. [| et buius supra versum a. 23 positae, dis ex corr. addito a, r. 24 nec c, d, 1.

7 INST. ARITHM. H, 26. 115

Graeci paralleiepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uni- formiler composilum habere non possunt, ut tamen idem pluribus dictum sit. Ea namque hoc nomine yocalur figura, quae alternatim positis lalitudinibus continetur.

De parte altera longioribus numeris eorumque 5

generationibus,

XXVI. Huiusmodi vero formas quaies sunt, quae vocantur a Graecis stsQoiirjxeLg, nos dicere possumus parte altera longiores. Quarum figurarum numerus hoc fflodo deflniendus est: Parte aitera longior est numerus, lo quem si in latitudinem describas et ipse quidem quattuor veuit laterum et quattuor anguiorum, sed non cunctis aequaiibus sed semper minus uno. ^Namqne nec iatera lateribus cuncta cunctis aequa sunt, nec iongitudini iati- tudo/sed, ut dictum est, cum hinc aitera pars maior i5 fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat.' ^ Si enim numerum naturaiem disponas in ordinem , et secun- dum per primum muitipiices, taiis nascitur numerus,' vei si secundum per tertium , vei si tertium per quartum , vel si quartum per quintum, omnesque hi unitate tantum 20 addita, multipiicentur, nascentur parte aitera iongio- res. Disponatur enim numerus naturaiis I. II. III. IIII. V. VI. VII. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur

Disponatur enim numerus naturaiis I. II. III. IIII. V. VI. VII. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur

1 parallepidas a, parallelepipedes f. 2 tamen] tan- tum corr, in tamen a. || idem] id de a. 3 supra pluribus: aominibns s. || Ea ex corr. add, d. || Ea namque] Eaque c. ^ latitudinibas] mpra versttm habitadinibus d. 5 Inscripi. om, ^' In a legitur inscriptio capilis vicesimi ociavi. Q numeris w«.b, c, r. 6 procreationibus F. 7 XXVIII. a; XXV. I. || fignias ei supra versum 1 formas s. 8 strjQOvcrjvs a; €PO- ^iKec f. II nos supra versum r. || nos aatem a, s. || pos- Bumns dicere s. 11 latitudine f; altitudinem a, b, c. '^11- d, r. 12 provenit 1; venit, pro ex corr. addiio b.

IIII- r, 8. 13 sed] et corr. m.sed a. 14 sint F. | lon- ptudo latitudini F. 16 tamen corr. in tantum a, d. | mi- «ore c. 18 nascetur a, 1, s. |1 vel] et c, 1, F. 20 hi su- f^t^versum r; in c. || tamen corr, in tantum a. 21 nascentur autem f. 23 actenus b, f , r ; actenus , h ex corr. addiio , a.

116

INST. ARITHM. II, 27.

faciat unum bis, faclet •II*, et rursus bis tres, faciet -VL, ter quattuor, faciet 'Xli-, quater quinque, faciet -XX-, et hoc ad eundeffi ordinem. Quicunque igitur facti sunt, procreabuntur parte allera longiores, ut subiecta de- 5scnptio docet, in qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte aitera longiores, super adscripti sunt, qui vero nascuntur, subterius sunt iiotati.

I. II. m. lui. V. VI. VII. n. VI. xii. XX. XXX. XLii.

li III Ilil

lil IIII

IIII

IIIII IIIIl III 11 IIIII

IIIIII Illill IIIIII IIIIII IIIIII

illll IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII

De antelongioribus numeris et de vocabulo numeri parte

altera longioris.

XXVII. Ergo si unitate tantum discrepent, qui mul-

tipiicantur, descripti superius numeri protenduntur , sln

20 vero aliquo numero, ut ter -VII- vel ter -V- vel aliquo

modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate,

non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed ante-

1 faciet s. || faciat duo d; faciet dao f. || faciat sex d, 1; faciat VI- r. 2 .Iin- d. || V. 1; qninqmes d, r. .3 facta F. || sint f. 4 altera parte F. 6 mnltiplicatis f.

6 nascentur a. c, r, s. || snper ei supra vertmm l pra b.

7 sunt om, r. || subnotati b, l; adnotati sunt d. 8 -VIII- ad~ dunt a, c, f, r, s. 9 LVI* addunt c, f, F, r, s. 10 Figu- \ ram numeri -LVI- addunt c, f, F, 1, r, s. /n b, c, d, 1, r virgulae ita aunt dispositaej ul binae, iemae, quaiemae, quinae^ ' senae, septenae in singulis versibus sint posiiae. 16 Inscript, I om, a, d. II numeris om. F. || parte altera longioria nu- meri F. 17 longioribus s. 18 XXVII. om. a; XXVI. 1. || ab unitate a, f, r. 19 protendentur a, d, f, L [] sivero a, c, 8. 20 ter VII- vel ter V] ter IIII- vel ter V- c- bis IIIL vel ^ter V- s, F; bis 1111- ter V- quater VI- rl

INST. ARITHM. II, 28. 117

F. || parte altera longioria nu- meri F. 17 longioribus s. 18 XXVII. om. a; XXVI. 1. || ab unitate a, f, r. 19 protendentur a, d, f, L [] sivero a, c, 8. 20 ter VII- vel ter V] ter IIII- vel ter V- c- bis IIIL vel ^ter V- s, F; bis 1111- ter V- quater VI- rl

INST. ARITHM. II, 28. 117

longior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae eius heredes nulii alii nisi tantum binario adscriliebatur. Hunc aiteritatis principium esse dicebant, eandem auteni naturam et semper sibi similem consentientemque nullam aiiam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Bina- 5 rius autem, numerus primus, est unitati dfssimilis, id* circo quod primus ab unitate disiungitur. Atque ideo alteritatis cuiusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia sola tantum est unitate dissi- milis. Merito ergo dicentur hi numeri parle altera lon- lo giores, quod eorum latera unius tantum sese adiecta numerosiiate praecedunt. Argumentum autem est, alteri* tatem in foinario numero iuste constitui , quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his , inter quos bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius, quod inpar numerus sola i5 perfici unitate monstratus est, par vero soia dualitate, id est solo binario numero. ^tSlam cuiuscunque medietas unus est, ille inpar est, cuius vero duo, hic paritate recepta in gemina aequa disiungitur/ Quare dicendum est, inparem numerum eiusdem atque in sua se natura 20 tenentis inmutabilisque substantiae esse participem, id- circo quod ab unitate formetur, parem vero allerius ple- Dum esse naturae, idcirco quod a dualitate conpletur.

Quod ex inparihus quadrati, ex parihus parte altera

longiores fiant. 25

XXVIII. At yero positis in ordinem ab unitate in- paribus et sub his a dualitate paribus descriptis coacer- vatio inparium tetragonos facit, coacervatio parium su-

6 anitati diBsimilis est a. 7 Adque r; et d. 8 fuifc] est d. 9 iinitatis a. || desimilis r. 12 nnmerositatem a. || est am, a. || alteritatis vel alteritatem a. 14 e] a a, r, 8; ex f, F. 16 unitate perfici a, c, s. 18 est unus c, f, s. II cuius vero medietas s. 20 natura supra versum s. 21 inmotabilisque r. 24 Titultm om, d. || de imparibus c. || De ^eneratione laterculorum eorumque difinitione vel de ge- neratione cuneorum eorumque diffinitione a. 26 XXVIIII. a; XXVII. 1.

118 INST. ARITHM. H, 28.

periores efficit parte altera longiores. Quare quoniam tetragonorum haec natura est, ut ab inparibus procreen- tur, qui sunt unitatis participes, id est eiusdem inrauta- bilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequaies

5 sint, quod et anguli angulis et latera laleribus el longitu- dini compar est latiludo, dicendum est, huiusmodi nu- meros eiusdem naturae atque inmutabiiis substantiae participes, illos vero numeros, quos parte altera longio- res paritas creat, aiterius dicemus esse substantiae. Nam

Nam

10 quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum iatera a se tantum uno sunt altera et una tantum differunt unitale. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno inpares et sub his omnes a binario numero pares.

I. III. V. VII. viiii. XI. xin.

15 U. IIU. VI. VIII. X. XU. XIIII.

Est ergo princeps inparis ordinis unitas, quae ipsa quidem elTectrix et quodammodo forroa quaedam est in- paritatis, quae in tantum eiusdem nec mutabiiis substan- tiae est, ut, cum yel se ipsa multipiicaverit vei in 20 planitudine vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per se ipsa multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. ^amque si unum semel facias, vel si semel unum semel, vel si duo semel, vel si tres semel, vel si quattuor semel, vel quemlibet alium numeriun

2 ut et d, 1. 5 sunt r, F. 7 inmotabilis r. 11 ta- men corr, in tantum a. || altera mutatum in latere a. [| et uiia tantnm corr. ex tamen a. 12 deferent r; differat c. || Quare corr, ex quorum a. 18 a binario] ab uno a, c; abi- nari d; ab uno et supra versum at a binario b. 19 ipsam c, r, s. 20 in ante profunditate om. r. 21 ipsam c, s. 22 discrepat b, c, d, f, I, r, s. [] Namque om. r; supra ver- 8um a. if si nnum . . . duo semel] si semel unum semel ei supra versum facias vel si duo semel a; vel si duo semel su^ pra versum b; si semel unum semel c; si unum semel facias vel si duo semel d, f; si unum semel facias, si duo semel F; si unum semel facias vel si semel unum (tit litura) vel si duo semel 1; si semel unum semel vel si semel •II* r; si semel unum vel semel •II- s. 23 'IIL r, s. 24 •IIII-^' s. || quattuor semel sunt •IIII^ r. || vel si quemlibet c, 1, s; sl ex corr. add. b. || alium quemlibet c.

INST. ARITHM. II, 28. 119

23 'IIL r, s. 24 •IIII-^' s. || quattuor semel sunt •IIII^ r. || vel si quemlibet c, 1, s; sl ex corr. add. b. || alium quemlibet c.

INST. ARITHM. II, 28. 119

fnultiplicet, a quantitate sua is, quem multiplicat, numerus non receditl quod circa alium numerum non potest in- Teniri.^ Paris vero ordinis binarius numerus princeps est, quae dualitas, cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si se ipsa mul- 5 tipHcet vel per latitudinem vel etiam per profunditatem yel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, conlinuo alter exoritur. Nam bis unum vel bis duo si facias, vel bis tres vel bis quattuor vel bis quinque vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius lo quam primo fuerat, invenitur. %scuntur autem ex su- periore descriplione et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo. Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, quat- tuor tetragonus exoritur. Huic si quinarium iungam, no- 15 venarius rursus occurrit. Huic si copules septem, sede- cim quadrati forma se suggerit. Idemque si in ceteris facias, omnes conpetenter quadratos videas procreari/ At vero ex secundo paritatis ordine idem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primo respexero, 20 huiusmodi mihi numerus occurrit, qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes quattuor iunxero, parte altera longior rursus erit, senarius sciiicet, qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem adgregavero, nascetur mihi duodenaria forma , quae fit ex quater tribus. Quod si 25 continuatim quis faciat, cunctos huiusmodi numeros in

1 — 2 multipUcet . . . numeram in margine r. 4 tunc s. 5 est totius d. || «ipsam F. 8 bis unum vel om. d, f. |{ bis •IL c, s. 9 facies c; facies mutatum in facias a, r. {| •III- c. IJ •IIII' s. II 'V- c, s, 10 quemlibet numerum alium a. 11 invenitur vel invenerit a, sed vel invenerit indttctum. 12 et om. s. 13 enim om. F, s. 14 coacer- varis c, coacervaberis r. || •IIII- c, r; quaternarius f, s. 15 iuni^as s; iungam mutaium in iungas r. 16 -yil- c, d. {{ •XVI^ d. 17 sugeserit a. 18 facies b, f, 1. 19 a parte a, s; tn r a ramra est deletum. 20 primos b, d, 1. 21 nu- merus mihi d. 22 •IIII- d, s. 23 bis tres con\ in bis tribus a, d; bis tribus in Htura r. 24 nascitur, i in e mu- taio, F. 26 in om. F.

120 INST. ABITHM. II, 29.

conpetenti ordine procreatos videbit, qnam descriptio^ nem scilicet inferior forma demonstrat.

Radices.

I. i.iii. I.III.V. i.in.v.vii. i.iii. v.vu. vim. i. m. v.vn.viiii.xu

5 Tetragoni id est quadrati. I. mi. vmi. XVI. XXV. xxxvi.

Radices.

ii.iiii. ii.iiii.vi. ii.iiii.vi. vm. II.IIII.V1.VIII.X. n.im.vi.viii.x.xii.

Parte altera longiores.

10 VI. XII. XX. XXX. XLII.

De generatione laterculorum eorumque definitione.

XXVnil. Quos autem superius laterculos diximus,. quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt^ quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinem-

n.im.vi.viii.x.xii.

Parte altera longiores.

10 VI. XII. XX. XXX. XLII.

De generatione laterculorum eorumque definitione.

XXVnil. Quos autem superius laterculos diximus,. quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt^ quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinem-

15 que porrectis minor his additur altitudo, ut sunt huius modi: tres ter bis, qui sunt •XVIII- vel quattuor quater bis, vel alio quo modo , ut his in latitudinem longitudinemque aequis minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in mi-

20 nus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae sed hoc modo, ut ex aequalibus aequaliler ducantur in maius. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini et maior sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis doci-

3 Radices om, &, c. 5 Hune versum om, c, \\ quadrati] quadri r; quatuor quadraii d. 7 radices om, s. 8 8 addit ab initio -II- 9 Ifunc versum om, c. 10 s addit ab initio •II* 11 In- script. om. a, d; b, 1, d, F addunt: yel de generatione (genere F) cuneorum eorumque definitione (diffinitione) I. 12 XXVmi. om. a; XXVHI. 1. 13 ipse d, r. 16 ini- c, d. 17 alio quo] aliquo 1; alio quo corr. in alio quocunque a; alio ali- quo et supra versum cunque b ; alio qualicnnque d ; alio quo- libet f. II ut] in, ut ex corr, addito^ r. [j longitudinem lati- tudinemque a, f, s. 18 ducatur] addatnr s. 19 in om. a, b, c, d, f, 1, s; supra versum r, 20 ipsi a; ipse d, f, 1. 21 ex supra versum r. 22 longitudini latitudo d. 23 ille d, f. y decades a, f; deocadles s; docades F.

INST. ARITHM. n, 30. 121

des nominaDtur. Ut si quis hoc modo faciat: •HII* qua* ter novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appeUavimus, hi sunt, qui ex inaequaiibus inaequaliter ducti per inaequa- lia creverunt, cybi vero, qui ex aequalibus aequaliter^ per aequalia producti sunt.

De circularibus vel sphericis numeris,

XXX. Ipsorum vero cyborum quanticunque fuerint ita ducti , ut a quo numero cybicae quantitatis latus coe- perit, in eundem altitudinis extremitas terminetur, nu- lo merus iile cyclicus vel sphericus appellatur; ut sunt mul- tiplicationes, quae a quinario vel a senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit XXV-, ab -V- progressus in eosdem desinit V* Et si hos rursus quinquies ducas, in eosdem V- eorum terminus veniet. Quinquies enim -XXV- 1^ fiunt. CXXV- et si hos rursus quinquies ducas, in quina- rium numerum extremitas terminabitur. Atque hoc lis- que in inflnitum idem semper eveniet. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyciici vel spherici vocantur, quod sphera vel circnlus in 20 proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo illius puncti, qui eminus fixus est, aequaliler distans a primo puncto circumductio et ad eundem locum reversio^ unde

Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo illius puncti, qui eminus fixus est, aequaliler distans a primo puncto circumductio et ad eundem locum reversio^ unde

1 qnattior e, quattnor f. 3 Spherici a, s; spherici et supra versum at sphenisci b; spheriBci c; speniAci r; Spe- rici F. II cuniolos c; hemiholos vel cuneolos a, s; hemiho- I0S vel hemiolos s; hemiholos vel emiholosF; hemiholos yel m mm^gine b; mpra verttum 1, r. 6 vero sunt F. 7 In- script, om. d. || spericis r, spiricis s. 8 XXYIIII. 1. 10 la- titadinis a, c. 11 cjbicus f. || spericus r, F. 12 a ante senario om. a, c, 1, s. 13 >y- c, d, r, s. l| qui fit] om. c; fiont s. 14 rursum a, b, c, f, 1, r, s. || eduoas c, f, r, s. 16 fiunt] sunt a, b. || rursum c. 17 terminatur s. 18 eve- niet; e indueto^ a; veniet b. 20 sperici r, F. || spera d, r. 21 semper om, F. 22 — 24 et alio . . . puncto eadem manu in margine F. •

122 INST. ABITHM. II, 31.

moveri coeperat. Sphera vero est semicirculi manente diamelro circumducljo et ad eundem locum reversio, unde prius coeperat ferri. Unitas quoque virtule et potestate ipsa quoque circulus vel sphera est. Quotiens eni^i pun-

5 ctum in se muiliplicaveris, in se ipsum, unde coeperat, ter* minatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, si hoc semel, idem est, et si hoc rursus seniel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio , soiam planitudinem reddit et fit circulus, si secunda, mox sphera conficitur. Etenim se*

10 cunda mulliplicatio effectrix semper est profunditatis. Ex •V* igilur et -Yh paucas huiusmodi formas subscripsimus.

I. V.' VI.

I. XXV. XXXVI.

I. CXXV. CCXVI.

15 I. DCXXV. ICCXCVI.

I. IIICXXV. VILDCCLXXVI.^

I>e ea natura rerum, quae dicilur eiusdem naturae, ei de ea, quae dicitur alierius naturae et qui numeri cui naiu-

rae coniuncti sint,

20 XXXI. Ac de solidis quidem figuris haec ad praesens dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputa- tione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilis- sime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas

25 in gemina dividentes hac speculatione distribuunt. Dicunt

1 ceperat c, 1; coeptus est d, f. || Spera d, r. 1 — 3 Sphera . . . ferri eadem manu in margine F. 3 ceperat 8. 4 spera d, r, F. 5 in se anie muUiplicaveris om. f, F. 6 facias r. || redit, et b. [J hoc rursus c, d, 1. 7 idem] unnm b.

11 et si hoc . . . idem est om. c , d. || est] conficitnr a. 8 una ut -Y- quinquies d. || fuerit] erit s. || redit c. 9 se- cnndo a, b, f ; secunda ei supra versum nt •XXV» qninqnies d. II spera d. 11 quinque .... sex, c, f. 14 -CXXV' om. F; ideoque sequentes numeri suni uno versu promoti, 17 In- script. om. d, s. /n a legitur inscripHo sequeniis capitis. || I>e natnra, omisso ea, f. || remm om. c. 18 dicitnr] est F. 19 sunt c, 1, r. 20 XXX. 1. 22 quique] qninque P. 23 quaque} qua d; unaquaque s. 24 peritissimaeqne d.

INST. ARITHM. H, 31. 123

om. d, s. /n a legitur inscripHo sequeniis capitis. || I>e natnra, omisso ea, f. || remm om. c. 18 dicitnr] est F. 19 sunt c, 1, r. 20 XXX. 1. 22 quique] qninque P. 23 quaque} qua d; unaquaque s. 24 peritissimaeqne d.

INST. ARITHM. H, 31. 123

eoim omnes omnium rerum substantias constare ex ea, quae propriae suaeque semper habitudinis est nec uUo modo permutatur, etea sciiicet natura, quae variabiiis mo- tus est sortita substantiam. Et iliam primam inmutabilem naturam unius eiusdemque substantiae vocant, hanc vero 2> aiterius, sciiicet quod a prima iila inmulabili discedens prima sit altera, quod nimirum ad unitatem pertinet et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque inpares numeri formati sunt, qui- lo que ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo eius- dem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequaiitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris inparibus procreantur. Ilii vero, qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coa- 15 cervati collectique in unam congeriem parte altera lon- giores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam ab eiusdem subslantiae natura disces- «isse dicuntur, putanturque alterius naturae esse partici- pes idcirco, quoniam, cum iatera tetragonorum ab aequali- 20 tate progressa in aequalilatem propriae iatitudinis aml)itum tendant, hi adiecto uno ab aequalitate laterum discesse- runt atque ideo dissimilibus iateribus et quodammodo a se alteris coniunguntur. Quare notum nobis est, quod ex his ea, quae sunt in hoc mundo, coniuncta sunt. Aut 25 cnim propriae inmutabilis eiusdemque substantiae est, quod est deus vei anima vei mens vei quodcunque pro-

1 omnes om. c, f, s; supra versum b; litura r. || sub- fitantiam c, s. 2 proprie c. 4 substantia f. |J primo a, b, c, 1, r. II inmotabilem r. 6 immobili d. || dece- dens e; descendens s. 8 decedens c, f; descendens s. 11 eiasdemque a, b; unius eiusdemque s. 15 his] eis a. 20 cum] eum corr, in cum a; con r; cum om. d. || latere corr. in latera r. 22 tendunt c. || abiecto corr. in adi- cecto a. 23 desimilibus r. |J lateribus constant a. || etl Tel corr, in et a. 24 a se supra versum a; a supra se d. |] nobis notum c, f, s. 26 enim om. s. || proprie c, d. || einsque r. 27 quod est deus] ut deus est r; quod deus, qnod in ut corr, d; ut deus f, s; quod est deus, quod est in ut corr,, 1. II mens est d, f, r, s.

124 INST. ARITHM. II, 31.

priae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis varia- bilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac ge- mina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte

5 altera longiorum cunctas numeri species cunctasque ha- bitudines vel ad aliquid relatae quantitatis, ut multipli-- cium vei superparticularium et ceterorum, vel ad se ipsam consideratae , ut formarum , quas dudum in supe- riore disputatione descripsimus, informari, ut, quemad-

10 modum mundus ex inmutabili mutabilique substantia, sic omnis numerus ex .tetragonis, qui inmutabilitate perfi- ciuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participiant, probetur esse coniunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sint hi, quos promeces yocant, id

15 est anteriore parte longiores, vel qui, quos atsQOfir^xscgy id est parte altera longiores. Est enim parte altera lon- gior numerus, quicunque unitate tantum lateri crescit adiecta, ut sunt sex, scilicet bis tres, vel «Xn- tres quater et consimiles. Anteriore vero parte longior est, qui sub

20 duobus numeris huiusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis diiferentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter quinque vel ter sex vel quater septem. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta merito anteriore parte iongior dicitur. Cur autem

25 parte altera longiores numeri dicantur, supra iam dictum est. Quadrati vero quoniam aequam latitudinem longitu- dini gerunt, propriae longitudinis vel eiusdem latitudinis

1 beatum corr, in be&tur a; habetar et supra versum i beatar s. 3 accedere a, r, s. 8 considerate f. 12 mo- tabilitate r; matabilitatem d, s. 14 describendum a. || qui] quid a, b, d. || promeciis a, prometis d, promecis f^ r; promechis s. 15 qaos] nos a. || BttQopkijneig om. c *,. eteromhici a. 16 enim om. d. 17 tamen corr. in tan- tum a. 18 VI- c, f, r. || scilicet ut f. fl III- c, r. yel] et d. |] duodecim d, f. || -III- r. 19 consimilis s. parte vero c, s. || parte altera longior d. 22 'V- c. •VI- c. II VII- c, f 26 longitudinem latitudini d. 27 enintj g ex corr, addUo^ r. [| longitudinis , linea subnotatum ei sw- pra versum latitudinis d.

INST. ABITHM. II, 32. 125

aptissime vocabuatur, ut bis duo, ter tres, quater quat- tuor et ceteri. Parte altera vero longiofes, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo lon- gitudinis et parte altera iongiores vocantur.

Quod omnia ex eiusdem naiura ei alierius naiura consisiani 5 idque in numeris primum videri,

Parte altera vero longiofes, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo lon- gitudinis et parte altera iongiores vocantur.

Quod omnia ex eiusdem naiura ei alierius naiura consisiani 5 idque in numeris primum videri,

XXXII. Omne autem, quicquid in propria natura substantiaque est inmobile, terminatum definitumque est, quippe quod nuila variatione mutetur, nunquam esse desinal, nunquam possit esse, quod non fuit. At haec 10 unitas sola est et, quae unitate formantur, conprehensi- bilis et determinatae et eiusdem substantiae esse dicun- tur. £a vero sunt, vel quae ab aequalibus crescunt, ut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est inpares. At vero binarius et cuncti parte aitera longiores, qui a finita 15 substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substan- tiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his, ,; .. quae longe disiuncta sunt atque contraria, ex inparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis va- riatio, hic inmobilis substantiae robur , illic mobilis per- ^o mutatio; hic definita soliditas, iilic infinita congeries mul- tiludinis. Quae scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur et illius unitatis informatione atque regimento unum nu- meri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque inpro- 25 vide, qui de hoc mundo deque hac communi rerum

1 vocantar s. || -II' . . . III- .... -Iin- c. 2 cetera a. 1| longiores vero s. || quod bis s. 3 tenduntur c. 5 In- icript. om. d. || alterius naturae b, l; alterius, omisso na- tnra, c, r, s. || constant f. 6 videri primum 1. 7 XXXI. 1. U quae comprehensibilis c. || conprehensibiles a. 13 Post sunt etddii s: quae habent aequaUa latera. || aequalitati- bus a. II ut] velut a, c, f, r, s. 16 discesserant c, s.

17 omnis numerus a. 18 sint a, d, r, s. 19 illic] illuc c, hic a, d, f, r, s. 20 hic] huic r. || inmutabilis a, in- motabilis r. || inmobilis est s. 21 iliic] hic a, d, f, r, s. 22 cnm sint scilicet f.

126 INST. ARITHM. II, 33.

natura ratiocinabaulur, hanc primum totius mundi sub- stantiae divisiohem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo eiusdem naturae et alterius nominat, quicquid in mundo est, at^ue aliud in sua natura permanere putat indivi-

5 duum inconiunctumque et rerum omnium primum, alte- rum divisibiie et nunquam in proprii statu ordinis perma- nens. Philolaus vero: Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita esse vel finita , demonstrare scilicet volens, omnia, quaecunque sunt, ex his duobus consistere, aut

10 ex finita scilicet esse aut ex infinita , ad numeri sine dubia similitudinem. Hic enim ex uno et duobus et inpari at- que pari coniungitur, quae manifesta sunt aequalitatis atque inaequaiitatis , eiusdem atque alterius , definitae at* que indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine

15 causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent, armonia quadam coniungi atque componi. Est enim ar- monia plurimorum adunatio et dissidentium consensio.

Quod videlicet non sine

15 causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent, armonia quadam coniungi atque componi. Est enim ar- monia plurimorum adunatio et dissidentium consensio.

Ex eiusdem atque alterius numeri naiura qui sunt qua- dratus ei parie aliera longior^ omnes proportionum 20 hahiiudines constare,

XXXIIl. Disponantur ergo in ordinem non iam pares atque inpares, ex quibus quadrati vel parte altera lon- giores fiunt, sed hi ipsi, qui iilis coacervatis in unumque redactis et quadrati et parte altera longiores prodeunt. 25 Ita enim videbimus istorum quendam consensum et ad ceteras numeri partes procreandas amicitiam , ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetrago-

1 hanc] huic corr, irt hanc d; hoc corr. in hanc r. || pri- mam c. 2 fecerant r. 10 finita] supra versum: natara

b, r, B. VerisimiHus est excidisse vocabulum substantia || esse om. s. [| infinita] finita, in eoc corr, add. r. 12 aequitatis

d, 1, r. 17 dissentientium c, f, 1, s. 18 Inscripi. om, c, d. II Ez eiusdem .... longior omnes om. s. || qui sunt om. a, qui est b, 1. || et] ex a, f. 20 Post constare addit a:

ex eiusdem ei alia, quae evanueruni. 21 XXXIII. om, 1.

23 hi rasura deletum c. 28 praesumpsisse s.

INST. ARITHM. n, 33. 127

norum ab unitate omnium et a binario numero parte altera longiorum.

i. lui. vmi. XVI. XXV. XXXVI. xlvhii.

U. VI. XII. XX. XXX. XLII. LVI.

Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas 5 invenitur, quae est prima muitiplicitatis species, si vero secundum secundo hemioliae quantitatis habitudo pro- ducitur , si tertium tertio sesquitertia proportio procrea- tur, si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta , ethinc superparticularium normam in quam- lo vis longissimum spatium progrediens integram inofTen- samque repperies, ita ut in prima dupli proportione uni- latis solius sit differentia, duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesqualtera vero duorum est dif- ferentia, in sesqultertia trium, in sesquiquarta quattuor i5 et deinceps secundum superparticuiares formas numero- rum, quod ad differentias adtinet, uno tantum crescit ad- iectio numerum explicans naturaiem.

I. iin. viiii. XVI. XXV. I. n. III. iiii. V. 20

II. VI. XII. XX. XXX.

Sin yero. secundum tetragonum primo parte allera lon- giori compares et tertium secundo et quartum lertio et quintum quarto , easdem rursus proportiones efGci perno- tabis, quas in superiore forma descripsimus, sed hic diffe- 25 rentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur , eritque secundus primi|~duph^ terlius secundi sesqualter , quar-

4 LVI. om, 1. 5 prirao conpares a. || compa, omisso

res, 1. II daplicis r. 7 emiholiae a, emioliae c, haemi-

om, 1. 5 prirao conpares a. || compa, omisso

res, 1. II daplicis r. 7 emiholiae a, emioliae c, haemi-

moliae r. 13 — 14 dao namque .... unitate om. d. || ab uno om. c. II semper sola a. 14 In sesqualtera duorum in mar- gine d. || sesqualtero a. || vero om. d. || est dififerentia 07n. d. 16 •IIII' c. 17 tamen corr. in tantam ,a. [| crescet d.

18 numerorum d. 19 d om. -I- et addii -XXXVI- 20 d om. •I- et addii VI- 22 Si vero a, d, 1.

128 INST. ARITHM. n, 33.

tus tertii sesquitertius, secundum eandem coDvenientian], quae superius demonstrata est.

iiii. vnii. XVI. XXV. XXXVI.

II. III. iin. V. VI.

5 II. VI. XII. XX. XXX.

Rursus quadrati invicem inparibus differunt, parte altera longtores paribus.

Diiferentiae inpares.

III. V. VII. viiii. XI. xni.

10 1. uii. viin. XVI. XXV. XXXVI. XLviin.

Quadrati. Differentiae pares.

iiii. VI. VIII. X. xn. xnii.

II. VI. XU. XX. XXX. XLH. LVI.

15 Parte altera longiores.

At vero si inter primum et secundum tetragonum primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una pro- portione coniungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum

20 tertiumque tetragonum secundum parte altera longiorem ponas, sesqualterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascitur. Et idem si in cunctis feceris, cunctas

25 superparticulares species invenire miraberis.

8 Differentiae inpares om, s. 9 s addit XV. 10 s

addit LXIIII. 11 Quadrati om. d, s. 14 Supra kunc

versum dififerentiae a. 16 Parte altera longiores om. a,

ly s. 22 inter] in c. 24 nascetar a.

INST. ARITHM. II, 33. 129

Duplus. I. II. IIII.

Sesqualter. IIIL VI. Vffll.

Sesquiterlius. 5

Vlffl. XII. XVI.

Sesquiquartus. XVI. XX. XXV.

£1 ad eundem tnodum in ceteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriplis, id est 10 priffius et secundus et in unum colligantur, et medius eorum parte altera iongior bis multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et •IIII- , si iungantur , -V- faciunt. £0- rum binarius parte altera iongior, si bis ducatur, •IIII- fiunt, qui iuncti 'VIIII* sine uila dubitatione conficient, 15 qui est numerus quadratus. £t ad eundem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat inteliegi. ^Sin vero convertas et inter duos, primum et secundum, parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qur in ordine quidem secundus est, 20 sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longio- x ribus congregatis et bis multiplicato medio telragono rur- sus tetragonus conficitur. Namque inter senarium et binarium numerum, qui sunt prlmus et secundus parte aitera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, 25 ])rimus actu tetragonus, et coniungantur JI* et «VI-, fa- ciunt •VIII- ; tum si bis ducantur medii •1111% faciunt rur- sus •VIII-, qui cum superioribus iuncti -XVL tetragonum pandunt.

1 Duplex c, f, r. s; Dupla d. 3 Sesqualtera a, c, s.

5 Sesquitertia a, c, d. 7 Sesquiquarta a, c, d. 10 ex] et F. 13 -I- d. II quatuor, sibi inngantur quinqne c. 14 si om. c, f, F, r. || quatuor c. 15 faciunt a, d, f, r, s. 18 Si vero a, b, c, f, 1, r, s. 23 sex d, i; VI. r. 26 duo a,

c, d, f, 1, r, s. II sex a, c, d, 1, r, s. 27 octo c. || qua- tuor c, quattuor f. 28 octonarium a, b, c, d, f, 1, r, s. iuncti in margine r, iunctis c. || sedecim f.

BOETIUS. 9

130 INST. ARITHM. n, 33.

V. XIII. XXV.

IIII. XII. XXIIIl.

I. II. iin. nii. VI. vim. viiii. xii. xvi. viiii. XXV. XLvmi.

5 vm. xvm. XXXII.

vm. XVIII. XXXII.

II. IIII. VI. VI. VIIII. XII. XII. XVI. XX.

XVI. XXXVI. Lxmi.

IUud quoque non oportet minore admiratione suspi*

locere, quod secundum proprias naturas, ubi ailrinsecus duo tetragoni stant et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus, qui nascitur, ille semper ab inpari procreatur. Nam ex superioribus uno et 'IIII* et bis mul- tiplicato binario factus est novenarius tetragonus, qui sci-

15 licet a tribus procreatur; ter enim tres *Vmi* faciunt, qui ternarius inpar est numerus. Et sequens, qui ex •IIU- et •VIIII* et bis multipiicato senario coniunctus est «XXV» tetragonus et ipse ex inpari quinario nascitur et conti- nenti post ternarium ; quinquies enim quinque 'XXV- pro-

20 ducunt et quinarius post ternarium inpar est numerus. Insequenti quoque eadem ratio est. Nam qui ex •VIIII* et •XVI- et bis ducto *XIL quadratus •XLVIIII- producitur» ille a septenario inpari fit et post quinarium continenti ; septies enim septem •XLVIIII^ creant. At vero ubi duo

26 altrinsecus parte altera longiores unum medium tetrago- num ciaudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et «VL parte allera lon- gioribus et quaternario bis mullipiicato •XVr tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, produ-

80 citur ; quater enim quattuor -XVL sunt. Et insequenti

3 VIIII. XII.] VIII. XII. F. 9 ammiratione iVi mar-

gine r. || suscipere f, s; snscicere r. 13 quattuor f. 15 •III- r. t| novenarium a, c, 1, s; noTem d. 16 quattuor f. 17 et bisj et offi. a. || iunctus c. 19 quinque] V- c, f. 21 et insequenti d; In sequenti a, 1. 22 et bis . . . XLyilll. in margine r. || quadratis c. 23 Post continenti addit •VII- a. 24 septem] -VII- c, d, f, r, s. 26 concludunt a. 30 quat- tuor] -UII- c , d. II in sequenti a, 1.

INST. ARITHM. H, 34. 131

quoqoe ordine, ubi ex 'VI* et «XII* et bis in suam sum- mam ducto novenario •XXXVI* fiunt, ex continenti pari senario copulantur; sexies enim sex *XXXVI* restituunt. Nec minus in eandem rationem cadit ex •XII- et XX- et bis 'XVL factus LXIIII* tetragonus; hic enim ex octona- 5 rio continenti post senarium nascitur; octies enim VDI. LXIIII. tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secun- dum eundem modum, si idem facias, rationis ordo non discrepat.

LXIIII. tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secun- dum eundem modum, si idem facias, rationis ordo non discrepat.

Quod ex quadratis et parte altera longioribus omnis for^ lo

marum ratio consistai,

XXXIin. lUud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio, non minore considera- tione notandum est. Namque trianguli, qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus , collecti producunt, his i5 iunctis velut ex quibusdam eieipenlis oriuntur. Namque ex uno primo telragono et binario primo parte altera lon- giore ternarius triangulus copulatur, el ex binario et qua- ternario , id est ex secundo tetragono senarius trianguius procrealur. Ex quaternario quoque et senario denarius 20 trianguius nascitur, et ad eundem ordinem cuncta trian- guIorum*ratio constabit. Disponantur enim alternatim in- ter se tetragoni et parte altera iongiores, qui ut melius pernotarentur , prius in duobus eos versibus disposuimus. Post autem eosdem permiscuimus et, qui exinde trianguli 25 nascerentur, adscripsimus. ]

1 ordine quoqae a, r. || senario et dnodenario d; senario et •Xn* r, s. 3 senarii c. || sex enim sexies c, d^ f, I, r. 4 cadent a, b, c, f, 1, r, cadet s. 5 LX quattuor f.

7 LXIIII.°' f. 10 Inscript. om, c, d. 11 consistit f, r.

12 XXXm. 1. II vero versum \ copulatur d. [ creatur] copulatur d.

quoque c. 18 procreatur et supra

vel quaternario a, b, d, 1, r, s. 20 pro- 22 altematim om, s. || inter] in c.

24 praenotarentur F. |) eos in duobus c, s. 25 miseuimus r. Il qui] quia f. 26 descripsimus c, f, s, F ; sec, mamt ad- ditum r.

132 INST. ARITHM. U, 35. 36.

Tetragoni.

I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XXVIIII. LXIIII. LXXXI.

Parte altera longiores.

II. VI. XII. XX. XXX. XLU. LVI. LXXII. XC.

5 Trianguli.

lU. VI. X. XV. XXI. XXVIII. XXXVI. XLV. LV. LXVI. LXXVHL I. IL im. VL VIIIL XU. XVL XX. XX V. XXX. XXXVL XLU.

Quemadmodum quadrati ex parte aliera longiorihus vel parte altera longiores ex quadratis fiant.

10 XXXV. Omnis vero tetragonus, si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque 'IIIL tetragono si quis duo iungat vel duo detrahat, •¥!• addendo perficiet et *I1- detrahendo. At uterque figuram continet parte altera longiorem. Quae

15 sciiicet magna est alteritatis vis. Omnis enim infinita et indeterminata potentia ah aequalitatis natura et a suis se finibus continente substantia discedens aut in maius ex- uberat aut in minora decrescit.

Quod principaliter eiusdem quidem sit suhsiantiae unitas, 20 secundo vero loco inpares numeri^ tertio quadrati^ et quod principaliter dualitas alterius sit suhstantiae , secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores,

XXXVl. Constat igitur primo quidem loco unitatem

propriae inmutahiiisque suhstantiae eiusdemque. naturae,

p dualitatem vero primam alteritatis mutationisque esse

Constat igitur primo quidem loco unitatem

propriae inmutahiiisque suhstantiae eiusdemque. naturae,

p dualitatem vero primam alteritatis mutationisque esse

principium; secundo vero ioco omnes inpares numeros

5 Trianguli om. d. 6 LXXVIII.] LXXIIII. c, LXXXVIII f. 8 Inscript. om. c, d. 10 XXXIIII. 1. || verol enim f. 12 quarto f. || vel duos c. 13 perficiat a, r. || duo a, b, c, f, I, r, s. II At] ut s. 14 figura c. || contineat c, s. ||

longiorum corr. in longiorem d. 17 continenti f. 18 in minora] in om. r. || minore b, I. 19 Inscrtpt, om. c, d. |'

substantiae sit r. 20 secundo vero .... sit substantiae in margine sec. manu r. 21 et 22 secundo vero . . . longiores om, b, I, r, s. 22 loco om. f. 23 XXXV. I. 24 proprie c.

INST. ARITHM. U, 37. 133

propter unitatis cognationem eiusdem atque inmutabilis substantiae esse parlicipes, pares vero ob binarii numeri consortium alteritatibus esse permixtos; tetragonos quo- que ad eundem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum cpmpositio et coniunctio ex inparibus fit, in- 5 mutabili eos naturae pronuntiabo coniunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium procreantur, nuiiquam ab alteritatis varietate separantur.

AUemaUm positis quadratis et parte altera longioribus qui sit eorum consensus in differentiis et in proportionihus, lo

XXXVII. Ulud igitur perspiciendum est, quod, si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur , ita ut al- ternatim sibi permixti sint, tanta in his est coniunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discre- pent autem differentiis, alias vero^differentiis pares sint, 15 proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem idem illi superiores tetragoni et parte altera longiores ab uno : I. II. im. VI. VUII. XII. XVI. XX. XXV. XXX. Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter -I-, qui est tetragonus, et -II- dupla proportio est; 20 inter II- et JIII- dupla. Hic ergo tetragonus cum parte altera longiore atque hic cum sequente tetragono eadem proportione iunguutur, differentiis vero non isdem. Nam- que duorum atque unius sola unitas differentia est, sed idem duo a quaternario solo binario reiinquuntur. Rur- 25 sus si •II- ad •Ilil- speculeris, dupla est proportio, si •IIII- ad -VI- , habitudinem sesqualteram recognosces. Hic ergo

2 a consortio a. || ob in litura r. 5 positio b,

c, 1. 9 Inscript. om. c, d. 10 in proportionibus] in om.

r, s. 11 XXXVI. 1. II igitur om. c; quoque s. 13 his] eis d. 14 eisdem] isdem a. || propositionibus d. jj discre- pant f. 15 differentias c ; differentiis in litura r. 20 unum a, c, d, i, 1, r, s. || duo a, b, c, 1, r, s. J| duplex 1. || est proportio a. 21 duos et quattuor f. || ergoj enim s. 22 cum sequente] consequente d, r. 23 hisdem a, d, r; eisdem f. 25 -II- d. II relinquitur, n supra i scripto, r. 26 duo a, c, f, 1, r, s. [] quattuor ad sex f. 27 Hic] Hi c, f, r, s;

Hic mutatum in Hi a, d.

134 INST. ARITHM. II, 37.

|| est proportio a. 21 duos et quattuor f. || ergoj enim s. 22 cum sequente] consequente d, r. 23 hisdem a, d, r; eisdem f. 25 -II- d. II relinquitur, n supra i scripto, r. 26 duo a, c, f, 1, r, s. [] quattuor ad sex f. 27 Hic] Hi c, f, r, s;

Hic mutatum in Hi a, d.

134 INST. ARITHM. II, 37.

in proportionibus discrepant, in diiTerentiis pares sunt. Naroque et •IIII- a duobus et -VI- a «1111* eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo, sicut in pri- mis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est, diffe-

5 rentiis non eisdem. Nam •IIII* ad .VI* et -VL ad •VIIII- sesqualtera proportione iunguntur, -VI- autem quaterna- rium duobus, •VIIII* vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae dif-

10 ferentiae sunt, nunc autem ordine permutato eisdem dif- ferentiis aliae proportiones , semperque, in quibus diffe- runt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod ge- minatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod

15 mirum videri non debet. Nos enim ipsas summas tetra- gonorum et parte altera longiorum geminavimus ad pri- mas secundasque proportiones.

Proportiones

dnnlft. dnnla '^^4'^*^' sosqual- sesqiii- sesqui- sesqui- sesqui* sesqui- sesqui- "P "P • tera ^era terUa lertia quarta quarla quinta quinta.

I. II. im. VI. vnii. XII. XVI. xx. xxv. xxx. xxx\i. I. II. u. m. III. mi. iin. v. v. vl

Diiferentiae.

Eaedem quoque differentiae mirabilem in modum a

25 toto per sequentes partes et per easdem unitates, quibus

superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unuhi

et duo tantum unitas intercedit, quae unitatis, cui aequa-

lis est , totum est ; binarii vero medietas. Eodemque modo

2 quattuor f. || sex a quattuor a, f, 1, r, s. 3 modo ex corr. add. r. || sicut in primis cet. Haec et quae legun- twr usque ad capitis quadragesimi tertii verha: illic vero utri- que sint desunt in a sea; vel septem foliis deperditis. || slcut

sex f. 6 sex au- defferentiae bis r.

etiam c, f. r, s. 6 quattuor ad sex f. tem c. 9 eisdem proportionibus f.

10 hisdem c, d, f, r, s. 12 naturales b, r; naturales, es in is mutatOj r. 16 geminamus d, f, r; geminavimus et su- pra Yi: al bi b. 18 Proportiones om. c, d. 22 •VI- bis

c, f, r. 1 in fine sequentem proportionem addit. 24 eodem et supra versum sc. ordine l modo 8. 26 L et 'II' d. 27 uni- tati f; unitas s; unita c.

INST. ARITHM. II, 38. 135

16 geminamus d, f, r; geminavimus et su- pra Yi: al bi b. 18 Proportiones om. c, d. 22 •VI- bis

c, f, r. 1 in fine sequentem proportionem addit. 24 eodem et supra versum sc. ordine l modo 8. 26 L et 'II' d. 27 uni- tati f; unitas s; unita c.

INST. ARITHM. II, 38. 135

inter •!!• ei •IIII- tanlum -II- sunt, qui binarli totum sunt, quaternarii medietas. Inler quaternarium vero et sena- rium idem •II- sunt, ad quaternarium medietas, ad sena- rium pars tertia .IIL vero, qui sequuntur, qui inter •VI- et •VIIII- constituti sunt medii, sunt quidem senarii dimi- 5 dium , pars vero tertia novenarii. Et rursus ternarius, qui novenarii pars tertia est, duodenarii quarta est; et ad eundem modum usque in finem descriptionis gemina- tis huiusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones lo aspicies.

Prohatio quadratos eiusdem esse naturae.

XXXVIII. Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos inparibus esse cognatos, quod in omni disposi- tione ab uno vel in duplicibus vel in triplicibus talis natu- 15 rae ordo conseritur, ut nunquam, nisisecundum inparem locum tetragonu& inveniatur. Disponamus enim in ordi- nem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.

I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. _CXXVIII. ^CLVI.

I. lU. VmLXXVn.LXXXLCCXLIU. DCCXXVini. IICLXXXVII. VIDLXL 20

Si igitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in inpari loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum respexeris, •illl* et •Vllil- notabis, quorum hic a duobus proficiscilur , illum ternarius creat; qui sunt loco in- ^5 pari constituti. Quintum deinde si videas locum -XVI* et •LXXXI^ respicies, sed unusa quaternario nascitur, alte- rum novenarius creat. Et si nonum locum rursus adspi-

1 duo et qnattuor f. || duo c, d, f. [] binario d; binari r. 2 quatemari r. 3 duo c, d, f. 4 Tres c. || sequit r. 5 dimidium] medietas d. 6 •VIIII- et supra versum noyenarii b. 7 est pars tertia d; tertia pars est f, r, s. 12 Inscripi. om. c, d. 11 naturae esse r, s. 13 XXXVII 1. || autem] quo- qne d. 15 vel in duplicibus om. f; sed supra versum in

duplicibus ex corr. es^ additum, 16 ni s. 19 c addit

DXII. 21 mex corr. additum r. 22 inpare b, 1, r. 25 pro- ficitttr r. [] illum tertium c, f.

136 INST. ARITHM. II, 39.

cias, tetragonos pernotabis •CCLVI* et •VIDLXI*; quorum superior fit a -XVL, inferior vero ab -LXXXI- Idem si in infinitum facere iibeat, indiscrepanter incurrit.

Cyhos eiusdem participare substaniiae , quod ah inparibus^ ^ nascantur.

XXXVIIII. Ipsi vero cybi, qui quamquam tribus inter- vallis sublati sint, tamen propter aequalem multiplicatio- nem participant inmutabilis substantiae eiusdemque na- turae suntsocii, non aliorum quam inparium coacerva-

10 tione producuntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas ex- plicabunt.

Nam si omnes ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas ex- plicabunt.

I. ffl. V. VII. VIIII. XI. Xffl. XV. XVII. XVIIII. XXJ. In his igitur qui primus est, potestate et Virtute primum

15 cybum faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et quinarius, secundum efficiuut cybum, qui est octonarius. luncti autem tres, qui sequuntur, septenarius novenariusque et -XI- cybum facient, qui •XXVII- numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quattuor quar-

2otum, et qui sequuntur quinque quintum, et ad eundem modum quotus quisque cybus efficitur, tot coniunctione inpares apponuntur. Hoc autem diligentius subiecta de- scriptio docet.

25 I.

Xffl. XV. XVIL XVIUL LXIIIL

IIl. V. I VIL VIIII. XI.

viii. I xxvn.

XXI. XXIII. XXV. XXVIL xxviin

cxxv.

1 et om. f, r, 8. 3 currit c, 1, s; currit et supra ver- sum l incurrit b; occurrit f. 4 Inscripi, om. c, d. 6 XXXVIII. 1. II cubi f. 7 sint sublati c. 8 immutabili c, r, s.

9 et non d. || coacervationem b, I. 10 produntur f, r;

producuntur et supra versum l produntur b; prodeunt d. 11 cubicas f. 15 cubum f. ei infra, 16 cybum efficiunt c. 17 'III' f . II septinarius r; VII. s. 18 VIIII. s; novenarius^ omisso que, c, r. || undenarius c. || faciunt f, s. 19 •IIII* c, d. 20 'V- d, s. 21 tota c, s., || ad coniunctionem f. 22 opponuntur d; ponuntur, litura praecedente, 1. || Hoc au- tem . . . docet om. 1. 26 XXVIIII] XXIX. 1. || In c, r, s

INST. ABITHM. II, 40. 137

De proportionaliiaiihus,

|| undenarius c. || faciunt f, s. 19 •IIII* c, d. 20 'V- d, s. 21 tota c, s., || ad coniunctionem f. 22 opponuntur d; ponuntur, litura praecedente, 1. || Hoc au- tem . . . docet om. 1. 26 XXVIIII] XXIX. 1. || In c, r, s

INST. ABITHM. II, 40. 137

De proportionaliiaiihus,

XL. Et de his quidem sufficienter dictum est ; nuuc res admpnet quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes vel ad astronomicas subtilitates vel ad geomelricae considerationis vim vel 5 etiam ad veterum lectionum intellegentiam prodesse pos- sint, arithmeticam introductionem commodissime termi- nare. Est igitur proportionalitas duarum vel trium vel quotlibet proportionum adsumptio ad unum atque col- lectio. Ut etiam communiter definiamus: proportionalitas 10 est duarum vel plurium proportionum simlhs habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et difTerentiis constitutae sint. Differentia vero est inter numeros quantitas. Pro- portio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia , quorum com- 15 positio quod efficit, proportionale est. Ex iunctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem ter- . minis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in plu- ribus, sed longior; ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem. Sin vero 20 quattuor contra duo compares^ hic quoque dupla propor- tio est. Quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas et est propor- tionalitas unum ad duo et duo ad quattuor. Est enim pro- portionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in 25 unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quattuor illis octo velis adiungere et his •XVI* et his XXXII* et deinceps duplos, qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur

cyhi supra numeros, ex quihus constantf leguntur, 1 Inscripi. om, c, d, 1. II s addii: quartum thema incipit. 2 XXXVIIII. \. 3 proportionibus] Legendum videtur proportionalitatibus. 6 lectionem d. 7 arithmetica introductione b, c, d, 1, r, s. {| terminari c. 10 etiara] autem d, f, r, s. || commoniter r. 11 est om, c, s. 18 etiam] enim d. 21 •IIII- c, d;

•mi. bus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus illa summa, quae inter extremitates est» non loco tantum verum etiam sit quantitate medietas. Ut si ponantur 1. IL

20 m., unus et •IIL quattuor reddunt, duo vero, qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. fiis enim II. lUI. creant. Sin vero disiuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medie-

25 tatibus redditur. Si enim sint I. II. III. IIII., unus et quat- tuor quinarium creant, •II* et *III* medii in eundem rur- sus quinarium surgunt.

1 quattuor f. || •!• s. || tres c. || et tres c, f; et -111. supra versum d. || V* s. 2 etiam om. s. 3 eadem om. c. || operatio d, 4 Differentiae om, s. 5 b, c, f, 1 perverse :

II. III. IIII., unus et quat- tuor quinarium creant, •II* et *III* medii in eundem rur- sus quinarium surgunt.

1 quattuor f. || •!• s. || tres c. || et tres c, f; et -111. supra versum d. || V* s. 2 etiam om. s. 3 eadem om. c. || operatio d, 4 Differentiae om, s. 5 b, c, f, 1 perverse :

III. m.

I^ II. Uf, mL V. VI. VII.

10 IIII- c. 14 talis om. c. 19 fit d, f,r^ s. || ponatur a, c, s. 20 tres c, d. || IIII^ c. || II- d. 21 est su- pra versum a. 22 extremitatibus addendum videtur compo- sitis. 23 duo c, d, f. || desiuncta r. [[ quae 1; qnae ei supra versum quod b. 24 duobus f. 25 sunt r. 26 duo et tres d, f.

INST. ARITHM. H, 43. 143

Continua.

I. U. III. I IIII. I

Disiuncta. I. II. III. IIII.

Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnes termini huiusmodi dispositio- nis ad se ipsos, ita sunt difTerentiae ad differentias con- lo stitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequaiis est et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque sub- tilius, quod multi huius disciplinae periti nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt , quod in omni dispositione vel continua vel disiuncta, quod continetur sub duabus 15 extremitatibus minus est eo numero, qui ex medietate conficitur, tantum, quantum possunt duae sub se differen- tiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi III. V. VII. Si igi- tur tres septies au^eantur, in -XXI* numerum cadunt. 20 Quod si medium terminum, id est •¥*, in semet ipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt -XXV' Et hic numerus ab eo, quem extremitales coUigunt, quaternario maior est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter •III* enim et •¥• et •VII* bini intersunt, quos si in sese multi- 25 plices, •IIII- reddunt. Bis eniro duo •IIII* fiunt. Recte igitur dictum est, in hac huiusmodi dispositione, quod continetur sub extremitatibus, minus esse ilio numero,

3 IIII] bis IL 1; bis II- et IIII- c, d, f. 8 quoque hoc a, f, 8. 14 antea supra versum a; ante 1; ante ea r.

16 eo nuinero est a. || est om. 1. 20 •III- c; ter d. 22 quinqnies enim a, 1; enim supra versum b. || •¥• c, f. 24 est supra versum a. || tres d, f. 25 quos] quod r. || in se d; in se corr. ex inter hac a. 26 quattuor f. || quattuor f. " fiunt •IIII- d. II sunt a.

144 INST. ARITHM. n, 44.

qui fit ex medietate , taDtum , quantum differentiae in se multiplicatae restituunt.

mi.

II. u.

5 III. V. VII.

L XXV. ^i

XXI.

Quartum vero proprium huiusmodi dispositionis nolatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in

10 hac proportionalitate vel medietate in minoribus terminis maiores proportiones, in m^ioribus minores comparatio- nes necesse est inveniri. Namque in dispositione hac I. II. III. minores termini sunt I- et •II-, maiores IL et •III- Et JI- ad unum duplus est, tres vero ad •II- sesqualter.

Namque in dispositione hac I. II. III. minores termini sunt I- et •II-, maiores IL et •III- Et JI- ad unum duplus est, tres vero ad •II- sesqualter.

15 Sed maior est proportio dupli quam sesqualtera. In ar- monica autem medietate e contrario evenire contingit ; in minoribus enim terminis minores proportiones, in maio- ribus maior proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque armonicae, geome-

20 trica proportionalitas media esse notata est, quae vel in maioribus vei in minoribus terminis aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter maius vero et minus aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arith- metica quidem medietate satis dictum est.

25 JDe geometrica medietate eiusque proprietatibus.

XLIIII. Nunc vero, quae hanc sequitur, geometrica medietas expediatur , quae sola vel maxime proportionali- tas appellari potest propterea quod in eisdem proportio-

10 in medietate c. 13 sunt termini c, d, 1, r, s. 14 Et] Nara et b, c, 1; Nam a. || duo c, f. || •!• s. || •III. d, s. II duo b, c, f.; duos a. 16 contig^it f. 17 proportio- nis c. 20 nota r. 25 Inscript. om, c, d. || medietate] auctoritate f. || eiusque proprietatibns supra versum a, gui codex inscriptionem capitis quadragesimi secundi addii. 26 XLII. a; XLIII. 1. || consequitur a, f, s; con ex corr. add. d. 28 in ea eisdem f, s. [| eandem et supra an is r.

INST. ARITHM, II, 44. 145

nibus terminorum vel in maioribus vel in minoribus spe- culatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custo- ditur, numeri quantitas muUitudoque neglegitur, contrarie quam in aritbmetica medietate, ut sunt I. II. IIU. VIII. XVI. XXXII. LXIIIL vel in tripla proportione I. III. VIIIL 5 XXVIL LXXXI. vel si quadrupla vel si quincupla vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta dlsten- sio. In bis enim, quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medi^tatem, quemadmodum enim prior ad sequentem est, ita sequens ad alium, et rursus, si per- lo mixte facias , idem erit. Si enim ponantur tres termini II. IIII. et VIIL, quemadmodum sunt *VIII* ad -011* ita quat- tuor ad duo. Atque boc si convertas, quemadmodum sunt duo ad quattuor, ita erunt quattuor ad VIII*

dupla dupla 15

IL IIII. VIII.

Vel si in quattuor terminis, ut sunt II. IIII. VIII. XVL, quemadmodum est primus ad tertium, id est •11* ad 'VIIIs sic erit secundus ad quartum , id est •IIII- ad 'XVL Utra- que enim proportio quadrupla est. Et conversim quem- 20 admodum quartus est ad secundum , ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disiuncte licet. Nam quemad- modum est primus ad secundum, id est duo ad IIII*, sic tertius ad quartum, id est •VIII- ad -XVI- £t conversim quemadmodum secundus ad primum, id est •IIIL ad 'U-, 25 ita quartus ad tertium, id est •XVI- ad -VIII- Idque in omnibus rata consideratione perspicies.

Nam quemad- modum est primus ad secundum, id est duo ad IIII*, sic tertius ad quartum, id est •VIII- ad -XVI- £t conversim quemadmodum secundus ad primum, id est •IIIL ad 'U-, 25 ita quartus ad tertium, id est •XVI- ad -VIII- Idque in omnibus rata consideratione perspicies.

6 quinqunpla, qu in c mutato^ a; quincupla, c in quu mutatOj b, c. 7 sit constituta numerorum d. {| distantia, a, r. 8 enim] vel r. 9 medietatem g-eometricam c, s. || quemammodum d, et infra. 10 alium] alterum a. || et]

?el 8. II si om. r. 11. III. c, f. || II- et IIII. d. 12 •Vni- et .IIII- r. II quattuor f. || ita] sic a, c. || -1111. ad •U. c, d, r, s. 14 .11- ad IIII. c, d; duo ad IIII. r, s. [|

•IIII- ad .VIII. c, d, s. 16 Descripiionem om, c , s. 17 si supra versum a. || in om, f. || .IIII. d, s. || terminis] ter- mini sint f; terminis idem feceris s. 18 duo d, f. 19 erit secundus] sunt 11. d. || .IIII.o»^ f. 22 disiunctae a, b, d, f, r, 8. 23 «11. c, d. II IIII.o^ f. 26 I. r. [] quattuor ad duo f.

BOETIUS. 10

146 INST. ARITHM. II, 44.

dupla dapla

.11. mi. viii. XVI.

i£uaai'uplii quadrupla.

HaLet aulem proprium huiusmodi medielas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalilatem termino- rum diiferentiae in eadem proportione contra se sunt, qua 5 fuerint ipsi termini, quorum isunt ipsae differentiae/ Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam dif- ferentiae, sive tripli, triplae, sive secundum quamlibei muitiplicitatem , eadem in dilferentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subiecta 10 descriptio monet.

Differentiae duplae.

I. II. IIII. VIII. XVf. XXXII. LXIIII. CXXVIII.

1. II. iiii. VIII. XVI. xxxii. Lxnii. cxxvin. cclvl Termini dupli.

15 NuUi igitur dubium esse potest, quod, cum omnes ter- mini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differen- tiis omnes paene dispositos subler terminos, quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit? Est etiam aliud

20 proprium, quod omnis ad minorem maior terminus compa- ratusipsumminoremretinetdifferentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt,etquaternarius binario ipso binario et octonarius quaternario ipso quaternario et dein- ceps maiores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt,

25 quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit; sinverosinttriplicesproportionesmaior

1 Descriptionem sec, manus addidit in d. 2 huinsmodi

proprium f, s. 5 fuerant c, fuerunt s, fuerunt, et supra allerum u i, r, 1| ipsae] supra versum r; ipse d, f. || ipsae sunt c, f, s. 5 — 7 Sive .... diflferentiae in margine d.

6 enim om. c. || sunt r. || sint termini contra se d. |) termini om. 1. II etiam sitpra versum a. 8 multiplicationem c,

f, 1, s; multiplicitatem et supra versum ationem b. 10

monet] docet d. 11 Differentiae duplae om. c. 12 CXXVIII. om. s. 13 CCLVI. om, d, s. 16 sunt c, 1, r. 21 diffe- rentia f. 22 defert r. 23 octonario quaternarius d. ||

|) termini om. 1. II etiam sitpra versum a. 8 multiplicationem c,

f, 1, s; multiplicitatem et supra versum ationem b. 10

monet] docet d. 11 Differentiae duplae om. c. 12 CXXVIII. om. s. 13 CCLVI. om, d, s. 16 sunt c, 1, r. 21 diffe- rentia f. 22 defert r. 23 octonario quaternarius d. ||

qnaternario ipso quaternario in margine r.

INST. ARITHM. II, 44. 147

termiQus a minore termino duplicato minore termino dif- fert, ut, stsint I. III. YIIII., tres ab uno binario difTerunt, io quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat; et •VlIII- a tribus senario differunt, quem ternarius dupii- catus educit. £t in aliis cunctis eiusmodi ratio repperietur. s ■Sin vero quadruplices sint, tripticato minore termino maior terminus a minore distabit, et, si quincupla, qua- druplicato, et, si sescupla quincuplicato , et una minus muhiplicatione, quam est ipsa minorum ad maiores com- paratio termiuorum, minorem numerus maior exsuperat. ^o

Differentiae ipsi minores.

I. U. IIII. Vlll. XVr. XXXII. hXIIN. CXXVIIT. I. II. (III. Vlll. XVI. XXXII. LXIin. CXXVIII. cclvi.

Termini dupli.

Differentiae dupli minores. is

II. Vr. XVIIl. Lllll. CLXII. CCCCLXXXVJ. TCCCCLVllI. I. III. Vllir. XXVII. LXXXL CCXLlir. DCCXXVIIIL II CLXXXVll.

Termini tripli. Differentiae tripli minores.

III. XII. XLVUI. CXCII. DCCLXVIII. iriLXXLI. xnCCLXXXVllJ. 20 I. 1111. XVL LXIIII. CCLVL 1 XXIIll. IIIIXCVI. XVlCCCLXXXlIir.

Termini quadrupli. 1

Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus vel superparticularibus vel superpartientibus invenitur huius- modi proprietate in omnibus conservata, ut in continua 25 proportione, quod fit sub extremitatibus, si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint II. IIII. VIII., quod fit ex bis •VIll-, idem fit ex quater •IIII- ; vel si sit in quattuor terminis disiuncta proportio,

7 quadriplicato b, I. 8 quinquiplicato a, d; quinquu-

I plicato r, s. 9 minor iuxta lituram f. || ad supraversum a.

10 minorem] minor est d. || numerus om. s; numerum c ||

exuperat d. 11 ipsi] ipsae f; dupli b, 1; duplae s. [] mi-

nores om, s. _ 15 dupli] tripli b, c, 1; triplae f, s. [] minores

om, 8. 16 TCCCCLVIII] DCCCCLVH c. 19 Differntia tripla d. |1 quadrupli b, c, 1; quadruplae f, s. || minores om. dy 8. 28 idem fit ex quater] reddatur ex est a. 29 quattuor f, |1 •IIII- c.

\ 10*

148 INST. ARITHM. II, 44.

quod fit sub utrisque extremitatibus , id duarum medieta- lum multipiicatione concrescat, ut, si sint IF. IIII. VIII. XVI., quod fit ex bis -XVl-, id ex quater •VIII- reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud,

5 ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. liiic enim in omnibus vel multiplicibus vel super- partientibus vel superparticularibus vei in ceteris con- iunctis geometrica proportionalitas custoditur bas omnes proprietates, quas supra diximus, continens. Quarta

liiic enim in omnibus vel multiplicibus vel super- partientibus vel superparticularibus vei in ceteris con- iunctis geometrica proportionalitas custoditur bas omnes proprietates, quas supra diximus, continens. Quarta

10 vero est proprietas huiusce medietatis, quod vei in maiori- bus vel in minoribus terminis aequales semper proportio- nes sunt. Namque si ponantur II. IIII. Vlll. XVI. XXXII. LXIIII. , inter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionaiitas in binis proportionibus ab

15 unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticularis habitudines proportionesque discurrens; quod subiecta descriptione signatum est.

Tetragonus I.

Parte altera

longior

II.

dupla

Tetragonus

IIII.

dupla

Parte altera

longior

VI.

sesqualtera

Tetragonus

VIIII.

sesqualtera

Parte altera

longior

XII.

sesquitertia

Tetragonus

XVI.

sesquitertia

Parte allera

longior

XX.

sesquiquarta

Tetragonus

XXV.

sesquiquarta

1 sub] ex f. 2 concrescit f. 3 sedecim f. 4 sit] fit d, f, 1. 6 ex] ab a. 6 profundi a. 7 coniunctis cunctis a.

10 proprietas est d. || huiuscemodi a; huiusce ei supra ver- sum al huiuscemodi b. 12 d addii '1- 14 etiam] autem f, s. 17 superparticulares c. 20 longior om, a, b, r, hic et infra; 1, f, s. II dupla rasura deleium c; sed hoc et sequentia propor- tionum vocdbula uno versu promoia sunt in a, c, r, s aique in c m /ine addita est sesquisexta ad implendum ultimum versum, qui in a, r, s proporiionis nomine vacat, 22 longior] i, f, s. |! sesqualter genusque masculinum eiiam in reliquis vocabulis f. 23 VI III. rasura deletum c. 24 longior oni, f. hic et infra.

11 XII. rasura deletum c. 26 XVI] X in litura c. 27 XXV] XX in liiura c.

INST. ARITHM. II, 45. 46. 149

Parte altera loDgior XXX. sesquiquinta

Tetragonus XXXVI. sesquiquinta

Parte altera longior. XLII. sesquisexta

Tetragonus. XLVIIII. sesquisexta

Quae medietates quihus rerum publicarum statibus com' 5

parentur,

XLV. Atque ideo arithmetica quidem rei publicae com- paratur, quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. Musicam vero medie- tatem optimatium dicunt esse rempublicam ideo, quod in lo maioribus terminis maior proportionalitas invenitur. Geo- metrica medietas popularis quodammodo et exaequatae civilatis est. Namque vel in maioribus vel in minoribus aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum ius in propor- ^^ tionibus conservantis.

XLVI. Post baec igitur tempus est, ut expediamus ^^ nunc quiddam nimis utiie in Platonica quadam disputa- tione , quae in Timaei cosmopoeia haud faciii cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae Ogurae, quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate

2 XXX VI] X in liiura c. 3 XLII] XL in litura c. || sesquiquinta c. 4 XLVJIII] L in litura c ; XLIX in litura r 5 Jnscript, am. a, c, d, f. 7 XLIIII. 1. || quidem arithme- tica c, r, s. || ei reipublicae f. 9 sit] fit f ; est a. 10 opti- matnm c, f; optimatium in optiniatum mutatum d. 15 in proportionibus] pro portionibus f. 16 sibi conservantis r; eonservatis, n supra a, a; conservans, ti supra n, d. 17 Inscript, om, d. In a legitur inscriptio capitis quadragesimi tertii, || una tantum] unitatum f. 18 iungunturc; iungatur f. 19 collocantur c, r. 20 XLIII. a; XLV. 1. 21 quod- dam a. 22 timerica a. || cosmopoetica a, c; cosmopoetico r. 23 enim om, a. || plane d.

150 INST. ARITHM. II, 46.

geometrica continuantur; aiia, quae iungat, non polest inveniri; unde duo tanlum in liis intervaila sunt consti- tuta> a primo sciiicet ad medium et a medio ad tertium. Si vero fuerint cybi, duas tantum iiabebunt medielates,

5 ubi tertia inveniri non poterit secundum geometricam scilicet proportionem ; unde formae solidae tria iutervalla dicuntur habere. Est enim unum intervaiium a primo ad secundum et a secundo ad tertium et a tertio ad quartum, quae est sciiicet postrema distantia. Recte igitur et pia-

10 nae figurae duobus intervaliis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni •Illl- scilicet et •VIIII- Horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad •IIII* sesqualter est et •VIIIl- ad senarium eodem modo sesqualter. Hoc autem

15 idcirco evenit, quod singula iatera singulorum tetragono- rum efficiunt senariam medietatem. ^Nam quaternarii te- tragoni latus binarius est, novenarii ternarius. Hi ergo multiplicati senarium perfecerunt; bis enim III- senarius est. £t quotienscunque datis duobus tetragonis eorum

20 medietatem volumus invenire, latera eorum muitiplicauda sunt, et qui ex his procreabitur , medietas est.^ Si autem cybi sunt, ut VIII- et XXVII-, duae tantum inter lios ea- dem proportione medietates constitui queunt, XII- sci- iicet et XVm- Namque Xll- ad Vni. et XVHI. ad XII.

25 et XXVII- ad .XVIII- sesqualtera tantum proportione iun- guntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Nam- que ex uno cybo, qui propinquior est, una medietas duo latera colligit, ex alterjiatim vero posito unum. ^ln alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cybi et

30 in medio eorum duae medietates, quas superius diximus: VIIL XII. XVIII. XXVII. Octonarii igitur latus est bi-

Nam- que ex uno cybo, qui propinquior est, una medietas duo latera colligit, ex alterjiatim vero posito unum. ^ln alia quoque medietate idem est. Ponantur enim duo cybi et

30 in medio eorum duae medietates, quas superius diximus: VIIL XII. XVIII. XXVII. Octonarii igitur latus est bi-

2 intervalla in his c; in his supra versum a. 9 soilicet est a, c; est om. s. 12 in eandem proportionem c, r, 8. 14 autem] igitur f. 15 iccirco 1. || covenit d. 16 seaa- rium a. 18 perfecerunt senarium c, s. || tres c, d, f. 19 datis om. c. || tetragonis additis c. 20 inveniri c. 21 autem] enim a. 22 cubi f. || sint c, d, f, 1, r. || hos] eo0 a. 27 medietates d. 28 collegit a, r. 30 quas] qua d.

INST. ARITHM. U, 46. 151

narius; bis enim bini bis octonarium referunl: ternarius vero XXVII- cybi latus est; ter enim tres ler XXVII- restituunt. Medietas igitur, quae iuxta octonarium est, id est XII-, rautuatur duo latera ex propinquo sibi . octonario et aliud unum latus ex altrinsecus posito 5 • XXVII • cybo. Bis enim bini ter • XII • pandunt. Et •XVIII- eadem ratione duo latera a propinquo sibi •XXVII- cybo coiligit et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis -XVIir concludunt? Hoc autem universaliler speculandum est. Si tetragonus lo tetragonum mulliplicet, sine dubio tetragonus provenit; sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetrago- nus, semper parte altera longior crescit. Rursus si cybus cybum multipUcaverit, cybi forma conficitur, si i^ vero parte altera longior cybum vel cybus parte altera longiorem, nunquam cybus procreabitur. Hoc scilicet secujidum simititudinem paris atque inparis. Par enim parem si muUiplicet, semper par nascitur et inpar in- parem si multiplicet^ inpar continuo procreabitur. Si 20 vero inpar parem vel si par inparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de republica eo loco, qui nu- ptialis dicitur, quem ex persona musarum philosopbus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeun- 25 dum est.

l bini hkda f; bini bi» enim 4. 0 referunt] ferunt b, c, 1; f ecexunt d , f , r , s ; . ferunt, re ex corr. addito , a. 2 tres terni b, 1. 3 restituent s. 8 uno b, c, f, 1; uno corr.in unum r. || ab om. d, s. 13 tetragonus est, sed f. 14 sem- per] per in liiura b , c; neque 1, s. j] semper parte aitera lon- gior crescit] d in margine: neque parte altera longior ad- erit. Sin autem parte altera loBglor parte altera longiorem maltiplieavevit; r in margine: Si autem parte altesa loxigior multiplicet parte altera longiorein semper parte «Itera longior crecit {sid), \\ Posi longior adduni b, c, 1, s: aderit. Sin autem parte altera longior parte altera longiorem multipli- oaverit semper parte altera longior^ || orescet 1. 19 si parem b. 20 procreatur d, f, 1, r.

152 INST. ARITHM. II, 47.

De armonica medieiaie eiusque proprieiatibus,

Sin autem parte altera longior parte altera longiorem multipli- oaverit semper parte altera longior^ || orescet 1. 19 si parem b. 20 procreatur d, f, 1, r.

152 INST. ARITHM. II, 47.

De armonica medieiaie eiusque proprieiatibus,

XLVII. Armonica auteni medietas esl, quae neque eisdem difTerentiis nec aequis proportionibus constituitui% sed illa , in qua quemadmodum maximus terminus ad par- 5 vissimum terminum ponitur, sic differentia maximi et medii contra difTerentiam medii atque parvissimi compa- ratur ; ut si sint III. IIIl. VI. vei si II. III. VI. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus, quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenir^

10 id est uno, et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in bis neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem diiferentiae , est au- tem quemadmodum maximus terminus ad parvissimunri

15 terminum , si quae a cantilenae dulcis de- lectalione seiuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum sit, mundi ajiunam

5 musica convenientia fuisse coniunctam. Cum enim eo, quod in nobis est iunctum convenienterque coaptatum, illud excipimus, quod in senis apte con?enienterque coniunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica

10 est enim similitudo , dissimilitudo odiosa atque contraria. Hinc etiam morum quoque maximae permutationes fiunt. Lascivus quippe animus vel ipse lascivioribus delectatur modis vel saepe eosdem audiens emoliitur ac frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet vel incita-

15 tioribus asperatur. Hinc est quod modi etiam musici gen- tium vocabulo designaH sunt, ut lydius modus et phry- gius. Quo enim quasi una quaeque gens gaudel , eodem mpdus ipse vocabulo nuncupatur. Gaudet vero gens mo- dis morum similitudine ; neque enim fleri potest, ut mol-

20 lia duris, dura mollioribus adnectantur aut gaudeant, sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo con- ciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in re publica labem quam pau-

2^ latim de pudenti ac modesta musica inventere. Statim enim idem quoque audientium animos pati paulatimque discedere nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aliquid, vei per asperiores ferox atque imniane mentibus illabatur.

2 sit omnino k. [| a om. i. 6 est om, f. 8 eoque] eo 1; eo qnod o. 9 similitudine compactos .... multipli- cem musicam reddens desunt in t, folio uno deperdito. || com- paratos et supra versum compactos f. 10 contraria atque

odiosa h, k. 11 quoque 07n. 1. || maxime f, g, h, i, 1, o. 12 ipse et supra versum al ipsis h, k. ' 13 modis delecta- tur 1. II sepe f. 14 alterum incitatioribus om. f , I. 15 Hinc etiam quod modi musici h, k. 16 frygflus 1. 17 gaudeat f. 1. 18 modis om. 1. 22 etiam Plato 1. 23 musica

om. 1. 28 si] sive I. || modos] mores f.

}

INST. MUS. I, 1. 181

Nulla enini magis ad animiim disciplinis via quam auribus patel. Cum ergo per eas rythmi modique ad animum us- que descenderint, dubitari non potest, quin aequo modo^ mentem atque ipsa sunt afficiant alque conforment. jj^ vero etiam intellegi in gentibus^go^st. Nam^^iuaS^spe- 5 riores sunt, Getarum duriorifi^usdefectatitin^^odis, quae vero mansuetae, mediocribus; quanquam id boc tempore paene nullum est. Quod vero lascivum ac molie est genus humanum, id totum scenicis ac thealralibus modis tene- tur. Fuit vero pudens ac modesta musica , dum simpli- lo cioribus organis agerelur. j Ubi vero varie permixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam spe- ciem servat. Unde Plato praecipit minime oportere pue- ros ad omnes modos erudiri sed potius ad valentes ac i5 shnplices. Atque hic maxime retlnendum est illud, quod si quo modo per parvissimas mutationes hinc aliquid per- mutaretur, recens quidem minime sentiri, post vero magnam facere differentiam et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam rei publicae Plato 20 arbitratur musicam optime moratam pudenterque con- iunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula nec effeminata nec fera nec varia. Quod Lacedaemonii ma- xima ope servavere, dum apud eos Thaletas Cretensis Gortynius magno pretio adcitus pueros disciplina musi- 25 cae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in more diu-

2 eas] has f. || usque om, h, k. 4 atque] supra ver- sum &k ad quae g. \\ ipsae f. {Fortasse: ipsi). 7 Supra

quanquam additum est in g: interpositum. 8 lascivium g, o. 9 scaenicis g, o. 11 ageretur 0772. 1. 12 tracta g, 1, o. f ac k, acque g, 0. 13 pene h. 16 hinc h, k, 1. [] illud est f. 17 quo] aliquo 1. |) Post hinc interserit o scholion,

quod in f, k, h in margine legitur: Nove adverhialiter . . . per- cipitur donec. || permutaretur] Coniicias permutetur. 19 Post differentiam adiiit g liquet, quod inhsupra versum sec. manus addidit. Verisimilius videtur aut ante post excidisse possit aut /^o^^delabi: necesse sit vel simile quid, \\ usque ad animum h, k. 20 custodiam esse I. 25 Gortinus g, h, k, 1, o. {For- tasse: Gortyne.) || precio 1. | ascitns g, h, 0; asscitus k.

disciplinae f. 26 imbuerit f, g, h, k, o. I| in morem g, h,

180 INST. MUS. I, 1.

20 custodiam esse I. 25 Gortinus g, h, k, 1, o. {For- tasse: Gortyne.) || precio 1. | ascitns g, h, 0; asscitus k.

disciplinae f. 26 imbuerit f, g, h, k, o. I| in morem g, h,

180 INST. MUS. I, 1.

affectu quodam spontaneo modis musicis adiungunf ut nulla omnino sit aetas> quae a cantilenae dulcisf ^^/^?j j lectalione seiuncta sit. Hinc etiam internosci pC ^^na quod non frustra a Platone dictum sit, mundi ^-^.^^^^nde ^^'^iica convenientia fuisse coniuncti»!*» - ^**3ni msigi«%, 5 est lS|/«,. nobis est iinyf^h^^uv^i am in -P- vertentium, ' ipsum de eo consuitum isdem verbis Graecis apposui:

EHEIAH TIMO0EOP 0 MIAHCIOP nAPAriNOMENOP EN TAN AMETEPAN HOAIN TAM HAAAIAN MOOAN ATI- MACAE KAI TAN AIA TAN EnTA XOPAAN KieAPI^IN

10 AHOCTPEcDOMENOP nOAYOCONIAN EICArCON AYMAINE- TAI TAP AKOAP TOON NEOON AIA TE TAP HOAYXOPAIAP KAI TAP KENOTATOP TCO MEAEOP AfENNH KAI HOIKIAAN ANTI AHAOAP KAI TETAfMENAP AM0IENNYTAI TAN MCOAN EHI XPCOMATOP CYNEICTAMENOP TAN TOO ME-

15 AEOP AIACKEYAN ANTI TAP ENAPMONICO HOT TAN ANTICTPOOON AMOIBAN nAPAKAHGEIC AE KAI EN TON

k, 1, o. 3 multiplicem k. || exegere f, 1; 4 consultum- que f , 1, o. 5 litteram om, [| q] l g- 6 hisdem g, h, k, o; in isdem f. 7 f^erba graeca pessime scripta leguntur in f, h, k, 1, o; g tantum quattuor prima vocabtda graeca ha- bet, deinde interpretationem dat latinam, quae in f, h, k, 1 in- tra lineas repperitur, Ex ineptissimis scripiurae mendis, quae maxime veri similia erant, restitui. 7 BnuSri om, o. Bnzava Pg II xiiLOoq fiUri A HEPI TOYTOIN TQP BACIAEAP KAI TCOP EOOPQP MEMVATTAI TIMO0EON EHANArKASAI AE KAI TAN 5 ' ENAEKA XOPAAN EKTAMONTAP TAP HEPITTAP YHO- AinOMENCOP TAP EHTA OnOP EKACTOP TO TAP HO- AIOP BAPOP OPCON EYAABHTAI EN TAN CHAPTAN EHI- 07tOQp^j Tog stpogag P^, 6 SfiSfiq)OVT€i f. \\ snavayHa^at] ngoarid^rfHrjv f; snslvaTHaiSaL h, k; snavanaTai C; alierapars huius verhi obscurior est in o. [| 8s om. Pj. {{ svdrjnaTriv f. 6 ;uop- diai' C, II snTSvag rag f. Coniecerim scriptum fuisse SHrafirjv omisso aitero rap, quod deest in f et k. |{ v^roiliffO/Lifii^aDp] ivoXinofi>sv(a \x'y volinofisvoyn', vgnoXmofisvog f; inoXinofisven 1; . . . ^Lnofisvo o; vnoXtnofisvo) Pj, Pj, P3. Fortasse scriben- dmn vnoXinofkSvpv. 7 c^rTarooi^opf h, k; snraxogSav f, 1; etTTCK o. 11 ammg P^. || xaffTop h, k, 1; xtrapifi f; avogs- Y,aGTog,o\ wnog anaaTog C. || snra oncag om. P, {{ to rag «o- Xto^] TOVTO og fiovog noXiTig £. 8 onov f, h, k, Pj; ogov 1; oncDv o; ogiov C; ogov Pi. [{ ev^al^T^rai] sqpoojSf^ij f; fii^fi- Tort 1; vsLXaprjstai 0. {{ tp tsv anagrrjv snnpsgrjv rt i^OTf Ta aifiq^rjgovra todv Q^iaiov iKTSvog fis noTS sogi§iai 'KXscng tov ayofvovv Ttav f. || snav h, k; ig tsv f; si rav 1; fiv rar o; ST xav C, Pj, Pj, Pg. 11 sntfpsgrjv f, h, k, o, Pj, Fj, P3. 9 va- Tov h, k, 1, o; vsTCDV C, Pj, P^; ijtov Pj. {| TapapCTa^ h, k, 1; Tapa o; ra-gagsrag C; ra nansrag P,; TagagsT P^; Tapttperap Pg. lOayoi^TOi' h, k, 1, o, Pj, P3; arovoiv C; agov- Tov P,. 11 Verhis graecis subiungit f A«we inierpretationemy cui lectionum vaiietaiem inlerpono, quam praebent inira lineas

184 INST. MUS. I, 1.

Milesio Spartiatas succensuisse, quod muUiplicem musi- cam reddens puerorum animis, quos acceperat erudien- dos, officeret et a virtutis modestia praepediret, et quod armoniam, quam modestam susceperat, in genus chro-

. 5 maticum, quod mollius est^ invertisset. Tanta igitur apud eos tuit musicae diligentia, ut eam animos quoque obti- nere arbitrarentur. Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in cor- porum vel in antmorum affectionibus miranda perfecerit.

10 Ciu enim est iliud ignotum, quod Pythagoras ebriuna

Tanta igitur apud eos tuit musicae diligentia, ut eam animos quoque obti- nere arbitrarentur. Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in cor- porum vel in antmorum affectionibus miranda perfecerit.

10 Ciu enim est iliud ignotum, quod Pythagoras ebriuna

f, h, k, 1 et interpretalio codicis g (Quae quadratis uncis in-- clusi additamenta sunt, quae rotundis, variae lectiones), Haec est autem interpretatio illorum. Quoniam Tlmotheus [art. f] Milesius adveniens (veniens 1) in [art. f. hanc 1] nostram civitatem [art. f] antiquam, propriam civitatem (MOAn g i. e. musam) spernens [autem g, h, k (et f, 1), eam g, h, k (art. f) propter g, h, k (art. f)], septem (VII g) chorda- rum cytharam subvertit, modulationem multarum (multas g, k, 1) vocum (voces g, k, 1) introducens [ac gj demollivit [art. f] auditus [art. f] iuvenum [per f, g, h, k, 1; art fj, mnltas chordas et (etenim f, g, h, k^ 1) novam (art. VIIII h, k) modulationem genuit et variam propriam (pro g, h, k, 1) simpla et ordinata (ordinatam h, k) circumvenit [art. f. MOAn g (pro f; |>. n. civitatis h)] in {om. 1) cromaticum genus constituens, quod est (om. 1.) molUus, divijBionem (di- visum 1) pro {om, 1) enarmonico (-nio g, h, k; om, 1) faciens conversionem [que g] mutuam, vocatus (vocatos g) autem {om. 1) [et f, g, h, k, I, in art. h, k, f] in {pm. f) agonem [art. f] eleusinae (eleusiniae g, h, k) matris [art. fj tnrpitu- dinem {om, 1) divulgavit [art. f. fabulosa f, g, h, k, IJ, disper- sione enim (etenim g) [art. f. simele g, semele h, k, 1; se- meles fj partus (fuit 1) non undecies (XI g)*novus (novis g, novas h, k) doctrina (doctrine 1) edocuit (edocui h, k): de talibus reges et rhetores accusabant [art. f] Timotheum. Ad- ' ilidit autem et [art. f] uudecimam (undecim 1) chordam (chor- das 1) . extendens enim {om, g, h, k, 1) superfluas relicta [art. f] •VII- chordarum cythara. Hoc {om, h , k , 1) ut singuiaris civis gravis videns timuit in [art. fj Spartam indicare (iudi- care f; inducere 1) aliquid {om, 1) inconvenientium [art. f victimarum f; ultimarum g, h, k, 1] extentarum (ex tanta- rum h, k) ne forte perturbaret (perturbaretur g, h, k, 1) glo- riam (ffloria g, h, k, 1) [art. f] eertantium (certaminum g, h, k) [art. f]. 2 animos f. 5 est moUius f. 8 cantilena in margine k. 9 perfecerit om. i. 10 illud est 1.

INST. MUS, I, 1. 185

f] eertantium (certaminum g, h, k) [art. f]. 2 animos f. 5 est moUius f. 8 cantilena in margine k. 9 perfecerit om. i. 10 illud est 1.

INST. MUS, I, 1. 185

adulescentem Tauromenitanum subphrygii modi sono incl- taluin spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui com- potem ? Nam cum scortura in rivalis domo esset clausum atque ille furens domum vellet amburere, cumque Pytha- goras stellarum cursus, ut ei mos, nocturnus inspiceret, 5 ubi intellexit, sono phrygii modi incitatum multis amico- rum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adulescentis ad statum mentis pacatissimae temperavit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro, quem de cousi- lo liis suis composuit, aliter quidem, sed hoc modo: ,,Sed ut aiiqua similitudine adductus maximis minima conferam, ul cum vinolenti adulescentes tibiarum etiam cantu, ut fit, instincti muUeris pudicae fores frangerent, admo- nuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur. i5 Quod cum illa fecisset, tarditate modorum et gravitate canentis illorum furentem petulantiam consedisse." Sed ut similia breviter exempla couquiram, Terpander atque Arion Methymneus Lesbios atque lones gravissimis mor- bis cantus eripuere praesidio. Ismenias vero Thebanus 20 Boetiorum pluribus, quos ischiadici doloris tormenta vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Empedocles, cum eius hospitem quidam gladio ^furibundus invaderet, quod eius ille patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur canendi itaque adu- 25 lescentis iracundiam temperasse. In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit, ut Pytha- gorici, cum diurnas in somno resoiverent curas, quibus- dam cantilenis uterentur , ut eis lenis et quietus sopor in-

1 adolescentem h, k, f, 1, o. [ Taurominitanum k, f, 1, o. 2 spondeo modo f, || mitiorem reddiderit k. 4 amburere vel- let k. 5 ei om, i. 9 pacatissime k, f. \Z 'prms ut om, f. 14 ammonuisse k. 17 canentis] cantus KlotZy fragm, Cic. p. 303, II petulentiam f. || consedasse o; jesedisse Kloiz l.c. 19 Lesbios] Lybios !. 20 praesedio f. 21 isciatici g;

sciatici I. 22 cunctis g. 23 et om. i, o. 24 ille patrem eius i. 25 dampnasset f , g, h, k, 1, 0. || dicitur modnm 1. {j canendi dicitnr f. || atque ita li, k. 27 studiis om, 1; studiosis f. 28 dinturnas h. || in somno] insomnos f. 29 lenis et] le- nisset o. || et qnietus om. k.

186 INST. MUS. I, 1.

reperet Itaque experrecti aliis quibusdam modis stupo- rem somni confusionemque purgabant, id nimirum scien* tes quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione coniuncta sit. Nam ut sese corporis affectus

5 habet, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur, quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi ut insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus in custodia medendi causa viseret. Sed quor- sum istaec? Quia non potest dubitari, quin nostrae ani-

Sed quor- sum istaec? Quia non potest dubitari, quin nostrae ani-

10 mae et corporis status eisdem quodammodo proportioni* bus yideatur esse compositus, quibus armonicas modula- tiones posterior disputatio coniungi copularique monstra- bit. Inde est enim, quod infantes quoque cantilena dul- cis oblectat, aliquid vero asperum atque inmite ab au-

15 diendi voiuptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur omnisque sexus; quae licet suis actibus dislributa sint, una tamen musicae deieclatione coniuncta sunt. Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? quod maxime muiiebre est, ut cum cantico

20 quodam dnlcior fiat causa deflendi. Id vero etiam fuit an- tiquis in more, ut cantus tibiae iuctibus praeiret. Testis est Papinius Stattus hoc vcrsu :

,,Cornu grave mugit adunco Tibia, cui teneros suetum producere manes."

25 Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate id quod canit afficiat, sed quod quandam insitam dulcedinem ex animo proferentes, quoquo modo proferant, delectanlur. Nonne illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos

sotubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacalo statu quemquam ad furorem alque iracun-

5 motibus] raodis o. || incitatiir g. 6 videlicet et k; scilicel et g, h, 1. 7 ut om. g, h, k. 9 ista g, h, k, 1, o. 10 status om. l. 13 enim est 1. 15 etiam om, k. 16 pati- tur om, k. 20 fit i. || vero om. o. etiam om. 1. 21 in mo- rem g, h, k, 1, o. || lucti cum litura f. 22 Tatius f, g, h, i, k, o. 24 suetum teneros k. 26 afficiat id quod canit g, h, k, 1. 28 proferentis i, f. [| proferat, delectatur f. 29 bello I. 31 quempiam h, k. || ad iracundiam f.

INST. MUS. I, 2. 187

diam posse proferri, non est dubium quod conturbatae mentis iracundiam vel nimiam cupiditatem modestior mo- dus possit adstringere. Quid? quod, cum aliquis cantile- Dam iibentius auribus alque animo capit, ad illud etiam non sponte convertitur, ut motum quoque aliquem simi* 5 lem auditae cantilenae corpus effingat; et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat? ut ex bis omnibus perspicue nec dubitanter appareat, ita nobis musicam naturaliter esse coniunctam , ut ea ne si velimus quidem carere possimus. Quocirca intendenda lo vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, scientia quoque possit conprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit borum proprietas investigaverint, sic non suflficit cantilenis musicis delectari , nisi etiam quali i5 inter se coniunctae sint vocum proportione discatur.

Tres esse musicas ; in quo de vi musicae.

Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit borum proprietas investigaverint, sic non suflficit cantilenis musicis delectari , nisi etiam quali i5 inter se coniunctae sint vocum proportione discatur.

Tres esse musicas ; in quo de vi musicae.

II. Principio igitur de musica disserenti illud interim . dicendum videtur, quot musicae genera ab eius studiosis conprebensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima 20 quidem mundana est, secunda vero bumana, terlia, quae in quibusdam constiluta est instrumentis, ut in citbara vel tibiis ceterisque, quae cantilenae famulantur. Et prL-^ mum ea, quae est mundana^ in bis maxime perspicienda est, quae in ipso caelo vel compage elementorum vel tem- 25 porum varielate visuntur. Qui enim fieri potest, ut tam velox caeli machina tacito silentique cursu moveatur? Etsi ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod mullis fieri de causis necesse est, non poterit tamen motus tam velo- cissimus ita magnorum corporum nullos omnino sonos 30

1 quod et supra verstwi quin g. 3 abstringere f. || Quic o. 6 quid est quod h, k; quid et supra i o g. 9 natura- iiter musicam f. 10 intenda 1. 11 id bm. h, k. || naturae g, h, k, i, o. 17 de vi musicae narratur h, k, 1. 18 de musica om, f. || disserendi k, o; disserendi corr, sec, manu in disserenti h. [| interim om. 1. 20 noverimus esse com- prehensa f || esse om, 1. || Et om, k. 21 quae mundana k. 22 citharis h, k. 25 celo 1.

188 INST. MUS. I, 2.

ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coapta- tione contuncti, ut nihil aeque compaginatum, nibil ita commtssum possit intellegi. Namque aiii excelsiores alii inferiores feruntur, atque ita omnes aequali incitatione

&volvuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac caeiesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. lam vero quattuor ele- mentorum diversitates contrariasque potenlias nisi quae- dam armonia coniungeret, qui fieri posset, ut in unum

10 corpus ac machinam convenirent? Sed haec omnis diver- sitas ila et temporum varietatem parit et fructuum, ut ta- men unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tantam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione decerpas, cuncta pereant nec ut ita dicam quicquam con-

]5 sonum servent. £t sicut in gravibus chordis is vocis est modus^ ut non ad taciturnitatem gravitas usque descen- dat, atque in aculis iUe custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenuitate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens: ita etiam in

20 mundi musica pervidemus nihil ita esse nimium posse, ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus aut aliis auxiliatur ut alTerant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, ma- turat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos af-

Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus aut aliis auxiliatur ut alTerant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, ma- turat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos af-

25 ferunt fructus vel aliis ut aiferant subministranl; de qui- bus posterius studiosius disputandum est. Humanam vero musicam quisquis in sese ipsum descendit intellegit. Quid est enim quod illam incorpoream rationis vivacitatem cor- pori misceat, nisi quaedam coaptatio et veluti gravium

30 leviumque vocum quasi unam consonantiam efficiens tem-

1 sunt f; sit, n correctione addfto, i. [) coaptione f. 2 nichil o; nihilque h, k. [) ita , . . feruntur atque om, o. 3 commixtum g, 1; coniunctnm h, k. 4 etiam ita o. 6 de supra ducatur g. 10 convenire, cui seatnda manus nt, ter- tia tur addidit, i. || omnium h, k. 11 ut tamen bis 1. 15 sicut] ut 1. II 18 om, k, 1. 19 consentiens f. 21 qiiidquid k. 23 hiemps f, g. || relaxet k. 24 afferant fructus 1. 26 studiosius om. f, 27 sese] se h, k, 1. 28 enim om. 1. ' corporei 1.

INST. MUS. 1, 3. 189

peratio? Qiiid est aliud quod ipsius inter se partes ani- mae coniungat, quae, ut Arisloteli placet, ex rationabili inrationabilique coniuncta est? Quid vero, quod corpo- ris elennenta permiscet, aut partes sibimet rata coapta- lione contineat? Sed de hac quoque posterius dicam. Ter- 5 i tia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur in- strumentis. Haec vero administratur aut intentione ut nervis, aut spiritu ut tibiis, vel bis, quae ad aquam mo- ventur, aut percussione quadam, ut in liis, quae in con- cava quaedam aerea feriuntur, atque inde diversi efficiun- lo tur soni. De hac igitur instrumentorum rousica primo hoc opere disputandum videtur. Sed proemii satis est. Nunc de ipsis musicae elementis est disserendum.

) m. Consonantia, quae omnem musicae modulationem i5

regit, praeter sonum fieri non potest, sonus vero praeter quendam pulsum percussionemque non redditur, pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi prae- cesserit motus. Si enim cuncta sint inmobiiia , non pot- i erit alterum alteri concurrere, ut alterum inpellatur ab 20 ! altero, sed cunctis stantibus motuque carentibus nullum j^ fieri necesse est sonum. Idcirco definitur sonus percussio f aeris indissoluta usque ad auditum. Motuum vero aiii i sunl velociores, alii tardiores, eorundemque motuum alii [ rariores sunt alii spissiores. Nani si quis iu continuum 25

moturo respiciat. ibi aut velocitatem aut tarditatem ne- I cesse est conprehendat, sin vero quis moveat manum aut ^ I frequenti eara motu movebit aut raro. Et si tardus qui- ^ dem fuerit ac rarior motus , graves necesse est sonos effici

I 1 est autem aliud g, h, k. || animae inter se partes H,

ibi aut velocitatem aut tarditatem ne- I cesse est conprehendat, sin vero quis moveat manum aut ^ I frequenti eara motu movebit aut raro. Et si tardus qui- ^ dem fuerit ac rarior motus , graves necesse est sonos effici

I 1 est autem aliud g, h, k. || animae inter se partes H,

' k. II animi iungat i. 4 rata om, f. 5 posterius quoque h, k. 7 amministratur k. || intensione f. 8 aquas I. 9a percnssione 1. [] quae in] ubi f. 10 aera f, 1. [j inde om, f; ita o. 11 musiccc f. || prima f. 12 videntur 1. |j pro- hemii f , 1. 14 Inscript. om. g. [| de om. f , h, k, 1. 15 re- git masicae modulationem k. 16 non potest] nequit f. 22 diffinitur f, 1, o. 24 sunt alii f. 28 tardior et supra versum l us f. 29 ac] aut g, h, k.

190 INST. MU8. I, 3.

ipsa tarditate et raritate pelleodi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sodos. Idcirco enim idem nervus, si intendatur amplius, acutum sonat, si remittatur, grave. Quando enim tensior est, veiocio-

5 rem pulsum reddit celeriusque revertitur et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos puisus effert rarosque ipsa inbecillitate feriendi, nec diutius tremit Neque enim quotiens chorda peilitur» unus edi tantum putaudus est sonus aut unam in tiis esse

10 percussionem, sed totiens aer feritur, quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam iunctae sunt velo- citates sonorum, nuila intercapedo sentitur auribus et unus sonus sensum pellit vei gravis vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus

15 et rarioribus acutus vero ex celeribus ac spissis: veiut si conum, quem turbinem vocant, quis diligenter extornet eique unam virguiam coloris rubri vei alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus ru- bro coiore videtur infectus, non quo totus ita sit, sed

20 quod partes puras rubrae virgae velocitas conprehendat et apparere non sinat. Sed de his posterius. Igitur quo- niam acutae voces spissioribus et velocioribus motibus in- citantur, graves vero tardioribus ac raris, iiquet additione quadam moluum ex gravitate acumen intendi, delractione

25 vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim motibus acumen quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, ea necesse est in qua- dam numerositate consistere. Omnis vero paucitas ad

^ pluralitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum

30 comparatus. Eorum vero, quae secundum numerum con- feruntur, partim sibi sunt aequalia partim inaequaiia. Quocirca soni quoque partim sunt aequales, partim vero

3 idest f. 4 Quanto h, i, k, o. 7 rarusque f , o. || ipsa om, 1. 9 sonus putandas est 1. 15 et gravioribus, in margine autem vel rarioribus g. 1| ac] et g, h, k, o. U velud k. 16 turbonem f, g, h, k, 1, o. 20 quo f. 22 acutae quo- niam 1. |] motibus cordae g, h, k. 27 autem] enim k. 30 comparatur f. 31 sibi sunt] subsistunt 1. || sint g, h, k. 32 sunt partim 1.

INST. MUS. I, 4.1 191

15 et gravioribus, in margine autem vel rarioribus g. 1| ac] et g, h, k, o. U velud k. 16 turbonem f, g, h, k, 1, o. 20 quo f. 22 acutae quo- niam 1. |] motibus cordae g, h, k. 27 autem] enim k. 30 comparatur f. 31 sibi sunt] subsistunt 1. || sint g, h, k. 32 sunt partim 1.

INST. MUS. I, 4.1 191

suat inaequaliUte Idistantes. Sed in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est. Est enim consonantia dissimiliuni inter se vocum in unum redacta concordia.

Be speciebus inaequaliiatis. 5

IIII. Quae vero sunt inaequalia, quinque inter se mo- dis inaequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur, aut singulis parli- bus aut piuribus aut multipiicitate et parte aut multiplici- tate et partibus. Et primum quidem inaequalitatis genus 10 multiplei appeilatur. Est vero multiplex, ubi maior nu- merus minorem numerum habet in se totum vel bis vel ter vel quater ac deinceps, nihilque deest, nihil exuberat. Appellaturque vel duplum vel triplum vel quadruplum at- que ad hunc ordinem in infinita progreditur. Secundum 15 vero inaequalitatis genus est, quod appellatur superpar- ticulare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum et unam eius aliquam partem eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesqualtera pro- portio, vel tertiam, ut quattuor ad tres, et vocatur ses- 20 quitertia, atque ad hunc modum etiam posterioribus nu- meris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur. Tertium vero genus inaequalitatis est, quo- tiens maior numerus totum intra se minorem continet et eius aliquantas insuper partes. Et si duas quidem supra 25 continet, vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres, sin vero tres super continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt septem ad quattuor, et in cete- ris quidem eadera esse similitudo potest. Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex muitiplici et superparti- 30

1 snnt om. h, k ; slnt g. 3 Est enim consonantia om, 1 ; Etenim consonantia est g, h, k. 5 Inscript. om, g. De quatuor speciebus. 1. 6V ^ cuius numeris consonaniiarum no-

VI. VIII.

minc^ adscripia sunt; o similem habet figuram omissis lineis et numero -VI-

198 INST. MUS. I, 11.

ct -VI- ponderibus vergebant, diapason in duplo concinen- tiam personabant. Malieus vero *X1I- ponderum ad mal- leum •VIIII' et malleus •VIII- punderum ad malleum -VI- ponderum secundum epitritam proportionem diatessaron 5 consonantia iungebatur. •Vllil- vero ponderum ad -VL et •Xil- ad -VJir diapente consonantiam permiscebant. •yilll* vero ad -Vlir in sesquioctava proportione resonabant tonum.

Quibus modis variae a Pythagora proporiiones conso- 10 nantiarum perpensae sini,

XI. Hinc igitur domum reversus varia examinatione perpendit, an in his proportionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Nunc quidem aequa pondera nervis aptans eorumque consonantias aure diiudicans, nunc vero

Quibus modis variae a Pythagora proporiiones conso- 10 nantiarum perpensae sini,

15 in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens ceterasque proportiones aptans integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe etiam pro men- surarum modo cyathos aequorum ponderum acetabulis inmittens; saepe ipsa quoque acetabula diversis formata

20 ponderibus virga vel aerea ferreave percutiens nihil sese diversum invenisse laetatus est. Hinc etiam ductus longi- tudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret ad- gressus est. Itaque invenit regulam , de qua posterius loquemur, quae ex re vocabulum sumpsit» non quod

25 regula sit lignea, per quam magnitudines cbordarum sonumque metimur, sed quod regula quaedam sit huius- modi inspeclio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio falial indicio.

2 qui •XII- f, g, h, k, 1. 5 consonantia om. h. k. |. coniungebatur h, k. 8 tonum om. 1. 9 Inscript. om. g, 1. ! consonantium f. 10 sunt f. 14 audire i. 17 fidem om. 1. 18 cjatos f, h, l, o. 19 quoque ipsa acitabula f. 20 percuciens g. 21 diversum sese laetatus est invenisse k. I invenire, r sec, manu in ss mutato f. I| testatus est o. 25 lignea sit regula f. 26 sonorumque i. |1 sit quaedajn k. 27 inspeccio g.

I f

INST. MUS. I, 12. 13. 199

De divisione vocum earumque explanaiione,

XII. Sed de his hactenus. Nunc vocum differentias colligamus. Omnis vox aut avvsx^S 6st, quae continua, aut Siaatrifiattxrj , quae dicitur cum intervallo suspensa. Et continua quidem est, qua loquentes vel prosam oratio- 5 nem legentes verba percurrimus. Festinat enim tunc vox non haerere in acutis et gravibus sonis, sed quam velo- cissime verba percurrere» expediendisque sensibus expri- mendisque sermonibus continuae vocis impetus operatur. ^Laatfi^atLKti autem est ea, quam canendo suspendimus, lo in qua non potius sermonibus sed modulis inservimus, estque vox ipsa tardior et per modulandas varietates quod- dam faciens intervallum , non taciturnitalis sed suspensae ac tardae potius cantilenae. His, ut Albinus autumat, ad- ditur tertia differentia, quae medias voces possit includere, i5 cum scilicel heroum poema legimus neque continuo cursu, ut prosam, neque suspenso segniorique modo vocis, ut canticum.

Quod infinitatem vocum humana natura finiverit,

XIII. Sed quae continua vox est et ea rursus , qua 20 decurrimus cantilenam, naturaliter qpidem infinitae sunt. Consideratione enim accepta nuHus modus vel evolvendis sermonibus fit vel acuminibus adtollendis gravitatibusque iaxandis, sed utrisque natura humana fecit proprium (iaem. Continuae enim voci terininum humanus spiritus 25 facit, ultra quem nulla ratione valet excedere. Tautum enim unusquisque loquitur conlinue, quanlum naturalis

Continuae enim voci terininum humanus spiritus 25 facit, ultra quem nulla ratione valet excedere. Tautum enim unusquisque loquitur conlinue, quanlum naturalis

1 Inscript, om, g. || earnmqae explanatione om. 1. 8 est qaae supra versum f. 6 Festinet h, k; Festinet, at supra et, g. 10 Post suspendimus addunt g, h, k, 1: et ideo non sunt ibi accentus observandi, quae supra versum scripta sunt itt fi 16 poemata, g, h, k, 1, o. 18 can omisso ticum 1. 19 Quod om, k. || unitatem i. 21 quidem om. h, k. || in- finita est i. 22 acceptae h, k; acceptae, a supra ae, g, 1. I modis 1. 24 humana natura k. 26 fecit codd, 27

continuae g. [| natura h, k.

200 INST. MUS. I, 14. 16.

spiritus sinat. Rursus diaatrjfiatixi] voci natura homi- num terminum facit, quae acutam eorum vocem gravem- que determinat. Tantum enim unusquisque vei acumen valet extoUere , vel cleprimere gravitatem , quantum vocis 5 eius naturalis patitur modus.

Quis modus sit audiendi,

XIIII. Nunc quis modus audiendi sit, disseramus. Tale enim quiddam fieri consuevit in vocibus, quale cum [in] paiudibus vel quietis aquis iactum eminus mergitur saxum.

10 Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum giobos spargit, atque eo usque dum defatigatus motus ab eliciendis fluctibus con- quiescat. Semperque posterior et maior undula puisu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes

i5undas possit offendere, statim motus ille revertitur et quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem undulis rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet, itaque diffunditur et omnium circum stantium simul

20 ferit auditum. Atque illi est obscurior vox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit.

De ordine theorematum, id esi speculationum.

XV. Uis igitur ita propositis dicendum videtur, quot generibus omnis cantilena texatur , de quibus armonicae 25 inventionis disciplina considerat. Sunt autem haec: dia- tonum, chroma, armonia. De quibus ita demum explican- dum est, si prius de tetrachordis disseremus et quemad- modum auctus nervorum numerus, quo nunc pluraiita- tis est, usque pervenerit. Id autem fiet, si prius com-

2 quae natura h, k. '5 naturaliter g, h, k, 1. 6 Inscript, om, g. 8 [in] om. codd. 12 fatigatua g, h, k, 1. 20 ferit si- mul i. 22 Inscript, om, g. || id est speculationum om, 1. 2iJ dispositis o. 25 autem] igitur g, 1. 26 oromaticum enar- monicum f. 27 disseramus g, h, k, 1, o. 29 siet f.

INST.-MUS. I, 16.

201

memoremus, quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur.

De consonantiis proporlionum ei tono et semitonio.

XVI. Nam si vox voce duplo sit acuta vel gravis, clia- pason consonanliafiet, si vox voce sesqualtera proporlione 5

27 disseramus g, h, k, 1, o. 29 siet f.

INST.-MUS. I, 16.

201

memoremus, quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur.

De consonantiis proporlionum ei tono et semitonio.

XVI. Nam si vox voce duplo sit acuta vel gravis, clia- pason consonanliafiet, si vox voce sesqualtera proporlione 5

1 symphonicae f. 2 misceatur o. 3 ImcripL om. g. ^l et tono et semitonio om.. h, k; et tono om. 1. |] Huic capiti praemissae sunt in i et f descripiiones consonantiarum , quae in g, b, k, 1 medio capiti insertae sunt, in o in folio undesepiua- gesimo ex parie inveniuniur, Quae cum aperta sini additamenta, satis hahui et ea verba transscribere , quae in i et f descriptio- nibus addita sunt, quae eadem /ere in h, k, 1 descriptionibus ad- scripta sunt, et eas figuras describere, quas maxime idoheas g praebet. Leguntur igitur inietihaec: Diapason est sympbo- nia (sympbonia est f), quae fit boc modo (in duplo, ut est hoc f) : I. II. Diapente vero (est f), quae constat his numeris II. III. Diatessaron est, quae in hac proportione fit (con- sistit f .) III. IIII. Tonus vero hac (om. f) sesquioctava pro- portione concluditur (in hoc VIII. VIIII. f), sed in boc non- dum est consonantia (ut f ) •VIIL {om, f) •VIIII- (om. f). Dia- pason vero et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo: II. IIU. VI. Bis diapason quadrupla collatione per- ficitu^r hoc modo II. IIII. VIII. Diapente (vero f) ac dia- tessaron unum perficiunt diapason hoc modo: II. III. IIII. Figurae vero sunt hae:

Diapason.

I. II.

Diapente.

II. lll.

Diatessaron.

ni. uiL

um 1

Dupla. Sesqualtera.

Tonus.

VJII. VIIII.

Sesquitertia. Tripla.

Sesquioctava.

Quadrupla. P. IIlI.

VIII.

Dupla. 11.

III. IIIl.

4 voci g, 1.

LSesqualtera. Sesquitertia.

202 INST. MUS» I, 16.

sit vel sesquitertia vel sesquioctava acutior graviorque, diapente vel diatessaron vel tonum consonantiam reddet; item si diapason ut duo et quattuor et diapente ut sex et quattnor coniungantur, triplam, quae est diapason et dia-

5 pente, efQcient symphoniam; quod si bis diapason fiant, ut -IL ad •Illi* et •IIII- ad •VIII*, quadrupla fiet conso- nantia , quae est bis diapason ; quod si sesqualtera et ses- quitertia, id est diapente et diatessaron, ut •II* ad •III- et •III- ad -IIII- coniungantur, dupla, diapason nimirum,

10 nascitur concinentia. Quattuor enim ad -III. sesquitertiam obtinent proportionem , tres vero ad binarlum sesqualtera coniatione iunguntur; et idem quaternarius ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur, sed sesqui- tertia diatessaron, sesquaitera proportio diapente conso-

15 nantiam creat, dupla vero diapason efficit symphoniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason concinen- tiam iungunt. Rursus tonus in aequa dividi non potest, cur autem, posterius liquebit; nun& hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur.

Diatessaron igitur ac diapente unam diapason concinen- tiam iungunt. Rursus tonus in aequa dividi non potest, cur autem, posterius liquebit; nun& hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur.

20 Atque ut id facillime conprobetur, sit sesquioctava pro- portio -¥111- et -¥1111- Horum nulius naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur binario muitiplicemus, fiunt- que bis VUI. XVL, bis VIIU. XVIU. Inter XVI- autem ac •XVIII- unus numerus naturaliter intercidit, qui est scili-

25 cet •XVU- Oui disponantur in ordinem XVI. XVII. XVIII. Igitur XVI. ac XVIII- collati sesquiocUvam relinent pro- portionem atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem

4 coniun^nntar g, h, k, 1, o. 5 sjmplipniam om. i. fiat o. 6 •II. et IIII. et .IIIL et VIII- g, h, k, 1, o. || fiat g, h, k, 1, o. 9 dupla id est diapason nimirum g, h, k, 1, o. 10 continentia f. 12 conlatione om. f. || item h, k. 13 sed et sesquitertia f . 14 et sesqualtera f. 15 creant f. 16 igitur om. 1. [] diapente igitur ac diatessaron o. || con- sonantiam h, k. 17 Jn h et k kinc caput initium sumit cum inscriptione: De tono ae semitonio. 19 gemina om. h, k. 20 id] hoc h, k. 22 Hos igitur si f. 23 ac] et g, h, k, 1. 24 incidit g, h, k, 1. 25 XVI. XVII. et XVIII- k; XVI- et . XVII. et XVIII^ g, h, 1. 26 ac] et g, h, k, 1, o. |' copulati i. 27 iccirco f, k. [] propositionem et supra ver- sum recentiore manu proportionem h.

mST. MUS. I, 17. 203

XVII- numerus medius noii in aequalia partitur. Compara- tus enim ad -XVI- liabet in se totum -XVI. et eius sextam decimam partem, scilicet unitalem. Si vero ad eum, id esl ad XVII-, tertius •XVIII- numerus comparetur, habet €um tolum et eius seplimam decimam partem ; non igitur 5 isdem partibus et minorem superat et a maiore superatur. Et est minor pars septima decima, maior sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici soiet,

que ideo diezeugmenon tetrachordum hoc voeatum est. Quod si paramese auferatur et sit mese, trite, parauete^ 15 nete, tunc coniuncta, id est synemmena erunt tria tetra- chorda vocabiturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo:

Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanps meson Mese synemmenon Trite synemmenon Paranete synemmenon Nete synemmenon.

Sed quoniam in hac vel superiore endecachordi disposi- tione mese, quae propter mediam collocationem ita vocata

12 hic om. f. 13 est om. 1. 24 Mesen g, i, 1, o. 28 hac decachorda f. || endecachorda f. 29 huic mese f, 1|

collationem g, h, k, o.

INST. MUS. I, 20.

211

est, nete proxima accedit et longe ab hypatis ultimis di- stat nec proprium retinet locum, aliud unum tetrachor- dum adiunctum est super neten diezeugmenon , quae quoniam supervadebant acumine netas superius colloca- tas, omne illud tetrachordum hyperboleon vocatum est 5 hoc modo:

I, 20.

211

Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese

Paramese

Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon.

Sed quoniam rursus mese non erat loco media sed magis hypatis accedebat, idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslambanomenos — ab aliquibus autem prosmelodos dicitur — tonum integrum distans ab ea, quae est hypate hypaton. Et ipsa quidem, id est proslambanomenos a mese octava est, resonans cum ea diapason symphoniam. Eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron, ad quartam scilicet; quae lichanos

1 distat mese f. 2 nec] haec o. || proprium id est

medium f. 7 Descriptionem om, h. 21 ffis verbis prae-

missa est in g, h, k, 1. descriptio chordarum a proslambano- meno ad neten hyperboleon cum arcubus consonantiarum nomini bus inscriptis et notatione intervallorum, 22 accidebat f.

hypatas] hypatis f. 24 dicitur om, g, h, k, 1. || tono in tegro h, k, f, o. 27 Hchanos g, h, i, k, 1, o.

14*

212

INST. MUS. I, 21.

bypaton ad mesen resonat diapente symphoniam, et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tonum, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit dia- pente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten 5 hyperboleon quartam facit diatessaron consonantiam. Et proslambanomenos ad neten hyperboleon reddit bis dia- pason consonantiam.

Proslambanomenos vel prosmeiodos

Hypate hypaton

Parhypate hypaton

Lichanos hypaton

Hypate meson

Parhypate meson '

Lichanos meson

Mese

Paramese

Trite diezeugmenon

Paranete diezeugmenon

Nete diezeugmenon

Trite hyperboieon

Paranete hyperboleon

Nete hyperboleon.

De generibus canUlenae,

XXL His igitur expedilis dicendum de generibus me-

25lorum. Sunt autem, tria : diatonum, chroma, enarraoniuiii.

Et diatonum quidem aliquanto durius et naturalius,

chroma vero iam quasi ab illa naturali intentione disce-

1 mese k. 2 Et rursus k. || tono f, g, t, k, 1, o. 4 Posl consonantiam addunt g, h, k, 1: ad neten hyperboleon diapason. 6 reddidit i. 8 vel prosmelodos om, g, h, k, 1, 0. o addit descriptioni arcus cum inscripiionihus. 23 In-

scriptionem om. g, 1. 24 XXII. h. 25 diatonon i , f, o. 26 aliquando h, k. 27 discendens i, descendens f.

6 reddidit i. 8 vel prosmelodos om, g, h, k, 1, 0. o addit descriptioni arcus cum inscripiionihus. 23 In-

scriptionem om. g, 1. 24 XXII. h. 25 diatonon i , f, o. 26 aliquando h, k. 27 discendens i, descendens f.

INST. MUS. I, 21.

213

dens et in moUius decidens, enarmonium vero optime at- que apte coniunctum. Cum sint igitur quinque tetra- chorda: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon, in his omnibus secundum diatonum canti- lenae procedit vox per semitonium , tonum et tonum in 5 uno tetrachordo, rursus in alio [per] semitonium tonum ac tonum ac deinceps ; ideoque vocatur diatonum, quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur. Chroma autem, quod dicitur color, quasi iam ab huiusmodi intentione prima mutatio, cantatur per semitonium, semitonium et tria se- lo mitonia. Tota enim diatessaron consonantia duorum tono- rum est ac semitonii, sed non pleni. Tractum est autem hoc vocabulum, ut diceretur chroma, a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem. Enar- monium vero quod est, magis coaptatum est, quod can- 15 tatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et dito- num — diesis autem est semitonii dimidium — ; ut sit trium generum descriptio per omnia tetrachorda discur- rens hoc modo *

Diatonum.

Chromalicum.

semi- tonio

tono

semi- semi-

tonio tonio

Enarmonium

tribus semi- toniis

s s

D D

diesi diesi

ditono

2 Et cum k. (I igitur sint f. 6 — 6 et tonum . . . , tonum om. f. 6 per, qtiod uncis inclusi^ om. codices quos con* tuli omnes, \\ ac] et k. 9 quasi iam] qua suam f. || hu- iuscemodi f. 10 semitonium et semitonium g, h, k, 1. 12 est om. i, o. || est om, o. || autem om. 1. 14 colorem

transeunt f. || Enarmonium . . . ditonum] /n 1 praecedunt: Diesis autem est semitonii dimidium. 16 captatur o. 16 diatonum h, k, f; ditonum, a rasura deleto, g. 20 Dia-

tonicum et in margine diatonum h, k. 21 — 22. Intervallo-

rum signa om. i, f, o.

214 INST. MUS. I, 22.

De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus.

XXII. Nunc igitur ordo chordarum disponendus est omuium , quae per tria genera variantur vel in constanti ordioe disponunlur. Prima est igitur proslambanomenos.

5 quae eadem dicitur prosmelodos, secunda hypate hypa- ton, tertia parhypate hypaton. Quarta vero universaliter quidem lichanos appellatur, sed si in diatono genere apte- tur, dicitur lichanos hypaton diatonos, si vero in cbro- mate, dicitur diatonos chromatice vel lichanos bypaton

Post hanc vocatur hypate meson, dehinc parhypate meson, at- que hinc lichanos meson , simpliciter in diatono quidem genere diatonos meson, in chromate lichaDos meson chro-

15 matice vel diatonos meson chromatice , in enarmonio dia- touos meson enarmonios vel lichanos meson enarmonios. Has sequitur mese. Post hanc sunt duo telrachorda par- tim synemmenon partim diezeugmenon. Et synemmenon est, quod post mesen ponitur, id est trite synemmenon;

20 dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatono diatonos synemmenon , in chromate vero vel diatonos synemmenon chromatice vel lichanos synem;neuon chromatice, in enar- monio vero vel diatonos syhemmenon enarmonios vel lichanos synemmenon enarmonios. Post has nete synem-

1 Inscriptionem om. g, k, f, 1. 2 XXIII. h. 3 vel per f. 5 hypate] hypaten f. 6 vero om. i, 7 in diatono genere si h, k. 8 diatonus i. 9 chromaticae i. || vel

lichanos hypaton chromatice in i rec. manu inducla sunt. 10 in armonia i , f. 11 vel diatonos hjpaton enarmonios in i inducta, 15 vel diatonos meson chromatice t» i inducta. ; in armonio i; in armonia f. || diatonos meson enarmonios vel om. i. 16 meson enarmonios vel lichanos om. g, h, k, 1. 17 sint 1; duo sunt h, k. 19 est om. f. || mesem i. U id est om, h. 20 lichanos] paranete in litura i. || diatonos

diatonos f. 21 vel diatonos in i inducta, 22 vel licha- nos synemmenon chromatice, in i inducta, om. f. 1| in armo- nio i; in armonia f. 23 vero om, h, k. || vel diatonos m i inducta, 24 vel lichanos synemmenon enarmonios in i in- ■ducta.

INST. MUS. I, 22.

215

iuenon. Si vero mese nervo non sit synemmenon tetra- chordum adiunctum , sed sit diezeugmenon , est post me- sen paramese; dehinc trite diezeugmenon, inde lichanos diezeugmenon , quae in diatono diatonos diezeugtnenon, in chromate tum diatonos diezeugmenon chromatice tum 5 lichanos diezeugmenon chromatice, in en^monio vero tum diatonos diezeugmenon enarmonios, tum iichanos diezeugmenon enarmonios. Eadem vero dicitur et para- nete cum additione vel diatoni vel chromatis vel enarmo- »ii. Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, lo et quae est paranete hyperboleon, eadem in diatono dia- tonos hyperboleon , in chromate vero chromatice hyper- boleon, in enarmonio vero enarmonios hyperboleon. Harum ultima ea est, quae est nete hyperboleon. Et sit descriptio eiusmodi, ut trium generum contineat disposi- 15 tionem. In quibus et similitudinem nominum et diiferen- tiam pernotabis; ut si nervi similes in omnibus cum eis, qui sunt dissimiles, colligantur, fiant simul omnes octo et viginti. Hoc autem monstrat subiecta descriptio.

Diatonici.

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Licbanos hyp. diato-

nos Hypate meson Parhypate meson

Chromalis.

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanoshyp. chro-

malice Hypate meson Parhypate mesou

Enarmonii. 20

Proslambanomeuos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hyp. enar-

monios 25

diato-

nos Hypate meson Parhypate meson

Chromalis.

Proslambanomenos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanoshyp. chro-

malice Hypate meson Parhypate mesou

Enarmonii. 20

Proslambanomeuos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hyp. enar-

monios 25

Hypate meson Parhypate meson

3 Uchanos diezengmenon . . . Eadem vero dicitur in i inducta^ aut omissa, 4 in diatono quidem genere h, k.

5 tum Hchanos diezeugmenon chromatice om. i. o. 6 in

armonia i, f. |I in enarmonio vero tum diatonos diezeug- menon om. o. 8 et rasura deletum i. 9 armoniae i, f.

13 iu armonia i, f. [| vero ow. f. X^prius est om. i, f. 15 huiusmodi f, h, k, o. 18 fient i, f. 20 Diatonicum 1. || Ohromatici i; Chromaticum L || Enarmonicum L 21 De- scriptioni addiia sunt in h et k intervallorum signa. 24 dia- tonos] Vocabula diatonos, chromatice, enarmonios om. 1 et addit supra versus immobiles ei mobiles.

216

INST. MUS. I, 23.

Liehanos mesf^n dia-

tonos Mese

Trite svnemmenon 5 Paranete synemme-

non diatonos Nete synemmenon Paramese

Trite diezeugmenon 10 Paranete diezeug-

menon diatouos Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperbo- 15 leon diatonos Nete hyperboleon

Licbanos meson

chromalice Mese

Trite synemmenon Paranele synemme-

non chromatice Nete synemmenon Paramese

Trite diezeugmenon Paranete diezeugme-

nou chromatice Nete diezeugmenon Trile hyperboleon Paranete hyperbo-

leon chromatice Nete hyperboleon

Lichanos meson en-

armonios Mese

Trite svnemmenon Paranele synemme-

non enarmonios Nete synemmenou Paramese

Trite diczeugmenou Paranete diezeugme-

non enarmonios Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperbo-

leon enarmonios Nete hyperboleon.

Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones»

XXin. Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates facta partitio est, ut omnia quidem

20 diatonici generis quinque tetrachorda duobus tonis ac se- mitonio partiremur. Diciturque in hoc genere tonus in- compositus idcirco, quoniam integer ponitur nec aliquod ei intervallum aliud iungitur, sed in singulis intervallis in- tegri sunt toni. In chromate vero semitonio ac semitonio

25 incompositoque triemitonio posita divisio est. Idcirco au- tem incompositum hoc triemitonium appellamus , quoniam in uno coHocatum est intervallo. Potest enim appellari triemitonium in diatono genere semitonium ac tonus , sed non est incompositum ; duobus enim id perficitur inter-

30 vallis. Et in enarmonio genere idem est. Constat enim ex diesi et diesi et ditono incomposito , quod scilicet pro-

8 — 16 om, g. 17 Inscript. om. g, 1. 18 XXIIII. h. 19 parlitio facta f. 21 partirentur h, partiretur o. 22 ic- circo k. 23 in om. i. 24 sunt] insunt h, k. || soni L 25 Ideo k. 26 vocamus k. 31 ac diesi f. || dlatono h, k, f; di tono, a raswa deleto, g.

22 ic- circo k. 23 in om. i. 24 sunt] insunt h, k. || soni L 25 Ideo k. 26 vocamus k. 31 ac diesi f. || dlatono h, k, f; di tono, a raswa deleto, g.

INST. MUS. I, 24. 217

pter eandem causam incompositum nuncupamus quoniam in uno conlocatum est intervallo.

Quid sit synaphe.

XXIIIL Sed in his ita dispositis constitulisque tetra- chordis synaphe est, quam coniunctionem dicere Lalina 5 significatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius raedietas termini conlinuat atque coniungit, ul in hoc te- trachordo:

Hypate hypaton •

Parhypate hypaton lo

Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese.

Hic igitur est unum tetrachordum: hypate, parbypate,

lichanos, hypate meson, aliud vero: hypate meson, par-

hypate meson , lichanos meson , mese. In utrisque igitur

^ tetrachordis hypate meson adnumerata est, superiorisque

tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima, 20 I estque ista coniunctio una eademque cborda, ut hypate meson duo tetrachorda coniungens eadem hypaton ac 4 meson tetrachorda in superiore descriptione iunxit. Est I igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetra- I chordorum vox media, superioris quidem acutissima, po- 25 \ sterioris vero gravissima.

3 Inscript. om, g. 4 -XXV- h. || in] om. h, k, o; de g, 1; litura i. || his om. o. || constitutisquae g. || tetracor- dis bis i. 16 ffinc h initium facit capitis vicesimi sexii cum inscriptione: Descriptio synaphe. [1 Hoc g, h, k, I. 19 est ea f. 20 posteriorisque 1, o. || vero om, o. 22—23 con- inngens ut eadem . . . tetracorda in margine sec, manu h; Hnea siibnoiatum 1. || ut eadem f, g, h, i, k, o. 23 duo te- tracorda o. || dispositione g, h, k. || coniunxit 1. 24 syna- phae i. 25 vox media tetracordarum f. {| quidem om, f.

218 INST. MUS. I, 25. 26.

Quid sit diazeuxis.

XXV. Diazeuxis vero appellatur, quae disiunctio dici potest, quotiens duo tetracliorda toni medietate sepdran- tur, ut in his duobus tetracliordis.

Hypate meson

Parhypate meson

Lichanos meson

Mese

Paramese

Trite diezeugmenon

; Paranete diezeugmenon

1 Nete diezeugmenon.

Duo igitur esse tetrachorda evidenter apparet, quan- doquidem octo sunt chordae. Sed diazeuxis est, id est

15 disiunclio, inter mesen ac paramesen, quae inter se pleno differunt tono. De quibus evidentius expiicabitur, cum unumquodque studiosius ex{>lanandum posterior tractatus adsumpserit. Sed diiigentius intuenti quinque, non ara- plius, tetrachorda repperiuntur: hypaton, meson, syneni-

^o menon , diezeugmenon , hyperboleon.

Quibus nominibus nervos appellaverit Albbius,

XXVI. Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugmenas disiunctas,

Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugmenas disiunctas,

1 Insciipt. ovi. k, contexlui addit g. || diezeuxis g, h, k , 1. 2 XXVII. h. Ij distinctio 1. 3 quoties i. 13

Hinc h initium facit capitis duodetricesind cum inscriptione : De- seriptio diezeuxis. In 1 legitur inscriptio: Diflferentia toni in- ter mesen ac paramesen. 19 inveniuntur k. 21 Inscri- ptionem om. g, Be interpretatione Albini in tetrachordis 1. 22 .XXVIIII. h.

INST. MUS. I, 27. 219

hyperboleas excellentes. Sed nobis in alieno opere non erit inmorandum.

Qui nervi quibus sideribus compareniur.

XXVII. Illud tantum interim de superioribus tetra- chordis addendum videtur, quod ab^ypate meson usque 5 ad neten quasi quoddam ordinis disUnctionisque caelestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est adtri- buta, parhypate vero loviali circulo consimilis est. Licha- non meson Marti tradidere. Soi mesen obtinuit. Triten synemmenon Venus habet, paranetea synemmenon Mercu- lo rius regit. Nete autem lunaris circuli tenet exemplum. Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de re publica sic ait : Et natura fert , ut ex- irema ex altera parte graviter, ex altera autem acute so- nent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, i5 cuius conversio est concitatior, acuto et excitato move- lur sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona inmobiiis manens, una sede semper hae- rel. Hic igitur TuUius Terram quasi silentium ponit, sci- licel inmobilem. Post hanc qui proximus a silentio est, 20 clat Lunae gravissimum sonum, ul sit Luna proslambano- menos, Mercurius hypate hypaton. Venus parhypate hy- paton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Juppi- ter parbypale meson, Saturnus lichanos meson, Caelum ullimum mese. Quae vero sint harum inmobiles, quae 25 vero in lotum mobiles, quaeautem inter inmobiles mobi- lesque consistant, cum de monochordi regularis divisione iractavero, erit locus aptior explicandi.

3 Inscripi, om. gy I. |) Bideribus om, i. 4 «XXX- h. |i 0 addii septem circulos terrarum orbi ut communi centro circwti- scriptos inscriptionibusque ortiatos. 6 disiiinctionisque g, h, k, 1. 8 Bimilis f. || Lichanos g, h, i, k, 1, 0. 11 exem* plum tenet k. 13 sic om, 1. 14 sonet i. 17 hie] ibit fr, h, k; hic correct. additum o. 18 heret g, k, 1, o. 26 in toto 1. II autem] vero 1. [j inter om. i. 27 mono-

corda f.

220 INST. MUS. I, 28. 29.

Quae sit natttra consonantiarum.

XXVin. Consonantiam yero licet aurinm quoque sen- sus diiudicet, tamen ratio perpendit. Quotiens enim duo nervi uno graviore intenduntur simulque pulsi reddunt

5 permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque vo- ces in unum quasi coniunctae coalescunt; tunc fit ea, quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est^ quae dicitur disso-

10 nantia.

Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est^ quae dicitur disso-

10 nantia.

Vhi consonantiae repperiantur.

XXVIIII. In his autem comparationibus gravitatis at- que acuminis has consonantias necesse estinveniri, quae sibi commensuratae sunt, id est quaenotam possunt com-

15 munem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum quod est illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duo et quattuor binarius utrosque metitur; inter duos atque sex, quae tripla est, binarius utrosque metitur; inter novem atque octo eadem unitas est,

20 quae utrosque metiatur. Rursus in superparticularibus, si sesqualtera sit proportio, ut quattuor ad sex, binarius est, qui utrosque metiatur, quae scilicet utrorumque est dilTe- rentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo sena- rio comparentur, idem binarius utrosque metitur. Id vero

25 non evenit in ceteris generibus inaequalitatum, quae su- pra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius, qui eorum est diffe- rentia, neutrum metitur. Nam semel ternario compara- tus minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario coni-

1 Inscript. om, g. 2 XXXI h; XXIIII 1. 3 Quo-

ties i. 6 que om, i. 6 coniuncte i. || tum f, g, h, k.

7 pulsi f, g, h, k, 1. 11 Inscript. om, g. Q repperiuntur i, f, 1. 12 .XXXIL h; XXV. 1. 15 habere communem 1. 17 duos f. 18 duos] IIII- i. 20 metitur I, o. || si ses- qualtera] sesquitertia et supra versum rec. manu si sesqual-

t^r» h. 21 est binarius g, h, k, 1, o. 22 metitur 1. i

qui scilicet g, h, k, 1, o. 23 sit] est 1. 24 metiatur h.

INST. MUS. I, 30. 31. 221

paratus minor est, terlio vero supergreditur. Atque id- circo hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae ua- tura disiungitur. Amplius: quod in his, quae consonan- tias formant, multa similia sunt, in iliis vero minime, id probatur hoc modo : Namque duplum nibil est aliud nisi 5 bis simplum, triplum nihil aliud nisi tertio simplum, quadruplum vero idem est quod quarto simplum, ses- qualterum bis medielas, sesquiterlium ler pars tertia, quod baud facile in ceteris inaequalitatum generibus in- venitur. lo

Quemadmodum Plato dicat fieri consonantiam,

XXX. Plato aulem faoc modo fieri in aure consonan- tiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem praecesserit, in aurem celer ingreditur, offensaque extrema eiusdem cor- 15 poris parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed iam segnior nec ita celeri ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gravior rediens nuDC primum venienti gravi sono similis occurrit, misce- tur ei unamque ut ait consonantiam miscet. 20

Quid conira Platonem Nicomachus sentiat.

Sed iam segnior nec ita celeri ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gravior rediens nuDC primum venienti gravi sono similis occurrit, misce- tur ei unamque ut ait consonantiam miscet. 20

Quid conira Platonem Nicomachus sentiat.

XXXL Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum, neque enim similium esse consonantiam sed dis- similium potius in unam eandemque concordiam venien- lium. Gravem vero gravi si misceatur, nullam facere con- 25 sonantiam , quoniam hanc canendi concordiam similitudo

2 hoc supra versum i. 4 iUis] aliis f. 5 Nam 1. 6 iiihil est aliud h, k. 8 tertia est 1. 9 haut g, o. 11 In- scnpt, om, g. II consonantias h, k. 12 XXXIII. h; XXVI. 1. 13 quidem om, h, k. 18 quoque om, 1. quoque revertitur f. 19 tunc 1. 21 Jnscript. om. g. || Platonem Nicomachus

sentiat om. 1. 22 .XXXIIII- h; XXVII. 1. 0 i^ om. f. |

Nicomachus id h , k. 23 esse similium f . 24 eademque g. 25 si gravi h.

222 INST. MUS. I, 32. 33.

non efficit, sed dissimilitudo, quae, cum dfstet in singulis Yocibus copuiatur in mixtis. Sed hinc potins Nicomachus fieri consonantiam putat: Non, inquit, unus tantum pul- sus est, qui simplicem modum emittat vocis, sed semel

5 percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit vo- ces. Sed quia haec velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo conprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium sonorum commensurabiles sint percussionibus

10 acutorum sonorum, ut in his proportionibus, quas supra retulimus, non est dubium, quin ipsa commensuratio sibi- met misceatur unamque vocum efficiat consonantiam.

Quae consonantia quam merito praecedaU

XXXII. Sed inter omnes quas retulimus consonantias 15 habendum iudicium est , ut in aure, ita quoque in ratione,

quam earum meliorem oporteat arbitrari. Eodem nam- que modo auris afficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium numeris vel conlinua quantitate. Propo- sito enim numero vel linea nibil est facilius quam eius

20 duplum oculo vel animo contueri. Item post dupU iudi- cium sequitur dimidii, post dimidii tripli, post tripli par- tis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam , post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac dia-

25 pason , quae triplum , ceteraque secundum eundem mo- dum formamque diiudicat. Non vero eodem raodo hoc Ptolomaeus, cuius omnem sententiam posterius explicabo.

*Quo sint modo accipienda^ quae dicta sunt.

XXXIII. Omnia tamen quae dehinc diligentius expe-

4 vocis emittat f, g, h, k, 1, o. 5 percursus g. || aere 1. 6 haec] ea f, g, h, k, I, o. |] volocitas f. || percussionis est k. 13 Inseript, om, g, 1. || De consonantia h, k. 14 •XXXV- h. 15 est iudicium k. 16 Eodemque i. 17 effi- citur, e in a mutato, g. 19 eius om, h, k. 22 Quae ideo i, f, o. 26 diiudicant i. 28 Inscript. om. g, 1. 29 XXXVI. h. tamen] iam i.

|| percussionis est k. 13 Inseript, om, g, 1. || De consonantia h, k. 14 •XXXV- h. 15 est iudicium k. 16 Eodemque i. 17 effi- citur, e in a mutato, g. 19 eius om, h, k. 22 Quae ideo i, f, o. 26 diiudicant i. 28 Inscript. om. g, 1. 29 XXXVI. h. tamen] iam i.

INST. MUS. I, 34. 223

dienda sunt, summatim nunc ac breviter adtemptamus, ut interim in superficie quadam haec animum lectoris assue- faciant» qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet. Nunc vero quod erat Pythagoricis in more, iit, cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nuHus 5 rationem petere audebat, sed eis erat ratio docentis aucto- ritas, idque Oebat, quamdiu discentis animus Ormiore doctrina roboratus ipse earundem rerum rationem nullo etiam docente repperiret: ita etiam nunc lectoris Odei quae proponimus commendamus, ut arbitretur diapason 10 in dupia , diapente in sesqualtera , diatessaron in sesqui- tertia, diapente ac diapason in tripiici, bis diapason in quadrupla proportione consistere. Post vero et ratio dili- gentius expiicabitur et quibus modis aurium quoque iudi- cio consonantiae musicae colligantur, ceteraque omnia, 15 quae superius dicta sunt, amplior tractatus edisseret, ut tonufli sesquioctavam facere proportionem eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nqllam eiusdem generis proportionem , id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere; semi- 20 tonia yero esse duo, maius ac minus; diapenle autem tri- bus tonis ac minore semitonio contineri; diapason autem quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, ne- que ad sex tonos ullo modo pervenire. Haec omnia poste- rius et numerorum ratione et aurium iudicio conprobabo. 25 Atque haec hactenus.

Qmd sit musicus.

XXXnil. Nunc illud est intuendum, quod omnis ars omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter ha- beat rationem quam artiOcium, quod manu atque opere 30

3 faciant litura praecedente i. 4 discendet i. H in

morem g, h, k, 1, o. 6 erat eis f, ff, h, k, 1, o. 7 quan- diu 1. 11 duplum i. 12 triplicibus i. 20 consistere

om. h, k. II semitoniaque g. 23 semitoniis minoris i. 26 actenus f, o. 27 Inscript. om, g, 1. 28 XXXVII. h. 29 h«ibeat naturaliter 1.

224 INST. MUS. I, 34.

exercetur arliflcis. Multo eoim esl maius atque auctius sclre, quod quisque faciat, quam ipsum illud erOcere, quod sciat ; eteuim arliflcium corporale quasi serviens fa- mulatur, ralio vero quasi domina imperat. Et nisi manus

5 secundum id, quod ratio sancit, efQciat, fruslra sit. Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cogni- tione rationis quam in opere efflciendi atque actu ! Tan- tum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod sci- licet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque

Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cogni- tione rationis quam in opere efflciendi atque actu ! Tan- tum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod sci- licet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque

10 ad rectum deducit. Quod nisi eius pareatur imperio , ex- pers opus rationis titubabit. Unde fit, ut speculatio ratio- nis operandi actu non egeat» manuum vero opera nulla sint, nisi ralione ducantur. lam vero quanta sit gloria meritumque ratioois, hinc intellegi potest, quod ceteri ul

15 ita dicam corporales artiflces non ex disciplina sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam citbaroe- dus ex cithara, auloedus ex tibia, ceterique suorum in- strumentorum vocabuUs nuncupanlur. Is vero est musi- cus, qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio

20 operis sed imperio speculationis adsumpsit. Quod scilicet in aediflciorum bellorumque opere videmus, in contraria scilieet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nomini- bus vel aediflcia inscribunlur vel ducuntur triumphi, quo- rum imperio ac ratione instituta sunt, non quorum opere

25 servitioque perfecta. Tria igitur genera sunt, quae circa arlem musicam versantur. Unum genus est, quod instru- mentis agitur, aliud flngit carmina, tertium, quod instru- mentorum opus carmenque diiudicat. Sed illud quidem, quod in instrumenlis positum est ibique totam operann

soconaumit, ut sunt citharoedi quique organo ceterisque musicae instrumentis artiflcium probant, a musicae scien-

1 artificis exercetiir i, f. 6 Et qnanto 1. 9 — lOser- vitio .... imperio, expers in margine inferiore g. || deget g» 1. 9 vero] ut g, 1. 10 paretur 1. [] expers om, g, 1.

11 ratione i, f. 13 sunt f. 16 coepere g, I; caepere f. citharedus f, g, h, k, 1, o. 17 auloedus] tibicen g in lilura, 1. 20 assumit g, h, k, I. 21 edificiorum g, 1. 1| opera f, g, b, k, 1, 0. 22 Eoruraque h, k. 23 dicuntur g, h, k, I, o. 24 opera f, g, h, k, 1. 29 instrumentis, omisso in, h, k, o; in correct. addiium g, 1.

INST. MUS. ir. CAPITULA. 225

tiae intellectu seiuncti sunt, quoniam famulantur , ut di- ctum est: nec quicquam afferunt rationis, sed sunt tolius speculationis expertes. Secundum vero musicam agen- tium genus poetarum est, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad car- 5 men. Atque idcirco hoc quoque genus a musica segregan- dum est. Tertium est, quod iudicandi peritiam sumit, ut rylhmos cantiienasque totumque carmen possit perpen- dere. Quod scilicet quoniam totum in ratione ac specu- latione positum est, hoc proprie musicae deputabitur, lo isque est musicus, cui adest facultas secundum specula- tionem rationemve propositam ac musicae conyenientem de modis ac rythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius expli- candum est, ac de poetarum carminibus iudicandi. i5

ExpHcii de mttsica id est armonica imiiiutione liber primits, Incipiunt capitula lihri secundi,

I. Proemium.

ExpHcii de mttsica id est armonica imiiiutione liber primits, Incipiunt capitula lihri secundi,

I. Proemium.

II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit.

III. De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae 20

deputata. IIII. De relativae quantitatis differentiis. V. Cur mulliplicitas ceteris antecellat. Yl. Quid sint quudrati numeri deque bis speculatio. YII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere 25 eiusque demonstratio.

1 intellectu scientiae 1. || seiuncta f. 2 nec om, h.

3 exsortes I. || Secundam i. 4 est om, k; supra ver^

sum rec, manu h, 5 instructu g, 1. 10 propriae f, g,

i, o. 15 diiudicandi f. 16 Inscript. om, g, o; Liber pri- mus boetij de Muslca explicit rec. manu 1. [| armanicae h, i; armoniae f, k. || institutionis h, i, institutionibus f, k. 17 Incipiunt . . . secundij Incipit liber secundus i; Incipit liber secundus id est Proemium f . 18 ^Capitum indicem om, f , o ; numeros om, g, 1. || Proh©mium i, 1. /n I rec, manu addiium e«/: secundum cod. 22 relative i, k. 23 Quur i. || mul- tipUcatas i. 25 ex qualitate h. [1 procedere ex aequali- tate i.

B0F.T1US. 15

226 INST. MUS. II. CAPITULA.

VIH. Regulae quoUibet conlinuas proportiones superpar-

ticulares inveniendi. Yllil. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur.

X. Qui ex multiplicibus et superparticularibus multi- 5 plicatis fiant.

XI. Qui superparticulares quos multipiices efGciant. XH. De arithmetica geometrica armonica medietate.

XIII. De continuis medietatibus et disiunctis. Xilll. Gur ita appellalae sint digestae superius medietates. 10 XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processe- rint medietales. XVL De armonica medietate deque ea uberior speculatio. XVII. Quemadmodum inter duos terminos supradictae me- dietates vicissim locentur. ^5 XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nico- machum. XVHII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi. XX. Sententia Nicomachi, quae quibus consonantiis ob- ^^ ponantur.

XXI. Quid oporteat praemitti, ut diapason in multiplici

genere demonstretur. XXII. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse. ^^ XXIII. Demonstratio diapente, diatessarou et tonum in su- perparliculari esse. XXHII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse. , XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia ^ esse, tonum in sesquioctava.

1 qnodlibet g, h, k. 2 inveni I. 3 numerum g, 4 quae g, h, i, k, 1. 6 superparticularis i. 9 Quor g, i. |! superius digestae g, h, i, k, 1. 10 Titulum guintum decimum om, g, h, k, I; quare sequentes numeri in h et k uno sunt mi- nores, 12 deque ea] de quo ea g, 1; de qua h, i, k. 14 locentur om, I; lucentur 1. 15 consonentiarum g. 18 hy- passi 1. 23 — 29 XXII. Demonstratio per inpossibile . . . . XXV. Diapente in sesqualtera] XXI. Demonstratio diapente omissis iribus titulis fere integris g, h, i, 1; quare sequentes numeri in h e^ k quatemario sunt minores. 27 et om, i.

15 consonentiarum g. 18 hy- passi 1. 23 — 29 XXII. Demonstratio per inpossibile . . . . XXV. Diapente in sesqualtera] XXI. Demonstratio diapente omissis iribus titulis fere integris g, h, i, 1; quare sequentes numeri in h e^ k quatemario sunt minores. 27 et om, i.

INST. MUS. II, 1. 2. 227

XXYl. Diapason ac dtapente in tripla proportione esse, in

quadrupla bis diapason. XXYII. Diatessarou ac diapason non esse secundum Pytha-

goricos consonantias. XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet. 5 XXVini. Demonstrationes non esse •GGXLIII- ad GGLVI* toni

medietatem. XXX. De maiore parte toni, in quibus minimis numeris

constet. XXXL Quibus proportianibus diapente ac diapason constent lo

et quoniam diapason sex tonis non constet.

ExpUciunt capitula. Incipit liber secundus.

Proemium,

I. Superius yolumen cuncta digessU, quae nunc dili- gentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam i5 ad ea veniam, quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus eiucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat.

Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit.

U. Prlmus omnium Pythagoras sapientiae studium phi- 20 losophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse dicere- tur. Esse autem ilia putabat, quae nec intentione cresce- rent , nec deminutione decrescerent nec uliis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines quaii- 23 tates habitudines ceteraque quae per se speculata inmu-

1 Diapasos i. || ac] hoc g, h, k. 4 consonantias om. L 6 Demonstrationis i. 11 constat g, h, i, k, 1. 12 Expli- cinnt .... secundns om. f, g, 1, i, o. 13 Proemium om. f, g, 1, o. Prohemium i. 18 sunt dicenda h, k. 19 In- script, om, g, l, \\ philosophiam esse f. || philosophia h, k. 22 propriae i, o. || veraeque i. 23 intentione et supra ver- sum manu multo receniiore intensione h. 25 motarentur h, k. 26 immotabilia h; inmotabilia k; immutabilia g.

15*

228 INST. MUS. II, 3.

labilia sunt, iuncta vero corporibus peroiutantur et multi- modis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.

De differentHs quantitatis et quae cui sit disciplinae de-

putata.

5 111. Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vei conlinua vel discreta est. Sed quae continua est , magni- tudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multiludo enim a finita inchoans quantilate crescens in infinita pro-

10 gredilur, ut nuUus crescendi tinis occurrat; estque ad mi- nimum terminala, interminabilis ad maius, eiusque prin- cipium unitas est, qua minus nihii est. Crescit vero per numeros atque in infinita prolenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit. Sed magnitudo fini-

Crescit vero per numeros atque in infinita prolenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit. Sed magnitudo fini-

15 tam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in in- finita decrescil. Nam si sit pedalis linea vel cuiuslibet ai- terius modi, potest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietalem, ut nunquam ullus secaudi magnitudinem ter-

20 minus fiat. Ita magnitudo, quantum ad maiorera modum, lerminata est, fit vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita , tamen quasi de rebus finitis philo-

25 sophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum , de quo iure posset acumen propriae specu- lationis adhibere. Namque magnitudlnis aUa sunt inmo- bilia, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero

3 Inscript. om, g. 1. || quae sit cui f. H disciplinae sit h.

8 paene om. 1; pene h, k, f, o; poene i; paene in lUura g.

9 quantitate id est unitate f. 11 interminalis i. 12 ni- hil minus h, k. 13 in om. i, in guo ad correcHone est ad~ ditum; ad f. [) progreditur h, k. 15 recepit g, 1. 18 eius* que medietas in ultima sunt verba codicis 1. 21 decressere k. II ceperit h, k, o; caeperit f. 25 infinitis] finitis g, k. 26 possit f. 28 quadratum circulus] terra f, o. || vero

0771. f, O.

INST. MUS. II, 4. 229

mobilia, ut sphera mundi et quicquid in eo rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis aiia sunt per se, ut tres vei qualluor vel ceteri numeri , alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque quae ex comparatione nascun- tur. Sed inmobiiis magnitudinis geometria speculalio- 5 nem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequi- lur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.

De relativae quaniitatis differentiis. ^o

Illi. Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in aritlimeticis sufficienter diiimus. Relatae vero ad aiiquid quantitatis simpHcia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, ter- tium superpartiens. Cum vero multipiex superparticulari i5 superpartientique miscetur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula : Si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad 20 eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet.

I. I. I. I. 1. I.

II. III. im. V. VI. VII.

Si vero superparticularem proportionem quaeras, natura- 25 lem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus — sesqualter est enim — quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quaternario, qui sesqui-

I. I. I. I. 1. I.

II. III. im. V. VI. VII.

1 mobilia sunt h, k. || spera hf i, k, o. 4 alia, omisso que, f. 5 geometrica g, h, k, o. 8 est auctor f. 10 Inscript, om, g, h. 11 Ac de ea . . . . diximus adiungunt superiori capiti g, h, k, o. 12 Relativae h, k; Relatae m

titura g, II vero om. h, k. 13 tria sunt f. 22 monet o. 23 f sepiiens ponit -I- 24 f addii •VIII- . 26 sihi om, f, g, h, k. 27 sesqualter est enim om, o; enim om. f.

230 iNST. ^us. ir, 5.

quartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecla descriptio.

sesqual- sesqui- sesqui-

ter quarlus sexlus

6 11. m. IjIL V. VL VII.

sesqui- sesqui-

tertius quinlus.

SuperparlieDtes autem tali modo repperies. Disponas na- turalein numerum a ternario scilicet inchoantem. Si 10 unum igilur intermiseris, superbipartientem effici perno- tabis; quod si duo, supertripartientem ; quod si tres, su- perquadripartientem, idemque ih ceteris.

superbipartiens superquadripartiens

IIL im. ^ VI. VII. VIIL VlTlL

^^ superlripartiens

Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multi- plici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his ta- raen omnibus in arilhmeticis expeditius dictum est.

^ Cur multiplicitas ceteris antecellai.

V. Sed in his iliud est considerandum» quod multi- plex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplici- bus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis 25 vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro forma-

3 sesquisextus om. o. 5 VII. om. o; VIII addunt g, h. 3 reperias i. || Disponas autem f. 10 igitur om, h, k. ||

superpartientem h, k. 13 — 15 om, o. 20 Inscript. om. g. 21 considerandum est illud h, k. 28 hunc] eundem h, k.

INST. MUS. II, 6. 231

lio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed inler- inissis , nec seniper aequali intermissione , sed nunc qui- - V.nhtinebun,',,,''"''"' rocreantur.

urmonica medietaie.

I tionibus quae erant ia- iunc de medietatibus esti5 - duorum terminorum ad ninos autem voco numero- . .is est aequarum proportio- *as vero in tribus terminis primus ad secundum termi- 20 rtionem, quam secundus ad ^ ortionalitas, estque inter •III- ndus. Has igilur proportiones tis trina partitio est. Aut enim .^ ' loris termini ad medium et medii 25

lequa proportio, ut ia his numeris !ppe ac -11. et inter •!!• ac •III- tan- n tenet ; noa est autem aequa pro-

et inter •!!• ac •III- tan- n tenet ; noa est autem aequa pro-

hi h corr, add, 5 creant f. 7 est g, h, k. 9 efficitur g, h, k. 10 '.S JnscripU om. g. De raedletate ar. geom. /7 supra descriptiones has:

Geometrica Armonica

I. II. ilii. III. iiii. yi.

II ad se terminorum f. 23 His et supra

f4 coniungentis proportiones medii termini f. II ac III.] et .IIL i; et tres o.

ltu. diapason ac diapente coneordiam personabit* Quateroarius vero uni-

10 tati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason eHQciens symphoniam. Quod si ternarius binario compa-» retur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam suppIeU Isque est horum ordo eunctis ad se invicem comparatis. Namque comparatio restat. Si qua-

15 ternarium binario comparemus, cadet in doplicem pro- portionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. llaque maxime distant soni in bis diapasou» cum a se quadrupla intervalli demensione discedunt. Minimum vero inler se esse consonantes videntur soni , cum acutior

20 graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat dein- ceps concinentiarum modus, qul neque uitra quadruplam possit exlendi, neque intra partem tertiam coarlari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason ct dlapente,

25 tertia bis dlapason, quarta diapenle, quinta diatessaron.

Be ordine consonantiarum sententia Euhulidis et Hippasi.

XVIIII. Sed Eubulides atque Hippasus alium conso-

nantiarum ordinem ponunt. Alunt enim multiplicitatis

augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine

30 respondere. Itaque non posse esse duplum praeler dimi-

dium, nectriplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur

7 ea i. 10 quadraplam f. || tenet om. h, k. Ij Boilicet bis f. 11 effioiet i. || symphoniam cfficiens k. 13 con- sonantiam g, h, k^ o. 14 Nam quae f, h, k, o. 18 Maxi- mum g. 24 ordo e«* k. 26 Inscript, om. g. 27

•XVUI. h.

INST. MUS. n, 20. 251

sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam divisionem ses* qualteram, id est diapente, efQci proportlonem. Quibus mixtis , SGilicet diapason ac diapente , tripHcem procreari, quae utramque contineat sympboniam. Sed nirsus tri- 6 piici partem tertiam contraria diTisione parliri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efBcere. Unde fit, nt ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia lo coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason ttomen accepit. Secundom hos quoque hic ordo est: dia* pason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapasott.

Senientia Nieomachi, quae quibus consonantiis opponantur. i5

Secundom hos quoque hic ordo est: dia* pason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapasott.

Senientia Nieomachi, quae quibus consonantiis opponantur. i5

XX. . Sed ISicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam posilionem, sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat deminutionisque principium, ita eliam diapa- son sympboniam reliquarum esse priocipium, iilas vero sibi in cotttraria divisione posse constitui. Id vero faciiius 20 erit cognitu, si prius pervideatur in numeris. Constitua* tur igitur unitas, duaeque ab ea parles iluant, una multi- plicis alia divisionis, sitque haec formula:

Dimidium /\ 11. Duplum. 25

Pars tertia / \ III. Triplum. Pars quarta / \ llll. Quadruplum.

Pars quinta / \ V. Quinquuplum.

1 dnplum sit i. 2 contrarium i. 5 quae] que f, g. , utramque] veramque o. || triplicis f, g, h, k; triplicem o 9 ac] et g, h, k. 10 consonantia f. 13 ac] ke h. 15 Inscript. om, g. 16 XVIIII' h. 18 erat om, h, k. 21 cognitus i. 22 partes ab ea h, k. |) unam i. 23 sic-

que g. 25 Buplum et seguentia vocabula om, h. 28 In g ad- dita sunt: Pars sexta. VI. Sexcup{um. Pars septima. VII. Septuplum.

252 INST. MUS. II, 20.

Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim uuitatis duplus est; contraria vero eius pars eiusdem dimidium unitatis ostendit; tres triplus et contraria pars tertia ; quattuor quadruplus parsque contraria quarta ; at-

5 que ita crescendi et decrescendi in simpHci est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias converta- mus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in con- traria divisione hoc modo: sesqualter quidem triplo, ses-

10 quitertius vero quadrupio; quod tali argumentatione pro- habitur. Idero enim primus est sesqualter, qui primus triplus , scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqual- ter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius eius

15 differentiae, quam ad binarium facit, cuius natura- liter positus probatur esse sesqualter, triplus est. Gum igitur iure sesqualter triplici opponatur, diapente con- sonantia diapente ac diapason consonantiae rationabili- ter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii con-

20 trariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadru- plus idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si uni- tati, primus sesquitertius, si ternario comparelur. Rursus eius difierentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse

25 fit quadruplus. Undefit, ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis dia- pason , in contrarium dividalur. Dupla vero quoniam nul- lam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa ses- qualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui

30 primus est duplus , superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque id-

Dupla vero quoniam nul- lam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa ses- qualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui

30 primus est duplus , superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque id-

2 duplex g, h, k. 7 quidem om. h. 8 supraemi i. 10 quadruplos i. 12 triplus est h. || principalis scilicet f.

13 est triphis k. 17 consonantiam f, h, o. 19 putat h, o; putat, ur corr. addito, i, f. 21 idera] id est g. |I hoc

modo] k addii, ^' jj "-^' j ""'

INST. MUS. II, 21. 263

•N

circo secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium (eneat boc modo:

Diapason Diapente diapason ?\ Diapente

Bis diapason / \ Diatessaron 5

Sed quamvis ita sese habeat, inquil, melius tamen omnes multipHces proportiones consodantiarum praecedere, su- perparticularitales sequi, sicut pauio ante descripsimus. Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero modulatae vocis casus una intentione pro- 10 ductus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet in pulsu, pulsus vero omnis ex motu sit cumque motuum alii sint aequales, alii vero inaequa- les, inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus , alii vero mediocriter inaequales : ex aequalitate 15 quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inae- quales sunt, manifestae primaeque ac simpliciores eve- ^ niunt proportiones , quae sunt scilicet multipUcis ac su- perparticularis, dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri at- 20 que sesquiterlii consonantiae. Ex bis vero quae in reli- quis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel ionge omnino a se distantibus inaequalitates iiunt , disso- nantiae existunt, nulla autem sonorum concordia pro- creatur. 25

Quid oporieat praemitti ut diapason in multiplici genere , demonstretur,

XXI. Hoc igitur ita distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici in- aequalitatis genere et in duplicitatis habitudine repperiri. 30

3 o addit numeros consonantias continentes. 6 omnis i. 8 paulo om, i. 9 consonantia sit g, h, k. 13 fit g. || ali- qui sint ff, k. II aliqui vero k. 14 sunt i. 17 ea] hae ' 0. II qua] quae g, h, i, o. 18 manifeste i. 19 multipli- ces ac superparticulares h, i, o. 20 atque] ac k. 23 inae- ^uales h. 26 Inscnpt, om. g. || Quod i, k. 28 -XX. h.

254 INST. MUS. U, 22.

Ac primufD quidem iilud demonstrftndum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agno- sci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddaro, quo prius cognito facilior demonstratio fiat. Ab omni super-

5 particnlari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem , quae est scilicet minor , id quod relinqui- tur minus est eius medietate, quae detracta est, propor- tionis. Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam ses- qualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detraha-

Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam ses- qualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detraha-

lomus; relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem , sed ea distantia minor est, quae in semitonio repperitur. Quodsi duplicata sesquioctava coinparatio non est integra sesqui- tertia , simpiex sesquioctava non est sesquitertiae propor-

15 tionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas» id, quod relinquitur, medietatem sesquiquarti non efficit. Idemque in ceteris.

Demonstratio per inpossibile diapason in muUipiici genere

esse.

20 XXII. Age nunc ad diapason consonantiam redeanms. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonanlia. Aufera- tur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinqui-

25 tur diatessaron. Bls igitur diatessaron minus est uno dia- pente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonan- tiae medietatem , quod est inpossibile. Monstrabitur enitn bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quodrca ne diapason quidem in superpar-

30 ticulari inaequalitatis genere poni potest.

5 eis f. 11 sesquitertiam integfam f. 18 Inscript»

om, g. 19 non esse i. 20 -XXI- b. 22 inaeqiialitate i. 25. est om, g, h, k. 30 non potest g-.

INST» MUS. n, 23. 265

Demonstraiia diapente^ diatessaron et tonum in superpar-

liculari esse,

5 eis f. 11 sesquitertiam integfam f. 18 Inscript»

om, g. 19 non esse i. 20 -XXI- b. 22 inaeqiialitate i. 25. est om, g, h, k. 30 non potest g-.

INST» MUS. n, 23. 265

Demonstraiia diapente^ diatessaron et tonum in superpar-

liculari esse,

XXIII. Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et lonum in superparticularitate ponenda esse monslremus. Nara etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason 5 in superparticulari genere non esse ponendam monstravi- mus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singil- iatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebilur conlocandas. Nam 10 in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, siiperius ut arbitror 6xplanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multlplici genere. Et quoniam diates- saron consonantia minor est, diapentfe maior, diatessa- ron duplici diapenle vero triplici proportioni multipli- 15 citatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consouan- lia diatessaron consonantiae diapente continua, ila si (liatessaron in duplici statuatur, diapente in continua (luplicis poni. id est triplici. Tonus autem, quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimi- 20 rum in ea proportione ponatur, quae est minor du- plici. Haec autem in multiplicitalis genere non potest inveniri. Restat igitur, ut in superparlicularitatis habitu- dinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni pro- portio. Nam si duplicem auferamus Iriplici, quod relin- 25 quitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex esi, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a dia- pente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesquaitera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quem- sa admodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque coiligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii

3 •XXII- h. Totum caput deest in g, ex quo duo folia sunt resecta* 6 ponenda i, f. 8 si om. i. 9 quis] qui i. II quis has . . . Nam in superpartienti bis o. 16 est

enim h, k, o. 18 alterum in om. i. 21 ponetur f. 27 subla- tumque f, h, i, k. || a corr. additum in f ; ac i.

256 INST. MUS. II, 23.

spalio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere non conlocentur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor

5 quam diatessaron , diatessaron vero minus est quam dia- pente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessa- ron in tripla , tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron el tono, quadruplum igitnr secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit.

Sed diapente constat ex diatessaron el tono, quadruplum igitnr secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit.

10 Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus Iriplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrabas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione con-

15 stabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supple- bunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonanliam non esse multi-

20 plicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocarl. Nam si in eo statua- lur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in du- plici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia

25 possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore haJbitu- dine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Dia- tessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari

30 non potest — non est enim quicquam minus a duplici — sit igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia ; in continua

1 ut non h, k; non ccyrr, additumin f. 2 inaeqaalitate i. II non om. f, h, i, k. 3 coUocetur i, f, o. 4 perscribat] Videtwr legendum : praescribat. 5 vero om, i. 7 triplo i. 9 acj et k, o. 12 sl om, i. 15 fiunt] sunt i. 16 uno k. II nulia ratione supplebunt om, k. 18 minus om, h, k.

22 qnoniam] quod i. ([ continua] consonantia i. 23 mi-

nimo multiplici f. || in ow. h, k, o. 28 Sit] Si f , h, i. 29 quae] qui i.

INST. MUS. II, 24. 257

cnim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii am- pliores sunt uno sesqualtero. Duo igilur toni unam dia- tessaron consonantiam viocent, quod nulia ratione con- tinget. Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in 5 superparliculari inaequalitatis genere iure ponentur.

Demonstratio diapente et diatessaron in maximis super-

particularibus esse.

Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in 5 superparliculari inaequalitatis genere iure ponentur.

Demonstratio diapente et diatessaron in maximis super-

particularibus esse.

XXIIII. Illud quoque addendum est necessario, quo- niam si diapente ac diatessaron superparticulares propor- lo liones tenent» in maximis superparticularibus proportio- nibus collocantur. Suot autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur boc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est i5 dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones super- particulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, du- 20 plex yero proportio ex sesqualtero sesquitertioque com- ponitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copula- tur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesqui- tertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non ^o poteruttt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus propor- tionibus steterint> sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent. 30

6 genere iDaeqnalitatis h, k, o. 7 Inscript. om, g. || ^iatessaron] diapason h, k. 9 •XXIII- h. || necessario est g, h, i, k. 12 autem] aut i. || maxime i. 22 collocatur g, h, k. 24 statuatur g, h, k, o. 1| et] ac k, o. 29 hanc] duplicem i; duplicem corr. additum in f.

BOETIU8. 17

258 INST. MUS. II, 25, 26.

Diapente in sesqualtera^ diatessaron in sesquitertia esse^

tonum in sesquioctava.

XXV. Dicoautein, quoniam proprie diapente in ses- qualtera, diatessaron in sesquitertia proportione consistit.

5 Quoniam enim inter utrasque proportiones , sesqualteram scilicet et sesquitertiam , sesqualtera maipr est et sesqui- lertia minor, quoniamque in consonantiis diapente maior» diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae aptandum. Erit

10 igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitursesquioctavaproportio.

15 Quo iit , ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui.

Diapason ac diapente in tripla proporiione esse, in

quadrupla his diapason,

Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitursesquioctavaproportio.

15 Quo iit , ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui.

Diapason ac diapente in tripla proporiione esse, in

quadrupla his diapason,

XXyi. Sed quoniam demonstratum est, diapason qui- 20 dem duplam, diapente vero sesqualteram , iunctas vera duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportione constitui, Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur 25 si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis dia- pason supra esse monstravimus.

1 Inscript. om, g, || Demonstratio diapente cet. h. 2 tonum esse h. 3 -XXV- om, h. [| propriae i, f, o; propria g. 6 ses- qualtera scilicet et sesquitertia f,g,h,i. 7 quoniam quae i,o. 8 apparet minor i. || maiori minorem vero om, f, g, i; vera om. h. 9 minorem vero minori om, o. 12 consonantiam g. 16 Quae o || sit i. H ratione g, h, k. 17 Inscript. om. g, [] esse om. k. 18 bis diapason in quadrupla h, k» 19 XXII. h. 23 tripli i. 24 habitudine i. [] quadruplum g, h, k, o. 25 symphoniam i. 26 fit om. i.

JNST. MUS. II, 27. . 259

Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythayoricos

consonantias*

XXVII. Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam con- sonantias effecerunt. Nam diapente ac diatessaron iunctae ^ diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est dia- pason, rursus si diapente symphonia iungatur, fil con- sonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason sciiicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid ^o igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pylhagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel super- particularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur nu- 1» meri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ter- 20 narium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multipiex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimum- que locavimus. Sint igitur termini hi III, VI. VIII. Illud 25 quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonan- tiam prodatj neque triplum , ut diapason ac diapente effi- ciat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox Iriplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac so

VIII. Illud 25 quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonan- tiam prodatj neque triplum , ut diapason ac diapente effi- ciat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox Iriplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac so

1 Jnscript. om, g. \\ Diapason ac diatessaron h, k. || non om. i, f. non esse om. h, k. || non «sse consonantias h; consonantias non esse k. 3 XXIII- h. 6 hunc i. 8 nun- cupantur i. || diapente scilicet ac diapason k. 11 si om. i. 12 efficiant i; efficiunt o. 13 Minimae i. 17 sit om. k. |1 proportione consistens f. 19 — 20 esse .... ad senarium diatessaron om. i. 21 eum] enim i. 27 — 28 consonan- tiam prodat . . . . ut diapason om. i. 28 prodat] reddat o.

17*

260 INST. MUS. II, 28.

diapente sibimet iunclae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason con- sonantiae addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nuUa potest naturaliter pro-

5 portio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonumt

iiet diapason diatessaron et tonus, quod nibil distabit,

utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim e,

tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem

III. et VI., diatessaron Yh et VIII. tonus VIII. et .VIIII.

10 diapente -VI. et VIIII. diapason ac diapenle .111- ad .VIIII. Erit igitur sic tripla proportio : III. VI. VIII. VIIII. Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua po- tuimus brevitate partim ea ipsa, quae Pythagorici aflQrmant, prbmentcs, partim ex isdem quaedam consequentia argu-

15 mentantes probavimus, si diatessaron consonantiae dia- pason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Ploiomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis consideran- dum est.

20 De semitonio, in quihus minimis numeris consiet,

XXVIII. Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nun- cupamus, apud ahtiquiores autem limma vel diesis Yoca-

25 batur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia pro- portione, quae diatessaron est, duae sesquioctavae hal^itu- dines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut

30 dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duas- que sesquioctavas proportiones continuas adhibere non

1 iuncte i. 2—3 consonantia g, h, 1. 6 fiat g, h, k. 8 Sint i; Sunt f ; Sin o. 14 hisdera g, h, i, k. 17 Quod i. 20 Jnscript, om. g. || semitoniis h, k. l| constet numeris f. |1 consistant h, k. 21 •XXIIII. h. 24 limna g, h; limina i, o. 26 duas sesquioctavas i.

INST. MUS. Il, 28. 261

2—3 consonantia g, h, 1. 6 fiat g, h, k. 8 Sint i; Sunt f ; Sin o. 14 hisdera g, h, i, k. 17 Quod i. 20 Jnscript, om. g. || semitoniis h, k. l| constet numeris f. |1 consistant h, k. 21 •XXIIII. h. 24 limna g, h; limina i, o. 26 duas sesquioctavas i.

INST. MUS. Il, 28. 261

possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiusque oclonarius octuplus primus. Ab hoc igilur unum sesquioctavum potero deri- vare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo •LXIIII* explicentur. Erit igitur hic secundus 5 octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas propor- tiones educere. Namque octo, quae est octava pars •LXnil- unitatum, eisdem additi totam summam •LXXII* perficiunt. His vero si sua octava simiiiter apponatur, qui est novena- rius, -LXXXI- reddunL Eruntque duo hi toni continui lo principali dispositione conscripti : LXIIII. LXXII. LXXXI. Nunc igitur *LXIIIL unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam •LXIIII* probantur partem tertiam non ha- bere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars terlia contingit et omnes in eadem proportione dura- 15 bunt, qua fuerunl, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII- , id est -CXCIl- Horum tertia •LXmi- eisdem addita CCLVI. reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad 20 •CXGII* , duobus se numeris continentes, rato ordine coUo- cemus. Fiant igitur ter LXXII., id est CCXVL; rursus ter -LXXXI- , qui sunt .CCXLIII. Qui inter duos supra- scriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII. CCXVI. CCXLIII. CCLVI. In hac igitur dispositione proportionum 25 primus numerus ad postremum diatessaron constituit con- sonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertiura geminos continuant tonos. Consiat igitur spatium, quod relinquitur, ex .CCXLIII. ad •CCLVf-, in quibus minifflis semitonii forma consistit. ^^

1 hae duae g, h, k; duae corr. add. f. || dirlvari g, k. 2 octoplus f. 4 fient g, h, i, k, o. 5 hic om, o; hinc i; hiric f. 8 summae unitatum g. || unitatem i. 13 tertiam partem k. 16 multiplicatus i. 17 Fient g, h, k. 23 intr* k. 25 igitur om. g, h, k. 28 ad tertium] adiateft- saron et supra versum ad tertium f. |] constituunt g, h, k» o ; constituant i; continuant et supra versum 1 constituant f. 30 minimi f, g.

262 INST. MUS. ir, 29.

Demonstrationes non esse 'CCXLIIL ad -CCL VL toni

medietatem.

XXVHII. Approbo igitur .CCXLin. ad .CCLVI. disUn- tiam noD esse integram toni medii demensionem. Etenim

5 ducentorum «XL. trium et ducentorum .LVI- differentia

•Xni- tantum unitatibus continetur, qui *Xin. minus qui-

dem quam minoris octavam decimam, plus vero quam

nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies

XIII. ducas, efflcies CCXXXIin., qui CCXLIII. nullo

Etenim

5 ducentorum «XL. trium et ducentorum .LVI- differentia

•Xni- tantum unitatibus continetur, qui *Xin. minus qui-

dem quam minoris octavam decimam, plus vero quam

nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies

XIII. ducas, efflcies CCXXXIin., qui CCXLIII. nullo

10 modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium , si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septi- mam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur, Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet

15 geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese .CCLVL ad .CCXLIII. habent, tales duas sibi- met continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. .CC. enim et .L. et VI. in semet ipsos

multiplicemus et sit maximus terminus LXV. DXXXVI. 20 Item .CCXLIII. propria numerositate concrescant et sit

minimus terminus LVlfil. XLVIIIL Rursus CCLVL ad CCXLIII. multitudine concrescant. Erit igitur numerus

LXII. CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo : LXV. DXXXVI. LXil. CCVIIL LVini. XLVim. 25 In eadera igitur sunt proportione CCLVI- et CCXLIII., in qua LXV^DXXXVi. ad LXiT. CCVIII. Et item LXII.CCVIIL ad LVIIII. XLVIIII. Sed maximus eorum terminus, qui

est LXV. DXXXVL, ad minimum, qui est LVnil.XLVnn.,

unum integrum non efflciet tonum. Quodsi prirai ad se-

50 cundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium

1 Inscript. om. g. 3 -XXV. h. 6 alterum •XIII] •CCXLIIL

i; .CCXLIII. et supra .XIII. f; scilicet o. 9 qui] quam

-et supra rec. manu qui f. 12 partem om. h, k. 13 quid i.

18 et ante L om, g, h, k. o. || et ante .VI- om, f, o. 28 est

om, i. 29 efficient f, g, h, k. || Quo si i. || prima o.

INST. MUS. II, 30. 263

proportioni, integri esse semitonii probarelur, duo di- midia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spalia proprie tono- rum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque est f> dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse ^imidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superflual ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabun- Xuv autem LXV. DXXXVL non facere sesquioctavam pro- lo portionem, si LVIIIL XLVIIIl. unilatibus comparentur, «1 octava pars LVIIIL XLVIIIL eisdem secundum eas, quae m arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quo- niam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae compu- is tandam.. Liquet igilur eam proportionem, quae in CCLVI. et •CCXLIIL est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.

De maiore parie toni^ in quihus minimis numeris constet. 20

Liquet igilur eam proportionem, quae in CCLVI. et •CCXLIIL est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.

De maiore parie toni^ in quihus minimis numeris constet. 20

XXX. Reliqua igitur pars, quaemaiorest, apotome nun- «upatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non ^equis partibus dividatur, quanto minor pars dimidiominor €St, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. 25 Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apotome toni integrum superat C>

autem diapason consonantia referalur, et sit -C. DXXIIII. CCLXXXyill. ; ad -D. autem sex toni intendantur, sitque 20 •D- DXXXI. CCCCXLI. His ita positis et constitutis mani- festum est inter -C- atque -D- comma constitui, eorumque differentiam esse VII. CLIIL Id autem sit K- Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est B-, ad id, quod est £•, et sit E. CCCLXXIII. CCXLVIU. Rursus ab eo, quod est •£•, 25 intendo diatessaron, quod est .p. CCCCXCVII. DCLXIIII. Quoniam igitur inter E- atque B. duo sunt toni, inter E. atque .p. diatessaron, inter.B.igitur atque -F. minus semi-

1 qui] quae f, i. |) qui] quae f, i. 3 — 4 7w h c^ k

D. A. C, B. E e# F supra C arcuhus et inscriptionibus sunt or- nati. 5 est igitur f. 8 aditui i. 10 Jnscript. om, g.

12 •XIIIL om. i. ][ demonstrandum est i. 16 ea i. U Sint f. 21 manifestatum est i. 23 esse differentiam f, o; esse om. i, 24 igitur om. i. 25 alt, E] -EB- i. 27 — 28 -E- autem atque f.

294 INST. MUS. III, 14.

tonium repperitur. Sublatis enim de diatessaron conso- nantia duobus tonis lit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi •CCLVI- et •CCXLUl. Quos eosdem numeros, si millies nongenties quadragies 5quaterque multiplices, •B- atque •F* numeros explicabis. Quos necesse est eandem proporlionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est

M. DCCCCXLIIII. pariter multiplicali creverunt. Item ab eo, quod esl F-, intendo diatessaron, scilicet ad G- et sit

10 Q. DCLXIII. DLII. Rursus ab eodem G- reraitlo ad .P-

duos tonos et sit P. DXXIIIL CCLXXXVIIL Quod ?• ne- cesse est ut eundem sonum quem C^ numerus exbibeat ; ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est *AC- diapason consonanUa, quae con-

15 stat tonis ac duobus semitouiis minoribus, ab -VL tonis commate superatur. Ab eodem igitur A^ termino nume- rus •?• .V^ tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est -A-, usque ad id, quod est 'B-, -V. nimirum colliguntur toni. Ab eo aulem, quod est «B-, usque ad id,

20 quod est «F., minus esse semitonium pernotatur. •F^ vero atque •?• idem rursus semitonium minus includunt. •A- igitur usque ad •?• •V- tonos ac duo semitonia minora pro- duxit. lure igitur -P. atque •C- eisdem numeris conscri- buntur. Sed quoniam inter .F- atque -C^ semitonium mi-

•F^ vero atque •?• idem rursus semitonium minus includunt. •A- igitur usque ad •?• •V- tonos ac duo semitonia minora pro- duxit. lure igitur -P. atque •C- eisdem numeris conscri- buntur. Sed quoniam inter .F- atque -C^ semitonium mi-

25nus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. £st autem eorum differentia

XXVI. DCXXIUL et sit hoc -M. Igitur -K. commalis dif- ferenlia est, -M. autem semitonii minoris. Si igitur -K-

numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXL CCCCLVIIIL 80 et sit hoc .L. Si vero quater eundem numerum .R^ multi-

1 de 07n. g, i, o. . 4 eodem i. 5 quaterque] terque i. numero i. [| explicabilis k. 11 alL P-] per i. 12 -C- Of?i. i. exhibebat h. 14 Etenim . . . constat om. i. || -AC- supra versum g, 18 nimirum] numerum i. 19 quod est B- au- tem f, i. 21 includuntur i, o. 1| AbA- f, o. 22 perduxit f . 24 minor i. 25 haec, quae g, h, i, k, o; quae, omisso

haec, f.

INST. MUS. III , 15.

295

plicare vokeris, fient XXVm.DCXU, et sit hic N. Igitur •M* maior quidem est ab *L- , idem autem «M* minor est ab -N* Sed -N* quater aucto commate succrevit, -L' autem iertio, «M- vero semitonii minoris obtinet diJBferentiam. lure igitur dictum est, miuus semitonium minus quidem 5 esse, quam JIII* commata, maius vero quam tria.

CCLXII. CXLIIII.

DXXXI. CCCCXLI.

CCCLXXIII. CCCCXCVIL DXXIIII. DCLXIII. CCXLVIII. DCLXIIII. CCLXXXVIII. DLIL

CCCCLXXII. CCCXCII.

DXXIIIl. CCLXXXVIII.

VII.

CLIII.

aiatessaron

aiai

essaron

L. XXI.

ccccLviin.

XXVI.

DCXXIllI.

N. XXVIII. DCXII.

Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem 20 quam quinquey ionum maiorem quam 'VIII- minorem

quam • VIIIL

XV. Eadem hac ratione et semitonium maius, quod apotomen dici supra retuiimus, quot commatum sit, pos-

1 hic om. g, h, k. 6 tria om, g; •III- h, k; tertia i.

7 — 19 Dispasitionem om. g. In h et k arcus et inscriptiones iungunt A., E. B. F, C. K. D. G., L supra B, N supra G, N

infra F, P infra D sunt positi. Inter A et E legitur .CCXCIIII-

DCCCCXII, inter E e^ B CCCXXXI • DCCLXXVI- et infra

CCCCXVIIII . DCCCCIIII. 20 Inscript. om. g, k. 23 XV. om. h; .Xllir. i. |1 hanc rationem g. 24 quod f, g.

296 INST. MUS. m, 15.

sumus invenire hoc modo: Sit -A* CCLXII. CXLIIII.. quin-

que vero ab eo distans tonis sit B- CCCCLXXIL CCCXai., sex vero distans tonis ab eo, quod est «A*, sit •D- sciiicet

DXXXI. CCCCXLL Inter -B. igitur atque D. tonus esl, 5 «B* vero ab eo, quod est 'C', distet semitonium minus et

sit C' CCCCXCVII. DCLXUII. Relinquitur ergo inler C- atque *D. apotome proportio. Nam cum sit tonus 'BD% ex eo si auferas *BC* semitonium minus, *CD- relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus. Inter *D-

Inter *D-

10 igitur atque -C. est dififerentia XXXIII. DCCLXXVII. Hic

autem sit •£• Sed erat commatis differentia -VII. CLIII. Hic sit *¥' Si igitur «F*, id quod est comma, quinquies

multiplicem, fient mihi XXXV. DCCLXV. et sit hoc .G. Si vero idem .F* quater muitiplicem, fit -K. numerus, qui

15 est XXVIII. DCXU. «G- igitur ab eo, quod est .£-, maius est, .K- minus. Sed .G* quinquies auctum est comma, 'K' vero quater. Est autem apotomes differentia *£• lure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor. Ex hoc

soigitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam sunt •VIII. commata, minorem vero quam .VIIIl. Nam si minus semitonium maius quidem est quam tria commata, minus vero quam .IIII., apotome autem maior quidem est quam .IIII. commata, minor vero quam .V-, iunctum semi-

2o tonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem «VIII. commatibus, minus vero •VIIII- Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est •VIII. commatibus, minor vero .VIIU.

5 et] ut i. 8 CD. om. h, k. 14 idem F.] .VIl-CLIII- id est -F. i. 15 igitur om, g. 17 Est] E- o. H -E]

est i, o. 19 comma i. 23 apotomen g, o. 26 mi-

nus quidem .VIIII. g, h, k. || tonus maius et supra ver- sum sec, manu minus f. || maius vero .VIII. g, h, k. || quam •VIIII. o.

INST. MUS. III, 16.

297

V. tenj

CCLXII. CXLIIII.

XXVIII. DCXII.

..-"--^ vT

toni '■**-«.^

r^^v^ ^-"''^mil

iTmr^v,^^^

ccccLxxn.

CCCXCII.

CCCCXCVII. DCLXIIII.

XXXllI. DCCLXXVII.

XXXV. DCCLXV.

DXXXI. CCCCXLI. 5

VIL CLIII.

Superius dictorum per numeros demonstratio.

XVI. Sed quamquam per hanc ratiocinationem de- lo monstratum sit, quemadmodum tonus commatibus com- paretur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quo- minus per se hanc contra commata comparationem reti-

nere tonus ipse monstretur. Sit igitur -A- quidem CCLXII.

CXLIffl., -B. autem V- ab eo dislans tonis CCCCLXXII. is CCCXCU. , -C' vero diapason ad id, quod est -As continens

symphoniam scilicet in numerisDXXlIII. CCLXXXVIIL, -D. autem ab eo, quod est -A* 'VI- totos dilTerens tonos

DXXXl. CCCCXLL D. igitur ab eo, quod est .C-, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia. Id 20

autem sit •£• VILCLIII. -D' autem ab eo, quod est -B. tono integerrimo distat, VL scilicet toni quinque tonis.

Id autem sit F. LVinT. XLVIIII. Si igitur •£. novies

auxero, fiel mihi .fl. LXillL CCCLXXVII ; sin vero octies.

1 — 8 Disposiiionem om. s. h. et "k disponunt hoc modo:

om. f, g. 10 •XVI- om. f, h; «XV- i. Duhium omnino videtur sitne hoc ca- put Boetio iribuendum. 18 totos] tonos f, i; ei o, sed t su- pra n. 20 sexti toni] sex tonis f; scilicet sex toni o. 23 sit] fit g, h, k, 0. 24 CCCLXXVII.] CCCLXXIIII. i.

298

INST. MU8. ni, 16.

fient LVIL CCXXIIIl. Id sit .G* Sed H. quidem F. nu- mero comparatus superat, -G. vero superatur, et est .F- toni differentia, .H. autem novies multiplicalum comma, .G* vero octies. Demonstratus igitur est tonus minor qui- ^dem .VIIII. esse commatibus, eisdem vero .VIII. comma- tibus maior.

CCLXII.

CCCCLXXII.

DXXIUI.

DXXXI.

CXLIIII.

CCCXCII.

CCLXXXVIII.

CCCCXLI.

VII.

LVII.

LVIIII.

LXIIII.

15 CLIII.

CCXXIIII.

XLVIIII.

CCCLXXVII.

Ita bis praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit

•A. numerus CCCCXCVIi. DCLXIIII. , ab eo vero minus * 20 semitonium distans sit -fi. numerus, qui iam supra quoque

descriptus est DXXIlil. CCLXXXVilL Apotomenvero distet ab eo, quod esl A-, is numerus, qui coiligitur unitatibus

DXXXLCCCCXLI. Et sit hic C. Quoniam igitur .AB-

minus semitonium .AC- maius, differentia eius, quod est

25 .fi., ab eo, quod est 'C., perquirenda est. Ea est Vfl. CLUI.

3 autem] vero h, k. || comma] omnia f. 4 octiens o. i; Demonstratur g, h, k. || est] F- g, h, k. 7—16 Dispo- sUionem ow. g; h e/ k disponunt hoc modo:

G. F. H.

A. B. C. E. D. arcusque et inscriptiones addunt. 19—20 DCLXIIII ... di- stans in margine f. 21 distat h, k. 22 is] his g, et o prima mami. \\ colliguntur g. 23 sit hic] hic sit o; hic est

?, h, k.

INST. MUS. III, 16. 299

Id sit -D- Sed hic numerus dudum comma monslrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma difFeren- tiam facit.

CCCCXCVII. DXXIIII. DXXXT m

DCLXim. ccLxxxviii. ccccxLi. CLin. •

Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis mmoribus solo commate esse maiorem. Sit -A» numerus lo CCCCLXXII . CCCXCIf. ab hoc intendatur tonus DXXXl. CCCCXLI. et sit hoc -D- Ab eo vero, quod est -A-, in- tendatur semitonium minus, quod est .fi., ac sit «B- CCCCXCViL DCLXIIII. Item ab eo, quod est «B. semitonium aliud intendalur minus, quod est -C., et sit C^ DXXIUI, i^ CCLXXXVill. Quoniam igitur -AD. tonus esl, -AC- vero duo continet rainora semitonia, videamus ecqua sit diffe- rentia inter .C- atque .D^numeros constitula. Est autem,

•E. scilicet, unitatum VII.CLIil. Demonstratum est igi- tur , tonum duobus semitoniis minoribus commate esse 20 maiorem.

Demonstratum est igi- tur , tonum duobus semitoniis minoribus commate esse 20 maiorem.

CCCCLXXIl. CCCCXCVII. DXXIIII. DXXXI. VII. 25 GCCXCII. DCLXIIII. CCLXXXVIII. CCCCXLI. CLIII.

4 — 8 Dispositionem om. g; h et \s. diaponunt hoc modo: A. B. C. arcusque et inscriptiones addunt. 9 propono to-

num] proportionum i. 10 sola i. 12 vero] au- tem h, k. [] est om. h. 17 continet duo i; continent o. \ ecqua sit] haec quae sit f, o; enim ec qua i; quae sit g, h, k. 18 constituta sit i. 20 comma f, i. 22—26 Disposiiio- nem om. g. h disponii hoc modo: A. B. C. D, omisso E, k: A. B. C. D. ; uterque codex arcus et inscripiiones addit.

300 INST. MUS. IIII, CAPITULA.

Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus pro- pria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterio- 5 ris commentarii disputationem censuimus transferendam.

ExplicU de musica id esl armonica institutione liber tertius,

Incipiunt capitula libri quarti,

I. Vocum difTerentias in quantitale consistere.

II. Diversae dc inlervaliis speculationcs.

10 111. Musicarum notarum per graecas et latiuas lilteras

nuncupatio. Illl. Musicarum nolarum per voces convenieutes disposilio in tribus generibus. V. Monochordi regularis partitio in genere diatonico. 15 VI. Monochordi netarum hyperboleon per tria genera

partitio. VII. Ratio superius digeslae descriplionis. VIIL Monochordi netarum diezeugmenon per tria geuera partitio. 20 VllII. Monochordi netarura synemmenou per tria geuera partitio. X. Monochordi meson per tria genera partitio. XI. Monochordi hypalou per Iria genera partitio et lotius dispositio descriptionis. 25 XII. Ratio superius disposilae descriptionis.

Xlil. De stantibus vocibus ac mobilibus. Xllil. De consonantiarum speciebus. XV. De modorum exordiis, iu quo dispositio notaruni per singulos modos ac voces.

3 monocordi h, k. || est] en g; em f prima manu. \\ por- tio h; proportio f. 6 Inscript, om. g. Liber •III- explici- tus k. II Explicit om. i. || libri tertii h. [| liber tertius ex- plicit i; liber tertius om, k. 7 Incipiunt . . . quarti om, h; Incipit liber IIII. f. || Capitum indicem om, f, g, o. 10 no- tarum om. h, i, k. 12 vocum h, i, k. 15 per tria genera partitio om, h, k. 25 disposite i. 28 De modorum exordiis, in quo om, h, i, k. 29 ac voces in descriptione h, i, k.

INST. MUS. mi, 1. 301

XVI. DescripUo continens modorum ordinem acdifferentias. XVIL Ralio superius dispositae modorum descriptionis. XVIII. Quemadmodum indubitantcr musicae consonantiae aure diiudicari possint.

Expliciuni capitula Hhri quarli. ^

Vocum differentias in quantitate consistere.

INST. MUS. mi, 1. 301

XVI. DescripUo continens modorum ordinem acdifferentias. XVIL Ralio superius dispositae modorum descriptionis. XVIII. Quemadmodum indubitantcr musicae consonantiae aure diiudicari possint.

Expliciuni capitula Hhri quarli. ^

Vocum differentias in quantitate consistere.

r. Elsi omnia, quae demonstranda erant, superioris libri tractatione digessinaus, non paenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recolligenda praestare cum qua- dam diversitate tractatus. ut his rursus ad memoriara red- lo euntibus ad regulae divisionem quo tota tendit intentio, veniamus. Si foret rerum omnium quies, nuUus auditum sonus feriret, id autem (ieret, quoniam cessantibus moti- bus cunctis nuUum inter se res pulsum cierent. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse 15 est anlecedat. Ut ergo sit vox , molum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum veiocitatem tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus inpellendo motus gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proiima stationi est , ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam 20 voculam praestat. Praeterea quae gravis est intentione, crescit ad medium , quae vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit, ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse videatar. Omnis autem partium coniunctio quadam proportione committitur. Sonorum 25 igilur coniunctio proportionibus constituta est. Propor- tiones autem principaliter in numeris considerantur. Pro- portio vero simplex numerorum vel in multiplicibus vel in superparticularibus vel in superpartientibus invenitur.

5 Inscript, om, g, i. 6 Inscript. om, g. 8 penitet g, 0; poenitet h. 12 qui est i. 13 sonum o. || motibus om. 0, supra versum f. 14 nullae f, g, h, i, k. 17 in om, f. 19 stacioni g, 0. || est stationi h, k. 20 vero] enim h, k. 21 intencione g; intensione h, k. 22 ad medium supraver- tum i, 28 vero] autem g, h, k.

302 INST. MU8. IIU, 2.

SecuDdum multiplices vero proportiones vel superparticu- lares consonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt, quae simul pulsae suavem permixtumque inter se coniungunt sonum. Dissonae vero, quae simui 5 pulsae non reddunt suavem neque permixtum somim. His igitur ita praedictis de proportionibus pauca dicamus.

Diversae de iniervallis speculaiiones.

II. Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod flt ex hac multiplicatione» intervallum multi^dex erit.

10 Sit multiplex intervallum «BC* et -B- multiplex eius, quod est C* et fiat, ut est C- ad «B-, ita *B. ad -D* Quoniam igitur -B* multiplex est eius, quod est -C*, metitur -C* ter- minus id, quod est •B*, vel bis vel tertio vel deinceps. At est ut *C* ad -B* ita -B* ad -D* Metitur igitur -B* terminus

ad -D* Quoniam igitur -B* multiplex est eius, quod est -C*, metitur -C* ter- minus id, quod est •B*, vel bis vel tertio vel deinceps. At est ut *C* ad -B* ita -B* ad -D* Metitur igitur -B* terminus

15 id, quod est -D* Quocirca etiam -C* terminus id, quod est •Ds metietur; multiplex est igitur 'D* eius, quod est -C*, et est «DC* intervallum effectum ex composito bis copulato- que sibimet et per binarium multiplicato «BC* intervallo. In numeris quoque idem probatur. Sit enim -B* ad -C-

20 duplum , ut binarius ad unitatem et fiat, ut -C* ad -B- ita *B* ad -D. Erit igitur -D- quaternariu?. Multipiex est autem -B* ad C* id est binarius ad unitatem, multiplex igitur est •D* quaternarius ad *C* unitatem. Est enim quadruplus quaternarius unitalis et binario roultiplicata

25 medietas, quod est intervallum -BC*

IIII. li. I.

D. B. C.

1 vero multiplices o. || portiones i. 2 consone f,

g, o. [| dissone g, o. 3 pnlse g. 7 Inscript, om. g.

9 erit] est g, h, k. 10 et -B- multiplexl ETB multiplex est i; et muUiplex -B- o. 12 mittitur i. || terminus -C' h, k. 13 vel ante tertio om. f, i. || At] Ad g, i^Et o. 14 est om, 0. 16 et metietur -B- f; metietur -b- i; metitur

cum liiura i; metitur id, quod est «D-B» h, k. 17 bis om. i. 19 In OOT. i. 22 autem est g, h, k. I| C-] -D. f. 26-27 Dispositionem om. g; i, f arcus, h, k arcus et inscripiiones addunt.

INST. MUS. IIII, 2. 303

Si intervaUum binario multipiicatum multiplex effecerit intervallum, ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum •BC- et fiat ut C- ad .B* ita B- ad D* et D- sit ad C- multiplex. Dico, quia «B* eius quod est -C* multiplex est. Quoniam enim 'D* eius qued est -C* multiplex est, metitur 5 •C* id, quod est -D* Ostensum vero est, quoniam, si sint proportionaliter numeri et prior naturaliter fuerit uUimo comparatus, si primum uitimus fuerit mensus, metietur et medium. -C* igitur metietur id, quod est *B* Multiplex est igitur -B* eius, quo^ est *C* Id rursus ex numeris. lo Sit -C* unitas *D- vero ex duplicata proportione 'BC* sit quaternarius et est multiplex eius, quod est *C* Est enim quadruplus. Quoniam igitur hic quadruplus ex duplicata •BC* proportione generatur, -BC* proportio dimidium eius erit. Igitur -BC* proportio dupla est. Sed duplum multi- 15 plex est. Erit igitur -BC* proportio multiplex.

D. B. C.

IIII. 11. I.

Superparticularis intervalU medius numerus neque unus neque plures proportionaUter intervenient. Sit enim BC- 20 proportio superparticularis et in eadem proportione mi- nimi sint *DF* et -G* Quoniam DF* et G* minimi sunt in eadera proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quo- circa sola eos unitas metietur. Auferatur igitur -G* ab *DF. et relinquatur «D* Hic est igitur utrorumque mensura 25 communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter •FD* atque *G* incidet numerus, qui sit ab FD* quidem minor, maior vero ab *G* Sola enim interest unitas.

Quo- circa sola eos unitas metietur. Auferatur igitur -G* ab *DF. et relinquatur «D* Hic est igitur utrorumque mensura 25 communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter •FD* atque *G* incidet numerus, qui sit ab FD* quidem minor, maior vero ab *G* Sola enim interest unitas.

1 f Mc ei infra capitis paragraphos numeris ruhro colore scriptis notat, 5 metietur g. 7 naturaliter om. i. || fuerit nltimo naturaliter f. 8 comparatur g. 10 est om. 0. || igi- tur om. k. |1 eius om, f. 11 sit] Sit h, i, k. 14 propor- tione i. 15 Sed quoniam duplum o. || multiplex] duplex f. 16 igitur om, o. 17 — 18 DisposUionem om. g; f, h, i, k arcus addunt, 20 intervenit i. 21 minime i. 22 •DF* et -G^] D. F. G. bis g. || Quoniam -DF- et G^ om, f ; Et quo- niam ad .P- et -G- 0. || minime i. 24 eas g, h, k. 27 priits •FD-] DF^ h, k.

304 INST. MUS. IIII, 2.

Quanti vero in superparticularibus proportionibus propor- tionaliter inter eiusdemproportionis minimos intercident, tot etiam inter ceteros eiusdem proportionis intercident. Sed nuilus inter «FD- atque •6- minimos eiusdem propor- 5 tionis intervenire potest; nullus igitur inter •B» atque -C- proportionaliter cadet. Et in numeris. Sit quaelibet superparticularis proporlio, ut sesquaitera. Hi vero sint •X- et -XV- In eadem vero proportione minimi -11- et •III- Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas, eademque io utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ter- nariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero teruario. Alioquin unitas dividetur, qaoA est inconveniens. Quare ne inter -X- quidem atque -XV- quisquam invenietur numerus, qui talem ad -X* obtineat proportionem, qualem 15 ad eum tenent -XV-

D. I. B. C. F. (j.

XV. X. III. II.

20 Si intervallura non muUiplex binario multiplicetur , nec raultiplex est, nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex -BC- et fiat, ut -C- ad -B- sic -B- ad D- Dico, quoniam -D- eius, quod est -C- neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primura

25 .D- eius, quod est -C- mulliplex. Et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum sit et multiplex intervallum creatum, id quod mulliplicatum est bis inter-

1 vero] enim h, k. 2 incident f, i, o. 3 incident f, g, i, o. 4 inter F- h, k; D corr, additum est in g. 5 nul- lis g. 6 in om. f, g, i. 7 Hii o , hic f , i. H sunt g. 9 eadem quae i ; quae eadem f. 12 dividitur i. 13 nec h, k, o. II quidem om, h, k. || ac h, k. 14 ohtinet g. 16—19 Dispositionem om, g. f, i arcus, h, k arcus et inscriptiones addunt, 24 neque superparticulare h, k. [| h spatium reli- quit dispositioni inscribendae aptum: in k addita est dispositio

D B C

VIIII VI iin arcubus ornata et inscriptionibus a sequentis dispositionis inscri- ptionibus diversis.

INST. MUS. iin, 2. 305

f, i arcus, h, k arcus et inscriptiones addunt, 24 neque superparticulare h, k. [| h spatium reli- quit dispositioni inscribendae aptum: in k addita est dispositio

D B C

VIIII VI iin arcubus ornata et inscriptionibus a sequentis dispositionis inscri- ptionibus diversis.

INST. MUS. iin, 2. 305

vallum efise mulUplex, erit igitur «BC* multiplex. Sed non esl posiium, non igitur erit -D* eius, quod est -Cs multi* plex. Nec Tero soperparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus inter- venit. Inter •D« vero et «C* est proportionaliter terminus 5 constitutus, id est •B- Nam ut esi -C* ad «B* ita «B* ad «D* Inpossibile igitur erit, «D- eius quod est «C* vel multiplicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris. Sit non multiplex intervallum •¥!• ad •IIIl* fiatque ut sunt •IIII* ad •¥!• ita *\h ad alium quemlibet lo numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii ne- que multiplex neque superparticularis est.

D. B. C.

VIIII. VI. IIII.

Si intervallum binario multiplicetur atque id , quod ex ea i5 multiplicatione creabitur, multiplex non sit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim tntervallum •BC^ fiatque, ut •C« ad •B- ita «B^ ad «D» et non sit •D« eius quod est •C- multiplex. Dico, quoniam nec •B» eius, quod est •C-, erit multiplex. Si enim est, et «D^ eius quod est •C- muUipIex 20 est. Al non est. Non erit igitur •B- eius, quod est -C^, multiplex.

Duplex intervallum ex duobus maximis superparticu- laribus coniungilur, sesqualtero et sesquitertio. Sit enim •A- quidem eius, qnod est •B^, sesquaher, •B- vero eius, 25 quod est •C^, sesquitertius. Dico, quoniam -A^ eius, quod est •€• , duplex est. Quoniam igitur sesqualter est •A- eius, quod est «B^, igitur «A- habct in se totum •B^ eiusque di- midium. Duo igitur •A* aequi sunt tribus •B^ Rursus

5 vero om, h, k. 6 ut -C' est f, g, 7 erit igitur f, 0. H vel] id est f, 9 intervallum non multiplex g. 10 alium quidem quemlibet i. 13 — 14 Dispositionem om. g; f,

i orcitf, h, k arcus et inscriptiones addunt. 16 multiplicatur

h, k. 19 mttltiplex est f. || eius] eo i, 0. || -C.] -oc^ i. 20 •C- est 0. 21 est post multiplex om, g, o. H Ad i. 22 i addit A B C arcubus iuncta, f D B C; g spaiium vacuum reliquit, 23 Snplex o. 27 igitur] Aut omittendum aut in enim videtjir mutandum, || -A- sesqualter est h, k.

BOETIUS. 20

306 INST. MUS. mi, 2.

quoniam -B- eius, quod est •€• sesquitertius est, -B* igitur habet -C* et eius terliam partem. Tres igitur «B- aequi sunt ad quatluor •€• Tres autem 'B- aequi erant duobus •A- Duo igitur 'A- aequi suat ad quattuor •€• Unus igitur 5 -A- aequus est duobus •€• Duplex erit igitur -A* eius, quod est •€• Et in numeris. Sit enim sesqualter •XII- ad '¥111-, sesquitertius vero •VIII- ad -VI- ; ergo -XII- ad «VI* du- plices sunt.

doplus

10 A. B. C.

XII. VIII. VI.

sesqualter sesqttilertius

Sit enim sesqualter •XII- ad '¥111-, sesquitertius vero •VIII- ad -VI- ; ergo -XII- ad «VI* du- plices sunt.

doplus

10 A. B. C.

XII. VIII. VI.

sesqualter sesqttilertius

Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex nascitur intervalium. Sit enim -A- eius, quod est -B-, duplex, -B*

15 autem eius, quodest-C*, sesqualter. Dico quoniam -A- eius, [quodest •€*, triplex esL Nam quoniam -A^ eius, quod est B* , duplex est, -A* igitur aequus est duobus -B* Rursus quoniam -B* eius, quod est tC^, sesqualter est, -B-" igitur habet in se totum •C- et eius dimidiam partem. Duo

20 igitur •B- aequi sunt tribus -C- Sed duo -B^ aequi erant uni -A- Et unus igitur -A^ aequus est tribus C^ Igitur -A- uno C^ triplex est. Et in numeris. Sit duplex quidem senarius ternario, sesqualter vero ternarius binario, sena- rius igitur triplex est binario.

scsciualler.

Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit in- 30 tervallum , erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim

5 quod] qui g, h, k. 6 .XII- ac •VIIL g; •III- ad 11- fv i. 7 -VIII- ad VL] IIII. ad .nL f, i. || ad VI. om. g; IIIL ad -IL i; IIIL ad duo f. 8 erunt o. 9 — 12 Dis- positionem om. g; f, i litteras A. B. C infra numeros -IIII • III • II- arcuhus iungunt, 25—28 Dispositionem om. g. || triplus om, f, i. 28 duplus , sesqualter om. f^ i.

INST. MUS. mi, 2. 307

•A* quidem eius, quod est 'B* » sesqualter, at vero •€• eius, quod est «B*, sesquitertius. Dico quoniam «A* eius, quod est -C*, sesquioctavus est. Quoniam enim -A* eius, quod est -B*, sesqualter est, «A' igitur babet in se -B* et eius di- midiam partem. Octo igitur 'A' aequi sunt ad duodecim 5 •B* Rursus quoniam •& eius, quod est 'B-, sesquitertius est, «C* igitur habet in se -B- et tertiam eius partem. Novem igitur -C* aequi sunt ad duodecim -B* Duodecim autem 'B- aequi erant ad octo -A* Et octo igitur «A* aequi sunt ad novem -C* Igitur 'A* aequus est ei, quod est -C*, lo et octavae eius parti. -A* igitur eius, quod est 'C*, sesqui- ocfavus est* Et in numeris. Sesqualterum quidem inter- valium sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesqui- octava proportio est. is

sesqaioctaTns

A. C. B.

VIIII. VIIL VI.

sesquitertius

sesqualter 20

Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus -A*, huius autem sit sesquioctavus -B*, huius autem sesquioctavus -C*, huius autem sesquioctavus -D* et huius sesquioctavus -F* eiusque sesquioctavus «G* atque huius sesquioctavus -K* Id autem 25 fiat secundum descriptum in arithmetica modum. Et sint

numeri A. B. C. D. F. G. K. Et sit A. CCLXII - CXLIIII»,

huius autem sesquioctavus, qui est -B-, •CCXCIIII- •DCCCCXII', huius autem sesquioctavus, qui est -C*,

Et sint

numeri A. B. C. D. F. G. K. Et sit A. CCLXII - CXLIIII»,

huius autem sesquioctavus, qui est -B-, •CCXCIIII- •DCCCCXII', huius autem sesquioctavus, qui est -C*,

1 eius qnidem h, k. || ad i. 2 eias om, i. 3 alter, est om, g. 7 eins tertiam h^ k, o. 8 duodecima antem i. 14 igitur] vero h, k. 16 est proportio h, k. 16—20 Dispo- sitionem om, g. 16 sesquioctavus om, f, i. 17 k. disponit litteras hoc modo: A. B. C. 18 VIIII. VI. VIII. k. 19 ses- quitertius om, f, i. 20 sesqualter om. f, i. 22 quidem k. 24 eiusque] eius quoque o. 26 Et sint numeri om. g. 27 Inter D e/ F E ponit g.

20*

308 INST. MU8. nii, 3.

CCCXXXI ' DCCLXXVI' , huius autem sesquioctavus , qui

est -D-, CCCLXXIII^CCXLVIII-, huius autem sesquioctavus,

qui est P., .CCCCXVIIlIDCCCCmL, huius autem ses-

quioclavus, qui est *G*, •CCCCLXXII* CCCXCU-, huius au-

5 tem sesquioctavus, quiest-K*, •DXXXI*CCCCXLI- Et sunt

•DXXXI * CCCCXLI* , quod est -K*, plus quam duplices a ducentis LX duobus miiibus •CXLIIII* , quod est -A* Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno du- plici intervallo.

10 A. B. C.

CCLXII. CXLIUI. CCXCnU. DCCqCXLL CCCXXXL DCCLXXVl.

D. F.

CCCLXXIII CCXLVllL CCCCXVIIIL DCCCCUII.

G. K.

15 CCCCLXXII. CCCXCIl. DXXXI. CCCCXLl.

Mustcarum notarum per graecas ac latinas litteras nun-

cupatio.

lU. Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniam- 20 que necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibe- bit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cura divisam lineam isdem notulis signaverimus; quod unicui- que nomen sit, facillime possit agnosci. Veteres enim

3 qui est om, g. 4 qui om, i. 6 qui e&t oiw. g, i, o. |i

Et sunt DXXXI. CCCCXLI in margine f ; Et sunt DLCXCI i. 6 a] ad i. 8 suut om, g. 10 — 16 Disporitionem om» g; h, k litteras in uno eodemque versu disponunt, inter Qt et Yi

Dxxuii. vn.

CCLXXXVIII. CLIII. addunt, dispositionem totam arcubus et inscriptionibus ornant; f , i soalae in modum litteras numerosque disponunt, 18 nunc om. o; ut f, g, i. 19 qaoniam quae g, i. 20 tribus so- mis i. 22 hisdem g, h, i, k, o.

IN8T. MUS. IIII, 3. 309

vn.

IN8T. MUS. IIII, 3. 309

musici propter conpendium scriptionis, ne integra sem- per nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam, quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captanles, ut, si quando melos aliquod musicus voluisset 5 adscribere super versum rythraica metri r.ompositione distentum^ bas sonorum notulas adscriberet, ita miro modo repperientes, ut non tantum carminum verba, quae litte- ris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his no- tulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. lo Sed ex his omnibus modis unum interim lydium eiusque notulas per tria genera djsponamus, in reliquis modis ideni facere in tempus aliud diiTerentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupa- tione descripsero, lector nuUa novitate turbetur. Graecis i5 enim litteris in quamlibet partem nunc inminutis, nunc etiam inflexis tota haec notarum descriptio constituta est. iVos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate trans- vertere. Erunt igitur priores ac superiores nolulae dictio- nis, id est verborum, secundae vero alque inferiores per- 20 cussionis.

Proslambanomenos, qui adquisitus dici potest, zeta

non integrum et tau iacens h- hypate hypaton, quae est principalis principalium , garama conversum et gamma

rectum .r-, parhypate hypaton, idest subprincipalis prin- 25

cipalium, bela non integrum et gamma supinum .l-, hy- paton enarmonios, quae est principalium enarmonios,

2 nomiiia semper h, k. || appone i. || excogitare i. 4 per 02». f. 5 aliquos i. 6 exscribere f, i; asscribere g, h, k. II rithmitica i. 7 asscriberet g, h, k; adscriberent f, i; ascriberent o. 8 qnae] qnod f; qnot i. 9 quot i.

13 Sanae i. 14 Graecarnm litterarnm notamm g, h, k.

17 tota] rata g, h, k, o. 18 caveamus f. || transferre i.

22 zetaj /n g, h, k maximam partem non nomen sed littera

ipsa est scripta, 23 tau] te i. || non integrnm et tan ia- cens] cnm non integro tan iacens h, et k prima manu, \\ qnae]

qna i; qui f. 26 beta] Be i. 27 enermonios, qnae o.

310 INST. MUS. im, 3.

alpha supinum et gamma conversum retro habens virgu-

lam >., hypaton chromatice, quae est principalium chro- matica, alpha supinum habens lineam et gamma conver-

sum duas habens lineas .i:., hypaton diatonos, quae est

5 principalium extenta, phi graecum et digammon .f-, hy-

pate meson , quae est principalis mediarum sigma et sigma

C-, parhypate meson, quae est subprincipalis mediarum,

P rho et sigma sopinum .u-, meson enarmonios, quae est

mediarum enarmonios, pi graecum et sigma conversum n 10 D-, meson chromatice, quae est mediarum chromatica,

T> dium habens virgulam -9-., meson diatonos, quae est me-

diarum extenla, my graecum et pi graecum deductum

M I

.TT', mese, quae estmedia, iota et lambda iacens . ., synemme-

non chromatice , quae est coniunctarum chromatica, eta

20 graecum habens virgulam et lambda conversum habens

2 chromaticae f, o. || chromatica om. g^, h, i, k, 0. 3 gamma om. g. 4 habens duas h, k. || V om. f. 5 hypa-

ton i. 6 sigma] ce i, sima f, o. 7 superprincipalis g, k.

8 rho] pe i. 9 gregnm k. 10 chromaticae g. || medio- rnm f, i, o. || chromatice f. 13 diductam f, g, h, i, k; quapropier et litterae forma non deducta sed diducta est TT.

0 14 labda i; lauda f; lapda o. 15 — 16 trite ... V o?n. o. 16 paranete synemmenon o. 11 enarmios i. 17 coniuncto-

K ram i, || Heta i. 18 sqq. synemmenon .... «^* om. o. 19 chromaticae i. || coniunctorum i.

INST. MUS. ini, 3. 311

virgulam .^., synemmenon dialonos, quae est coniun-

ctarum extenta, gamma et ny .n*, nete synemmenon, quae est ultima coniunctarum (0 quadratum supinum et zeta

Z', paramesos^ quae est submedia, zela et pi gcaecum

iacens -t •» trite diezeugmenon, quae est tertia divisarum, 5

e quadratum et pi graecum supinum .]j., diezeugmenon enarmonios, quae est divisarum enarmonios, delta et pi

graecum iacens conversum .ij., diezeugmenon cliroma- tice, quae est divisarum chromatica, delta habens virgulam et pi graecum iacens conversum habens lineam lo

angularem .3f., diezeugmcnon diatonos, quae est di-

visarum diatonos, (0 quadratum supinum et zeta Z-, nete diezeugmenon , quae est ultima divisarum, phi

iacens et ny inversum deductum .M-, trite hyperbo- leon, quae est terlia excellentium y deorsum respi- 15 ciens dextrum et semialpha sinistrum sursum respiciens

• x., hyperboleon enarmonios, quae est excellentium enarmonios, tau supinum et semialpha dextrum su-

1 pinum .y., hyperboleon chromatice, quae est ex-

cellentium chromatica, tau supinum habens lineam et^o

1 :^ h, k. 2 ny] en. i. 4 -UJ -Z- o. 0 parameses h, k. 5 est om, g. 8 iacens om. o. |1 chromaticae i. 10 virgul- tam h. 11 diversarum tonos i; diversarum diatonos o.

12 -UJ-Z- 0. 13 nete zeugmenon i. || phi] 71 o. 14 ny] en

i. II diductum f, g, h, i, k. || M f» g. h, i, k; tzM o. 15 tertla est h. 16 semi non perfectum alpba g. || sursum]

rursus f. 17 X om, k, || enarmonicos h. 18 tau] te i. || dextrum] sinistrum f. 19 chromaticae i. 20 chromateca. i. II tau om. i.

312

INST. MUB. mi, 4.

semialpha dextrum supinum habens retro lineam . y., hyperboleon diatonos , quae est excellentium exlenta , my graecum habens acutam et pi deductum habens acutam

n'-, nete hyperboleon iota habens acutam et lambda

^ .

Musicarum notarum.per voces convenienies disposiiio in

tribus generibus»

IIIL

C C

Proslambanomenos

Hypate hypaton Parhypale hypaton Lichanos hypaton enarmonios Lichanos hypaton chromatice Lichanos hypaton diatonos Hypate meson Parhypate meson

1 • V'. f. 3 habens om, g. || diductum f ; diductam g, M' h, i, k. 4 .n'. f, g, b, i, k- || acutum f, i. 6 acutum

I i; -iT. om. 0. 6 Inscripi, om. g, h. || conveniens k. || No- tas musicas om, g, o. 8 Proslambanomenon fa, k. 12 chro- matica f, g, i.

INST. MUS. IIII, 4.

313

2 t

E U

Lichanos meson enarmonios

Lichanos meson ehromatice

Lichanos meson dialonos

Mese

Trite synemmenon Paranete synemmenon enarmonios Paranete synemmenon chrbmatice Paranete synemmenon diatonos

Nete synemmenon Paramesos

Trite diezeugmenon

Paranete diezeugmenon enarmonios Paranete diezeugmenon chromatice

Paranete diezeugmenon diatonos

TT H H H

. 1 -L- f. 6 .2.- f. 7 -r^- h, k; -S- • f. fl chroma-

tica f, g, h, i, k, o. 10 Parameses g, h, k, o. 13 chro- matica f, g, h, k, o.

314

INST. MUS. IIII, 5.

1 r

Nete diezeugmenon

Trite hyperboleon

Paranete hyperboleon ettdrmonios

Paranete hyperboleon chromatice

Paranete hyperboleon diatonos

Nete hyperboleon.

Monochordi regularis pariitio in genere diatonico.

V- Sed iam tempus est, ad regularis monochordi divi- sionem venire. De qua re illud est praedicendum, quod,

10 sive in mensura nervi , sive in numeris atque eorum pro- portione statuatur describenda divisio, maius spatium chordae et maior numeri multitudo sonos graviores effi- ciet. At si fuerit nervi longitudo contractior et in numeris non multa pluralitas, acutiores voees edi necesse est. At-

15 que ex hac comparatione , quantum unaquaeque fuerit vel longior vel plurium numerorum aliaque vel contractior vel paucioribus signata numeris, tanto vel gravior vel acu- tior invenitur. Nec lectorem res illa conturbet, quod in- tendentes saepe spatia proportionum numero maiore si-

2ognavimus, remittentes vero minore, cum intenUo acumen

1 Nete diezeugmenon 6m, g.

2 V f

3 Hunc ver-

Hic vero ubi chordarum spatia sonosque me- 5

iiemur, naturam rerum sequi necesse est, maiorique lon-

gitudini chordarum, ex qua gravitas existit, ampiiores,

minori vero, ex qua vocis acumen nascitur» dare brevio*

res. Sit chorda intensa -AB* Huic aequa sit regula, quae

propositis partilionibus dividatur , ut ea regula chordae lo

apposita eaedem divisiones in nervi longitudine signentur,

quas antea signaveramus in regula. Nos vero nunc ita

dividimus, quasi ipsam chordam et non regulam partia-

mur. Dividatur igitur •AB« in quattuor partes per tria

puncta, quae sunt -C-D-E* Erit igitur tota quidem *AB* i5

dupla ab his, quae sunt «DB- «AD*, singiilatim vero -AD*

•DB* duplae sunt ab his, quae sunt -AC* *CD* «DE* EB*

Erit igitur «AB- quidem gravissima id est proslambanome-

nos , •DB- autem mese. Est enim dimidia totius et sicut

•AB* ab ea, quae est -DB-, dupla est spatio, ita -DB* ab ^

ea, quae est *ABs dupla est acumine. Nam, ut superius

clictum est, spatii et acuminis semper ordo conversus est.

I Nam tanto esl chorda maior in acumine, quanto fuerit

minor in spatio. Quocirca erit et «EB* nete hyperboleon,

quoniam -EB- eius , quae est -DB- , dlmidia quidem est in ^^

}. quantitate, dupla vero est in acumine. Rursus quoniam

I eadem -EB* eius, quae est -AB-, quarta pars est in spatio,

i quadrupla erit ab eadem in aeumine. Erit igitur , ut di-

ctum est, nete hyperboleon dupla in acumine ab ea, quae

est mese, mese aulem dupla in acumine ab ea» quae esl ^

2 nihil enim i. 4 in minoribus i. 5 vero om, g, h, k- II metietur i. 6 insequi f, g, h, k. 7 ex quo i. 10 partionibuB g; proportionibus h, k; patitionibus muiatum in proportionibus f. 11 eadem i, cedem f. 12 signaveri- ] .«1118 f, i. 14 igitur owi. g, h, k. 15 coe i. 17 -DB.] -de- 1- 19 enim] autem h, k. 20 prius ab om, g, k. 25 eius 'l^ae] eiusque i. 27 alter, est om. i. 28—29 Erit igitur ' • . in acumine om. 1. 30 ab ea] ad eam h^ k.

316

INST. MUS. im, 5.

prosIambanomeRos. Nete vero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea , quae est proslambanomenos. Consonabit igttur prosiambanomenos ad mesen diapason, mese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad neten

5 hyperboleon bis dtapason. Rursus quoniam aequae partes sunt -AC* -CD* *DE* «EB*, estautem «AB* quattuor earun- dem partium, «CB- autem trtum, -AB* igitur sesqnitertia est ab ea, quae est «CB- Rursus quoniam trium est ae- quaiium partium -CBs sed -DB* duarum, erit igitur -CB*

10 sesqualtera eius quae est -DB* Rursns quoniaro -CB* est trium partium aequalium, quai» est una «EB*, tripla igi- tur est -CB* ab ea, quae est «EB* Ei4t igitur -CB* licha- nos hypaton diatonos consonabitque prosiambanonienos quidem ad lichanon hypaton diatonon consonantiam dia-

15 tessaron, eadem vero lichanos hypaton diatonos consona- bit ad meseu consonantiam diapente, eademque lichanos diatonos consonabit ad neten hyperboleon diapason et diapente. Rursus si de tota •AB* nonam partem auferam eam, quae est •AF-, erunt partes •Vill- •FB' Erit igitur

20 -FB* hypate hypaton , ad quam sesquioctavam contineat proportionem 'AB*, id est proslambanomenos, in musica vero tonon.

25 Superior descriptio inferiora signa quae continet eius sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit adscribere.

1 — 2 Nete vero . . . proslambanomenos om» i. 2 -RQ; consonabit i. 4 in fine netent i. 6 aeque g, o^ 8 quia f,

h, k, o; quai. 9 alt, -CB.] ."CD- i. 10 -DB-] -CB- i. 13 consonabuntque f, i. 14 lichanos o. || diatonos i, o. 19 eruntque f. [| partes om, h, k. 22 tonum h, k. 24

Signa om, g; h, k arcubus inscripiiones addunU 27 ascri-

INST. MUS. IIII> 5. 317

Item si «AB* tribus incisionibus partiamur , erit pars tertia -AG- ; duae igitur eiusdem erunt -GB- Consonabit igitur -AB- proslambanomenos ad «GB*, quae est bypate meson, diapente consonantiam in proportione sesquaitera constilutam, *CB* autem ad «GB- erlt sesquioctava et con* 5 tinebil tonum , idque ordme cadit. Nam lichanos hypaton diatonos, id est «CB*, ad eam, quae est hypate meson, id est -GB*, continet tonum. Rursus -AB* quidem proslam- banomenos ad «CB* lichanon hypaton diatonon habet consonantiam diatessaron , «AB* autem proslambanomenos lo ad -GB* bypaten meson habet consonantiam diapente. Item •CB- ad 'DB', id est lichanos hypaton diatonos ad mesen, habet consonantiam diapente. «GB* autem ad «DB*, id est hypate meson ad mesen , habet consonantiam diatessaron. Lichanos autem hypaton, id est -CB- ad hypaten meson i5 comparata, id est 'GB*, distabit tono. Si autem eius, quae est •CB-, quartam partem sumpsero, erit^CK* Igitur *CB* ad -KB* obtinebit sesquitertiam proportionem. -KB- autem ab ea , quae est «DB- , sesquioctava proportione di- stabit. Erit igitur -KB* quidem diatonos meson et erit -CB* 20 id est lichanos hypaton diatonos ad -KB* id est diatonon meson diatessaron continens consonantiam. Rursus si eius quae est -DB* nonam partem sumpsero, erit miht •DL- Igitur 'LB- erit paramese. Si autem eius, quae est •DB-, quartam partem sumpsero, erit *DM- Igitur -MB* 25 ) erit nete synemmenon. Si autem eius, quae est 'DB-, ter- liam partem sumpsero, erit 'DN* Igilur -NB* erit nete diezeugmenon. Si autem 'KB* in duas partes aequas fue- rit divisa, erit KX- erilque •XB- paranete hyperboleon.

bere o; asscribere g, h, k. 3 GB] -G- g. 4 ses-

qaalteram i. 5 constituta g, h, k. || sesquioctavum i. 0.

7 ad eam] eadem et supra versum ad eam f. || hypaten f, i; hypaton g. 8 continent i. 9 habet diatonon h, k. 11 hypate g, h, k, o. 15 hypate g, o. 16 distat g. 17 et igitur g. 19 antem om. g, h, k. 20 — 22 et erit . . . . diatonon meson in margine superiore f. 21 id est om. o.

diatonos n^son i; diatono meso o. 24 parameses h, k. 25 partem quartam i. || erit mihi DM- o. 29 eritque YXB i.

INST. MUS. IIII, 6.

Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio.

VI. Nunc igitur diatonici generis descriptio facta est 5 in eo scilicet modo, qui est simplicior ac princeps, quem lydium nuncupamus. De quibus modis nunc disseren- dum non est. Ul vero per tria genera currat mixta descri- ptio et in omnibus propria numerorum pluralitas appona- tur, ad conservandas scilicet proportiones vel tonorum 10 atque dieseon, excogitatus est numerus, qui haec omnia possit explere, ut maximus quidem ad proslambanome-

non describatur, qui sit VIIII. CCXVI., minimus vero II. CCCIIII., reliquorum vero sonorum proportiones in horum medietate texentur. Sane ab inferiore procedimus omni-

i5umque nomina chordarum non solum nominibus, verum etiam appositis litteris demonstramus» sed ita, ut, quo- niam trium generum est facienda partitio nervorumque modus litterarum numerum excedit , ubi defecerint litterae, easdem rursus geminamus hoc modo, ut,

^ quando ad Z fuerit usque perventum, ita describimus LXXir ad mesen id est •IIII- •DCVin^, quoniam in sesqualtera comparatione consistit, diapente, consonabit symphoniam. Eadem vero nete die-

zeugmenon id est •III*LXXII* ad pararaesen, id estio

•IIII-XCVI*, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. Si igitur

ab ea, quae est nete diezeugmenon •IILLXXIL octavam auferam partem, id est CCCLXXXIIII- eisque adiciam,

(ient -111 • CCCCLVI* Eritque haec paranete diezeugmenon i5 diatonos •CC- litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum. Ab hac vero si octavam auferam partem,

id est de .111. CCCCLVI-^uae est -CCCCXXXIL eosque

eidem adiungam, erunt »111 • DCCCLXXXVIII. Eritque ea •¥• trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete die- ^o zeugmenon ad paramesen sesquitertiam obtinebat propor- tionem, trite autem diezeOgmenon diatonos a nete die- zeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus. Diatoni- cum igitiir genus in hoc quoque tetrachordo ac penta- 25 chordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius, quod est netes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron con-

Diatoni- cum igitiir genus in hoc quoque tetrachordo ac penta- 25 chordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius, quod est netes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron con-

1 T] -00-1; M f. 0 isdem k. 2 litteram g. |1 de- signamuB f, i. 7 meson f. || id est om, g, h, k. 9 con- Bonabit] continet g, h, k. H conBonantiam h; consonantiam et supra verstnn al:. simphoniam k. 10 prius id est om, g. h, k. 11 sesqaitertiam g. 12 sympboniam h, k. 14 auferam octa- vam g, h, k. || aufero o. 16 duobus •CC- f. 17 auferam octavam o. || partem auferam h, k. 19 ei addam o. || que om. f, g. 20 diatonos trite diezeugmenon o. 21 para- meses o. || obtinebit g, h, k. 23 abest] ab ea est i.

24 paramese h, k; parameses o; parameson i. || Diatonum o.

326 INST. MUS. IIII, 8.

sonantia sit, pentacbordi vero eius, quod est netes die- zeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia. Enarmo- nium vero atque chromaticum genus hac ratione texemus. Sumo distantiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni,

5 id est HTLXXII- et ur CCCCLVI- , est eorum difTerentia

CCCLXXXIIII. Hanc divido; erunt CXCII. Hanc si

sumam et ei, quae est paranete diezeugmenon diatonos,

adiungam, id est iirCCCCLVl., fient .IfiT. DCXLVffl. Haec erit paranete diezeugmenon chromatica -BB. gemi- 10 natis litteris adnotata , distans a nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam, nunc vero

cbromaticam, id est .lif . DCCCLXXXVIII. , semitonium reliquum ab eo tono, quod divisum est inter paraneten

15 diatonon diezeugmenon et triten diatonon diezeugmenon. Et fit aliud reliquum ex tetracbordo semitoninm inter tri- ten diezeugmenon cbromaticam et paramesen , quod sci- licet ex diatessaron consonantia relinquitur ea , quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus

2otonis, quos nete diezeugmenon et trite diezeugmenon chromatica continebant. Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est, in chromatico autem trite diezeugmenon cbromatica, ea in enarmonio genere paranete diezeugmenon enarmonios dicitur — integros

25 enimduostonosdistat ab ea, quae est nete diezeugmenon — et notatur -AA. Et inter neten diezeugmenon et paraneten enarmonion diezeugmenon nuUa interest chorda atque ideo paranetes vocabulo nuncupatur. Semitonium vero, quod est inter paraneten enarmonion diezeugmenon et

so paramesen, id est inter -AA. et .X- hac ratione partimur,

6 81 om, i. 7 et om, i. || eique f, o. 8 fiunt g.

9 Haec] Hae ac i. 12 diatonicum i. || nunc vero chro-

maticam om. o. 15 diatonum g, h, k. || aU. diatonon om, h; diatonum k. 16 alind fit f ; alium i. 17 parameson g. i Po8t paramesen nos

^XXVIII.

liez. . m,

CCC.

:vm. s

I KK.

in. hyperb. liatonos

►

DXCII.

17 parameson g. i Po8t paramesen nos

^XXVIII.

liez. . m,

CCC.

:vm. s

I KK.

in. hyperb. liatonos

►

DXCII.

parT

III. }

diez. m.

CCC. CVIII.

-o

!LL.

nete hyperti-

ii: ccoim.

nete hypefb,

W.ocaisL

nete kypei%.

a.oociiiL

INST. MUS. IIII, 11. 333

id est inter Vll • DCCLXXVI. et VIII • CXCII. Et diatonici quidem generis liypaton tale tetrachordum est, chroma- ticum vero tali ratione dividimus. Sumo enim differentiam hypates meson et eius, quae est lichanos hypaton diatonos,

id est .vr.CXLIIII. et .VT- DCCCCXII. Ea est DCCLXVIII. 5 Hanc dimidiara partior, ut duo efiiciam semitonia, iient

.CCCLXXXIIII. Hancadicio .VIDCCCCXn, ut tria semi-

tonia fiant; erunt .VIICCXCVI. Haec erit .F- lichanos hypaton chromatice ab ea , quae est hypate meson , tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, 10 unum quidem inter lichanon hypaton chromaticen et par-

hypaten hypaton chromaticen, id est inter •VII* CCXCVI-

et «VII . DCCLXXVI' , aliud vero inter parhypaten hypaton

chromaticen et hypaten hypaton, id est inter .VII -

.DCCLXXVI. et .VDl.CXCn. Restat enarmonium genus, 15 cuius ad superius exemplar talis divisio est. Quoniam enim parhypate hypalon diatonos vel parhypate hypaton

chromatice, quae * VII . DCCLXXVI* unitatibus insignita est, duubus tonis distat ab ea, quae est hypate meson, ea- dem erit in genere enarmonio lichanos hypaton enarmo- 20 nios, quae ab hypate meson duobus integris differat tonis. Restat igitur ex diatessaron consonantia semitonium, quod est inter lichanon hypaton enarmonion et hypaten hypaton,

id est inter .VH. DCCLXXVI- et .VUICXCU. Hoc in duas diesis ita dividimus. Sumo differentiam eius, quae est25 lichanos hypaton enarmonios, et hypates hypaton, id est

.VITDCCLXXVI. et .VnrcXCn. Ea est CCCCXVI.

Huius dimidiam sumo, sunt 'CCVIII. Hanc adicio .VII-

.DCCLXXVI.fient.vn.DCCCCLXXXIIII. quae sit D- par- hypate hypatou enarmonios. Sunt igitur duae diesis , una 3o

2 chromatici g. 3 divimus g. 4 hypaton] hypaten

g. 5—7 Eajest ... .vT-DCCCCXIL (m. h. 9 est]

Bunt f. 14 .VIIDCCLXXVL] VIILXXVI. i. 15 en-

armonion f. 20 genere enarmonion f. 21 integris] in

tribus i. 24 in] inter h. 25 diesis mutatum in dieses h.

334 INST. MUS. nii, 12.

quidem , quae inter lichanon hypaton enarmonion et par-

hypaten hypaton enarmonion, id est inter •Vll* DCCLXXVI-

Quod si 10 superioribus tetrachordis hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon, meson adlungatur, fit integraperfectaquede- scriptio divisi per omnia [triagenera] monochordi regularis.

(Vide descriptionem in iahula seorsum addiia.)

Raiio superius dispositae descnpiionis.

i^ XII. In superiore igitur forma obtinel quidem con- sonantiam diapason proslambanomenos ad mesen, mese vero ad neten hyperboleon, bis autem diapason proslam- banomenos ad. neten hyperboleon; diatessaron autem con- sonantiam servant hypate hypaton ad hypaten meson,

20 hypate meson ad mesen , mese ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon , nete diezeugmenon ad neten hyperboleon , atque hoc ita , ut in his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo nervorum secundum tria

25 genera, • V- tantum notantur esse tetrachorda : primum at- que gravissimuni hypaton , cuius est princeps hypate hy- paton, ultima hypate meson, secundum vero raeson, cuius

1 qiiidem om, h. || hypaten g, h. 3 parhjpaten] hy- pateu i. 9 enarmoninm h, k, o. || Post enarmoninm in h ei k spatium tredecim versuum vacuum relictum est. \\ si om. o. 12 [tria genera] om, codd. 13 Dispositionem disponunt g, h, k ut supra est adnotatum; i om, S.D.K.L. AA. et ponit II. HH. KK. loco HH. KK. LL. ; f om. S. Y. K. L. HH. AA. et ponit HH. KK. CC. loco KK. LL. EE. 14 Inscript. om. g. 1| positae k; digestae f. 16 optinent i. 20 mese] meses g, h, k. 26 est om. o.

Descriptio pag. 334 addenda.

KK.

LL.

o IH.

iiiiyperb. om.

Ii>cc.

XtVL

paran. hyperb. dialonos

li. DXCIL

nete hyperb.

IT. ccam.

nete hyperb. U. CCCUIL

nete hyperb.

iL cccira.

INST. MUS. IIII. 13. 335

est princeps hypate meson, extrema vero mese, tertium synemmenon, cuius est princeps mese, finalis nete synem- menon, quartum diezeugmenon, cuius est prima para- mesos, nete vero diezeugmenon extrema, quintum vero est hyperboleon, cuius est quidem princeps nete diezeugme- 5 noD, ad neten vero hyperboleon terminatur extremam.

De stanlihiis vocihus et mohilihus,

XIII. Harum vero omnium vocum partim sunt in totum inmobiies, partim in totum mobiles, partim vero nec in totum inmobiies nec in totum mobiies sonant. lo In totum inmobiies sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypatemeson, mese, nete synemmenon , para- mesos, nete diezeugmenon , nete hyperboleon idcirco, quoniani in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec loca nec nomina permutantes sive pentachorda sive tetra- 15 chorda contineant; pentachorda quidem, ut proslambano- menos ad hypaten meson et mese ad neten diezeugmenon, tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson et hypate meson ad mesen. Mobiies vero sunt, quae secun- dum singuia genera permutantur hoc modo, utparanete^o et lichanos diatonici et chromatici, trite et parhypate en-

Mobiies vero sunt, quae secun- dum singuia genera permutantur hoc modo, utparanete^o et lichanos diatonici et chromatici, trite et parhypate en-

* armonii. Alia est enim paranete byperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, aiia trite enarmo-

\ nios. Diversae sunt etiam paranete diezeugmenon dia- tonos atque chromalica , nec est eadem quae in generibus 25 ceteris trite diezeugmenon enarmonios. Neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromalica el trite synemmenon enarmonios his, quae sunt in reiiquis gene-

2 principiam h, k. 3 parameses g, h, i, k, o. 4 vero post nete om, g, h, k. 5 quidem om, g, h, k, o. 6 extrema g, h, k, o. 7 InscHpt, om. g, \\ et] ac k. 8 Parum o: Earum k. 9 partim vero h, k. 10 sonantj Haud scio an sunt scrihendum siL 12 parameses h, k, o. 14 eadem f, i.

21 lichanae f, i. 22 — 23 diatonos . . . hyperboleon om, i.

23 chromaticae f. || trita« i. 24 etiam] autem i. 26 est om. o. II eaedem o. . 26 eadem i; eedem f.

336 INST. MUS. im, 13.

ribus trite. Distant etiam lichanos meson dialonos et licha- nos meson chromatice, etparhypatemeson enarmonios nulli aliorum generum parhypate similis invenilur. Nec eosdem locos ac numeros servant iichanos bypaton dialonos et li- 5 chanos hypaton chromatice. Nam parhypate hypaton enar- monios aiiorum generum parhypatis repperitur esse dissi- milis. Non in totum vero inmobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generibus manent, id est chromaticoet diatonico, sedinenarmonio permutantur. Id autem sic con- 10 sideratur. Trite hyperboleon diatonos et trite hyperboleon chromatice eadem in superiore forma descripta est isdem

numeris -U • DCCCCXVI* At vero cum enarmonium genus

aspicimus, triten aliamrepperimos, idest •!! • DCCCCXCIIII. Quae igitur vox dnobus fuit generibus communis, eadem

15 in tertio permutata est. Idem est in diezeugmenon tetra- chordo. Nam trite diezeugmenon diatonos et trite die- zeugmenon chromatica eaedem sunt sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enarmo»ios a superioribus di- stat. In synemmenis etiam idem est. Trite enim synem-

20 menon diatonos et trite synemmenon chromatice eaedem sunt, sed trite synemmenon enarmonios est diversa. Item parhypate meson diatonos et parhypate meson chromatica eaedem notantur, sed in enarmonio genere, sicut superius trite, ita hic parhypatae iuxta hypatas meson quidem in-

25 veniuntur, vi autem ac soni acumine diversae sunt ceteris. Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatica eadem est, sed non eadem est, cum in enarmo- nio genere quaeritur. Sed ut harum non plena mutabili- tas clarius conhquescat. ad hyperboieon telrachordon

1 lichanos meson diatonos et corr. add. f. 2 chroma- ticae f. 3 parhypatis hf k, o. 5 chromaticae f, g. ;

Nam] Fortasse scribendum lam. 8 dnabus i. 9 sic om. h. 10 Trito i. 11 hisdem f, g, h, k, o. 13 tritem g, h.

ad hyperboieon telrachordon

1 lichanos meson diatonos et corr. add. f. 2 chroma- ticae f. 3 parhypatis hf k, o. 5 chromaticae f, g. ;

Nam] Fortasse scribendum lam. 8 dnabus i. 9 sic om. h. 10 Trito i. 11 hisdem f, g, h, k, o. 13 tritem g, h.

h k. 15 Idem est et f, o. 17 chromaticae o. || eadem i; eedem f. 18—19 trite autem ... idem est om. o. 19 idem] id i. 20 chromatica g, h, k. |J eadem i; eedem f. 23 pernotantur f. 24 trite om. h. || parhypate f, g, h, i, k, o. hypate h; hypate et supra versum l hipatas k. 26 vi] VI- f. II ac] aut o. 27 est eadem f.

INST. MUS. mi, 14. 337

redeamus. In hoc igitur, quae in diatonico atque chroma- tico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in en- armonio et fit paranete. Item quae trite diezeugmenon vel in diatonico vel chromatico genere vocabatur, paranete in enarmonio dicitur. Quae trite synemmenon in chromatico 5 vel dtatonlco fuit, in enarmonio in paraneten transit. Quae vero parhypate meson in chromatico vel diatonico visebatur, eadem lichanos meson in enarmonio repperitur ; quae autem parhypate hypaton vel in diatonico vel in chromatico dicebatur, lichanos hypaton in enarmonio nun- 10 cupatur. Sunt igitur inmobiles quidem proslambanome- nos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synem- menon, paramesos, nete diezeugmenon, nete hyperboleon ; mobiles vero , quas lichanus vel paranetas vel diatonicas vel chromaticas vel enarmonius vocamus ; non in totum 15 mobiles aut inmobiles, quas parhypatas, tritas in diatono vel chromate, lichanus autem vel paranetas in enarmonio genere dicimus.

Be cansonaniianm speciebus.

XIIU. Nunc de speciebus primarum consonantiarum 20 tractandum est. Primae autem consonantiae sunt dia- pason, diapente, diatessaron. Species autem est quaedam positio propriam habens formam secundum unumquodque genus in uniuscuiusque proportionis consonantiam facien- tis terminis constiluta; ut in diatonico genere. Nam si 25 diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon tetrachor-

3 Item quae] Itemqne o. || vel om. f, o. 4 vocabitur fa. 5 chi;omatico8 i. 9 hypaton om, h ; supra versum k. 9 — 10 vel in diatonico . . . hjpaton lichanos dicebatur post nun- cupatur i. 10 chromate f, i. Q dicebantur h, k. 13

parameses g, h, i, k, o. 14 vero om. h. || quos o. [| licha- nas g, h, k; lichanos o. || paranetes h. 15 enarmonias

g, h; enarmonicos k. 16 aut] nec in totum h, k. || dia- tonico h, k, o. 17 vel iu o. || lichanas g, h, k, 0; licha- nos f. 19 Inscript, om, g. 2S unamquodque i. || unum

om, h; supra versum k.

BOETIUS. 22

S38 |N8T. Mus. rai, u.

dum mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo, erunt 'XV* nervi. At si ab his proslambano- menos detrahatur, erunt •XIIH* Hi ergo disponanlur hoc modo. Sit -A* hypate hypatou, -B* parhypate hypaiton,

|| unum

om, h; supra versum k.

BOETIUS. 22

S38 |N8T. Mus. rai, u.

5 -C* hypaton lichanos, «D* hypate mespn, -E* parhypate meson, -F- lichanos meson, -G- mese, -H- papanaese, -I- trite diezeugmenon, -K* paranete diezeqgmenon , -L- nete diezeugmenon, *M* trite hyperboleon, -N- paranete hyper* boieon, 0* nete hyperboleon. Ab hypate igitur ad para-

10 mesen dMtp^ison consonaatia est, ab eadem vero paramese ad hypaten meson diapente, a mese vero ad hypaten me- son diatessaron. Erit igitur diapason quidem octo chor- darum, diatessaron vero quattuor, diapente autem quinque. Ac per hochabebit diatessaron quidem species tres, dia-

15 pente autem species quattuor, diapason vero species septem; semperque mi|a minus speciea erit, quam fuerint voces. Ut enim a mese ceteras ordiamur, diatessaron con- sonantiae species sunt tres hoc modo. Una quidem species erit ab -G* ad -D-, secunda vero ab -F* ad •€*, tertia ab

20 -E* ad •B* et huc usque diatessaron species progrediuntur idcirco, quia huc usqiie spedes binos continent nervos eiusdem diatessaron, ut 'GD* quidem eos, qui sunt -E-F-, et -PC-eos, qui sunt -E-D-, et -EB-, eos, qui sunt •C«D» Si vero his adiecero diatessaron -DA* diversa erit ab ea, quae

25 est «GD* ; unum enim solum -GD* consonantiae nervum continebit, id esl -D* solum. Excessit igitur «GD» con- sonantiam. Atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur. Et in ceteris quidem consonantirs idem est.

1 mesenque] et mesen o, 1 — 2 subtracto scilicet

Bjnemmenon tetrachordo om. i, o; in margine superiore f. 6 1] -K* hic et infra f, i, o. 7 K] -L* Mc et infra f, i, o. '{ •L*] -M- hic ei irfra f. i, o. 8 -M-] -N- hio et infra f,

i, 0. II -N-] 'X* hic et infra f, i, o. 9 parames^n] niesen

f, i. 10 paramese] mese f, i, o. 11 ad] a f . Q hjpaten meson] lichanon hypaton f, i, o, 12 quidem diapason o. 13 autem] vero f, o. 16 septies f. 19 tertia vero abest ab 'B* i. 22 primae eiusdem g, k; primos einsdera h. || ut o»z. g, h, k. 23 FC] fit o. || Ante -EB- addii g: eos qui, qui sunt. || CD-] -ED. g, h, i; EO- o» 26 Da. g.'\ alt. GD] quae est DG- o. 26 D- om. i.

INST. HUS. mi , 14. 3S9

Dlapente autein quattuor species erunt hoc modo. Una

quidem ab eo, qood est -H- , ad •D* , alia vero ab eo, quod

est •G«, ad •C-^ alia ab eo, quod est «F-, ad -B*, alia

autena ab eiv, quod est •£% ad «A* Diapason vero

consonantiae septem erunt species boc modo. Prima 5

ab eo, quod est -0*, ad -G-, seeunda ab eo, quod est

•N-, ad 'F-» tertia ab eo, quod est -M*, ad -E*, quarta

ab.eo, quod est -L', ad •D-, quinta ab eo, quod est -K-,

ad •€•, sexta ab eo» qood est -I*, ad 'B*, septima

inoaobilibua ac statulis vocibus continerL Nam si ab

hypate hypaton incipiam, erit -AD*, id est ab hypate

hypatott in meson hypaten, ea, quae est in hoc ordine

prima. Nam ceterae non statutis vocibus terminanlur, ut i^

•BE- -CF' Nam et parhypate hypaton et parhypate meson

et licbanos bypaton et liefaanos meson mobiles esse mon«'

stratae sunt. Quod si rursus ab liypate meson diatessarou

consonanliam inchoemus, erit species diatessaron statutis

vocibus terminaia -DG- ea, quae est prima, id est ab by* 20

pate meson in mesen, reiiquae minime, ut •EH* et -FI^

Nam parbypaLe meson et licbanos meson et trite diezeug-

menon non probaqtur inmobiles. Rursus si eandem dia-

tessaron paramese suscipiat ordiendam , erit quae statutis

coerceatur aonis diatessaron species -HL^ , id est a para- 25.

mese in neten dieseugmenon, quae est prima. Nam ce-

terae, quae sunt -IM- et •KN- mobilibus terminantur sonis.

Nam trite diezeugmenon el paranete diezeugmenon et trite

hyperboleon mobiles voces esse praediximus. Itein dia-

2 vero ab ea g. 6 ab eo om. i, o. || secunda irero i. || quod est N-] quod est om, g. 9 sexta vero h, k. 10 •£[• ad «A* om, g. 12 in iminobilibus 0 ; in corr, add. h. || si ab] sub i. 14 hoc om. h, o. 18 ab] a g, ad h. 20 -GD- g, h, i, k, o.

21 minimae g, h, o. || •FL] -FK. f, i; -FG- o; -FL- g, h, k.

22 Post aU. meson addit f : et paramese, quae vocabula in k supra versum adseripta sunt. 24 erit quae] eritque i. 25 coher- ceatur f, g, h, k. || a om. i. 27 -KN-] -LX- i, 0; -LO. f. 29 Post hyperboleon addunt f, o: et paranete hyperboleon; in k 8upra versum et paraneter

22*

340 INST. MUS. IIII, 14.

pente consonaniia duas tantummodo species tenet, quae statutis vocibus includuntur. Ut si ab hypate meson or- diamur, una quidem est -DH- id est ab hypate meson in paramesen ea, quae est prima, altera vero -GL*, id esl a

5 mese in neten diezeugmenon. Haec vero est quarta. Reliquae vero, id est >EI* -FK* minime statutis vocibus clausae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et para- nete instabiies approbantur. Similis autem ratio erit, si a nete diezeugmenon in graviorem partem, id est ad mesen

10 consonantiae huius species considerentur. Eisdem enim inmobilibus vocibus, quae superius dictae sunt, contine- buntur. Sive autem ab hypate meson seu a mese seu a paramese sive etiam a nete hyperboleon consonantias ad graviorem partem ducamus, duarum, quae statutis vocibus

15 coerceantur, non poterit esse districtio. Diapason vero consonantiae , sive ab hypate hypaton in paramesen , sive a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantum- modo species obtinebit, quae inmobilibus vocibuscoercean- tur. Nam ab hypate hypaton ordientibus una est -AH- ea,

20 quae est prima, ab hypate hypaton in paramesen, altera •DL* ea, quae est quarta, ab hypslte meson in neten die- zeugmenon, dehinc «GO* — haec est septima — id est a mese in netien liyperboieon. Reiiquarum vero specierum voces extimae nulio modo constitutae sunt. Nam par-

Reiiquarum vero specierum voces extimae nulio modo constitutae sunt. Nam par-

25 hypate et lichane et trite et paranete, ut supra quoque dictum est, non sunt inmobiles. Simiiiter autem et per easdem voces, si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum

2 ordiantur g. 5 Haec] In haec i; In hac f. 7 lichanoe f, quod Tiaud scio an rectius sit, Etiam parhypatae tritae, paranetae videntur rectius posse scrihi. 8 Similes f. 12 se a mese i. 13 hyperboleon et supra versum diezeugme-

non k. II ad om. i; in f. 16 coherceantur g, h, i, k. ||

distinctio f, i; distrinctio mutatum in distinctio k. 17 a

nete] autem g. || meson g» h, i, k. 18 in immobilibus, in corr. addito, h. || coherceantur f, g, h, i, k. 19 ab om, i. \\ •HA- h. 22 *GD' i. || est om, i, o. || septima est f, h, k. 24 Tocis f. II existime i; extremae o. 25 lichamae i;

lichano f; fortasse scribendum parhypatae et lichanoe et tri- tae et paranetae. 26 immobiles non sunt f, i, o. 27 neten f , i. II speciemur i.

INST. MUS. IIII, 16.

341

ordo conteiitur. Quorum omnium intellegentiam subiecta descriptio faciet esse notiorem.

Hypate hypaton' Parhypate hypaton Hypaton lichanos Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese

Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon.

De modorutn exordiis, in quo dispositio notarum per sin-

gulos modos ac voees,

XV. Ex diapason igitur consonantiaespeciebus exislunt, qui appeilantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nomi- ^^ nant. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum or- dinibus vel gravitate vel acumine differentes. Constitutio vero est plenum veluti modulationis corpus ex consonan- tiarum coniunctione consistens quaie est vel diapason vel diapason et diatessaron vel bis diapason. Est enim dia- 25

3 Liiteras et lineas om. g; lilteras om. o; X loco O ponit litteraeque O tineam sine nomine aitribuit i; h e^ k inter lineas „ . S008000S00S00 _,

tntervallorum signaponunt TTTTTTTTTTTTT* In vi

etiam altera dispositio invenitur angulorum formis et arcubus ornata. 17 Inscripi, om, g, \\ per singnlos . . . voces om, h. 21 constitutionis f. 24 Prius vel diapason om. f, g, h, i, k. 25 et] vel h, k. || enim] autem h, k, o.

342 INST. MUS. iin, 15.

pasob Gonstltutio a prosiambanomeno in mesen ceterls quae sunt mediae vocibus adnumeralis, vel a mese rursus in neten hyperboleon cum vocibus interiectis , vel ab hy-; pate meson in neten diezeugroenon cum his, quas extremae

5 voces medias claudunt. Svnemmenon vero constitutio ea est , quae a proslambanomeno in neten synemmenon cum bis, quae mediae interiectae sunt> constat. Bis diapason autem a proslambanomeno in neten hyperboleon cum liis, quae in medio sunt interpositae, consideratur. Has igitur

Svnemmenon vero constitutio ea est , quae a proslambanomeno in neten synemmenon cum bis, quae mediae interiectae sunt> constat. Bis diapason autem a proslambanomeno in neten hyperboleon cum liis, quae in medio sunt interpositae, consideratur. Has igitur

10 constitutiones si quis totas faciat acutiores, vel in gravius totas remittat secundum supradlctas diapason consonantiae species> efficiet modos •Vli-, quorum nomina sunthaec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius , mixolydius. Horum vero sic ordo procedit. Sit in

15 diatonico genere vocum ordo dispositus a proslambano- meno in neten hyperboteon atqueliic sit hypodoriusmodus. Si quis igitur proslambanomenon in acumen intendat tono hypatenque hypatoq eodem tono adtenuet ceterasque omnes tono faciat acutiores, acutior totus ordo proveniet,

20 quam fuit priusquam toni susciperet intentionem. Erit igilur tota constitutio acutior eifecta hypophrygius modus. Quod si in hypophrygio toni rursus intentionem voces acceperint, hypolydii modulatio nascetur. At si hypoiydium quis semitonio intendat, dorium faciet. Et in aliis quidem

25 simitis estin acumen intentionemque processus, quorum non ut intellegentia soium ratio conprehendatur, verum oculis quoque forma possit agnosci, ab anliquis tradita

1 constitatio} consonantla o. 2 medie gi i. 4 ez- treme f, i. 5 mediae g. || Synemmenon vero] Diapason vero et diatessaron o. 6 a om. i, o. 10 vel graves g, k ; vel in graves o. || vel totas graves h. 11 consonantiae diapason h, k. 12 modus i. || haec sunt o. 13 hypo-

lydiuB om. g. 14 Sic i. 15 ordo om. i. 16 in om. o. 19 faciet g. || perveniet g, h, i, k. 20 susciperet inten- tionem toni h; susciperet toni intentionem k. 22 ipso phryglo f, g, i; ipso hypophrjgio o. || vocis f, i. 28 nasci- tur h, k, 24 quis] quoqne o. || semitonium i. || intendas o. II faeies o. || in om. h, i. 26 intellegentiae g, k; in- tellegentiae et supra versum 1 a h.

p 1

■

•

Dorius.

•e-

Hypolydius.

•

Hypophrygius.

Hypodorius.

«.

INST. MU8. IIII, 16, 17. 343

musicis descriptio subponenda est. Sed quoniam per sin- gulos modos a veteribus musicis unaquaeque vox diversis notulis insignita est, descriptio prius notularum videtur esse ponenda, ut his primum per se cognitis in modorum descriptione facilis possit esse dispectio. 5

(f^ide descripiionem I. in tabuld seorsum addita.)

Descriptio continens modorum ordinem ac differentias,

XVI. Superior igitur descr>p(jo chordarum nomina tenet adscripta, notulas vero iuxta positas et quae cuius- cunque sit modi ^ve lydii sive i>hrygli sive dorii, vocabu- lo lorum signat adiectio. Sed quoniam faos modos diximus in speciebus diapason consonantiae repperiri, age eosdem in diatonico tantum genere describamus, ut, qui eorum ordo sit» sub aspectum cadens intellegentiam non moretur.

(Vide descriptionem II, in tabtda ieorsum addita,) 15

Ratio superius dispositae modorum descriptionis,

XVII. Septem quidem esse praediximus modos, sed nibii videatur incongruum, quod octavus super adnexus est. Huius enim adiectionis rationem paulo posterius eio- quemur. Nunc illud est consider^ndum , quod bae pagi- 20

5 dispectio] descriptio o. 6 Descriptionem om, g, i.

Signorum formas quantum potui ex codicum consensu descripsi: uhi nimia erat formarum varietas , saiius duxi eam formam se- gui, quam Tf^esiphal attuHt in libro, quem de Harmonica et Melopoeia Oraecorum scripsii,

6, col. 7 et 8, col 8 H loco TT f. 10, 8 H loco E f.

11, 6 et 12, 6 jj[ e/ 3. loco »*• e/ ^ h, k.

7 Inseript, om. g. In i deest hoc capui una cum descriptione, 9 cniusque f, o. 10 modis g; modo f. || prim. sive] vel h, k. 11 signet gf "k et h prima manu; signata f. || obiectio g, k et h prima manu, 14 aspectu o. [| intellegeotiam om, g.

15 Descriptionem om, g,

16,20 OtocoT h,k. 17,14 ii^oco:^h,k. 20,14 0'loco \ h,k.

24, 20 X loco Y f. 28, 3 et 32, 3 E loco x^ f.

16 Inscript. om. g, i. || modorum dispositae k. 17 XVII. om. i. 19 eloquamur i. 20 quod] quam i.

344 INST. MUS. IIII, 17.

n31ae, quas inter se rectus iinearum ordo distinguit, aliae quidem tiabent notulas musicas, aliae vero minime veluti in eo modo, qui inscribitur hypermiiolydius, prima quidem paginula •uj-, tertia • • litteris adnotatur, secunda.notulls

5 vacat. In hac igitur intercapedine notularum tonus inter- esse monstratur. Quod vero • • , toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton, quod est^ ^ et parhypaten hypaton , quod est •/•, semitonii differentiam contineri. Itaque hoc re-

15 gulariter in cunctis est considerandum, ut, si vocum notu- las integra pagina disgregaverit, toni inter eas sciamus esse distantiam, sin versus notulas ac non pagina distinguet, semitonii non ignoremus esse distantiam. His igitur ita praemissis si duo ordines in bis diapason consonantia con-

20 stituti sibi invicem comparentur, ut, qui ordo sit gravior, possit agnosci, si prosiambanomenos proslambanomeno fuerit gravior, vel quaelibet alia vox eiusdem loci voce gravior pernotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quoque necesse e|t ordinem esse graviorem, Tamen

25 id melius sumetur a media, quae est mese. Duorum enim ordinum bis diapason consonantium , cuius mese fuerit gravior, eiusdem totus quoque ordo gravior erit. Nam ceterae singuiae singulis comparatae, graviores nihilo mi- nus inveniuntur. Itaque si media ab alia media tqno aut

Duorum enim ordinum bis diapason consonantium , cuius mese fuerit gravior, eiusdem totus quoque ordo gravior erit. Nam ceterae singuiae singulis comparatae, graviores nihilo mi- nus inveniuntur. Itaque si media ab alia media tqno aut

2 velud f ; velut o. 3 scribitur f, g, i, o. 4 -UJ- -O- om. g. hic et infra. 5 tonos f, i. 6 monstrabitur h, k. || •O- X- om. g. hic et infra, || tertiae om. o. || tertiae -O- at- que quartae •/• h, k. 7 paffinulam f. 8 diductus f, g, h, k. 10 •/•] hyo. 11 inte^in o. || est oto. f, i. 12 inter om, f. 13 alt. hypaton om. f. 16 desegregaverit i. 17 ac non pagina notulas h, k. || distinguat h, k; distinguit o. 21 proslambanomeno om, g, h, i, o; supra versum k. 24 totum quoque] totumque i. 25 ad mediam g, h, k. 28 nichilominus g, o. 29 Itaque] Ita i.

INST. MUS. IIII, 17. 345

acutior Tideatur aut gravior, omnes quoque nervi si in eodem genere sint, singuli singulis sibimet comparati touo acutiores aut graviores esse videbuntur. Quattuor autem mediis si prima ad quartam diatessaron distantiam servet, prima vero a secunda tono differat, secunda vero a tertia 5 eodem differat tono, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam hoc modo. Sint quatluor mediae *A*B-C*D* et -A- ei, quae est -D*, comparata servet ad eam sesqui- tertiam proportionem, quae est diatessaron, item -A* a 'B* distet tono , •B* a •€« distet tono, relinquitur, ut -C- ad «D* 10 semitonii distantiam servet.

diatessaron

B C D

£t si quinque sint mediae, eodem modo. Si enim prima a quinta sesqualtera destiterit proportioue, primaque a secunda, ac secunda a tertia tertiaque a quarta singulis 15 destiterint tonis, quarta ad quintam semitonii faciet diffe- rentiam. Item quaecunque mediae aliorum modorum proslambanomenis accedunt, hae graviores modos operan- tur, quaecunque netis, illae acutiores efficiunt. Quoniam igitur in superiore pagina descriptis modis partem si- 20 nistram legentis primi proslambanomeni tenent, dextera vero legentis extremis clauditur uetis, erit omnibus quidem acutior modus, qui inscribitur hypermixolydius, omnibus vero gravior is, qui hypodorius. Nos vero a gravissimo, id

2 sint om, o. || sint genere f. || sibimet om, h, k. 3 acutiores aut om. f, i, o. 4 quartum i. 5 alt, vero] quoque f, i, o. 6 semitonium g. h, k. 7 Sint] Sin g. 8 ser- vat h, k. 9 A. A. B. i; .A- ah B- h, k, A. B. f. 10

B. A. C. i; -B' ah -C- h, k. 12 Descriptionem om. g. 13 sint] sine g. || sint mediae om, h. 14 alt, a om. i. 15 a utroque loco om, i. || tertiaque a quarta] quartaque a quinta o. 16 destiterit h et ^ prima manu. \\ tonis om. g. || quarta] tertia o. || ad] id i. [] quintam] quartam o. 18 haee f; haec g. II operiantur i. 19 ille f, g, i. Q Quoniam igitur] Et quoniam o. 20 sinistra o; sinixtram g. 21 dextra h. 24 cUt. vero] quidem h, k« || a om, i. || gravissimo quidem o.

346 INST. MTJS, Iin, 17.

\\ tonis om. g. || quarta] tertia o. || ad] id i. [] quintam] quartam o. 18 haee f; haec g. II operiantur i. 19 ille f, g, i. Q Quoniam igitur] Et quoniam o. 20 sinistra o; sinixtram g. 21 dextra h. 24 cUt. vero] quidem h, k« || a om, i. || gravissimo quidem o.

346 INST. MTJS, Iin, 17.

est hypodorio inchoantes ceteros quam inter se habeant differentiam designabimus. Namque in bypodorio modo mese, quae est -u)-, ab ea mese, quae est in modo hypo- phrygio, tono distat. Quod in hoc facile perspieietuf, si

5 quis ad mesen hypophrygii, quae est - -, eiusdem hypophrygii -u)- comparet, quae est hypodorii quidem mese, in hypophrygio autem lichanos meson. Nam •(!>- atque -uj-tono diffeinint, quod paginainteriecta demonstrat. Item mese hypoiydii ab ea, quae est mese bypophrygii,

10 toni differentiam facit. Namque -C* quae est mese hypo- lydii tono distat a - ; quae est in hypolydio quidem licha- nos meson, in hypopbrygio autem mese. Item mese hypo- lydii, quae est -C*, ab ea, quae est mese dorii, semitonio distat. Quod binc poterit agnosci, quoniam ordinem sur-

15 sum prodeuntem eius meses, quae est bypolydii atque eum ordinem in sursum prodeuntem eius meses^ quae est dorii, unus versiculus non pagina distinguit. Quo fit ut mese bypodorii ab ea mese, quae est dorii, integra diatessaron consooantia distet. Idque probatur boc modo. Nam quae

20 est mese -u)* in bypodorio, eadem est -uj* in dorio bypate meson, ab ea, quae est mese, in quovis modo vei genere diatessaron consonantia differens. Item mese dorii, quae est •TT*, ab ea mese, quae est pbrygii, id est -M*, distat tono. Nam quae est mese in dorio -TT*, eadem in phrygio

25 lichanos meson. Rursus mese phrygii, quae est •H*, ab ea mese, quae est lydii, id est •!•, distat tono. Nam quae in phrygio est -M* mese, in lydio est licbanos meson. ftursus mese lydii modi, id est •!•, ab ea mese, quae est mixolydii,

2 Nam h, k. 4 boc] eo f, i, o. [| perspiceretur h.

8 a paeina g, 9 — 10 ab ea, quae est ... mese hyfjolydii om, g, hj in margine k. 13 mese quae est f. 14 rur-

sum i. 16 — 18 hypolydii atque . . ; meses, quae est om.

g, h, k, o. 19 Idque] Id g. I| Nam quae] Namque i. 22 consonantiam f, i. 23 hypophry^i i. 23—25 distat tono . . . Rursus mese om. g. 24 Nam quae] Namqtie i. |t hypo- phrygio i. 25 phrygii, qttae est 'M- om. g. || quae est om. i. 26 est ante lydii om, h. |] Nam quae] Namque i. |] qttae est f. 27 phrygii g; phrygio in Hiura h. y lydii g, h e/ k prtma manu, 28 id est •!• om. f, g, ij o. || allefum mese om. o.

INST. Mus. mi, 17. 347

|t hypo- phrygio i. 25 phrygii, qttae est 'M- om. g. || quae est om. i. 26 est ante lydii om, h. |] Nam quae] Namque i. |] qttae est f. 27 phrygii g; phrygio in Hiura h. y lydii g, h e/ k prtma manu, 28 id est •!• om. f, g, ij o. || allefum mese om. o.

INST. Mus. mi, 17. 347

id est -H-, semitonio distat. £teniin is ordo, qui rectus lydii continet mesen, ei ordini, qui rectus miiolydii mesen habet, comparatus non pagtnula sed versu disiungitur. Ea quoque mese, quae est mixolydii, id est •H*, ad eam mesen, quae est hypermixolydii, id est T; toni diSerentiam 5 facit idcirco , quoniam -H-, quae in mixolydio mese est, eadem in hypermixolydio lichanos meson. Unde fit, ut raese dorii ab ea mese, quae est mixoiydii, diatessaron cansonantiam distet. Id probatur hoc modo. Nam mese» quae est dorii, id est •TT*, eadem est mixolydii, id est •TT*, 10 liypate meson, quae ad cuiuslibet modi mesen diatessaron consonantiam servat. Jtem mese dorii, id est 11,, ad eam mesen, quae est hypermixolydii , quae est T; diapente consonantiam servat. Ea enim mese, quae est dorii, id est •TT% in ordine hypermixolydii licbanos hypaton est. Licha- 15 nos autem hypaton ad mesen in diatouico genere, in quo* libet modo si comparetur, diapente consonantiam distat. Gur autem octavus modus, qui est hypermixolydius, ad- iectus sit, hinc patet. Sit bis diapason consonantia liaec:

A B CD E FGH I KLMNOP20

Diapason igitur consonantiam servat -A* ad id> quod est •H* Octo enim vocibus continetur. Primam igitur dixi- mus esse speciem diapason eam, quae est -AH*, secundam vero -BL tertiam •CK* quartam 'DL* quintam -EM* sextam

1 — 2 id est •H' ... rectas mixolydii om, o. fl 'H*] «N f, i hie et infra, || is] his f, i. || qnis h. 3 paginola g. distinguitur h, k^. 6 est mese h, k. 7 eadem est f, o. || in om. o. II at in mese h ; ut me g. 10 qu^e est ispositio spi^orum generum Ptolomaei cum nume- ris et proportionibus.

XXVI. Diatonici molJis divisio Ptolomaei.

XXVII. Diatonicl iacitati Ptolomaei divisio.

XXVIil. Diatonici tOBiaei Ptolomaei divisio. lo

XXVltll. Dispositio divisorum generum cum numeris et pro- portionibus. XXX. biatOBici aequalis Ptolomaei divisio.

Proemium.

1. Po8t monochordi regularis divisionen) adieienda esse i5 arbitrc^ ea, in quibus veteres musicae doctores sententiae diversitate discordant, habendnmque de omnibus subtile iudicium. Atque id, quod proposito deest operi, medio* cris doctrinae dispensatione suppiendura est. Potest enim aiia quoque esse divisio, in qua non unus tantummodo2o nervns adsumitur, qui positis proportionibus dividatur, yerum octo, atque huiusmodi fiat cithara, ut in piuribus et quanti necessarri sint nervi tota proportionum ratio quasi oeulis subiecta cernatur.

De vi armmicae et quae sint eius instrumenta iudicii et 25 quonam usque sensibus operteat credi,

H. Sed de his paulo post loquemur. Nunc dicendum

1 sit g; 8unt i* 2 obtandei g; aptande i, k, o. Q et

De vi armmicae et quae sint eius instrumenta iudicii et 25 quonam usque sensibus operteat credi,

H. Sed de his paulo post loquemur. Nunc dicendum

1 sit g; 8unt i* 2 obtandei g; aptande i, k, o. Q et

enarmoniij enarmoBlo g. 3 PtoIomaer| et tholomei g, i, k, o Mc et infra, 4 — 6 mollis . . . Chromatis ow. k. 5 ineitati bis g; incitati toni i. 9 nec divisio g. 10 to* aiaei] toni g, o; incitati i; toniei k. 11 Depositio g. 13 Diatonicae 0. || qualis o. 14 Inscript, om, g, h, k; Pro- hemium i; Prooemium f. 15 regularis monochordi h, k.

18 quod om, i. 22 ut] aut f. || in om. i. 23 et quanti sunt, necessarii sunt nervi g. 24 sub oculis f. 25 Inscript. om. g, h, 27 loquimur g.

352 INST. MUS. V, 2.

est, quae sit vis armonicae, de qua tractare instituentes quattuor inplevimus libros. Naturam vero eius vimque exprimendam in iiuius quintt voluminis seriem distulimus. Armonica est facultas differentias acutorum et gravium

5 sonorum sensu ac ratione perpendens. Sensus enim ac ratio quasi quaedam facultatis armonicae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est iilud, quod sentit, advertit. Ratio vero diiudicat inte- gritatem atque imas persequitur differentias. Itaque sen-

10 sus invenit quidem confusa ac proxima veritati, accipit vero ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem invenit integritatem, accipit vero confusam ac proximam veri si- militudinem. Namque sensus niiiil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit, ratio vero diiudicat. Velut

15 si quis manu circulum scribat; fortasse eum vere circu- lum ocuius esse arbitretur, ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intellegit. Uoc vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur, speciesque in ea conpre- hendit, quae ita sunt fluvidae atque inperfectae nec deter-

sominatae atque ad unguem expolitae, sicut est ipsa mate- ria. Quare sensum quoque confusio sequitur, mentem vero atque rationem quoniam materianon moratur, spe- cies, quas pervidet, praeter subiecti communionem intue- tur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas, po-

^^tiusque, quod in sensu aut peccatur aut minus est> aut emendat aut conplet. Fortasse autem id, quod sensus non integre sed confuse atque a veritate minus quasi qui- dam incaliidus aestimator agnoscit , in singulis minus ha- beat errati , coilecta vero multiplicantur in summam atque

1 est 0171. gy h, k. 2 veram vero g. 6 simt instru- menta h, k. ^ 7 proximae f, i. 8 advertit iungunt, reliquis vero superparticularibus, cum eiusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias.

Demonstratio secundum Ptolomaeum diapason et diatessa- ^ ron consonantiam esse.

Vllll. Probat autem ex diapason ac diatessaron quan- dam fleri symphoniam hoc modo, quoniam diapason con- sonantia talem vocis efficit coniunctionem , ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque con- 25 sentiunt. Quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, in- tegra inviolataque servatur. Ita enim diapason consonan-

Quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, in- tegra inviolataque servatur. Ita enim diapason consonan-

2 exstitutiones i. 3 autem om h, k. || in] igitur o. 4 secundo libro f. 8 coniungnnt g, h, i, k, o. || Pytha- gorici coniungant f. 9 institntioniB huius f. 11 Inscript. om, g, h. II Quid f , i. || numeros i, k. 13 Ptolomaeus Pythagoricos o. 15 totum] tum g, h e^ k prima manu, 16 sesqualteri g. || et om. g. 17 iungunt g. |) in reliquis

g, hf k, o. 19 Inscript, om. g, h. 20 consonantiae f, .i II esse om. f. 24 videatur esse f. 25 ei si qua f.

INST. MUS. V, 9. 359

tiae additur tamquain uni nervo. Sit igitur diapason consonantia, quae contineatur inter hypaten meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit at- que coniungitur sono» ut una vox, quasi unius nervi non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcunque igitur 5 huic diapason consonantiae consonantiam iunicerimus, ser- vatur integra, quia ita iungitur, tamquam uni voculae ac nervo. Si igitur hypate meson et nete diezeugmenon duae in acutum diatessaron fuerint iunctae , sicut iungitur nete quidem diezeugmenon ea, quae est nete hyperboleon, lo hypate autem meson ea» quae est mese: utraque ad utramque consonabit et mese ad neten diezeugmenon et «adem mese ad hypaten meson, item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson. Item si ad graviorem parlem utriusque diatessaron consonantiae re- 15 laxentur, erit ad meson quidem hypaten diatessaron reti- nens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem die- zeugmenon paramese, consonabitque et hypate hypaton, ad hypaten meson et ad neten diezeugmenon et paramese ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson, sed eo 20 modo, ut gravior quae est ad sibi quidem proximam dia* Cessaron retineat consonantiam, ad ulteriorem vero dia- tessaron ac diapason, ut hypate hypaton ad hypaten me*

1 additar consonantlae i. || additur diatessaron g, h, k. II tamquam uni om, g. I| Si igitur k, 3 — 8 Utraque liaec .... nete diezeugmenon om, o. 5 Quamcunquel

quam h. 8 Si igitur .... duae bis f. 9 fuerant i. ||

8i coniun^itur o; sic coniungitur g, h, k. 10 ea] ei i. 11 €a] ei f. II ad] ab i. 12 — 13 mese ad neten . . . ad hypaten meson in h Hnea suni suhnotata et supra rec, manu addiium est: faypate meson ad mesen et ad neten hyperboleon. 13 hy- perboleum i. 14 — 360,2 hyperboleon om. g. 16 utrisque f , i. II relaxantur muiatum in relazentiir h. 16 meses f, i, o; mesen g, h, k. || hypaton f, g, h, i, k, o. 18 parame- ses i. II et om. i. 19 — 20 et ad neten .... ad hypaten me- 8on] in margine k : ai ad paramesen autem nete diezeugmenon (supra versum: s. dyatessaron) et ad hypate meson (supraver- sum: 8. dyapason). 19 alt. et om, o; ad i. || paramese

. . . et ad om. f. || paramesen i. || parameses autem et ad nete o. 20 mesos i. 22 verum i. 23 ut] et i; vel ut.o.

360 I^ST. MUS. V, 10. 11.

dyatessaron) et ad hypate meson (supraver- sum: 8. dyapason). 19 alt. et om, o; ad i. || paramese

. . . et ad om. f. || paramesen i. || parameses autem et ad nete o. 20 mesos i. 22 verum i. 23 ut] et i; vel ut.o.

360 I^ST. MUS. V, 10. 11.

son diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ac;- diapason. Item nete hyperboleon quae est aculior ad sibt proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam^ ad hypaten meson diatessaron ac diapason.

5 . Quae sit proprieias diapason consonantiae.

X. Hoc vero idcirco eYenire contendit, quoniam dia- pason paene una vocula est talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum , et sicut denario nu- mero qui fuerit additus intra eum positus integer invio-

10 latusque servatur, cum in ceteris id ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adicias, quinque continuo reddis et numeri species inmutata est, si vero eosdem denario addas, duodecim feceris et bina- rius iunctus denario conservatus est. Item ternarius cete-

15 rique eodem modo. Ita igitur symphonia diapason quam- cunque aliam susceperit, consonantiam servat nec inmu- tat nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente symphonia iuncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac dtapente consonantiam servat, ita

20 etiara diatessaron cum sit consonantia luncta cum diapa- son, aliam consonantiam reddit et fit secundum Ptolo-* maeum alterius consonantiae additio eius, quae est dia- pason ac diatessaron in multiplici superpartiente consti- tuta, estque ea proportio dupla superbipartiens ut octo

25 ad tres. Habent enim ternarium octo bis duasque eius partes id est duas unitates.

Quibus modis Ptolomaeus consonantias statuai,

XI. Et Ae Pythagoricorum quidem opinione Ptolo-

2 Idem f. || in nete f. 5 Inscript, om. g, h. 7 una supra versum rec. manu h. || ait. est om. g, h, k. 8 at sicat gy k. 9 posito k. 11 duobns i. 13 duodecim] ad •XII- i. 14 ceterisque i. 17 ex consono dissonum h, k. || sicut] sic f. 24 est quae f, i. 26 id est] idem g. 27 Inscripi.

om, g, h.

INST. MUS. V, 11. 361

maeus ita diiudicat. Quibus vero modis ipse consonantia-

rum proportiones numerosque vestiget, hinc ordiendum

est. Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt vel non

unisonae. Non unisonarum autem vocum aliae quidem

sunt aequisonae, aliae consonae, aliae emmelis, aliae dis- 5

sonae, aliae ekmelis. £t unisonae quidem sunt, quae

unum atque eundem singillatim pulsae reddunt sonum,

aequisonae vero, quae simul pulsae unum ex duobus atque

simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason

eaque duplicata, quae est bis diapason. Gonsonae autem lo

sunt» quae compositum permixtumque, suavem tamen,

efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron. Eromelis au-

tem sunt, quaecunque consonae quidem non sunt, possunt

Eromelis au-

tem sunt, quaecunque consonae quidem non sunt, possunt

aptari tamen recte ad melos, ut sunt bae, quae consonan-

tias iungunt. Dissonae vero sunt, quae non permiscent i5

sonos atque insuaviter feriunt sensum ; ekmelis vero, quae

non recipiuntur in consonantiarum coniunctione, de qui-

bus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus.

Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proxi-

mae sunt aequivocae, necesse est, ut aequis numerisea^o

numerorum inaequalitas adiungatur, quae est proxima

aequis. Est autem iuxta aequalitatem numerorum ea,

quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est

et maior numerus, cum minorem supervenit, aequo eum

ipsi minori transcendit» ut duo unum uno transgrediun- 25

tur, qui eidem unitati aequalis est. lure igitur duplex

proportio aequisonis aptatur, id est diapason, bis diapa-

son vero bis duplici , id est quadruplo. Quae autem pro-

portiones dividunt duplicem proportionem primae ac

maximae his aptandae sunt consonantiis, quae dividuntso

diapason aequisonantiam. Unde fit, ut diapente quidem

1 diindlcant f. || modis vero f. 2 vestigiet k. 3 Vo- cis f. II unisoni f. 5 emeles g; emmoles h, k, o. 6 ec- meles g ; ekmeies h , k, o. 9 sonnm efficinnt h, k. || utl et f. 10 ea quae i, o. 11 conpitnm i. 14 hae, qnaej aeqne i; heeque f. 21 inaeqnalitatis adinngantur f. || pro- ximae f , i. 23 prius est om. g, h, k. 24 maiorum g. 1| mi- nore 0. 26 ipso f. 28 quadrupli f, i. 30 [maxime?]

31 aequisonantiam] aequi consonantiam consonantiis f.

362 INST. MUS. V, 12.

sesqualterae, diatessaroii vero sesquitertrae comparationl copulentur. lunctae vero coDSonae cum aequisonis alias efflciunt consonantias , ut diapente ac diapason in triplo, diatessaron ac diapason in ea proportione, quae est octo 6 ad tres. Emmelis autem sunt, quae diapente ac diatessa- ron dividunt, ut tonus ceteraeque proportiones, de qui- bus paulo posterius in divisione tetrachordorum loque- mur, simplices earum scilicet partes.

Quae sint aequisonae , quae consonae , quae emmelis.

10 XII. Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus ac simplex quodammodo efficitur sonus. Consonae autem sunt primae quidem in superparticularibus sesqualtera et sesquitertia , id est diapente ac diatessaron ; et diapason

15 ac diapente et diapason ac diatessaron. Hae sunt compo- sitae atque coniunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem sunt reliqui, qui inter has poni possunt, ut inter diatessarbn ac diapente differentia tonus, iungun- turque quodammodo aequisonae quidem consonantibus,

20 ut diapason ex diatessaron ac diapente, consonae autem ex his, qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis ceterisque posterius dicendis proportio- nibus. Sed quonam modo quidem horum omnium pro- portio colligi possit, ex eo loco sumendum est, quem

Sed quonam modo quidem horum omnium pro- portio colligi possit, ex eo loco sumendum est, quem

25quarto volumine in flne descripsimus, ubi nervus super semispheria tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequi-

1 comparationi] comparatio non i; conparatio f. 2 copu- lantur i; copulatur f. || consonael consonantiae f. 4 ac] a g. II est om, g. 6 Emmilis k. ]| quae] qai f, i. 7 tetra- chordarum k e

-I M.DXU. 1 M.DCCCXC. -1 M.DCCCCXLIIU. -I 1I.XVI.

M.DX1I. M.DCa.

M.DCCCC XLIIII. Ti.XVl.

M.DXII. M.DCCXC1I. M.DCCCCXLIIII. ir.XVI. 20

Diftton.

Chrom.

Quemadmodum Ptolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetra- chordorum divisionem reprehendat,

XVIIL Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptolo- maeus ita reprehendit. Archytae quidem primo, quoniam 25

2 a om. f. 4 unam post qaos addU i. 8 secandas ab acatiflsimo o; secundafi a grarissiiDO f, i. 9 optinet f, i. 10 est aatem g; aatem om, k; 9upra versum rec. manu

h. 11 abpositas g; positas i. 13 •!• om. i. 17 — 21 De* scriptionem om. g. 21 Enarm. Diaton. Chrom. om. h; rec* manu add. k. 22 Inscript. om. g, h. 23 reprehendit f.

24 tetracordoram g; tetrachordaram h. Q divisioneB tetra- cbordoram o. I| divisione f. 25 Archite 0; Architem g, h>

BOETIUS. 24

370 INST. MUS. V, 18.

secundus ab aculissimo nervus in chro^atico genere, id

est •LDCCXCII' ita est coUocatus, ut nec ad acutissimum

•I-DXII* nec ad proximum graviori •LDCCCC.XLIIII* ullam superparticuiarem ef^lat proportionem » cum Archytas 5 tantum superparticularibus comparationibus habuerit di- gnilatem, ut eas eliam in consonantiarum^ralione susce- perit. Dehinc, quod primam a gravissimo nervo propor- tionem in chromatico quidem maiorem sensus esse depre- hendat, quam fecerit Archytas. Hic namque in chroma-

10 tico genere .TDCCCC.XLIIII- ad .il.XVI. distare fecit ses- quivicesimam septimam proportionem , cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquivice- sima prima esse debuerit. Item enarmonii generis ea proportio, quam prima a gravissimo secundum Archytae

15 retinet divisionem, talis est» ut longe minor esse debeat, quam in ceteris generibus invenitur. Hic autem aequam eam ceteris generibus statuit, dum primas a gravi pro- portiones in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit. Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate

20 molli et chromate hemiolio tales posuerit primas secun- dasque a gravi nervo proportiones , quae a se minimo et

" quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis moUis divisione se- cundum Aristoxenum •VIII., at in chromate hemiolio 'VHII*

25 Sed VIII* ad -Vini* unitatis diflerentia distant. Est autem totus tonus •XXIIII* unitatibus secundum positionem, quo- rum unitas vicesima quarta est. Priraae igitur a gravi in- ter se proportiones chromatis mollis et chromatis hemiolii

k; Architam f, i. 2 collatus f, g. 5 tantam f, g, h,

Priraae igitur a gravi in- ter se proportiones chromatis mollis et chromatis hemiolii

k; Architam f, i. 2 collatus f, g. 5 tantam f, g, h,

k, o. II adhibuerit f. 6 rationes ceperit g. 8 esse om. g, h, k. 10 ad] a f. 11 sesquiyicesima septima pro-

portione o. 13 Item qnoniam o. || enarmonium genns f, g, h, i, k, o. II ea om, o, eam f, g, h, i, k. 14 proportionem f, g, h, i, k, o. II quam om, o. || primam f, h, i, k, o. || a om. g. 20 talis i. 21 semitonio ei supra versum se

minimo h. 22 in quantum k, et h prima manu. || potest o. 24 at] et g; atque f. 26 tonus totns g, o. || totus om. h, k. II propositionem g. 27 Prime g.

INST. MUS. V, 19. 371

vicesima quarta parte totii distant, quod propter brevita- tem differentiae nullo modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum reprehendit, cur diatonici generis duas tan- tum fecerit divisiones, ut in mollem incitatumque divi- deret , cum possint aliae quoque diatonici generis species 5 inveniri.

Quetnadtnodum Piolomaeus tetrachordorum divisionem

fieri dicat oportere,

XVIIU. Ptolmnaeus enim tetrachorda diversa ratione partitur, illud in principio statuens, ut inter duos altrin- lo secus sonos tales voculae aptentur, quae se superparticu- laribus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quo- niam superparticularis proportio non potest in aequa dividi; dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum ner- vum, qui est gravissimus in tribus minor sit ceteris, quae i5 acutis vocibus coniunguntur. Sed in his ea, quae spissa nominamus, talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione, quae relinquitur ad acutum. In non spissis vero ut in diatoni- cis generibus nusquam una. 20

7 Inscript. om, g, h. 14 dividi] partyri f. 16 acutis] acutissimis f. || ea] eam g. || spissa esse f. 17 talia] alia f. II utl et g. 18 sunt g, lc. 19 Inconon g. || In om. i. jl in om, n. 20 Ulteriora desunt, b add. FINliT; k: Finit.

Haec desunt de libro 'V* armoniae iQstjtn. Quomodo Ptole- maeus dividat diatessaron idnas partes et ceiera secundum capitum indicem.

BOETII QUAE FERTUR GEOMETRIA-

NOTARUM EXPLICATIO.

e&scodex Erlangensis 288 saec. XI., satis diligenter scri* ptus et inscriptionibns et fignris prnatns. Figorarnm tamen pars non parva imperiti hominis mannm produnt. Itaqne eas, quae nihil ad rem pertinebant, omisi, eas, qnae addendae erant, correxi.

m=codex^Monacen8is 23611 (zz, 511) saec XII. continet geo- metriam in tr es libros divisam. Fignramm magnam par- tem omittit. Ille locns, qni incipit: Sed iam tempus est ad geometricalis mensae traditionem nsqne ad ea verba, quae post abaci fignram legnntnr: ut si sub unitate naiuralis numeri ordinem iam dictos caracteres alia et minus periti hominis manu scriptus est quam reliqua. Cum mazimam partem a codice e non admodum longe recedat, sunt tamen loci, qui de suo quaedam editorem vel autorem huius codicis dedisse ostendunt.

Cum mazimam partem a codice e non admodum longe recedat, sunt tamen loci, qui de suo quaedam editorem vel autorem huius codicis dedisse ostendunt.

n = codex principis Boncompagui 230 saec. XII. Summa sua humanitate et liberalitate Boncompagni rogatu meo exem- plar locorum ad minutiamm figuram et abaci tabulam pertinentium diligentissime scriptum mihi misit. Proxime accedit hic codex ad e.

ni=acod. Vatican. 3123 saec. X,

n^sscod. Barber. 830 saec. XII.

n3=cod. Ottobon. Vatican. saec. XIII.

ABS GEOMETR. 373

Ezcerptos ex his de abaco et de minutiifl locoa eins- dem principis Boncompag^i liberalitati debeo.

pj==cod. Par. 7377. C. antiqnae fandationis.

P2=cod. Par. 7186. ant. fund.

Contuli ez his, quae Woepcke edidit in quaestione de 5 Indorum arithmetica in Occidentem translata. (Sur Pin- troduction de Tarithm. Indienne en Occident Rome 1859).

qsscod. Monacensis 560 saec. XI — XII. qui continet geo- metriam in quattuor libros distributam ita tamen, ut secundus et tertius partem tantum priorem libri , qui in lo codice e est prior, praebeant. Quae ibi leguntur de fignris geometricis et sequentia in q omissa sunt. Liber primus et quartus maxime alieni snnt a Boetii geometria. Sed et ea, quae Boetii esse credideris, adeo a codice e recedunt, ut aut duorum eiusdem operis 15 graece conscripti interpretationem latinam aut correctio- nem interpretationis non admodum idoneae videre te putes.

Incipii geometria Euclidis a Boetio in latinum lucidius

translata, 20

Quia vero, mi Patrici, geometrum exercitissime Eucli- dis de artis geometricae figuris obscure prolata te adhor- tanie exponenda et lucidiore aditu expolienda suscepi, inprimis quid sit mensura diffiniendum opinor.

De mensura, 25

Mensura vero est quidquid pondere capacitate longi- tudine latitudine altitudine animoque flnitur. Principium

19 Anitii Mallii Severini Boetii prologus in geometriam incipit m; incipit liber secundus artis geometriae de figuris q. 25 Ezplicit prologus, incipit liber I de elementis m. 26 vero 001. m. 27 animo terminatur m. || Ante Principium in q inscripiio: De figuris.

374 ARS GBOMETR,

autem mensurae punctum vocatur. Punctum est, cuius pars nulla est. Linea vero siiie latttudiDe loogittido est. ' Lineae vero fines puncta sunt.

De generibus linearum,

5 Recta linea est, quae aequaliter in suis protenditur punctis. Superficies vero est, quod longitudine iatitudine- que censetur. Superficiei autem fines lineae sunt. Plana superflcies dicitur, quae aequaliter in rectis suis lineis continetur. 10 Planus angulus est duarum linearum in plano invicem sese tangentium et non in directo iacentium ad alterufram conclusio. Quando autem quae angulum continent lineae rectae sunt, tunc rectilineus angalus nominatur.

Cum vero recta linea super rectam iineam stans cir- 15 cum se aequos sibi invicem fecerit angulos, rectus est uterque aequalium angulorum et linea super rectam li- neam stans, perpendicularis dicitur.

Obtusus angulus maior recto est.

Acutus autem angulus recto minor est.

20 J^e modis figurarum.

Figura est, quae sub aliquo vel aliquibus terminis con- tinetur, terminus vero , quod cuiusque est finis.

1 antem om, q. || pnnctus vocatnr cnm medinm tenet figurae q. || vocatur] est m. || Puuctus q. 2 Line&e q. || praeter latitudinem q. || est om, q. 4 Inscript, om» m, q. 5 aequaliter] ex aequo q. || protenditur punctisj pnnctis iacet q. 6 vero est om. m. [] quod] qnae m. 6 — 7 longi- tudine . . . censetnr] latitndinem solam habet q. 7 antem] vero q. || finis q. 8 dicitnr] est q. 8 — 9 aequaliter . . . continetnr] ez aequo in snis rectis lineis iacet q. 11 in directo] directe m; directo q. 12 collusio q. 13 tnnc

om. m. 14 Cum vero] Quando antem q. 15 angnlos

aequos sibi invicem fecerint q. 16 et quae superstat linea super eam^ quam insistit, stans snperpendicnlaris vocatnr q. 16—17 super . . . stans] snperstans m. 18 Optnsns q. || est maior recto q. 19 autem om, q. || est minor recto q. 20 Imcript, om. m, q. 21 Locus figura est qnod q. || continetnr extraclusus sine fundo q. 22 vero] est m, vero est q. || est om, q.

AR8 GSOMETR.

375

[Lapides fidaies

]

Circulus vero est flgura quaedam plana et circumducta et sub una iinea contenta» ad quam a puncto, quod infra figuram positum est, omnes quae incidnnt rectae iineae sunt invicem sibi aequaies. Hoc rero puncturo centrum circuli nominatur. Diametrus autem circuli est quaedam recta linea per centrum ducta et ab utraque parte in cir- cumferentia circuli terminata, quae in duas partes aequas circulum dividit.

Semicirculus vero est figura piana, quae sub diametro etea, quam diametrus apprehendit, circumferentia con- tinetur.

Rectilineae figurae sunt , quae sub rectis iineis con- tinentur. Trilatera quidem figura est , quae sub tribus i5 rectis lineis continetur, quadrilatera autem quae sub quattuor.

(^Finitima vero linea mensuralis est, quae aut pro ali- qua observationum aut aliquo terminorum observatur.]

Multilatera itaque figura est, quae sub pluribus quam so quattuor lateribus continetur.

1 Lapides finales om. e, m. 2 Lapidum formas om, m; q loco primae hahet [j , loco quarlae [^rcaj. 3 yero om, m,

q. II qoaedam om. q. || et] qaae vocatnr q. 4 continetnr q. a] ab uno q. || qaod] eoram qaae q. 5 posita sont q. || quael qae q.' 6 aeqaae aibi invicem sant q. 7 aatem om. q. ' recta qaaedam q. 8 in om. q. 9 aequas partes q;

partes aeqaales m. 11 vero om, m. 12 adprenendit q; comprehendit m. 14 Rectae lineae e, q. 15 quidem

om, m. II est om. q. |] tribas] daabns q. 16 autem om. m; vero q. 18 Finitima vero om, m; Finitima autem q. || pro om. q. 19 observatione m, q. || servatur q. 20 Multi- latera ... est] Multilatere vero q.

14 Rectae lineae e, q. 15 quidem

376 ARS OEOMETE.

De triangulis,

Aequilaterum igitur triangulum est, quod tribus aequis lateribus conlinetur; isosceles vero, quod duo tantummodo iatera habet aequalia ; scalenon vero, quod tria latera con- 5 tinet inaequalia.

Amplius trilaterarum figurarum orthogonium id est rectiangulum quidem triangulum est, quod habet angulum unum rectum.

Amblygonium vero, quod latine obtusiangulum dicitur, 10 est quod obtusum habet angulum.

Oxygonium vero, id est acutiangulum, est, in quo tres sunl anguli acuti.

De quadrilateris,

Quadrilaterarum vero figurarum quadratum vocatur, 15 quod est aequilaterum atque rectiangulum. Parte altera longius vero est, quod rectiangului^ quidem est, sed aequi- laterum non est. Rombos vero est, quod aequilaterum quidem est, sed rectiangulum non est. Romboides autem est, quod in contrarium coUocatas lineas atque angulos 20 habet aequales, non autem^rectis angulis, nec aequis late- ribus continetur. Praeter haec autem omnes quadrilaterae figurae trapeziae id est mensulae nominantur.

Parallelae id est alternae rectae lineae nuncupantur,

1 Inscript. om. m, q. 2 Aequilaterem q. 3 conti-

netur] clanditur q. || hisocelea e, q; hissoceles m. |1 vero] etiam est e^ m. 4 vero om, m. || continet inaequalia] in- aequalia pbssidebit q. 6 id om, m. 7 quidem trianga- lum est onu m.' 8 unnm] undique e, q. 9 vero] enim e, est m. II latine obtusiangnlum] habet obtusnm angulum q. 9 — 10 dicitur . . . angulum] in quo obtusus angulus fUerit q. 10 est quod] et m. 11 vero om, m. [| AUerum est om. q.

12 anguli sunt q. 13 Inscript, om, m, q. 15 Parte vero altera longius q. 16 vero om, m. || est om, q. 17 vero om, m. II est om, q. 18 Rombon id est q. 20 non autem] id autem nec q. 21 Praeter omnes autem hae m. 22 figurae om, e, m. || trapizea q. || nominentur q. 23 nun- cupantur] nominantur m.

AR8 GEOMETR. 377

quae in eadem plana superficle coliocatae atque utrimque productae in neutra parte concurrent.

De peiiiienihus , quae sunt in geomeiria.

Petitiones vero, sive postulata, ut veteribus placuit, dicantur, quinque sunt: 5

Prima, ut ab omni puncto in omne punctum recta linea ducatur, postulat.

Secunda , ut definita recta Unea in continuum rectum- que producatur, admonet

Tertia omni centro et omni spatio circulum designare 10 praecipit.

Quarla omnes rectos angulos sibi invicem aequos esse vult.

Quinta autem, si in duas rectas lineas linea incidens interiores et ad easdem partes duos angulos duobus rectis 15 fecerit minores, rectas Hneas in infinitum productas ad eas partes, in quibu^ duo interiores anguli duobus rectis mi- nores sunt, concurrere iubet.

De concepiionibus ^ quae sunt in geomeiria. Communes igitur animi conceptiones sunt, quae a 20

1 atqne utrimque prodnctae om. e, m. 2 in om, m. concurmnt e, m. 3 InscHpt. om, q; Incipinnt petitiones geom. m. 4 vero om. m , q. || sive . . . dicantur om, q.

5 dicantur om. m. || sunt quinque q. 6 Prima ut] petatnr q. In e additi iunt nngulis petitiordhus nunieri I. II. III. IIII. V. praeter vocabula prima et seq. || in omnem C} m. || rectam lineam ducere omisso postulat q. 8 — 9 Secunda . . . ad- monet] Item definitam lineam in continuam rectumque pro- ducere q. 9 ammonet e. 10 Tertia] Item q. 11 prae- cipit om, q. 12 Quarta] et q. || sibi] quos ibi q. Q aequos om. q. 13 vult om. q. 14 Quinta autem] Item q. 16 et ad easdem partes om. e, m. 16 — 18 rectas lineas . . . iubet] productas infinitum rectas lineas concurrere ad eas quibus duobus rectis angulis sunt. 19 Inscript. om. q; In> cipiunt conceptiones *geom. m. 20 Minores vero communes q. II igitur om, q; autem m. || quae . . . vocantur om. q.

378 ABS QEOMETB.

Graecis xotvat svvoiai vocantur. Cum spacia et inter- valla eidem sunt aequalia, et sibi invicem sunt aequalia.

£t si ab aequalibus aequalia auferantur, quae relin- quuntur, aequaUa sunt. s Et si aequalibus aequalia addantur, tota quoque aequa- lia sunt.

Et quae sibimet ipsis conveniunt, aequalia sunt.

Omne paralleiogrammum rectiangulum sub Iits duabus rectis lineis, quae rectum angulum contiDent, dicitur con- 10 tineri.

Omnis vero parallelogrammi spacium unumquodque gnomo eorum quae circa diametrum eandem sunt paraU lelogrammorum nuncupatur.

De circulis,

15 Circuli aequales sunt, quorum diametri aequales sunt ; inaequales vero sunt , qui sic se non habent.

Circulus circulum non contingere dicitur, qui, cum circulum tangat, in utraque eiectus parte non secat cir- culum. Circuli se invicem contingere dicuntur, qui tan- gentes sese invicem secant.

1 kenas ethnias e, m. || Cum . . . intervalla] Haec qaae q. 2 idem e. || sunt ante et addunt e, m. 3 anferatur q. 5 addantnr aeqnalia q. 7 convenit animo finitionis, aeqna- lia sunt q. 8 Ante kunc versum addit q: Nemo resistere nUo tempore parti convenienti poterit. 9 rectnm' ambiunt angulum q. || continent om. e, q. 11—13 Quae in q legun- iur, haee sunt: Omnis vero paraUelogrammi spatii eorum quae circa eundem diametrnm snnt parafielogrammomm quotlibet unnm cam supplementis dnobus ginomo nominetur.

Hic de extracluso loco dicit. Hio de trigono dicit. Si sint dnae rectae lineae, quarum una quidem indivisa, altera vero quotlibet divisionibut secta, quod sub duabus rectis lineis rectiangulum continetnr, aeqoum erit his, quae sub ea, qui indivisa est et unaquaeque divisione quod recti- angulo continetur habebere possessores. 12 f^omio e. 14 Inscript» om. «, m. 15 Aeqnales cireuli q. || snnt aequa-

les q.^ 16 snnt om. q. 17 Kecta linea circulnm con-

tingere dicitur. quae q. 18 eiecta* e; eiecta egesta q.

19 se] sese q. || tangentes] tam gentes q.

12 f^omio e. 14 Inscript» om. «, m. 15 Aeqnales cireuli q. || snnt aequa-

les q.^ 16 snnt om. q. 17 Kecta linea circulnm con-

tingere dicitur. quae q. 18 eiecta* e; eiecta egesta q.

19 se] sese q. || tangentes] tam gentes q.

AK8 GEOMETR. 379

Rectae lineae in circulo aequaliter a centro distare dicuntur, quando a centro in ipsas ductae perpendiculares inyicem sibi sunt aequales. PIus vero a circulo distare dicitur linea, in quam perpendicularis longior cadit.

Portio circuli est figura, quae sub recta linea et circuli 5 circumferentia continetur. In portione circuii angulus esse dicitur, quando in circumferentia sumitur aliquod punctum et ab eodem puncto ad lineae terminos duae rectae Uneae subtunguntur. Angulus circulidicitur, qui sub duabus subiunctis lineis continetur, quando lineae, quae adiun- lo guntur, aliquam circumferentiae comprehendunt particu- lam, ut in ea angulus conaistere perbibeatur.

Sector circuli est figura, quae sub duabus a cenlro ductis iineis et sub circumferentia, quae ab eisdem com- prehenditur, continetur. 15

Similes circulorum portiones dicuntur» quae aequales suscipiunt angulos, vel in quibus, qui inscribuntur anguli, sibi invicem sunt aequales.

Figura intra figuram dicitur inscribi , quando ea, quae inscribitur, eius, in quam inscribitur, Iatera.uno quoque 20 suo angulo ab interiore parte contingit.

Circuli vero figura figurae drcumscribi perbibetur, quotiens ea, quae circumscribitur, figurae eius, cui cir- cumscribitur, suis omnibus lateribus omnes angulos tangit.

3 sibi invicem q. 4 linea om, q. || perpendiculares q. 5 — 6 est figura . . . angalus om, q. 7 dicatur q. H circum- ferentiam q. 8 et ab eodem] eo vero q. 9 circuli om. q. 10 subiectis m. || lineae] autem q. 12 angulos q. 17 describuntur q. 19 Ante kunc veraum addit q: Hic trigonus. || Fignram q. U eam q. 20 in quam scribitur q. 22 Cir- culus scribi vero figura figurae q. 23 ea quae] aequa q. {| circumscribitur om. q. || figura q. || circum inscribitur q. 24 q addii: Intra datum circulum datae rectae lineae, quae in diametro minime maior excitat, aequam rectam lineam- que aptare. Portio circuli est figura, quae surrecta linea et circuli circumferentia continetur. In portione angulus esse dieatur, quando in circumferentiam sumitur aliquod punctum ab eo vero puncto ad lineae terminos duae rectae lineae subiunguntur.

380 ARS GEOMETR.

Explicii prolegomena, Incipit scema,

Supra dalam rectam lineam terroinatam triangulum aequilaterum constituere. Ad datum punctnm datae rectae lineae aequalem rectam lineam coUocare.

5 Duabus rectis lineis inaequalibus datis a maiore rainori aequam rectam lineam abscidere.

Si duo trianguli duo latera duobus lateribus habent aequa, alterum alteri, et anguium angulo habent aequum eum , qui sub aequalibus rectis lineis continetur, et basim

10 basi aequam habebunt, et triangulum triangulo aequum erit, et reliqui anguli reliquis angulis erunt aequales, alter alteri, sub quibus aequalia latera subtenduntur.

Si triangulus aequalia latera habeat, qui sub eius basi trianguli sunt, aequales alter alteri sunt, et aequalibus

15 lineis et basibus et angulis aequalibus utrique erunt. Si trianguli duo anguli aequi sibimet invicem sint, et quae sub aequalibus angulis subtenduntur latera sibi invicem sunt aequalia.

Et super eandem aequalem rectam lineam duabus eis-

2odem rectis lineis aliae duae rectae lineae, altera alteri, nullo modo constituentur ad aliud atque aliud punctum ad easdem partes eosdem fines aequalis rectae lineae pos- sidentes.

Si duo trianguli duo latera duobus lateribus aequa

25 possideant, allerum alteri, et basim basi habeant aequam, et angulo angulum habebunt aequalem, qui sub aequalibus

1 Incipit liber I theorematum Geom. m; Inciplt de tri- angnli ratione et linearum q. 2—3 Snpra datam . . . con- stitnere om. q. 5 inaeqnalibns rectis lineis q. || minore q; minorem e, m. 6 abscindere m. 7 triangula q. 8 ha- beant m. || habente cnm eis q. 9 continentnr q. 10 basis basim q. 13 — 15 Si triangnlns . . . ntriqne emnt om^ q.

14 alter bis m. 15 utrimqne m. 16 aeqnae q. 18 snnt] erunt q. 19 Et om, q. || eisdem aequalibus rectis lineis ceciderint aliae m. 20 linea m. 21 ad] . Ad q. 22 aequali e; aequales m; aeqnalibns q. || rectis lineis q. 24 Si om, q. 25 possident q. || aequa q. 26 angnlum angulo habebunt aequale q.

ARS GEOMETR. 381

rectis lineis continetur. In triangulo datam rectam iineam terminatam in duas aequales dividere partes. Datam rectam lineam secundum eam» quae superstat, dividere.

Et datae rectae lineae ab eo, quod in ea est, puncto rectam lineam secundum rectos angulos elevare non dis- 5 convenit.

Super datam vero lineam rectam infinitam ab dato puncto, quod ei non inest, perpendicularem rectam lineam ducere oportet. Quaecunque super rectam lineam recta linea consistens angulos fecerit, aut duos rectos faciet, aut lo duobus rectis reddet aequaies. Si ad aliquam rectam li- neam atque ad eius punctum duae rectae lineae non in eandem partem ducantur et circum se angulos duobus rectis fecerint aequos in directum sibi eas lineas iacere necesse est. Si duae rectae lineae sese dividant, ad ver- 15 ticem angulos sibi invicem facient aequos.

Omnium triangulorum exterior angulus utrisque inte- rioribus et ex adverso angulis constitutis maior existit.

Omnium triangulorum duo anguli duobus rectis angu- iis sunt minores omnifariam sumpti. 20

Omnium triangulorum maius latus sub angulo maiore subtenditur.

Omnium triangulorum maior anguius sub latere maiore protenditur.

Omnium trianguiorum duo iatera ceteris maiora sunt 25 in omnem partem suscepta. Si in uno quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae iineae interius con- stituantur angulum facientes , quae constituuntur reliquis quidem trianguli duobus lateribus sunt minores, maiorem vero angulum continebunt. so

Si in uno quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae iineae interius con- stituantur angulum facientes , quae constituuntur reliquis quidem trianguli duobus lateribus sunt minores, maiorem vero angulum continebunt. so

2 in om. q. 2 — 3 Datam . . . dlvidere om. q. 4 in eo e, q. 6 non disconvenit om. q. 7 £t super q. || vero om, m, q. || rectam lineam q. 8 inest] inem q. 9 oportet om. q. II Qaocunque q. j] super] per q. 10 linea om, e, ; cum] eam q. 10 adiecta m. 11 ad dimidia q. 12 ab ea om, m; ab eo e. || qaae om. m. {| ex om. q; a m. {| que] quae q. 15 convenit om, q. 16 ei om, q. 17 quodj

quo q. II sive] sibi q. 18 hac] ista q. || triangulis q. |

figura om, q. Figuram ipsam om. m. || qui q. 19 amplius 0771. q. II obtunsos q. 20 amplius potest q. || Ante quae addunt e, m: quam ea. || qui obtunsum q. || continet e, m. 21 continetar m. [| bis om» e, m. || et ea om. e, m, q. || ob- tunsum q. 22 anguli e. [] a perpendiculari extra depre- henditur om. e, m. 23 necesse est om. q.

ARS QEOMETB. 387

Si in circulo per centrum linea quaedam recta dirigatur ad aequandam lineam rectam in centro posilam , in duas aequas partes rectus eam anguius secat, el si rectus eam angulus secet, in duas eum agrum dividet partes, quem comportionales sibi defendunt. 5

Si intra circuium punctum sumatur interius, quod est centrum, et ab eo puncto ad circuium duae iineae vel plu- res dirigantur, per eas lineas dantur circuli portiones, sed ab una parte una portio, quae est circuli conclusa figura, sub recta linea et circuli circumferentia concluditur et 10 cuius oportet consignari describatur in portione. Nam- que est figura, quae hic angulos facit et sub duabus con« iunclis lineis continetur. Quando autem adiunguntur lineae, aliquas circumferentiae comprehendunt particulas, ut in eis angulis consistere perhibeatur. 15

Similes circulorum portiones dicuntur, quae sibi in- vicem sunt aequales, sive quadratae sive trigonae sint.

Si circulum iinea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circulum secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt a 20 lateribus perpendiculi ab alterna divisione circuli, pares sunt; quas unumquemque suas intus in forma oportet accipere porliones. Nam est eminens forma recta locorum

1 Hunc versum praecedunt in q inscriptiones : Explicit liber geometrice artis secundus. Incipit liber •III- Anicii Manilii Severini Boetii geometricorum ab Euclide translatorum. pro centro e. 2 ad om. q. || centrum q. 3 aequales q.

partes rectns] dividet prorectus q. || rectus eam angulus] proporrectos angulos q. 4 secat m. || agrum om, m. || di- vidit m. II quae comportiones m. 6 summittatur q. 8

portionem q. 9 qui q. 11 describitur. In portione nam- que m. || Nam qui q. 12 quae hic] qui hos q. || fecit m. || duobus q. 14 lineas q. || aliquae m. 15 in eas angu- los q. II perhibeantur q. 17 seu q. || quadrati m. || tri-

|| di- vidit m. II quae comportiones m. 6 summittatur q. 8

goni e» m. || Post sint addit q : sicnt infra monstravi et datos possessores infra unum agrum quos conportionales fieri opor- tet, sic et ceteri. 18 Si intra circulum linea recta duca- tur q. 18-- 20 a contactu . . . ducatur om. q. 20 duo

angula q. 21 perpendiculum q. |1 pares sunt] partes facit q. 22 unusquisque intus forma q.

26*

388 ARS GEOMETR.

divisio spectationum terrae mensura et ideo non ab homi- nibus sed ab aeterno creatore formata.

£x adverso sibiniet anguli constituti duobus rectis angulis sunt aequales. 6 In aequis circulis, qui in circumferentiis aequalibus anguli consistunt, sibimet invicem sunt aequaies seu a centro seu a circumferentia progrediantur.

Datam circumferentiam semicirculi in duo aequa divi- dere potis est. 10 In circulo idem angulus, qui in semicirculo est, rectus existit. Qui vero in maiore portione est, angnlus niaior est recto. Qui autem in minore portione est angulus, mi- nor est recto. Et maioris quidem portionis angulus recto maior existit, minoris vero portionis angulus recto minor 15 existit.

Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circumferentia quaedam circuium secans linea recta du- catur, quoscunque angulos facit, duo anguli, qui sunt in alternis circuli portionibus, sunt aequales. Ex lioc igitur 20 manifestum est, quoniam, si a puncto circuli duae iineae rectae sese contingant et sibi invicem sint aequales, super datas rectas lineas circuli describere partes convenit.

Intra datum circulum datae rectae lineae, quae dia- melro minime maior existat, aequam rectam lineam co- 25 aptare oportet.

Intra datum circulum dato triangulo aequorum angu- iorum triangulum collocare convenit.

Circa datum circulum dato triangulo aequalium angu- lorum triangulum designandum est.

1 mensurata q. 4 anguli q. 7 seu] sibi q. 9

potis es m; possit q. 10 isdem q; id est e, 11 maior] minor q. 12 minorj maior q. 15 existat q. 16 in

circum omisso ferentia q. 18 in alterna ante circuli q.

21 inyicem om. m. |{ sunt q. 22 datas] dectas q. || con- venit om, q, in quo addita sunt haec: quae dato rectilineo angulo unus quis suas intus circulo oportet accipere portio- nes q. 25 oportet om. q. 27 convenit om, q. 28 da- tae triangulo q. 29 designandum est] designare q.

ARS GEOMEm 389

Intra datum circulum triaogulum interdum designare necesse est.

Intra datum circulum quadratum aliquando describere utile est.

Intra propositum quadratum circulum designare et s intra circulum per rectas lineas triangulos fieri aliquando praecipiendum est.

Girca datum circulum quinquangulum aequilaterum et aequiangulum designare geometres praecipiunt.

Intra datum circulum quadratum aliquando describere utile est.

Intra propositum quadratum circulum designare et s intra circulum per rectas lineas triangulos fieri aliquando praecipiendum est.

Girca datum circulum quinquangulum aequilaterum et aequiangulum designare geometres praecipiunt.

Intra datum circulum quinquangulum, quod est aequi- lo laterum atque aequiangulum designare non disconvenit. Nam omnia, quaecunque sunt, numerorum ratione sua constant et proportionabiliter alii ex aliis constituuntur circumferentiae aequalitate multiplicationibus suis quidem excedentes atque alternatim porlionibus suis terminum i5 facientes.

De figuris geometricis,

Supra positarum igitur speculationibus figurarum ab Euclide succincte obscureque prolatis et a nobis verbum videlicet de verbo exprimentibus strictim translatis, quae- 20 dam iteranda repetendaque, ut animus lectoris non ob- scuritate deterreatur, sed a nobis potius alicuius exempli luce infusa delectetur, videntur.

1 interdum om, q. 2 necesse est om. q. 3 aliquando 0772. q; aliquid e. 4 utile est om, q. 5 infra e, m. 6 circulo prorectas q. [] aliquando praeciplendum est om, q. 9 aequiangulum] qui angulum q. || geometres praecipiunt om, q. 10 circulum post aequiangulum ponit, q. 11 non dis- convenit om. q. 12 quaecunque] quae m. 13 proportio- iialiter m. 14 quidam q. 15 propositionibus m. 17 De I th.* m ; Explicit liber III. Anicii Manilii Severini et Boetii Geometricorum ab Euclide translatorum , qui continet nume- o rum causas et divisiones circulorum et omnium figurarum rationes extremitatium et summitatium genera, angulorum et mensurarum expositiones. Incipit altercatio duorum geo- metricornm de figuris, lineis et mensuris. q. Longe igitur alia in q sequuntur, quam in e et m leguntur; neque tamen haec neque illa Boetio videntur tribuenda.

390 ABS QEOMETB.

Sunt enim a nobis quaedam buic operi inserenda,

huic arti valde necessaria et supradictis respondentia et

subsequentibus convenientia, ad quae inteliigenda quicun-

que in nostrorum arithmeticorum theorematibus instructus

5 accesserit , expeditiori intellegentia ducitur.

Supra dictum igitur est, super datam rectam iineam terminatam triangulum aequilaterum constituere opor- tere, sed nimis involute. Qua de re huius exempli notam subiecimus.

Sit data recta Unea terminata AB. Oportet igitur super eam , quae est AB , triangulum aequilaterum constituere et centro quidem A spatio vero B circulus scribatur BGED et rursus centro B spatio autem A circulus scribatur AFCD

15 et ab 60 puncto, quod est C, quo se circuli dividunt, ad ea puncta , quae sunt A, B, adiungantur rectae lineae CA, CB. Quoniam igitur A punctum centrum est BCED cir- cuh, aequa est AB ei, quae est AC. Bursus quoniam B punctum est centrum ACFD circuli, aequa est AB ei, quae

Quoniam igitur A punctum centrum est BCED cir- cuh, aequa est AB ei, quae est AC. Bursus quoniam B punctum est centrum ACFD circuli, aequa est AB ei, quae

20 est BC. Sed et AB ei, quae est CA, aequa esse monstrata est. Et AC igitur ei, quae est BC, erit aequaUs. Tres igi- tur, quae sunt CA, AB, BC, aequae sibi invicem sunt. Aequilaterum igitur est CAB triangulum et constitutum est supra datam rectam lineam terminatam eam, quae est

25 AB ; quod oportebat facere.

3 sequentibus m. [| ad quae] atque m. 9 subiicimus m. 10 Figura deesi in m. 11 rectilinea e. 25 Posi hunc versum addit m inscriptionem: De secundo th.*

AR8 GEOMETR. 391

In superioribus vero dictum est, ad datum punctuni datae rectae lineae aequalem reclam lineam collocare oportere, sed huius artis expertibus obscure difficulter- que. Sed nos animum lectoris quasiintroducendo obie- ctantes huius subsequentis figurae explanationem positis 5 literarum linearumque notulis patefacimus.

Sit quidera datum punctum A, data vero recta liuea BC. Oportet igitur ad punctum A rectae lineae BC ae- quam rectam lineam collocare. Adiungatur enim ab A lo puncto ad B punctum recta linea, quae est AB , et con- stituatur super AB rectam lineam triangulum aequilat^e- rum, quod est DAB et eiciantur in rectum DA, DB rectae Ilneae ad AG et BM et centro quidem B, spatio autem BC cir^ulus scribatur CFE. Et rursus centro D, spalio autem i5 FD circulus describatur FKL. Quoniam igitur B punctum centrum est CFE circuli, aequa est CB ei, quae est BF. Rursus quoniam D punctum centrum est FLK circuli, ae- qua est DL ei, quae est DF. Quarum quidem AD ei, quae est DB, aequa est. Aequilaterum enim triangulum est, id 20 quod est DAB. Reliqua igitur AL reliquae BF existit ae- qualis. Sed et BF ei, quae est BC, aequa esse monstrata

7 Figura deest in m. 14 ad] AD e , m. 21 reliquiia e; reliquis m.

392

ARS GEOMETR.

estetBCei, quaeestAL, erit aequalis. Ad datum igi- tur punctum, id quod esl A, datae rectae lineae ei, quae est BC aequa locata est ea, quae est AL; quod oportebat facere , ut subiecta descriptio monet.

5 Tertio igitur loco superius ab Euclide prolaium est, duabus rectis lineis inaequalibus propositis a maiore mi- norem aequam lineam abscidere convenire, sed nimis strictim et ob id confuse involuteque. Nos vero ut animus lectoris ad enodatioris intelligentiae accessum quasi qui-

10 busdam gradibus perducatur, buius descriplionem formu- lae subiecimus.

Sint datae duae rectae lineae inaequales AB, CD et sit maior AB. Oportet igitur a maiore AB CD minorem lineam

16 abscidere. Collocetur enim ad A punctum ei, quae est CD, aequa ea, quae est AE, et cenlro A, spatio vero AE circulus descriljatur EGF. Quoniam igitur A punctum cen- trum est EGF circuli et AE ei, quae est CD, erat aequa- lis, et CD ei , quae est AG , erit aequalis. Duabus igilur

Collocetur enim ad A punctum ei, quae est CD, aequa ea, quae est AE, et cenlro A, spatio vero AE circulus descriljatur EGF. Quoniam igitur A punctum cen- trum est EGF circuli et AE ei, quae est CD, erat aequa- lis, et CD ei , quae est AG , erit aequalis. Duabus igilur

20 datis rectis lineis inaequalibus eis, quae sunt AB, CD, a maiore, quae est AB , minori, quae est CD, aequalis ab- scisa est ea , quae est AG ; quod oporlebat facere.

4 subiecta] facta superius m. 6 Ante hunc versum ad- dit m inscriptionem: De III- th.' 7 convenit m. 14 ma- iori m. || AB minori CD minorem e. Videtur scribendum: minori CD aequam. 15 abscindere m. || eij ea m. 16 ae- qua] a -^ ^^2» ^3 vPl Pii II ^l^fl-^^t* autera m, , nj, n^, n^, pi, pg. 6 a-/? ] ^ i^i Q-£ ^2 ^^ »3 Pi> P2* 1*^ consueverunt m, n,. 18 iam dictos or- dine p,. || karacteris q,.

398 ARS OEOMETR.

numerus non est, sed fonsetorigo numerorum, sub linea X inscripta ponentes XX et ternarium XXX et quaterna- rium XL ceterosque in ordine sese sequentes proprias secundura denominationes assignare constituerunt.

5 Sub linea vero centeno insignita numero eosdem api- ces ponentes binarium CC, ternarium CCC, quaternarium CCCC ceterosque certis denominationibus respondere de- creverunt. In sequentibus vero paginularum lineis idem facientes nullo erroris nubiio obtenebrabantur.

10 Scire autem oportet et diligenti examinatione discu- tere in multiplicando et partiendo, cui paginulae digiti et cui articuli sint adiungendi. Nam singularis multiplicator deceni digitos in decenis, articulos in centenis, idem vero singularis muitiplicator centeni digitos in centenis, arti-

15 culos in milleuis et multiplicator milleni digitos in mil- lenis et articulos in decenis millenis et multiplicator cen- teni railleni digitos in centenis millenis, articulos autem in millenis milibus habebit.

Decenus autem suimet ipsius multiplicator digitos in 20 pagina C inscripta, articulos in miilenis, et multiplicator

centeni digitos in millenis et articulos in X, et muitipli-

cator milleni digitos in X, et articulos in CM. et multipli- cator centeni milleni digitos in iniilenis milibus et articu-

los in XMI habebit.

25 Centenus vero aeque suimet ipsius multiplicator digi-

tos in X et articulos in C et millenum multiplicans digitos

1 sub linearum X inscriptione m. 3 in ordinem -^3. sesej se m. 6 CC, ternarium om. Uj. IJ CC tis 0,^3. 8 insequentibus p^; insequentes p^. || veroj it' m. 9 errore e. I) obtenebrantur e; obtenebantur pj. 11 partiendoj di- videndo nj. 13 deceni] decem n. 15 et om, m, rii. |1 multipli- cator deceni milleni digitos in decenis millenis articulos iu centenis millenis et multiplicator centeni n^. 17 autem

om, n|. 21 priiis et om, m. || X] decenis millenis m. 22 mil-

leni] centeni m. [] X] -C-M Ug. [] et om. n^, |1 centum -M- e ;

centenis I m. et om. D|. 24 decies mille milibus m; decies millenis milibus pj. 25 suimet] sui Uj.

21 priiis et om, m. || X] decenis millenis m. 22 mil-

leni] centeni m. [] X] -C-M Ug. [] et om. n^, |1 centum -M- e ;

centenis I m. et om. D|. 24 decies mille milibus m; decies millenis milibus pj. 25 suimet] sui Uj.

ARS GEOMETR. 399

in C et articulos in XC, el centenum miilenum multipli-

cans digitos in Xes MI et articulos in CMI, et decenum

miilenum multipiicans digitos in MI et articulos in Xes MI

subtendet.

Millenus itidem se ipsum multipiicans digitos in Xes C 5

et articulos in Ces C, et centeni milieni multipiicator di-

gitos in CMI et articuios in MMI, et decenum miiienum

excrescere faciens digitos in Xes MI et articulos in Ces

Mf habere dinoscetur.

Decenus auteni miilenus multiplicator centeni milleni lo

digitos in MMI et articulos in Xes MM I seque ipsum ad-

augens digitos in CMI et articulos in MMlliabere depre- henditur.

Centenus autem miiienus se ipsummultiplicatis digitos X M r et ar ticulos C M F subponet. is

De divisionibus.

Divisiones igitur quantalibet iam ex parte lectoris ani- nius introductus facile valet dinoscere. Breviter etenim de his et summotenus dicturi, si qua obscura interve-

1 C] CM pi II et om. n,. XCJ decies C milibas m; M-I- p|. || et

ceutenum . . . C M I ante subtendet ponit p^. 2 decies mille mili-

bus m; MI n. II et om. n,. || centies I millibus m; X^MI n. || et

decenum . . . . X" 'M-I om, m, n, 2 — 3 mille millenum u^.

3 m"I] CMM- n,J X«» MI] M^MM n^, 5 se] semet nj. ||

X«s centum e; MM n^. 6^ et om, n.. || X"MM ni. 7_C

mille milibus m. || milies MI n, p^. || et decenum . . . C**MI

om, p^. II millenum his e. 8 AUerum in om, n. 9 milies

centies •M«I- n. |{ dinoscitnr n. 10 milleni om. nj. 11 mi-

lies milia M n; millies MI p^. j| X*^ MI e; XM I Ug. p^.

j seque_. . . MMI om. Uj. 15 in XMM articulosin CMM n^.

j_X" MI e; X«« M nj; decies MI pi. || C" MI Ug centies

MI Pj. 16 Inscript, om, m, p,, p^. 18 facile . . . dino-

scere om. n^. || enim m , pi , p^.

400 ARS GEOMETR.

nerint, diligenti lectorum exercitio adinvestlganda com- mittimus.

Si decenus per se vel centenus per se vel ulteriores per semet ipsos dividendi proponantur . minores a malo- 5 ribus quoadusque dividantur, sunt subtrahendi.

Singularem autem divisorem deceni aut centeni aut milleni aut uUeriorum vel decenum divisorem sequentium sumpta differentia eos dividere oportet.

Compositus autem decenus cum singulari per secun-

10 das vel tertias et deinceps secundum denominationem par-

tium decenum vel simplicem vel composilum divisurus est.

Centenum vero vel millenum vel uUeriores per dece- num compositum, si diligens investigator accesserit, difTe- rentia et primis articulis dividendo vel secundatis apposi-

Centenus autem cum singulari compositus centenum vel millenum hoc pacto dividere cognoscitur. Sumpto igi- tur uno dividendorum , quod residuum fuerit, divisori esl

20 coaequandum et quod superabundaverU sepositis reser- vandum.

Singularis aulem vel, ut alU volunt, minutum per ae- quationem maiorum est multiplicandum et digitis quideni perfecta differentia subponenda, articuUs autem inper- 25 fecla est praeponenda. Et hae differentiae et si forle aii- quis seclusus sit, signiGcant, quod residuum sit ex divi- dendis.

Haec vero brevi introductione praeUbantes, si qua

obscure sunt dicta vel, ne taedio forent, praetermissa,

80 dUigentis exercitio lectoris committimus, terminum huius

1 commlttemud^ 1X3. 3 se om, n. 4 diveudi n.^. 5 quo- usque m. 14 vel] vel si n. Aut omittendum videtur vel aut scri- bendum appositis vel secundatis. |j oppositis p^. 15 acutis e, n. 17 positus m, n^. 19 divisiori n^; divisorem n. est om. n. 20 superhabundaverit ^3. 22 velut Uj, n^. aequatione e; coequationem ng, pj, p^. 25 Et hae differen- tiae om. m. 28 His vero . . . praelibatis m. 30 diligenti p^.

ARS GEOMETR.

401

libri facieiUes et quasi ad uliliora sequeatium nos conver- tenles.

Inctpit liber 11 geometriae.

Superiore vero tractalu voluininis oninia geonietricae artis theoremata quamvis succincte tamen sunt dicta , sed 5 podismorum notitiam hic iiber quasi quaestionarius et omnium podismalium quaestionum scrupulositates incun* ctanter absolvet enodando. Veteres etenim agrimensores omnem meusurae quadraturam dimidio longiorem iatio- remve facere consueruntT et quod in longitudine lon- lo gius fuerit, striga appeilare voluerunt, ut subiecta docet formula.

scanmum

.2P

De me

nsuris.

Prisci igitur sophismatis cautissimi dispectores duo- i5 decim mensurarum genera constituerunt, quibus cum vellent formarum agrorumque emetirentur areas, quorum haec sunt nomina: miliarium, stadium, aclus, decem- peda, quae eadem et pertica, passus, gradus, cubitus, pes, semipes, paJmus, uncia, digitus. 20

1 ulteriora p^. \\ convertens n^. 3 Incipit prologus III. libri m. 4 Superioris m. [[ vero om. m. 7 scrupulosi-

tatesj noticiam m. 8 enim m. 13 Focabula scamnum,

striga om, m. 14 Inscript, kanc et seqq. om. m. 15 di- spectiores -XII- n. 17 metirentur n. 20 digitus om. e.

BOETIUS. 26

402 ARS GEOMETR.

Miliarium vero quinque milia pedum protensiones ha- ' bere sanccilum est; sladium autem DCXXV pedes habere constat. Actus trifariam dividitur, in minutum, in qua- dratum, in duplicatum. Actus minimus llll tantum pedi- 5 bus in latitudine et GXX pedibus in iongitudine proten- ditur. Actus vero quadratus ex omni latere CXX pedibus concluditur. Actus autem duplicalus CCXL pedes explicat.

Decempeda pedes X colligit, passus V, gradus II, cu- bitus I pedem habere dinoscitur.

Actus vero quadratus ex omni latere CXX pedibus concluditur. Actus autem duplicalus CCXL pedes explicat.

Decempeda pedes X colligit, passus V, gradus II, cu- bitus I pedem habere dinoscitur.

10 Pes autem palmos habebil Illl, semipes 11; palmus vero IIII digitorum protensione completur.

De unciali vero et digitali mensura melius, cum de uncialibus et notis et nominibus in sequentibus disputa- verimus, dicemus, enodatiusque , cum ,de punctorum 15 minutorumque sublilitatibus praemiserimus, eloquemur; nunc ad sequentis tractatus enarrationem redire nos con- venit, si prius quid pes porrectus, quid constratus quid- que sit quadratus demonstraverimus.

Pes etiam porrectus dicitur, ubi tantum pedalis men-

20 sura in longo pernoscitur. Constratus autem pes ille diiu-

dicatur, in quo longitudo lalitudoque consideratur. Qua-

dratus vero pes habetur , ubi trinae dimensionis conside-

ratio in aequalitate censetur.

Sed iam tempus est ad id, quod instituimus, accedere.

25 De mensura et tribus dimensionibus.

Quamvis etiam in superioris iibri principio, quid sit mensura, generaliter designaremus, iibet tamen specia- liter huius artis speculatori satis faciendo secundum lulium

1 vero om. m. 2 pedibus constat m. 6 pedibns

om. m. 7 autem om, m. || pedes quod iongitudine soium mensurando cen- setur, ut iineae, porticus, stadia, miiiaria, fluminum lati- ^o tudines et alia quam plura ionga protensione directa, ut iineae infra depictae descriptio notat.

Pianum est, quod a Graecis dicitur epipedon, a nobis autem constrati pedes, quod per longitudinem, latitudi- 15 nem consideratur , ut agrorum planities et aedificiorum areae absque tectoriis operibus, et laquearibus ac tabuia- tis et his similibus, iit subiecta formula docet.

Soiidum etiam est, quod Graeci stereon vocant, nos 20 autem quadratos pedes, quod iongitudinem et latitudinem crassitudinemque habere comprobatur, ut aedificiorum, pilarum pyramidumque nec non etiam maceriae lapidum aliaque muita, ut subiectae notant formulae.

5 mensnralis om. m. 6 vel crassitudinis altitudinis m. 18 subiecta om. m. || formula] descriptio m. 20 etiam om. m. 21 et 0771. m. 22 que om, m. |] probatur m. 24 ut propria notat descriptio m.

26*

404

ARS GEOMETR.

Sed iam tempus est podismalium noticiam quaestio- num, ut promisimus, narrando attingere et de investi- ganda pedaturae speculatione protinus dicere. Et de tri- 5 gonis vero , qui , sicut ternarius naturaliter procedit qua- ternarium , ita sunt praeponendi tetragonis et pentagonis caeterisque, inprimis dicendum esse censeo.

De trigonis.

Sunt autem trigonorum genera principalia VI, iso- 10 pleurus, isosceies. scalenon, orthogonium, ambiygonium, oxygonium, quorum omnium in sequentibus formas et pedaturas explanabimus.

De isopleuro,

De trigonis.

Sunt autem trigonorum genera principalia VI, iso- 10 pleurus, isosceies. scalenon, orthogonium, ambiygonium, oxygonium, quorum omnium in sequentibus formas et pedaturas explanabimus.

De isopleuro,

Trigonus igitur isopleurus, qui in praecedentis libri 15 paene principio aequiiaterus trianguius dictus est, paria latera habere comprobatur. Ponatur ergo isopleurus in singulis habens lateribus pedes XXX. Huius embadum, id est area, tali modo est investiganda. Summa etenim unius lateris per se tnultiplicata DCCCC numerum com-

/- — \ 1 e addii figuras l ^

Sed aUera quoque fi- V ■'

gurarum supra descripiarum videiur omiiienda,

5 vero] quidem m. || qui] quia m. 7 esse

om, m. 9 hysopleurum m. 10 hisoceles e,

m. II scalemon e, m. 11 ozig^onium e. || for- mam m. 13 hisopleuro e. 14 hisopleurus e, m. 18 modo] ratione m. [| est om. m. || etenim om, m.

ARS GEOMETR.

405

plet. Ciii si quingenta et X subtrahantur, relinquuntur CCC XC. Tot pedes huius trigoni isopleuri embadum col- ligit. Nam cathetum pedibus XXVI constat protendi. Qui si per unius lateris medium id est per XV multiplicati ex- creverint, embadum complent. Aut si unius iateris pars 5 tertia per ternarium et denarium augebitur, CCC nascen- tur. Si vero summa lateris unius per eundem ternarium multiplicabitur, nonaginta reddet, qui superioribus CCC^^^ iuncti CCO^^ XC facient. Sit autem praedictorum infra facta depictio. lo

XXX

Ne autem lector in huiusmodi investigationibus aliquo erroris et inscitiae nubilo praepediatur, eiusdem iterum trigoni isopieuri id est paribus iateribus soiidi manifestis- simae demonstrationis exemplar subiiciemus. Esto age is isopleurus, cuiusIaterasinguIaXXVIIl pedes colligant, quo- rum si unum per se augmentatum excreverit, DCC.**^'^""^ LXXXIIII* summa consurget, cui si unius lateris nume- rum aggregaveris DCCC^ XII nascentur. Horum sumpta medielate aream supradicti isopleuri pernotabis, ut sub- ^ iectae descriptionis formula docet.

xxviu

9 — 10 Sit .... depictio] id est aream supradicti tri-

goni m. 18 unius de lateribus m. 20 ut est cta descri* ptio m.

406 ARS GEOMETR.

Huius autem saepe iam dicti trigoni ut iateris unius- cuiusque mensuram inquisitus quis investigare valeat et dicere, apertissimum dabimus rationis experimentum.

Proponatur itaque, si aream CCCC'^*' VI pedibus pro-

5 tendi constiterit, quot pedum planitudines iatus unum-

quodque coUigere pernoscatur. Ducatur ergo suprascripta

area octies et in III.™"™ CCXLVIII numerum consurgit.

Huic si unum addatur, fiunt Ili • CCXLVIIII. Huius sum- mae latus si sumpsero, erit LVII, cui si unitas subducta 10 fuerit, LVI relinquuntur, quorum si medium adinvesti- gavero, XXVllI fiunt. Tot namque latus quodque huius isopleuri pedibus protenditur.

De isosceli.

Huius sum- mae latus si sumpsero, erit LVII, cui si unitas subducta 10 fuerit, LVI relinquuntur, quorum si medium adinvesti- gavero, XXVllI fiunt. Tot namque latus quodque huius isopleuri pedibus protenditur.

De isosceli.

Isosceles autem, qui ab Euclide geometricae peritis-

15 sitno duo tantum latera habens aequalia est determinatus, secunOus in ordine trigonorum constituitur. Cuius si la- tera bina inparibus numeris, id est XXV, protendantur pedibus, XIIII pedalia spacia basis habere pernotatur. Restat igitur, ut, quot pedes area vel cathetus colligat,

20 requiramus. Si vero basis medietatem, hoc est VH, per se multiplices, XLVIIII nascentur. Mensuram autem unius lateris si per se , id est XXV, multiplicaveris, DCXXV red- des, ex quibus si XLVIIII seposueris, DLXXVI reiinquun- tur, quorum si latus acceperis, XXIIII erunt. Tot pedi-

25 bus cathetum huius trigoni constat protendi. Area autem, quot pedes habeat, ut inveniantur, sic est faciendum. Medietas rursum basis sumenda est, id est VII, quos si per cathetum, id est per XXIUI, multiplices, CLXVHI effi- cies. Tot pedum est supradicti trigoni embadum, ut

30 supter in pictura notatur.

2 quis] qui e. 6 ergo suprascripta] itaque supradicta m. 7 consurget m. 11 quotque m. 13 hisoceli e. 14 Hisoceles e, m. [| geometricae] huius artis m. 26 inve- nianturj iuvestigare queas m. 27 rursum om. m. 28 mul- tiplicaveris m. || CLXVIIU e.

ARS GEOMETR.

407

XUII

Scalenon igitur ab Euclide tria habens latera inaequa- lia determinatus est. Sed nos numero et figurae pictura aperta dabimus exemplaria. Proponatur itaque scalenon trigonus, qui a Latinis cuneus appellatur, cuius minoris 5 lateris declive XV pedes obtineat, maioris protensio late- ris XX pedes colligat, basis autem XXV pedalia pernote- tur habere liniamenta. Quot vero pedibus huius trigoni cathetus et embadum protendatur, restat, ut quaeratur. Ducalur ergo minoris lateris summa multiplicando in se, lo fiunt CCXXV. Item basis, si per se multiplicetur, DCXXV excrescent, quibus in unum compactis DCCCL nascentur. Hac igitur semovendo seclusa maioris lateris snmmam in se multiplicari conducit, quae multiplicatio CCCC nume- rum adducit. Quem videlicet CCCC numerum si de prius i5 seposita summa, id est de DCCCL, abstuleris, CCCCL relinquuntur. Horum si medium sumpseris, CCXXV ex- plicabis, quibus si summa basis, id est vicesima quinta pars, auferatur, novenarius erit. Tot pedibus huius tri- goni continelur praecisura, vel eiectura minor. Restat, ut 20 cathetus quot habeat pedes requiratur. Multiplicetur ergo minus latus per se, sicut supra, et CCXXV prodeunt. Hursus augmentata minoris praecisurae per se summula LXXXl producit. Hos si auferes ex in se ducto latere, CXLIlfl supersunt, quorum duodenarius esse dinoscitur 25 latus. Tot pedes huius trigoni cathetus colligere perhibe-

Multiplicetur ergo minus latus per se, sicut supra, et CCXXV prodeunt. Hursus augmentata minoris praecisurae per se summula LXXXl producit. Hos si auferes ex in se ducto latere, CXLIlfl supersunt, quorum duodenarius esse dinoscitur 25 latus. Tot pedes huius trigoni cathetus colligere perhibe-

2 Scalemon e. 3 determinatar m. || pictarae figara m. 10 maltiplicando om, m. 15 addacit .... CCCC nu- meram om, e. 16 posita m. 22 et om. e. 23 Rarsas et e. 24 LXXI e. || aafers m.

408

ARS GEOMETR.

tur. Areae vero podismus tali modo reperietur. Metiatur ergo cathetusbasim, id est XII- XXV, et CCC consurgent, quorum medietatem saepe dicti trigoni scalenos embadum podismatur, ut in subiecta figura notatur.

VUll

XXV

De orihogonio.

Quarto nimirum ioco trigonus ortbogonius ,ab Euclide inseritur et undique rectum babens angulum designatur, inaequalia continens latera. Quem nos ipso aditu diffici-

10 liorem ceteris obscurioremque esse arbilramur et ideo prolixiorem in eius explanatione moram faciemus. Esto mudo trigonus orthogonius, cuius cathetus pari numero insignitus, id est VIII pedibus mensuratus, protendatur. Cuius si Jatera ignorantur , hoc modo adinvestigari ab Ar-

15 chita praecipiuntur. Sumatur ergo supradicli catbeti me- dietas, id est IIII, et per se multiplicetur, et XVI excre- scent. Quibus si unitas subtrahatur, XV apparent. Tot pedum buius trigoni basis esse cognoscitur. Praedictae per medietatem cathetos summae adauctae si unum ad-

20 datur , erunt pedes hypotenusae XVII. Per eandem item summam, id est per XVI, embadum est inveniendum. Ducatur ergo huius summae medium per catbetum et LXIIII consurgent, qui areae complent supputationem, quod patenter in subiecta formula declaratur.

3 scalenon m. 4 nt . . . notatnr om. m. 13 proten- ditnr m. 14 investigari m. 15 ergo] itaque m, 18 no- scetnr m. || Praedictae item m. 20 ypotenusae e, m. 24 quod patenter . . . declaratur om. m.

ARS GEOMETR. 409

De orihogonio»

Conemur itaque huius orthogonii apertam et ralam et per paris et per imparis numeri quantitatem inslituere de- scriptionem. Asscribatur ergo inprimis par numerus ca- theto, id est VI. Cuius medietate in se augmentata VIIII 5 proveniunt. Cui si secundum nostri praecepti normuiam superius designatam unum auferatur, octonarius erit ba- sis buius trigoni, cuius medietas, scilicet quaternarius, per c^thetum multipiicata secundum quod supra dictum est, aream complet. Ut autem per cathetum et basis et lo liypotenusae pedaturam sine ullius impedimenti reclama- tione inquisitus possit edicere, facillimum et apertissi- mum nostrae auctoritatis exemplum dabimus. Multiplice- tur etenim per suam quantitatem medietas huius trigoni catheti, et summae, quae ex hac multiplicatione pro- 15 venerit, unitas aggregetur, erit hypotenusae pedatura. Eidem autem si auferatur unum, erit basis. Sitque huius rei haec facta descriplio.

Multiplice- tur etenim per suam quantitatem medietas huius trigoni catheti, et summae, quae ex hac multiplicatione pro- 15 venerit, unitas aggregetur, erit hypotenusae pedatura. Eidem autem si auferatur unum, erit basis. Sitque huius rei haec facta descriplio.

Instituamus ergo huius trigoni orthogonii per iniparem 20 numerum probabilem explanationem. Annotetur etiam cathetus impari numero, id est III. Quem si in se duxeris, VIIII explicabis, quibus unilate subducta VIII supersunt. Quorum medium si sumatur, basis orthogonii huius peda- tura fore comprobiTtur. Huic vero basi vel medietati, id 25 est IIII, si unum aggregaveris, hypotenusam huius trigoni comprobabis. Embadum autem, ut supra dictum est, reperiatur, id est cathetus per medietatem basis excrescat, ut infra cernitur in pictura.

8 cui e. TA dabimus nostrae auct. ex. m. 14 enim m. 17 Sit hnius liaec. ra. 29 infra cernitur] patet m.

410

ARS GEOMETR.

ITT

Ne aulem huius disciplinae curiosum indagatorcm ali- qua fallat obscuritas, de hoc eodem orthogonio iterato disputare non piget. Est enim aha inveniendi cathetuni

5 el basim et hypotenusam ratio. Ponatur ergo cathelus V pedibus protensus. Quem si multiplices per sui quanti- tatem, XXV notabis. Basis autem XII habens pedes in- scribatur, quae si sicut cathetus in se concre\ erit, CXLIIII nascentur. Hae summae, id est XXV et CXLIIII copula-

10 tae CLXVIIII restituunt. Horum latus XIII esse mani- festum est, id est hypotenusam supradicti trigoni. Deni- que si hypotenusam per se augendo duxeris, par supra copulatae quantitati, id est CLXVIIII, reddes. De quibus si cathetum in se ductum subduxeris, CXLIIII residui

15 sunt, quorum iatus, id est XII, basim resti^uil. Ex hypo- tenusa vero per se multiplicata , si quis basim in se du- ctam, hoc est ex CLXVIIIl CXLIIII, subtraxerit, non plus quam XXV remanent. Horum latus, id estV, cathetum constituit. Aream autem basis medietas' et cathetus com-

20 multiplicati metiuntur. Item per cathetum basis edicere pedaturam in hoc trigono couducit. Sit modo supradictus cathetus V. Hic vero in se ductus XXV constituit. Hinc si assem abslulero, XXIIII progrediuntur , quorum me- dium basim efHcit. Rursus autem si basis quantitati ean-

25 dem adiecero unitatem, hypotenusam explicabo. Si au- tem per cathetum basis multiplicetur, LX progreditur summa. Horum medietas embadum complet.

7 inscribitur m. 10 latus om. m. [| XVIII. e,m. 17 subdu- xerit m. 19 commultiplicari e ; multiplieandi m. 22 restituit m.

ARS GEOMETR. 411 '

Itetn de eodem,

Si au- tem per cathetum basis multiplicetur, LX progreditur summa. Horum medietas embadum complet.

7 inscribitur m. 10 latus om. m. [| XVIII. e,m. 17 subdu- xerit m. 19 commultiplicari e ; multiplieandi m. 22 restituit m.

ARS GEOMETR. 411 '

Itetn de eodem,

Aliam insuper haec vestigia gradienti normam huius trigoDi obiciendo proponere curamus, quatenus haec caute indagantes cautissima ad id, quod desiderant accedere, veritatis iinea absque devio perducat. Ponatur item eius- 5 dera orthogonii descriptio isdem quantitatibus, quibus su- pra , circumsignata , id est cathetus VIII, hypotenusa XVII, basis autem XV pedibus designetur. Nunc vero qua ra- tione per hypotenusae podismum cathetos et basis summa pedalis reperiri valeat, demonstrare studeamus. Muitipli- lo cemus ergo summam hypotenusae per se et CCLXXXVIIII numerus redundat. Cui si quater embadalis quantitas subtrahatur, XLVIIII relinquuotur. Horum tetragonicum latus si inquisieris, VII esse experieris. Quos scilicet VII si copulatis catheto et basi aggreges, XXX^fficies, quo- 15 rum dimidium basis constituit spacium. Quindecim autem si de aggregalis id est XXIII abstuleris, VIII superesse calhetum sine dubio comprobabis.

\ITT

Item de eodem, 20

Designemus iterum iam dicti orthogonii formam et aliis numerorum quantitatibus, ut cum aiiquis vel per maiorem vel per minorem numerum huius trigoni aper- tam tradere disciplinam cogatur; nullo errore iabatur. Esto age trigonus orthogonius , quem circumstant par 25 unus et duo impares numeri; par basi, id est XX, impar unus catheto, hoc est XV, alter vero hypotenusae, id esl XXV, asscribatur. EmbadaUs autem conclusio secundum^

14 inquisiveris m. 17 XXIIII e, m. 21 dicta ortho- gonii forma m. 23 vel minorem omisso per e.

412

ARS GEOMETR.

supradicti nostri praecepti regulam inquirenda est, hoc est per multipHcationem dimidiae basis et totius summae catheti. Continet enim areae spatium CL constratos pe- des. Cathetus autem et basis tali sunt indagandi ratione.

5 Ducatur ergo hypotenusalis summa in se et in DCXXV re- dundat. Cui si illl adiciantur embada, MCCXXV nascen- tur, quorum tetragonale latus, id est XXXV, si exceperis, summas utrasque basis et catheti comprobabis. Scire au- tem oportet et investigare, quo numero a se invicem

10 cathetus et basis distent. Hic vero qui sit, manifestemus. Si igitur bypotenusae in se muitiplicatae IIII, quae adieci superius, embada subtraham, in XXV summam regredi- tur. Horum quinta pars differentiam tenet, id est V. Quam si rursus duabus iunctis summis id est XX et XV

15 adiecero, XL pernotabo. Horum medium complet basim. Si autem difftrentiam, hoc est V, basi auferam, cathetum constituam, ut cerni potest in subiecta (igura.

De orthogonio circulo inscripio,

Quam si rursus duabus iunctis summis id est XX et XV

15 adiecero, XL pernotabo. Horum medium complet basim. Si autem difftrentiam, hoc est V, basi auferam, cathetum constituam, ut cerni potest in subiecta (igura.

De orthogonio circulo inscripio,

Unum etiam, quod Architae iudicio in hoc eodem orthogonio approbatum est, et Euciidis diligentissima perscrutatione prius est rationabiliter adinventum , operae precium duximus non esse praetermittendum. Est etiam saepe, ut disputator in geometrica , circulus si huic ortho- 25 gonio inscribatur, quot pedes diametrus colligat, requirat.

3 enim] antem m. || spatium] septum e. 5 redundant m. 6 embada om, m. 22 rationabiliter] diligenter m. 23 etiam] enim m. 24 disputatur in geometria m. [| qui si

m. 25 requiritnr m.

ARS OEOMETR.

413

Quod ne victus ignorantia refutet aliquis edicere, breviter insinuanius rem huiusmodi. Inscribatur itaque circulus orthogonio omnes lineas eius tangens. Hoc uimirum facto catbetus et basis aggregentur in unum. Ex cuius summae copulatione si bypotenusae exceperis quantitatem , diame- 5 trum efficies; iuncti enim XII et VIII, id est cathetus et basis, XX reddunt. £x quibus si bypotenusam abstuiero, hoc est XV, diametrum V pedes obtinere constituam, quod subtus facta designat figura.

Be amblygonio.

Quintus in ordine triaugulorum amblygonius ab Eu- ciide insertus obtusum angulum habens dictus est. Quem nos succincte aperteque expiicando aggredimur. Nam si diUgens lector superioris nostri documenti praeceplis et i5 formulis instructus accesserit, minime in hoc lababit. Constituatur modo amblygonius, cuius basis XVIII numero, hypotenusa aulem maior X, minor vero VIIII inscriban- tur. Cathetus autem IIII summa insigniatur. Ducatur ergo basis per calheti dimidium, hoc est XVIII per bina- 20 rium et XXXVI prodeunt, quae summa embadalis spalii planitudinem adimplet. Sed Architas, in cunctis utens ratione, alio modo huius amblygonii aream reperiri con- stituit, non hanc, quae supra scripta est, sunimam in hac areae planitudine sed minorem posse contineri existi- 25

6 iunge m. [J id est . .. . basis om, m. 7 reddunt] ef- dcies m. 12 trigonoram m. 18 autem] aut e. 21 pro- fieunt] exibunt m. 22 arcliita m. 23 aream] summam m.

414 ARS GEOMETR.

mans. Astruxit enim cathetum per se et per binarium^ vei per se et octonarium dupio se superantes muitiplicari oportere, et quantitatem, quae liac ex multiplicatione proveniret, aream constituere, non ut XXXVl sed XXXII

^ in se colligeret areaiis iila contemplatio. Quisquis autem huius iam dicti trigoni formas in piano designare dispo- nat, a basis quantitate huius modi rem ingrediatur tali ratione, ut terminus minoris ac maioris hypotenusae copulatus parvo vincat terminum basis, hoc est, si basis

10 XX mensuretur pedibus, maior hypotenusa XI, minor au- tem X insigniatur. Sed melius hoc, quod numeris dixi- mus, osteiidemus, si aiicuius exempli formam subiicie- mus, sitque haec descriptionis demonstratio.

Sed melius hoc, quod numeris dixi- mus, osteiidemus, si aiicuius exempli formam subiicie- mus, sitque haec descriptionis demonstratio.

XVIII

15 Be oxygonio.

Restat ut dicamus de oxygonii specuiatione, qui sex- lus in trigonorum descriptione ab Cuclide, non segni geo- metre, ponitur, acutiangulum determinatus. Esto igitur oxygonius, cuius minoris lateris terminus, id est minor

20 hypotenusa XIII pedibus lerminetur , maior autem XV et basis XIIII mensuretur. Cuius catheti et embadi summa si ignoratur, tali ratione colligetur. Ducatur ergo lateris minoris quantitas per se, CLXVIIII redundant. Basis item terminus si per se excreverit, CXCVI nascentur,

25 quas videiicet summas si iunxeris, CCCLXV efficies. Quo facto muitipUcetur etiam terminus hypotenusaiis per se et exurget CCXXV numerus, quem si de superius copulata summa semovero, fiunt residui CXL. Horum medielas

7 ingrediatur] ordiatur m. 18 acuto angulo m. 22 colligitur m. 23 et iu CLXVIIII m.

ARS GEOMETR. 415 ^^

LXX esse pernotalur. Ouod per basim dispersum , quin- quies ipsam in se retinet. Denominationis vero huius summam minor obtinet praecisura, quae per se adaucta XXV constituit. Hos si de minoris lateris summa per se multiplicata abstuleris, CXLIIII supersunt. Quorum vero 5 tetragonale iatus, quod XII est, calhetos summam exple- bit. Areae autem conclusionem hoc modo investigare curato. Basis medium ducito per cathetum, id est VII per XII et provenient LXXXIIII. Hanc summam complere areaie huius trigoni pavimenlum non ignora. Describa- lo tur ergo huiusmodi de hac re figura.

XIIIT

Sed quia de trigonorum podismali consideratione in superioribus sat diligentium lectorum indagini explanavi- mus, superest ut ad letragonorum speculationem transi- 15 tum faciamus, succinctum de his habituri tractatum. Qua- dratorum enim ceteris faciiior est collectio. Et prius quidem de normali tetragono tali modo ordiamur.

Omnis igilur tetragonus normaliter constitutus latitu- dine longitudinem multiplicante arealem constituit plani- 20 tudinem et podismum sine dubio absolvit. Ponatur modo tetragonus pari numero consignatus, id est VIII. Quos per se, hoc est latitudinem per longitudinem , multipli- cans LXIHI efficiam , embadum videlicet subtus descripti tetragoni. - s^5

4 restitnit m. 5 Quoram vero] huius m. 6 expli-

cabit m. 13 consideratione] ratione m. 23 hoc longitu- dinem per latitudinem m.

416

ARS GEOMETR.

VIU

VIII

Idem vero per impareni numerum si feceris, nuUo itn-

pediente obstacuio eadem ratio constabit. Qui videiicet

normalis tetragonus ab Euciide aequilaterus alque recli-

5 angulus nominatur, a Nicomaclio autem in aritlimeticis

similiter appeiiatur.

De parte altera longiore,

Tetragonus autem parte altera longior ab Euclide qui- dem rectiangulum sed non aequiiaterum definitur, a Nico-

Qui videiicet

normalis tetragonus ab Euciide aequilaterus alque recli-

5 angulus nominatur, a Nicomaclio autem in aritlimeticis

similiter appeiiatur.

De parte altera longiore,

Tetragonus autem parte altera longior ab Euclide qui- dem rectiangulum sed non aequiiaterum definitur, a Nico-

10 maclio autem eteQoiirixrfg dicitiir. Cuius quidein longi- tudo iatitudinem multiplicans erabadaiis summae pedatu- ram, sive sint pares seu impares termini, demonstrant. Sit modo parte aitera iongior tetragonus, cuius longitudo pedes VIII, latitudo autem IIII, vel longitudo VIIII, lati-

15 ludo autem VI vel V vel III coliigat. Multiplicet ergo lati- tudo longitudinem id est IIII. VIII, XXXIl nascentur, lioc est area parte altei a longioris letragoni provenientque liae figurarum deformationes pari numero atque impari con- signatae.

vni

20 mf

His vero iain dictis paraiieiogrammis adiciendos riiom-

5 autem ot?i. m. 9 rectiangulus m. |{ aequilaterus m. 10 etromechis e, m. 11 embadis m. 12 seu] sive ni.

14 autem om. m. 15 autem om. m. 16 longitudo latitu- dinem m. 18 deformationis m.

AR8 GEOMETR. 417

bos et rbombon telragonos arbitramur. Quamvis enim aul angulariter aut lateraliler a supradictis parallelogram- mis dissideant, tamen his sunt annumerandi. £sto age rhombos quadrilaterus, singulis lateribus decena peda- turae summa consignatus. Diagoni auf em , hoc est angu- 5 laris lineae, direclio bissena numeretur quantitate. Cuius medietas, hoc est VI, si per se augmentabitur, XXXVI exsurgent. Quos si ex basis termino per se multiplicato subtraxeris, LXlIIi remanent. Horum tetragonale latus, id est Vni, huius rhombi cathetum constituit. Diagonus lo autem per catbetum ductus embadalis summae spatium ostendit. Hic autem ab Euclide aequa habens latera , sed non angulos aequos nec rectos definitur. Sit vero de hoc huius formae processio.

De rhombo,

Euclides vero nec angulos aequos nec latera aequa habentem rhombon determinando proposuit. Quem nos quoque patentiori aditu formando numerosque ascribendo reserabimus. Esto agerhombon, cuius unum latus VIII 20 pedes, secundum autem IIII, tertium vero VI, quartum vero II. Harum vero summarum maximos terminos lon- gitudinem obtinentes, siconiungas, Xilli efficies, quorum medietatem septenarius constituit. Minores autem sum- mulae in unum redactae senariam quantitatem perficiunt, 25 cuius medium ternarius adimplet. Quae videlicet medie- tales, VII et III, si per se multiplicabuntur, XXI consur- gent, id esthuius tetragoni pedesareales, ut subter apparet.

1 enim] autem m. 5 hoc est] huius m. 8 exurgent e. 10 rumbi m. 13 diffinitur m.

BOETIUS. 27

418

AES GEOMETR.

Hi8 enim adicienduiu fore trapezium ortliogonium non incongruum ducimus, dupla et sesquiallera numerorum proportione lateraliter consignatum. Ascribatur modo

1 enim] autem m. 5 hoc est] huius m. 8 exurgent e. 10 rumbi m. 13 diffinitur m.

BOETIUS. 27

418

AES GEOMETR.

Hi8 enim adicienduiu fore trapezium ortliogonium non incongruum ducimus, dupla et sesquiallera numerorum proportione lateraliter consignatum. Ascribatur modo

5 vertici summa quindenaria, catheto autem tricenaria, duplo eam transcendens, basi vero ad hanc sesqualteram servans habitudinem terminus contra datur. Per has ergo summas area huius trapezii tali ratione constituenda est. Adiungatur vertex basi, id est XV. XLV et LX terminus

10 exuberat, cuius pars dimidia, si per cathetum mulliplica- bitur, areae pandit protensionem , ut in subterius scripta patet figura.

XXX

DCCCC

XLV

De diagono adinveniendo,

15 Saepe autem evenire solet, ut in huius artis specula- tione, quot angularis lineae protensio horum scilicet tetra- gonorum pedes obtineat, requiratur. Quod ne ignore- tur, facillimum apertissimumque buiusce rationis dabimus exemplar. Ponatur iam parallelogrammus orthogonius in

2 trapezetum e; trapizetam m. 5 antem om, m. 9 vero vertex e. || id est om, m. || -X^- ad -XLV- m. 10 si per] super m. 11 et iam areae innutae protensionem ut in propria haius theorematis patet figura m. 15 in om. e.

19 iam] etiam e.

ARS GEOMETE.

419

longiludine LXXX et in latitudine habens pedes LX. Lon-

gitudo vero per se augmentata VI CCCC explicat, latitudo

autem per se multiplicata 111 DC efficit. Quae videlicei

VI CCCC et 111 DC in unam summae cumulum redactae

X restituunt. Horum, scilicet X, tetragonale latus si5 sumpsero, C pernotabo. Hoc est diagonum huius paral- lelogrammi orthogonii, ut infra scripta perspici potest in forma.

LXXX

De multiangulis figuris.

Sed quia sufficienter breviterque de tetragonorum di- ximus rationibus, restat, ut de pentagonis et exagonis ceterisque disseramus. Omnis itaque pentagonus, aequis habitujs lateribus, lateris unius summa in se excrescente ac ter ducta rursusque eadem subducta medietateque hu- 15 ius summae sumpta embadalis spatii pandit superficiem. Esto modo pentagonus singulis habens lateribus pedes senos. Quos, videlicet VI, si per se duxero, XXXVI re- sliluam. Hos ter ductos in CVIII numerum perstringam. Cui adiecero lateris unius summam , id est senarium, 20 CXIIII explicabo , id est area infra descripli pentagoni.

3 efficit om. m. || Qui m. || yidelicet . . . III-DCo»i. m. 4 redacti m. 6 p^irallelogrammi om. m. 7 ut in infra scripta forma videre potes m. 14 habitus] constitutas m. II crescente m.

27*

420

ARS GEOMETR.

De exagono,

Exagonus autem ordine in subsequenti dicendus inse- ratur. Describatur etenim exagonus octonario lateraliter

5jnsignitus. Quem, yidelicet octonarium, per se multipli- cans LXIIII efficiam. Haec summa, scilicet LXIIII, qua- ter ducta in CCLVI redundat. His, videlicet CCLVI, si lateris unius quantitas id est VIII bis ducta adiciatur, CCLXXII apparent. Quorum medium si sumpseris, aream

Haec summa, scilicet LXIIII, qua- ter ducta in CCLVI redundat. His, videlicet CCLVI, si lateris unius quantitas id est VIII bis ducta adiciatur, CCLXXII apparent. Quorum medium si sumpseris, aream

10 liuius exagoni explicabis.

CXXXVI

414, 18.

acutus 188, 17. 200, 2. 201, 4 ss. sonus 190 , 2 ss, 196, 6 s. 199, 7. 217, 20. 26. 314, 14 ss, 342, 10 ss. cei, in acutum 279, 10 ss. angulus 374 , 19. Vide angulus.

adaequare 234, 9.

adaugere 399, 11. 408, 19. 415, 3.

adcitus 181, 26.

adcrescere 14, 14. 69, 16. 70, 6. 363, 30.

addere passim, e. g, 9, 13. 20,

430

I. INDEX RERUM ET YERBORUM.

6. 43, 11. 47, 19. 60, 26. 90, 11. 21. 182, 2. 239, 12. 378,

6. 386, 9. 10. addiscere 59, 23. 103, 7. additamentum 209, 23. 27. additio 190, 23. 207, 16. 239,

5. 17. 288, 11 ss, 860, 22. addncere 185, 12. 407, 15.

422, 14. adeo; non adeo 167, 9. adesse 178, 25. 179, 8. 225, 11.

421, 1. adfingere 87, 3. adglomerare 85, 13. adgredi 198, 22. 413, 14. adgregare passim, e. g, 42, 15

ss, 94, 11 ss, 98, 6 ss. 99, 19.

102, 17. 327, 8- 405, 19. adgregatio 42, 28. 161, 11.

170, 19. adhibere 179, 4. 205, 20. 228,

27. 260,31. 348,25. ce/. adhortari 373, 22. adiacere 266, 15. 16. 382, 19. adicere passim, e. g. 4, 20. 15,

27. 55, 5. 60, 12. 90, 14. 94,

15. 95, 2. 110, 7. 172, 7. 248,

23. 385, Uss, 410,25. adiectio 5, 2. 48, 25. 110, 1. 9.

127, 17. 343, 11. 19. adimere 194, 13. adimplere 413, 22. 417, 26. adinvenire 393, 5. 412, 22. 423,

7. 425, 2. 426, 11. adinvestigare 400, 1. 406, 10.

408, 14. 424, 4. aditus5,2. 373,23. 408,9.

417, 19. adiumentum 4, 3. hdinngBTQ passim, e, g, 20,8.

42, 22. 43, 13. 44, 9. 98, 13.

107,8. 180, 1. 206,8. 265,

80. 379, 10. 387,13. administrare 189, 7. admirabilis 27, 21. 52, 3» 67,2. admiratio 130, 9. admonere 137. 3. 185, 14. 877, 9. admonitio 195, 20.

adnectere 180, 20. 343, 18. adnotare 11, 11. 326, 10. 344,

4. 409, 21. adnumerare 217 , 19. 342 , 2.

417, 3. adoriri 283, 9. adquiescere 8, 31. adquisitus 309, 22.

adscribere passim, e. g. 70, 12.

72, 1. 101, 15. 116, 6. 117,

2. 181, 26. 231,28. 397,6.

409, 4. adsentiri 249, 21. adsignare 10, 14. 87, 12. 398,

4. 426, 27. adstipulatio 3, 16. adstringere 66, 17. 160, 13.

179, 24. 187, 3. 267, 6.

adsumere 218,18. 224,20. 249, 4. 351,21. 397, 10. 421, 9. 426,26.

adsumptio 137, 9.

adtemptare 223, 1.

adtenuare 342, 18.

adtinere 127, 17. 396, 4.

adtoUere 199, 23.

adtonitus 197, 6.

adtribuere 206, 15. 219, 7.

adulescens 185, 1 ss,

aequabilis 80, 25. 112, 4.

aequalis passim, e. g. 24, 25. 25, 11. 27,25.28,4. 29,3. 45, 12.25. 66,23 5*. 78,22. 97, 7. 111, 20. 113, 19. 140, 20. 188,4. 190, 32. 374,16. 378, 2 ss. in aequalia divi- dere 13, 14. 15. 14,20. 27. 203, 1. in aequalem (es) re-

I. INDEX KERUM ET VERBORUM.

431

cipere sectionem 14, 24. 22, 2. def. 45, 13-17. motus 253, 13 w. aequalitas passim, e. g, 8, 6. 45, 30. 87,20. 92, 15. 114,

2. 126, 12. 132, 16. 138,4. 139, 26. 361,22. 389, 14. 402, 23. iudivisa 45, 17—21. ma- ter et radix inacqnalitatis 66,20-72, 16.77,6.15. 148, 5. inaeqoalitas adaequalita- tem resolvitur 77, 17—79, 28. inter mains et minus loco medietatisl44,22— 23. prin- cipium proportionum 232, 24 ss. 244,3 — 4. aequali- tas sonorum 253« 16.

aequaliter passim, e. g. 12, 22. 47,14. 111, 11.24. 120,19*5. 121, 23. 169, 23. 170, 1. 286 ss. 374, 5. 8. 379, 1. 394,

3. 4. 19.

aequare 20, 4. 41, 19. 204, 8.

262, 10. 278,7.9. 387, 2. aequatio 400, 22. aeque 114, 23. 179, 1. 188, 2.

196, 11. 398, 25. aequiangulus 389, 9. 11.

aequilaterus 376, 2. 15 ss, 380»

3. 389, 8. 10. 404, 16. 416,

4. 9. triangulus 93, 4. qua- dratus 113 15. Fide trian- gnlnm.

aequisonantia 361, 31. 364, 4. aequisonatio 362, 26. aequisonus 357, 5. 361, 5 ss. aequivocns 33, 5. 8. 361, 20.

aequus passim, e, g. 41, 11. 44, 16. 56, 29. 68, 13 ss. 78, 9*5. 113, 2. 140,27. 181, 3. 198, 13. 374, 15. 376, 2. 383, 22 ss, aequus ad 306, 3 ss, 307, 5 ss. in aequa partiri 17, 15. 202, 17. 19. inae- qaas partes 25, 8. 9.

aer 189, 23. 190, 6. 10. 196, 24. 200, 18 ss, 222, 5. 355, 20.

aereus 198, 20. concava quae-

dam aerea 189, 10. aestas 188, 23. aestimare 3, 3. 197, 1. 363, 8.

357, 22. aestimator 352, 28. aestuare 197, 1. aetas 179, 26. 180, 2. 186, 15.

196, 22. sequens 167, 7. aeternus 388, 2. affect^re 195, 27. affectio 184, 9. affectus 180, 1. 186, 4. afferre 3, 5. 7. 188, 22 ss.

226, 2. -afficere 181, 4. 186, 27. 222,

17. affirmare 260, 13. ager 387, 4. 394, 12. 3J.U01, 17.403, 16.425,31. 428,17. agere 179, 5. 181, 11. 224, 27. 225, 3. age 254, 20. 259, 15. 262, 15. 343, 12. 405, 15. 410, 25 ceL aggerere 263, 13. agnitio 195, 21. agnoscere passbn, e. g. 5, 5. 12, 10. 16, 26. 37, 22. 38, 13. 55,27. 162, 7. 179, 13.293, 14. agrimensor 401 , 8. SAipassim, e.g. 77, 13.80, 6. 114, 17. 219, 13. 221,20. aiunt 250, 28. alacritas 5, 16. alfabetum 397, 10. alias 267, 5. alienigenus 37, 4. alienus 3, 18. 4, 24. 30. 33, 2.

161, 6. 219, 1. alioquin 304, 12. aliquando 389, 3. 6. 396, 8.

427, 17. aliquantus 191, 25. aliter 185, 11. alpha 310, 1 ss. alter 119, 8. 123, 9. 24. nnl- lus alter numerus 30, 27.

432

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

binario adscribebatur 117, 1 — 2. 14 — 15. alterins na- turae 117, 23. 123, 19. 126,

3. substantiae 118, 9. 123,6. alteritas 117, 3 ss. 119, 5. 132,

432

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

binario adscribebatur 117, 1 — 2. 14 — 15. alterins na- turae 117, 23. 123, 19. 126,

3. substantiae 118, 9. 123,6. alteritas 117, 3 ss. 119, 5. 132,

15. 25. 133,3.8.

alternatim passim, e. g. 42, 7. 49, 11. 88, 13. 115,4. 131, 22. 133, 12. 382, 23. 389, 15.

alternu8.86, 10. 387,21. 388, 19. altemae rectae lineae 376, 23. 382, 23 — 29. 383. 11 — 13. 18*«. alterni anguli 383,2. altemalatera383,14.

aItitu w. 229, 7. auctoritas 7, 21. 223, 6.309,

18. 395,26. 409, 13. auctus 224, 1. 263, 25. audere 4, 26. 223, 6.

audire 180, 13. 26. 186, 14. 187, 6. 7. audiendi modns 200, 7 — 21.

auditor 227, 17.

auditus 189, 23. 195, 18. 21. 196, 14. 200, 20. 285, 2. 293, 8. 301, 12. 359, o. 371, 2.

auferre passim, e, g. 37, 25 ^s. 78, 13, 28. 79, 1 «*. 210, 14. 231, 25. 378, 3. 407, 16.

augere passim, e. g. 14, 11. 31, 6. 12. 91,5. 97, 14. 114, 14. 143, 20. 193, 13. 200, 28. 236, 22. 400, 15.

augescere 54, 15. 112, 6.

augmentare 405, 17. 407, 23. 409, 5 cei.

augmentum 9, 15. 29, 24. 95, 16. 98, 20. 99. 2. 240, 7. 250, 1. 29. 395, 20.

auloedus 224, 17.

aureus 5, 19.

auris passim, e. g. 3, 15. 179, 16. 187, 4. 28. 190, 12. 195, 8. 9. 17. 196, 1 ss, 198, 14. 220, 2.8. 221, 12. 15. 222, 8 ss, 223, 25 267, 4. 283, 7. 363, 8. via ad animum 181r, 1. 19. eodem modo afficitur sonis, quo animi iudicium numeris 222, 16 — 18. sensus aurium 269, 25. 354, 10.

autumare 199, 14.

autumnus 188, 24.

auxiliari 188, 22.

axioma 231, 7.

axis 11, 26.

baculum 354, 12.

barbarus 426, 13.

basis 380, 9 ss, 382, 12. 14. 383, 17 ss. 406, 18 ss. 407^ 1 ss. 417, 8. 424,3^5/. py- ramidis 105, 4m. — 110, 22.

beare 124 1

bellum 4, 10.* 186, 29. 224, 21.

bene 180,23.

benevolentia 3, 6. 5 , 14.

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

435

beta 309, 26.

binarlus passim^ e. g, 17, 16.

23, 21. 24, 23. 397, 5. adi.

23, 5. 20. 26 bin. nu^ierus

paritatis princeps 14, 23.

119, 3. alteritatis princl-

pinm 117, 1—23. 119, 3—5.

primus numerus 397, 19 — 20. bissena quantitas 417 , 6. bomiscus 114, 16. bonitas 66, 8. 18. bonum 5, 19. bonus 66, 13. brevis 254, 3. 315, 8. 348, 7.

400, 28. 423. 24. breviter passim, e, g. 5.8, 1.

56, 2. 96, 19. 185, 18. 192,

18. 223, 1. 248, 21. 399, 18.

comp. 265, l.superf. 167,10.

brevitas 5, 1. 39, 19. 57, 3. 245, 27. 260, 13. 309, 4. 371,1.

cacumen 105, 7. 16. 110, 10.

424, 18. 27. cadere passim, e. g. 20, 6. 21,

6. 66,9. 79, 18. 90, 1. 131,4.

143, 20. 379, 4. id ordine

199, 10 206, 20.

221, 26. 224, 19. 269, 20.

cantare 213, 10. 15. canticum 186, 19. 199, 18.

cantilena passim, e, g. 180, 2. 184, 8. 185, 29. 186, 13. 187, 3 ss, 199, 14. 21. 200, 24. 213, 4.

cantus 185, 13. 20. 186, 21. capacitas 373, 26. capax 33, 2. 87, 15. capere 179, 17. 187, 4. 198, 17.

augmenta 29, 14. princi-

pium 47, 7. vocabulum 224,

16. initium 231, 6. captare 179,16. 196,14. 309,5. caput, secundi intervalli 89,

28. solidi corporis 90, 12. caracter 397, 3. 18. 426, 24. carere passim, e. g. 8, 30. 9,

6. 41, 17. 81, 11. 15. 82,4.

88,4. 187, 10. 189,21.235,

13. carraen 224, 27 s. 225, 5 ss.

309, 8. tubarum 186, 30. castigatus 57, 3. casus 195, 2. 234, 23. 253,

10. cathetus 405, 3. 406, 19 ss.

407, 9 ss, 408, 12 ss, 410,4 5*. 417, 10 cet, cathetos genit,

408, 19. 411. 9.415,6.' causa passim, e, q. 65, 6. 126,

15.27. 140, 5. 186, 20. 187,

29. 196, 18. 277, 11. c. gen,

186, 8. 394, 24. 31. caute 62, 9. 411, 3. cautus 401, 15. 411, 4. cavere 180, 22. 309, 18. celebrare 12, 2. celer 190, 2 ss, 221, 15. 17. celeritas 190, 18. 229, 1. censere 5, 23. 88, 22. 272, 15.

277, 15 283, 11.300, 5. 374,

7. 395, 29. 402, 23 cet, centenarios 42, 4. centenus 398, 5 ss, 25 ss. 400,

3 ss, centenus millenus 398, \^ ss.

399, 14. centimanus 40, 26. centrum 11, 25. 200, 16. 375,

6. 8. 377, 10. 379, 1. 13. 387,

1 ss. 390, 13 ss. cera 4, 7. ceratis 426, 8. 428, 8.

28*

436

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

cernere 269, 27. 361, 24. 409,

29. 412, 17. 423, 16. certus 10, 2. 148, 4. 196, 9.

356, 16. 19. certiora intelle-

gentiae 10, 1. cessare 301, 13. cetera fem. sing, 23, 11. ceu 397, 15. chorda passim, e. g, 160-, 12.

188, 15. 190, 10. 196, 25.

198, 22. 25. 206, 8. 314, 12 m. chorus 8, 21. chroma 200, 26. 212, 25—215,

20. 216, 24. 365, 12 ss. 370,

19 ss. chromaticos 214,9 — 216, 15.

hypaton chromatice 310, 2.

meson 310, 10. synemmenon

SIO, 18. diezeugmenon 311,

8. hyperholeon 311, 19. chromaticum 213, 20. chromaticus 184, 4. 310, 2 ss.

Vide genus. ciere 188, 1. 200, 19. 301, 14. circa 119, 2. circinus 354, 15. circuitio 424. 27. circnitus 424, 15 ss. — 425, 3. circularis 423, 24. circulus 11,25. 121,20. 122,

4. 9. 219, 8. 11. 228, 28.

352, 15. 377, 10. 378, 14—

379, 24. 387, 1-389, 16.

390, 13*5. 412,24. 413, 2.

423,10—22. parallelill,26.

def. 121, 21—122, 1. 375. 3 -6. circumductio 121,24. 122,2.

423, 9. 11. 424, 27. circumductiva quantitas 423,

19. circumductus 375, 3. circumferens 393 , 15. 394 , 2.

205, 23. 224,

17. 351, 22. citharoedus 224, 16. 30. civis 186, 7. civitas 149, 13. clarescere 12, 11. 52, 26. 205,

22. clarus 197, 27. 253, 22. 334,

23. 336, 29. claudere 50, 21. 56, 14. 61,28.

130, 26. 186, 3. 235, 26. 340,

7. 342, 5. 385, 11 cet. coacervarepa^ffim, e. g. 20, 3.

17. 43, 9. 98, 4. 119, 14. coacervatio 42, 16 ««. 117, 27 s.

136, 9. coaequalis 383, 24. coaequare 272, 9. 273, 22.

400, 20. coalescere 220, 6. coaptare passim e. g. 179, 18. - 180,6. 207, 10. 209, 1. 213, 16.

388, 24. coaptatio 186, 4. 188, 1. 29.

189, 4. 193, 5. coartare 250, 22. coepisse 121, 9. 122, 1 ss. 228,

21. 269, 28. coercere 57, 17. 339, 26 ss. cogere 3, 19. 354, 2. 411, 24. cogitatio 188, 13. cognatio 25, 7. 29, 26. 30, 12.

37, 14. 125, 23. 133, 1, 228, 2. cognatus 135, 14. 158, 18. 170,

27. cognitio 9, 25. 179, 1. 224, 6.

249, 28. 355, 1. cognoscere passim, e. g. 20, 15.

53, 5. 59,5. 86,24. 140, 11.

151, 22. 179, 17. 180, 9.

194, 19. 251, 21. 396, 12.

400, 18. cohibitio 393, 29. collectio 13, 11. 43, 20. 102, 7.

137, 9. 25. 241, 19. 415, 17. colligatio 12, 20.

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

437

colllgere passim e,g. 5. 1. 9, 21.

11, 17. 12,8. 27,16. 33,20.

43, 3. 96, 7. 123, 16. 150, 28.

179, 2. 199, 3. 200, 10. 265,

32. 352, 29. 396, 2. collocare; vide conlooare. collocatio 210, 29. color 4, 7. 187, 13. 190, 17. 19.

213, 9. 14. 356, 15. 19.

357, 3. comes 355, 3. comites = mi-

nores nnmeri 49, 27. 50, 5.

61,19m. 52,5. 58, 11. 60,23.

64, 21. 65, 23. 138, 3. 139,

13. 141, 2. comitari 197, 11. 352, 24. comma 267, 2. 275, 13 — 16.

277, 5. 15- 21 w.— 279, 2.

282, 7—283,4. 284, 20—

285,6. 286,23 — 291, 12. et

passim. commemorare 185,10. 200, 29.

243, 24. 267, 5. commemoratio 324, 23. commendare 223, 10. commensurabilis 37, 23. 39, 14.

222, 9. commensaratip 222, 11. commensaratus 220, 14. commentarias 167, 6. 300, 5. committere 4, 6. 164, 2. 8. 188, 3. 195, 26. 400, 1. 30.

commode 5, 15. superf. 137, 7.

coromodus 114, 13. 281, 11. communicare 133, 14. 138, 2.

commanio 37, 11. 352, 23,

commanis 33, 4 ss, 36, 26 ss, 70, 7. 125, 26. 172, 2. 220, 14 336, 14. 356, 10. 14. 357, 1. 377, 20.

communiter 137, 10. 155, 9.

eompactas 180, 9.

compages 187, 25.

compaginare 188, 2.

compago 186, 8.

compar 113, 17. 118, 6.

comparare passim e, g. 20, 17.

30, 14. 31, 2 ss. 45, 14 ss.

190, 30. 203, 1. comparatio petssim e. g, 45, 18.

50,27. 54,9. 59, 1. 62,22. 136, 10. 202, 13. = propor- tio 55, 22. 24. 58, 7. 78, 17. 161, 12. in comparatione poni 58, 9.

nihil ex simili- bus componi 12, 26.

comportionalis 387, 5.

compos 185, 2.

compositio 13, 8. 86, 16. 108, 15. 111,13, 137,16. 169,19. 309, 6.

compositus; v, secundus et compositus. numeri compo- siti 395, 4. 11—14. 400, 9— 17. compositum est, quod dissolyi potest 32, 21.

compressus 393, 27.

computare 234, 26. 263, 15.

conari 409, 2.

concayus 189, 9.

conceptio 353, 21. 377, 20.

conciliafe 180, 21.

coucilium 8, 20.

concinentia passim e. g. 193, 1. 8. 197, 5. 198, 1. 202, 10.

concitatus 219, 16.

concipere 352, 13. 396, 14.

concludere passim, e. ^. 21, 13. 25,6. 40, 18. 105,12. 108, 25. 161,9.267,19.387,9.10.

403, 7. conclusio 374, 12. 411, 28.

416, 7. concordare 247, 16. concordia passim^ e. g* 10, 15.

191, 4. 197, 26. 221, 24. 26. 247, 22. 250, 9.

conerescere passim, e, g. 9, 16.

438

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

21,1. 27, 1. 64,8. 96, 18.

112, 4. 231, 13. 247, 26.

262, 20. 410, 8. ooncurrere 111, 17. 189, 20.

377, 2. 18. 394, 4. 7. condicio 39, 3.

superficiei principium 89 27. duae lineae rectae spa- tium non continent 91, 10.

458

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

in infinita dividitur 193 , 16 88, 228, 16—20. prima inpar linea 277, 10. vocis loco 279, 7—8. def. 374, 1. 394, 33. mensuralis 375, 18. genera 394, 1 — 14. veritatis linea 411, 5. linearis; Hneares numeri 86, 13. 90, 6—17. 107, 3.

lineariter 279, 7. lingere 206, 19. lingaa 182, 6. liniamentum 407, 8. linteum 4, 8.

liquere 90, 13. 166, 12. 190, 23. 202, 18. 262, 14. 263, 16. 338, 10.

liquidius 205, 18.

liquido 3, 4.

liquis 394, 21, 23.

littera 309, 8. 391, 6. 397, 10. 11. Iitterae3, 10.4,26. X- 64, 10. 21. articularis Vocis elementa 77, 9. C (sigma) 182, 5. graecae litterae mu- sicae notae 309, 14—312, 6. nervorum signa 318, 16 88. minutiarum 8igna 426, 17 — 21. 427, 1—12.

locare possim^ e. g. 34, 12. 35,9. 163, 6. 206,27. 207, 13. 255, 20. 392, 3.

locatio 80, 25.

locus passm, e. g. 23 , 25. 25, 6. 28, 11. 13.35, 1. 36, Q ss. 219,28. 252,8. 279,8. 393, 28. 420, 15. est locus veniae 6, 9. locum obtinere 17, 4. 108, 8. 277, 9. loca 8, 6. 335, 15. 387, 23. loci 36, 3. 336 4.

longe'22, 1. 211, 1. 230, 28. 263, 23. facilior 4, 14. anti- quius 230, 22. multos infini- tosque 42, 1. comp. 164, 17. 200, 20. 273, 3. superl. 273, 13.

longilaterus; longilateri nii-

meri 56, 8 ss. longitudo passim, e. g. 27, 23.

28,2. 29, 11. 28. 64,6 «.

87, 14 «5. 88, 11 88. 90, 7.

104, 18. 111, 18. 198, 15. 21.

373,26««. 394, 17. 401,10.

403,4««. longus passim. longum fuit

351, 27 cet. lucere 194, 28. lucidus 373, 23. lucrum 4, 24. luctus 186, 18. 21. lumen 10, 5. luna 12, 10. lunaris 219, 11. 17. lux 389, 23. lydius modus 180, 16. Fide

modus.

maceria 403, 23.

macbina 187, 27. 188, 10.

machinari 64, 17.

macies 4, 22.

magas 348, 9.

magister 223, 5. 396, l2.

magnitudo 8, 5. 9,4. 26. 89, 20. 196, 25. 198, 25. 227, 25. def. 8, 15 — 19. 228, 6-7. mobilis — inmobilis 8, 29^ 31. 228, 27—229, 1. modum in divisione non recipit 9, 16—17. 14, 15. 228, 14—21.

malitia 66, 11.

malle 426, 6.

malleus 197, 4 ««.

manere 8, 30. 87, 21. 122, 1. 160, 17. 167, 4. 219, 18. 234, 13«. 336, 8.

manes 186 , 24.

manifestare 412, 10. 422, 6.

manifestus passim, e. g. 7, 22. 30, 1. 40, 10. 64, 20. 126,

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

459

12. 133, 4. 186, 29. 238, 31. 388, 20. 405, 14.

mansnetus 181, 7.

manas 4, 5. 6. 15. 40, 26. 189, 27. 223, 30 ss, 352, 15.

m&rgo 77, 15.

marmor 4, 3.

masculns 181, 22.

mater 10, 9. 30, 28. 37, 18. 66, 21. 79. 26. 86, 20. 93, 7.

materia 4, 9. 352, 18 ss.

mathematicus sidfsi. 179, 14.

mathesis 5, 6. 122, 22. 179, 21. 425, 22. .amat alterna probationum ratione consti- tui 86, 10.

matarare 188, 23.

mataras 5, 20.

maxima 196, 11. spatio 13, 21. 14, 17.

mederi 186,8.

medicus 186, 6.

medietas passim, e. g, 11, 19. 14, 4. 16, 8 ss. 40, 3. 78, 14. 84,7 ss. 114, 22. 160, 17. 198, 15. (302, 25. 405, 20. omnis nnmerus circum se positorum . . . medietas 16, 2— 3. quadam medietate con- iu'nctus30, ll.=duae quar- tae 58, 6. non loco tantum yerom etiam quantitate 142, 19. c=; proportionalitas pas- sim, e, g, 138, 26 — 139, 21. 162, 31. 164, 16—165, 1. 167, 3—6.

arithmetica 139, 2. 139, 24—144, 24. 26. 145, 4. 149, 7. 152, 28. 153, 14. 155. 4. 160, 15. 21. 27-161,22. 162, 18-21. 163,1—15. 168, 25. 170, Sss. 241, 24 — 242, 23. 243, 17—19. 244, 6-245, 27. 248, 21—249, 1. 269, 7. geometrica 139, 3. 142, 14. 144, 19. 26—149, 4. 149, 11. 153, 5 ss, 154, 8. 155, 5. 160, 15. 22. 161, 23—162, 2.

23—26. 163, 16 — 28. 168,

26. 170,4««. 242,2 — 23. 243,19—20. 246, 1—12. 249, 1 — 7. 269, 6. una — duae continuae 149, 23 — 151, 25.

armonica 139, 3. 144, 15.

19. 149,9. 152, 2 — 160,4.

160, 16.23. 162,3 — 16. 26

— 30. 163, 29-164, 13. 169,

1. 170, 2 ss. 242, 7-23. 243,

20 — 22. 246, 13 — 248, 14.

249, 8-15. 269, 8.

quarta 139, 5. 165, 1—20.

169,2. quinta 139,5. 165, • 21 — 166,13.169,3. sexta

139, 5. 165, 21. 166, 14—25.

169, 4. aliae quattuor 139,

6—9. 167, 6-168, 21. 169,

407, 17. 408,

22. 409, 24ce^ medius passimf e. g. 11, 26.

13, 14. 15. 16, 4 5«. 18, 21.

105, 10. 195, 27. 199, 15.

217, 25. 301, 22 s. 425, 13. melior consonantia 222, 16. melius 131, 23. 253, 6. 269, 14.

396, 14. 402 , 12 cei, melos 187, 7. 309, 5. 9. 357,

10«. 361, 14. melo 195, 3.

melorum 212, 24. membrum 41, 4. 139, 20. meminisse 65, 22. 161, 21. memor 187, 7. memoria 301, 9. 10. 309, 10. mens 4, 21. 7, 22. 9, 21. 123,

27. 180, 14.29. 181,4. 18^,- 9. 187, 2. 11. 224, 8. 235, 31. 352, 21. 396, 13.

mensa geometricalis 393, 6.

Pythagorea 396, 11. mensio 33, 1. 36, 15. 20. 238,

19. mensor 394, 31.

460

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

mensnla 376 , 22.

mensnra 36, 24. 46, 21. 91,17. 193, 18. 198, 17. 228, 16. 238, Ibss. 271, 8. 314, 10. 363, 20. 364, 19. 401, 9 eet commnnis 33, 4 ss, 36, 26 ss. 220, 16. 303, 26. mensu- ram repperiendi ars 37, 21 — 39, 16. tonns 172, 2. men- snra differentiae 290,8 (237, 29—240, 8). def, 373, 24— 374, 1. 402, 26-403, 8. ter~ rae 388, 1. mensnrarnm ge- nera401, 16-402,23.

mensuralis 376, 18. 403, 6.

mensurare 403, 9. 408, 13. 414, 10. 21. 421 , 10. 428 , 8.

mentio 269, 10.

mercari 4, 12.

mercator 4, 8.

mergere 200, 9.

meritum 3,8. 6, 23. 224, 14. 260, 3. merito 117, 10. 124, 24. 249, 28.

mese 206, 23-219, 26. 310,14. 313, 4. 316, 19 ss, 319, 6 ss. 326, 2 ss. 334, 16 ss. 336, 12 ss. 337, 12. 338, 6 ss. 342, Is. 344,25*. 346,3 — 347, 17. 369, 11 ss.

mesos 209, 22. 218, 23. Fide tetraehordnm.

metiri passimy e, g. 30, 27. 31, 8 s. 32, 13. 20. 33, 6. 46, 13. 196, 3. 198, 26. 238, 2 ss. 394, 20. 408, 1. raetitur nu- merus numerum 31, 4 ss. = numerare 47, 16.

metrum 309, 6.

migrare 196, 19.

miliarium 401, 18. 402, 1. 403, 10.

millena milia 398, 18. 23.

millenarius 42, 4.

millenus .398,16««. 399,6. 400, 7. 12. 18.

minima 196, 11.

minime 388, 24.

ministrare 188, 13.

minuere pnssm, e. ^. 8, 2. 14,

11. 16. 39, 13. 11*4, 13, 193,

16 ss. 394, 23. alicui aliqmd

268, 14. minutiae 426, 21. 426, 11. 20.

428 , 3. minutum 400, 22. 402, 15. 425,

21. 426, 10. 19. 427, 14. 428,

1. 13. minutus 194, 2. 402, 3. mirabilis 134, 24. 425, 22.

mirablle 83, 11. , mirandus 80, 4. 184, 9. mirari 48, 26. 128, 26. 234, 11. minis 3, 16. 6, 16. 20, 13. 134,

16. 309, 7. 396, 16. miscere passim, e. g. 14, 22.

66, 16. 103, 18. 125, 23. 188,

29. 192, 23. 195, 10. 201, 2.

221, 19 s. mitis 186, 2. mixolydius modus 342, 14.

Vide modus. mixtura 195, 7. 362, 11. mobilis 8, 30. 9, 6. 11, 29.

modulatio 11, 10. 17. 12, 2.

13, 8. 186, 11. 188, 7. 189,

16. 263, 11. 341,23. 342,

23. 366, 4. 370, 12. modalatus 263, 10. modulus 64, 17. 199, 11. modus passim, e. g. 9, 17. 14,

19. 19, 21. 100, 4. 181,12.

232, 10. mensionis 36, 15.

198,18. audiendi 200, 7—21.

concinentiarum 260, 21—22.

I. INDEX RERUM ET VERBORUM.

461

modi mnsici 17949. 24. IdO, 1 — 181 , 15. 185 , 8 88, 225, 13. 341, 20 88, gentium yo- cabalo designati 180, 15. dorius 342, 13. 24. 343, 10. 346, 13 88, hypodorias 342, 13, 16. 345, 24 88. lydias 180, 16. 309, 11 88, 3i8,6. 342, 14. 343, 10. 346, 26 8S. hypolydias 342, 13. 23. 346, 9 88. mixolydius 342, 14.

346, 28 88. hypermixoljdius 344, 3. 345, 23. 347, 5 **.

347, 18—348, 3. phrygias 180, 16. 185, 6. 342, 13. 343, 10. 346, 23 88, hypophryglus 342, 13. 21 *. 346, 3 88, sub- phrygius 185, 1.

moles 4, 4. 10, 12.

molestia 185, 22.

mollis 180, 19. 20. 181, 8. 184,

5. 213, 1. 365, 16 88. chrnma

molle 365, 12 8S. 370, 19 ss.

diatonicum molle 365, 23^«.

371, 4. mollities 365, 19. momentum 191, 7. 196, 8. 19.

197,3. minutia 426, 10. 19.

427, 13. 428 , 1. 13. monere 62, 23. 146, 10. 246,

27. 392 , 4. monitio 185, 7. monochordum 219, 27. 300, 3.

314, 8. 334, 12. 351, 15. mons 424, 12—425, 17. monstrare passim, e, g. 11, 22.

20, 16. 35, 20. 52, 25. 69,

23. 87, 5. 186, 12. 390, 20. monstruosus 40, 28. montuosa ratio 424, 12. mora 5, 17. 408, 11. moralitas 179, 23. morari 72, 19. 343, 14. 352,22. moratus 180, 23. 181, 21. morbas 185, 19. mortalis 179, 8. mos 180, 11. 19. 24. 185, 5. in

more 181,26. 186,21. 223,4.

motus 8, 30. 123, 3. 187, 6. 189, 19«*. 200, 12. )5. 206, 16. 221, 16. 301, 13 w. est post quietem 11 , 28. astro- rum 12, 2. 18. 187,29. VL motuum formae 88, 23 --28. cordis 186, 5. yelociores, tardiores 189, 24. rariores, spissiores 189, 25. aequales, inaequales 253, 13—15.

moyere 122, 1. 187, 27. 189, 8. 219, 16.

mugire 186, 23.

mulctare 236 , 25.

muliebris 186, 19.

mulier 185, 14.

multiangulus 109, 12. 110, 21. 111,6. 12.

multifarius 426, 24.

multiformis 394, 10. 426, 1.

multilaterua 375, 20.

multimodus 228, 1. 253, 22.

multiplex 4, 9. 12, 10. 182, 3. 184, 1. proportio 78, 23. 232, 25. 29—233, 14. 240, 11 — 22. 240, 25-241, 12f. 253, 7 (250, 2). 286, 10. 301, 28. 302, 8—303, 16. 304, 20 — 306 , 28. prima pars inae- qualitatis 46, 7. 19-49, 12. 52,22-57,5. 64, 10.67,2. 4. 67, 17-68, 22. 78,4. 83, 26—85,21. 124, 6. 148, 6.' 101, 10—15. 192,25. 229,14. 18—24. 230, 21—231, 6. 234,26 5*. 250, 2. 251, 22. 253, 19. 29 88. proportionum principes 80, 15 ss, 83, 8.

multiplexsuperparticularis 46, 8. 60, 20 — 63, 23. 64, 15. 67, 13. 71, 6-22. 72, 13. 78, 6. 191, 29—192, 10. 229, 17. 234 , 13.

multiplex superpartiens 46, 9. 60,23. 65,2—66,2.67, 14. 71,6. 71,24 — 72, 14.78,7. 192, 11 — 17. 229, 17. 234, 15. 357, 23 88,

462

I. INDEX EERUM ET VERBORUM.

multiplicare passimy e. g. 20, 21 M. 22, 26. 23, 6. 21.23. 202, 22. 237, 2 8S, 240, 13 ss. 352, 29. 397, 16. 398, 11. 26 ss, 400, 23. in quadru- plum 59, 23.

multiplicatio pa^^tm, e, g, 21,

11. 27, 1. 6. 40, 28. 56, 6. 59, 20. 64, 8. 237, 26. 240, 13 ss. 389, 14. 395, 20. 396,

7. una plus 59, 27. multi- plicationis species 83, 27.

multiplicator 261, 16. 395, 5.

17. 19. 398, 12 88.

multiplicitas passim , e. g. 47, 22. 63 , 27. 55 , 6. 70, 1. 80,

18. 85, 16. 127, 6. 128, 19. 191, 8 88. 193, 20. 231, 4. 259, 14. 260, 4 — 5. in inte- gritate se continet 194, 6. superparticularitati respon- det 260 , 28 ss,

multitndo passim, e. g. 8. 23 — 29. 9, 1. 14. 23. 12, 17. 18,20. 40, 6. 125, 21. 228, 7 — 14.

mundanus 10,' 11. Vide mu- sica.

mundus 8, 18. 123, 25. 124, 10. 125,26. 126, 1. 3. 188,20. mundum corpora quattuor efficere 77,12. mundi anima 180, 4. sphera 229, 1.

munimentum 3, 21.

munus 3, 2. 5, 8. 22.

munusculum 3, 20.

musica 11, 6. 20. 189, 15. 205, 28. 224, 6. 31. 225, 10. 229,

8. 234,22. 283, 9. 10. 316, 21. 351, 16. musicae vis astrorum cursus praecedit

12, 3—4. moralitati coniun- cta 179, 22—187, 10. mun- dana 187, 21—188, 26. 206, 5. humana 188, 26—189, 5.

"" instrumentorum 189, 6 — 12. musicus suhst. 160, 13. 268, 21.

309, 1. 5. 343, 1. 2. def. 224, 18—20. 225, 11—15. musicus adi. 182, 5. ZsfisXaQ 183, 2. SnaQxav 183, 8. avvsLaxafisvoQ 182, 14. ffvv83J??S 199, 3. raft 182, 8. rav 182, 8 «.?.

xaQgen, 182, 11. 12. 15. 18,3, 1.2.7. acc. 182, 11. 183,6.7. xaQaQQSxai 183, 9. T8 182, 11. tsxayfisvaQ 182, 13.

Boethius — De institutione musica (Friedlein ed., Teubner 1867, Latin)

The text